Вероятности больших уклонений асимптотически однородных в пространстве эргодических цепей Маркова

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 6
Глава 1. Предельные теоремы для общих цепей Маркова невозвратного типа 18
§ 1. Предварительные замечания....................................18
§ 2. Утверждения типа усиленного закона больших чисел для функции от цепи Маркова...............................................20
§ 3. Изменение во времени значения характеристического функционала цепи Маркова................................................28
§ 4. Центральная предельная теорема для цепи Маркова со значениями в евклидовом пространстве...................................31
§ 5. Локальная оценка для распределения цепи Маркова со значениями в евклидовом пространстве...................................34
§ 6. Локальная центральная предельная теорема в решётчатом случае 39 § 7. Локальная центральная предельная теорема в нерешётчатом
случае.......................................................43
Глава II. Вероятности больших уклонений в крамеровском случае 47
§ 8. Асимптотика супремума случайного блуждания...................47
§ 9. Большие уклонения асимптотически однородных цепей............49
§ 10. Доказательство теорем 10 и 11...............................56
_______________________________________________________________________3
§11. Оценка второго члена асимптотики 7f(x) в крамеровском случае 63 § 12. Вероятности больших уклонений сумм случайных величин ... 66 § 13. Принцип больших уклонений для асимптотически однородной
цени..........................................................80
§ 14. Точная асимптотика 7fn(x) для частично однородной цени ... 89
§ 15. Осциллирующее случайное блуждание............................94
§ 16. Марковская эволюция масс.....................................96
§ 17. Локальная теорема восстановления для невозвратной цепи Мар-
кова.........................................................101
§ 18. Некоторые предварительные оценки распределения марковской
эволюции масс................................................106
§ 19. Аналог центральной предельной теоремы для марковской эволюции масс........................................................111
§ 20. Вероятности больших уклонений асимптотически однородной
цени Маркова.................................................115
§ 21. Завершение доказательства теоремы 19........................126
§ 22. Решётчатый случай ..........................................131
§ 23. О положительности постоянного множителя с в теореме 19 . . .132 § 24. О необходимости условия интегрируемости скорости сближения распределения скачка с предельным .........................136
Глава III. Вероятности больших уклонений в субэкспоненциаль-ном случае 139
§ 25. Асимптотика супремума случайного блуждания..................140
§ 26. Асимптотика хвоста супремума случайного блуждания когда
среднее скачков не является конечным.........................144
§ 27. Асимптотики и оценки для первой убывающей лестничной высоты в случае бесконечного среднего...............................149
4
§ 28. Асимптотики и оценки для первой возрастающей лестничной
высоты в случае бесконечного среднего..........................152
•с
§ 29. Асимптотики и оценки для хвоста распределения супремума . . 154 § 30. Достаточные условия субэкспоненциальности распределения ин-
тегральнго взвешаниого хвоста..................................158
§ 31. Асимптотика распределения сумм случайных величин с локально субэкспоненциальным распределением...............................161
§ 32. Д-Субэкспоненциальные распределения...........................163
*
§ 33. Распределения с субэкспоненциальным и плотностями.............174
§ 34. Достаточные условия Д-субэксионенциальности и субэкспоненциальности плотностей ..............................................180
§ 35. Некоторые приложения локальных асимптотик.....................183
§ 36. Функция восстановления и основная теорема восстановления . . 190 § 37. Равномерная по времени асимптотика хвостов частичных максимумов сумм........................................................195
т § 38. Оценка снизу для вероятностей больших уклонений максимума
сумм...........................................................198
§ 39. Некоторые свойства распределений класса У8Ьг..................200
§ 40. Оценка сверху для хвоста распределения первой до момента
времени п неотрицательной суммы................................204
§ 41. Оценка сверху для вероятностей больших уклонений максимума сумм.............................................................207
§ 42. Достационарные распределения цепей Маркова в субэкспонен-
ци&пьном случае................................................209
^ § 43. Оценка снизу вероятностей больших уклонений для достацио-
нарной цени....................................................212
§ 44. Оценки сверху вероятностей больших уклонений для достаци-
онарных и стационарных цепей...................................216
5
§ 45. Асимптотический анализ случайных блужданий с зависимыми
приращениями в случае тяжёлых хвостов.....................229
§ 46. Оценки снизу............................................235
§ 47. Оценка сверху ..........................................242
§ 48. Асимптотики в случае правильно меняющихся хвостов.......244
Глава IV. Вероятности больших уклонений в промежуточном случае 247
§ 49. Асимптотика супремума случайного блуждания..............247
§ 50. Точная асимптотика ттп{х) для асимптотически однородной цепи251
Список литературы 259
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Р(х, В), х G R, В G ^(R), — некоторая однородная во времени переходная вероятность в R; здесь и далее «^(R) — а-алгебра борелевских множеств в R. Всюду в настоящей диссертации параметр-врем я п принимает значения из множества целых неотрицательных чисел Z* = {0,1,2,...}. Рассмотрим цепь Маркова {Хп} со значениями в R и с переходной вероятностью т. е.
Р{Хп+1еВ\Хп^х} = Р(х,В).
Пусть 7гп — распределение Хп: ттп{В) = P{An £ В). Обозначим через £(х) случайную величину с тем же распределением, что и у скачка цени {Хп} из состояния х:
Р {х + £{х)еВ} = Р(х,В), ВеЩ R).
Определение 1. Цепь Маркова X называется асимптотически огородной (в пространстве), если распределение скачка £(х) имеет слабый предел при х —► оо, т. е. найдётся такая случайная величина £, что £(х) => £ при х —» оо. Распределение £ обозначается через F.
В настоящей диссертации рассматривается (главным образом) асимптотически однородная в пространстве цепь Маркова X. Предполагаем, что Хп — эргодическая Харрисова цепь, имеющая единственное инвариантное распределение тт. Тогда распределение Хп сходится при тг —* оо к тг в метрике
7
полной вариации, т. е.
7Г„ - 7Г|(Н) = 2 • вир |тг„(В) - тг(В)| -» О
(1)
(здесь и далее для любой знакопеременной меры д и множества В через |/2|(В) обозначаем полную вариацию меры д на множестве В). Для цепи Хп со счётным множеством состояний это имеет место автоматически, если цепь неразложимая, непериодическая и положительно возвратная; для вещественнозначных цепей соответствующие условия можно найти, например, в [б, 72].
Мера тс доставляет решение уравнению
Ввиду сходимости (1) семейство распределений Хп относительно компактно, т. е.
В настоящей диссертации исследуются условия, при которых асимптотическое поведение вероятности тсп(х) = Р{ХП > х} при 71, х —> оо возможно выписать в явном виде в терминах «локальных характеристик» цепи, прежде всего в терминах распределения Г предельного скачка £. В том числе, исследуется асимптотика хвоста тг(х) = 7с(х, оо) инвариантной меры 7г.
Для любого распределения С в И функцию бДх) = (7(а:,оо) называем хвостом распределения С.
Простейшим и одновременно с тем очень важным примером асимптотически однородной цепи Маркова является случайное блуждание IУп с задерж-
(2)
ьир Р{ХП > х} —► 0 при х —> оо. п^О
кой в нуле (называемое в [87, 89] однородной в пространстве цепью Маркова),
задаваемое рекуррентным равенством
И^, = (№п + £п+1)+,
(3)
8
где $1, £*> • • ■ суть независимые копии случайной величины £. Положим 5о =
О, А = & + •••+ £п и
Мп = шах{50,51,...,5п}. (4)
Известно (см. например, [29, гл. VI, § 9)), что распределение цепи \Уп с нулевым начальным условием Ио = 0 совпадает с распределением Мпу т. е.
Р{\¥п > хуУ0 = 0} = Р{Мп>х}. (5)
В частности, если И7о = 0, то последовательность \¥п является стохастически возрастающей и, следовательно, имеет слабый предел; обозначим через Ж*, случайную величину с этим предельным распределением.
Известно (см. теорему 1 в [29, гл. XII, § 2]), что Л/оо (эквивалентно, И7-**) конечно почти наверное тогда и только тогда, когда 5П —► —оо при п —* оо с вероятностью I. Также известно, что если Етах(0,£) конечно, то Бп —+ —оо почти наверное при п —> оо тогда и только тогда, когда Е£ 6 [—оо,0); если Етах(0,£) = оо, то условия для почти наверное сходимости 5П —* -оо также давно известны, более подробно см. § 26. В диссертации почти всюду предполагается, что Е£ < 0.
Другой важный пример — частично однородная в пространстве цепь Маркова, занимающая в некотором смысле промежуточное положение между случайным блужданием с задержкой в нуле и асимптотически однородной цепью Маркова.
Определение 2. Следуя [87], будем говорить, что цепь X со значениями в Я является II-частично однородной в пространстве (или просто частично однородной), если для любого борелевского множества В С (£/, оо) переходная вероятность Р(уу В) совпадает с вероятностью Р{у + £ 6 В}у когда у пробегает множество ({У, оо). Другими словами, в области (£/, оо) поведение цепи X совпадает с процессом суммирования независимых случайных
9
величин, имеющих общее распределение Очевидно, что однородная цепь (случайное блуждание с задержкой в нуле) является 0-частично однородной.
Можно трактовать частично однородную цепь Маркова как возмущённое в некоторой окрестности нуля случайное блуждание, а асимптотически однородную цепь, в свою очередь, как ещё более сильно возмущённое случайное блуждание.
Асимптотическое поведение вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова Хп самым существенным образом определяется тем обстоите;!ьством, допускает’ или нет предельный скачок £ конечный экспоненциальный момент с положительным показателем. Это хорошо известно на примере 1Уп — случайного блуждания с задержкой в нуле. Кратко напомним основные факты, известные для стационарного распределения \Уп, т. е. для \У00.
Преобразование Лапласа <^(А) = Еел^ случайной величины £ есть функция выпуклая, причём у?(0) = 1 и <£>'(0) = Е£ < 0. Поэтому множество {А : у?(А) ^ 1} представляет собой отрезок вида [0,0], где
0 = эир{А : <р(\) < 1}.
Всюду предполагаем, что Р{£ > 0} > 0. Поэтому число 0 конечно. Возможны лишь три случая:
(а) 0 > 0 и (р(,в) = 1 — «крамеровский» случай;
(б) 0 > 0 и <р(0) < 1 — «промежуточный» случай;
(в) 0 = 0 — случай «тяжёлых хвостов», когда ЕеЛ^ = оо для любого А > 0.
В работе рассматриваются все три случая, при этом основными являются
крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов.
Если имеет место крамеровский случай, то хорошо известна оценка, восходящая к Лундбергу и Крамеру: для любого х > 0 справедливо
Р{1Уо0>1} < е~0х.
10
Если, кроме того, а = ip'(ß) = Ще0* конечно, то (см., например, [29, гл. XII, §5])
P{W00 > я} ~ ^ Зй е~^Х При х °°i (®)
где
V = Р{Мх> > 0}, а = Е{5ге^5т;т < оо},
где, в свою очередь,
т = min{n ^ 1 : Sn > 0}.
Поскольку Е£ < 0, то р < 1, а т и ST — несобственные случайные величины.
Если имеет место случай тяжёлых хвостов, когда 0 — 0, то асимптотическое поведение вероятности PfWoo > х} совершенно другое, и при некоторых условиях субэкспоненциальности (подробнее см. § 25) имеет место эквивалентность
P{W<x> > 2} ~ |Щ у F(y)dy при х -* оо. (7)
Если же имеет место промежуточный случай, когда ip(0) < 1, то асимптотическое поведение вероятности P{Woc > х] также своеобразно, и при некоторых условиях принадлежности классу У(0) (подробнее см. § 49) имеет место эквивалентность
EeßWt* _
P{Woo>x} ~ (8)
1 - lp(0)
Крамеровский случай и случай тяжёлых хвостов сильно отличаются не только асимптотическим поведением вероятностей больших уклонений супремума, но и самой природой формирования этих больших уклонений. В крамеровском случае наиболее вероятными траекториями, приводящими к
11
маловероятным большим уклонениям, являются траектории более или менее равномерного движения вверх; в формировании события Р{5П > т} свой вклад вносят все скачки случайного блуждания, причём в приблизительно равной мере. В случае же тяжёлых хвостов наиболее вероятный способ формировании больших уклонений — это присутствие одного большого скачка, сразу приводящего к уровню выше х.
В настоящей диссертации показывается, каким образом приведённая классификация для стационарного распределения случайного блуждания с задержкой в нуле может быть перенесена на асимптотически однородную в пространстве цепь Маркова. При этом также исследуются и достационарные распределения, а кроме того приводятся локальные асимптотики, изучение которых оправдано в случае тяжёлых хвостов. Естественно, что при этом техника доказательств, как и для однородных случайных блужданий, в каждом из трёх случаев принципиально различная, и потребовалось разработать новые подходы; подробнее см. соответствующие главы.
Выделение класса асимптотически однородных в пространстве цепей в качестве основного объекта исследования продиктовано тем обстоятельством, что среди эргодических цепей этот класс представляется максимально широким, для которого возможно вычисление вероятностей больших уклонений. Если не предполагать асимптотической однородности в пространстве, то известны лишь весьма грубые верхние оценки типа Р{ХП > х] ^ х6(х), где 6(х) — функция, определяемая по общей мажоранте хвостов скачков цепи; см. теоремы 3.1 и 25.1 в [6]. Тесно связанная с этим проблематика существования моментов стационарного распределения в терминах пробных функций подробно рассмотрена Майном и Твиди в [72, гл. 14]. Из их результатов в силу неравенства Чебышева легко выводятся верхние оценки (также несколько грубые) для вероятностей больших уклонений цепи как в случае степенных хвостов, так и в случае хвостов с конечными экспоненциальными моментами.
12
Диссертация организована следующим образом.
Известно, что важнейшую роль при исследовании вероятностей больших уклонений, особенно в крамеровском случае, играют различные предельные теоремы в области нормальных уклонений. Поэтому глава I, основанная на работе [92], посвящена предельным теоремам для цепей Маркова со значениями в измеримом пространстве; при этом однородность во времени переходных вероятностей, вообще говоря, не предполагается. В различных предположениях о природе пространства состояний цепи получены утверждения типа закона больших чисел, интегральной и локальной центральной предельной теоремы. Полученные результаты являются наиболее содержательными для невозвратных цепей Маркова.
В главе II изучаются асимптотически однородные в пространстве цепи Маркова в крамеровском случае, когда предельный скачок £ удовлетворяет условию: существует 0 > 0 такое, что </?(/?) = 1. Выделим следующие основные результаты. Прежде всего показано, что принцип больших уклонений для инвариантного распределения имеет место практически для любой асимптотически однородной цени Маркова, т. е. почти всегда справедлива логарифмическая (грубая) асимптотика (см. теорему 10)
Нт = -Р.
х—*оо X
В теореме 14 принцип больших уклонений доказывается для достационарного распределения. Далее основные усилия направлены на поиск условий, позволяющих вычислить точную асимптотику вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова. Оказывается, чтобы найти точную асимптотику, недостаточно знать лишь, что цепь асимптотически однородна. Необходима дополнительная информация о скорости сближения распределения скачка £(х) к предельному распределению Показывается, что упомянутая скорость сближения должна быть, грубо говоря, интегрируемой
13
функцией. Тогда хвост инвариантной меры асимптотически эквивалентен
7г(а;, оо) ~ се~^х при х —» оо.
Также найдена точная асимптотика хвоста достациоиарного распределения; основными являются теоремы 19 в § 20 и 20 в § 22. В частности, найдена зона значений времени п, в которой вероятность Р{ХП > т} асимптотически эквивалентна хвосту 7г(х,оо) инвариантного распределения. Основные результаты главы II опубликованы в работах [86), [87), [88], (89) и [95).
В главе III исследуется случай тяжёлых хвостов. Основными являются теоремы 24 и 25 в § 26 об асимптотике хвоста супремума, когда скачки имеют бесконечное среднее значение; теорема 35 в § 37 об асимптотике конечного по времени максимума частичных сумм типа
1 /•*+** 1Е£| _
Р{МП > х} ~ у К(и)<1и
при х —► оо равномерно по п ^ 1; теорема 28 в § 32 о локальной асимптотике распределения суммы, остановленной в случайный момент времени; и, наконец, теорема 36 в § 42, утверждающая, что при весьма общих естественных условиях асимптотически однородная цепь Маркова в случае тяжёлых хвостов имеет следующую асимптотику вероятностей больших уклонений:
гх+п\Е£\ _
Р{ХП > х} ~ с
X
при п, х —* оо. Также в § 45 рассматривается случайное блуждание с зависимыми приращениями, когда скачки представляют собой процесс скользящих средних. Изложение в главе III основано на работах [87), [88), [90], [93], [94], [96] и [97].
В главе IV изучается промежуточный случай. Основной является теорема 42 в § 50 об асимптотике вероятностей больших уклонений асимптотически однородной цепи Маркова в промежуточном случае, в которой выясняются
14
условия, обеспечивающие при п, х —» оо выполнение асимптотики
Р{Хп>х} ~ cF{x).
Результаты опубликованы в работах (87], (88) и [89).
С точки зрения приложений отметим следующие области применения полученных результатов.
(а) Во многих приложениях Хп описывает «нагрузку» некоторой физической системы и необходимо знать вероятность того, что эта нагрузка превзойдёт некоторый заданный большой уровень х. Это и есть вероятность 7fn(z)> приближённое значение которой изучается. Например, в одноканальной системе обслуживания GI/GT/1, в которой n-й вызов приходит после (п- 1)-го через время ту, и требует' обслуживания в течении времени ап, время ожидания Wn п-го вызова удовлетворяет реккурентному соотношению
Wn+l = (Wn -Ь <7П — Тп+1) + .
Полагая £n = (jn~\ — т„, приходим к случайному блужданию с задержкой в нуле (3). Если же скорость обслуживания зависит от текущей нагрузки (текущего времени ожидания) в системе, то мы получаем марковскую последовательность вида Wn+1 = (Wn + crn(Wn) — rn+i)+, где <тп(:г) имеет распределение, зависящее от х, что отражает зависимость скорости обслуживания от текущего состояния системы. Если упомянутая скорость имеет предел при стремлении состояния системы к бесконечности, то мы и приходим к асимптотически однородной в пространстве цепи Маркова. Можно говорить о возмущённой системе обслуживания, а также о системе с контролем.
(б) В теории страхования (см., например, [49], [78] или [33, Ch. IX]) в моде-ле Спарре — Андерсена предполагается через моменты времени тп наступают страховые случаи с величинами страховых выплат Лп. Если интенсивность страховых взносов равна с, а первоначальный страховой резерв равен т, то вероятность разорения страховой компании после наступления п-го страхового
15
случая равна Р{Мп > х}, где £п+1 = Лп — стп, см. (4). Если же пересматривать страховые взносы (т. е. значение интенсивности с) в зависимости от текущего капитала страховой компании после наступления очередного страхового случая, то мы опять приходим к процессу, скачки которого зависят от его состояния.
(в) Случайные блуждания и цепи Маркова, скачки которых обладают экспоненциальными моментами, часто возникают при решении статистической задачи о разладке. Например, знание асимптотики стационарного распределения асимптотически однородной в пространстве цени Маркова оказывается полезным при исследовании последовательных процедур определения разладки, см. |4].
(г) Полученные результаты позволяют установить существование «моментов» Е/(ХП) для заданного класса растущих функций /, оперировать этими моментами в разного рода задачах оптимизации и оценивать эти моменты с помощью метода Монте-Карло. Кроме того, если установлено, например, что 7г(х) ~ сх~°е~Рх, где какие-либо из параметров с, а или ,в в явном виде неизвестны, то с помощью метода Монте-Карло можно оценивать также и эти параметры (см., например, [2, гл. 5, § 68), [50, 62, 21]); при этом для получения более полной информации об оценках полезно знать также следующий член асимптотики ¥(х), т. е. асимптотическое поведение 7г(х) - сх~(*е~,вх при х —► оо (вопрос оценки этой разности затрагивается в § 11).
Несколько слов относительно примыкающей (но другой) тематике по большим уклонениям для цепей и процессов Маркова. Большое число работ посвящено многомерным эргодическим цепям Маркова (см. список литературы в [12]). Наиболее совершенные результаты в этом направлении, в том числе точные асимптотики, получены Боровковым и Могульским в [12]. При этом рассматриваются только частично однородные в пространствах Я2 и Я3 цепи Маркова; исследование асимптотически однородных цепей в многомерном
16
случае представляется весьма затруднительным. В одномерном случае ситуация более благоприятная, и в настоящей диссертации удалось разработать подходы к исследованию асимптотически однородных цепей Маркова со значениями в R.
Другое обширное направление исследований — грубые (в основном) теоремы о вероятностях больших уклонений в функциональных пространствах для марковских процессов, связанные с именами Вентцеля и Фрейдлина (см. книгу Вентцеля [14]; см. также § 5.4 в книге Пухальского [77]). В этих монографиях результаты, известные для классических случайных блужданий (т. е. для последовательностей частичных сумм независимых слагаемых), обобщаются на более общие марковские процессы. Достигаемая при этом общность ограничена процессами с гак называемыми непрерывными статистиками. Однако эргодические цепи Маркова, например, однородное случайное блуждание на полуоси или осциллирующее блуждание, не удовлетворяют соответствующим условиям непрерывности некоторых характеристик, как это предполагается в [14].
Блуждание типа осциллирующего рассмотрено в работе Дюпии и Эллиса [51], а в несколько более общей постановке в книге тех же авторов [52, Chapter 7|. Изучена цепь Маркова со значениями в Rrf, фазовое пространство которой разделено на две области D{ = {ж £ RJ : х\ ^ 0} и D2 = {я € Rd : Х\ > 0}. В области D\ цепь имеет скачки с общим распределением Fi, а в области — с F2. Дюпии и Эллис нашли функцию уклонений 1(a) случайного блуждания такого типа. В случае эргодического одномерного блуждания (т. е. когда Fi имеет положительное среднее значение, a F2 — отрицательное) она имеет вид
Здесь Р\ < О И 02 > О — ненулевые решения уравнений относительно Л
соответственно. Функция /(а) выпуклая и кусочно линейная в областях [0\, 0] и [0,/%]. При выполнении некоторых дополнительных технических условий авторы доказали принцип больших уклонений типа
С точки зрения нашего подхода одномерное осциллирующее случайное блуждание есть частный случай 0-частично однородных цепей Маркова. Тем самым из наших результатов для [/-частично однородных цепей Маркова напрямую вытекает принцип больших уклонений, причём при существенно более слабых ограничениях на скачки (см. § 15).
п-*оо п
п—оо п
Иш — 1пР{Х„ < —па} = 1(—а).
ГЛАВА I
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБЩИХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА НЕВОЗВРАТНОГО ТИПА
§ 1. Предварительные замечания
В отличие от остальных глав, в настоящей рассматривается цепь Маркова {Хп} со значениями в измеримом пространстве, не являющаяся, вообще г оворя, однородной во времени. В различных предположениях о природе пространства состояний цени получены утверждения типа закона больших чисел, интегральной и локальной центральной предельной теоремы для Хп. Полученные результаты являются наиболее содержательными для невозвратных цепей Маркова.
Пусть 5 — измеримое пространство с <т-алгеброй измеримых множеств ^(5). Пусть Рп(х,В), х € 5, В £ «^(5), — некоторая переходная вероятность в параметр-время п принимает значения из В настоящей главе
однородность переходной вероятности во времени п не предполагается. Рассмотрим цепь Маркова X = {А„, п Е 7^} со значениями в 5 и с переходной вероятностью Рп(-, •), т. е.
Р{Хп+1еВ\Хп = х} = Рп(х,В).
В § 2 настоящей главы выясняются условия, при которых /(Хп)/п сходится почти наверное к некоторому пределу, где /: 5 —>* функция со зна-
чениями в сепарабельном банаховом пространстве Рассматривается так называемое р-гладкое банахово пространство.
§1
19
В § 3 исследуется поведение во времени характеристического функционала цепи Маркова со значениями в произвольном сепарабельном банаховом пространстве.
В § 4 для цепи Маркова со значениями в конечномерном евклидовом пространстве формулируются условия, при которых Хп удовлетворяет центральной предельной теореме.
В § 5 выводится верхняя оценка вероятности попадания в компакт асимптотически однородной во времени и но пространству (в некотором направлении) цепи Маркова со значениями в ЯА
В § 6 для асимптотически однородной цени Маркова со значениями на целочисленной решётке Ъл доказана локальная центральная предельная теорема. В § 7 доказывается аналог этой теоремы для нерешётчатой цепи Маркова со значениями в ЯА
Хотя в условиях теорем явно не оговаривается, является ли цепь Маркова {X,,} положительно возвратной, нуль-возвратной или невозвратной, предлагаемые результаты являются наиболее содержательными для невозвратных цепей. Более того, в ряде теорем явно предполагается, что значение цепи Хп «уходит на бесконечность в некотором направлении».
С точки зрения усиленного закона больших чисел и центральной предельной теоремы в литературе лучше всего изучены положительно возвратные по Харрису (эргодические) однородные во времени цепи Маркова (см., например, [72, § 17]). Некоторые результаты, относящиеся к центральной предельной теореме для неоднородных во времени эргодических цепей Маркова можно найти в [17, 18]. Отметим, что для эргодических цепей, в отличие от невозвратных цепей (на изучение которых в основном и направлена настоящая глава), более естественной оказывается задача исследования асимптотического поведения распределения сумм значений функции /: 6’ —> Я от цепи Маркова, т. е. распределения 1(Х\) Н 4- /(Хп). При этом использо-
§2
20
вание циклической структуры эргодической цепи (циклов по возвращению в атомарное состояние) так или иначе сводит задачу к известным предельным * теоремам о суммах независимых случайных величин.
§ 2. Утверждения типа усиленного закона больших чисел для функции от цепи Маркова
2.1. Усиленный закон больших чисел для мартингалов в банахо-
* вых пространствах. Пусть р G [1,2]. Говорят, что банахово пространство & с нормой || • || является p-гладким, если найдется такая константа D < оо, что для любых векторов х и у G ^ ||т|| = 1, ||j/|| ^ 1, имеет место неравенство
II* + VII + У* - Vil ^ 2 + DIMf. (9)
Из определения вытекает, что p-гладкое банахово пространство Ф является pi-гладким для любого pi G [1, р].
Любое банахово пространство является 1-гладким при D = 2 (неравенство треугольника). Банахово пространство Wявляется 2-гладким тогда и только тогда, когда найдется такая константа D < оо, что имеет место неравенство
Их + „и* + и* - у|р < 2\\xf + D\\yf (10)
(см. [75]). Если гильбертово пространство, оно автоматически является 2-гладким, поскольку неравенство (10) превращается в равенство с D = 2 (равенство параллелограмма).
Известен (см. [64, теорема 2.2) и [76]) следующий усиленный закон больших чисел для мартингалов в сепарабельных банаховых пространствах (сеиа-
*
рабельность предполагается для того, чтобы операция сложения случайных элементов со значениями в этом пространстве была измеримой).
Теорема 1. Пусть последовательность случайных элементов Zn, п = 1, 2, ..., со значениями в сепарабельном банаховом пространстве & образует мартингал относительно некоторого потока о-алгебр основного вероятностного прост.ранства. Если для некоторого р Є [1,2] банахово пространство является р-гладким- и ряд
сходится., то Хп/п —* 0 при п —► оо почти наверное.
2.2. Функция от цепи Маркова. Пусть сепарабельное банахово пространство с нормой || • || и а-алгеброй борелевских множеств &(&). Через &гтуи обозначаем множество предельных точек последовательности {уп},
т. е. множество всех у Є & таких, что уПк —► у для некоторой подпоследова-тельности индексов Пк —> оо. Множество предельных точек с необходимостью замкнуто.
Пусть / — измеримая функция из 5 в ^ Обозначим через г}п(х), х е 5, случайный вектор, отвечающий скачку процесса Уп = /(Хп), т. е. такой случайный вектор, что для любого В Є
Здесь и далее под математическим ожиданием понимается интеграл Бохнера. На множестве случайных величин введём отношение частичного порядка ДЛЯ любых двух случайных величин 7Д и 7Д пишем 7Д 772, если Р {771 > х) ^ Р{772 > я} ДЛЯ любого ХбИ.
РЫх) Є В } = Р{/(Хп+1) - ]{ХП) ев \Хп = х}.
Положим
т%(х) = Ет]п(х).
§2
22
Теорема 2. Пусть для некоторого р € (1,2] банахово пространство является р-гладким. Пусть множество В £ таково, что при N —>
оо имеет место сходимость
Р |/(Хп) £ В при всех п ^ Дг| —► 1. (11)
Пусть для некоторых момента времени N и замкнутого выпуклого множества М из £${&) справедливо включение
{т*(х) : Дх) 6 В} С М. (12)
Кроме того, пусть семейство случайных величин {||?7п(2)|(, п ^ Лг, /(х) £
#} обладает интегрируемой мажорантой, т. е. найдётся такая случайная величина г1 с конечным средним значением, что
||г7п(х)|| у для любых п ^ N и Дх) £ В. (13)
Тогда почти наверное
ЛАт с М.
п—*оо и
Доказательство. Не ограничивая общности считаем, что N — 0. Сначала предположим дополнительно, что случайная величина у является мажорантой не только для семейства {(|*7п(я) ||, п ^ 0, Дх) в В}, но и для всего семейства {||*7п(*)||> п ^ 0, х € 5}, т. е.
и% (*) и у для любых п ^ 0 и х £ 5. (14)
Прежде всего отметим, что ввиду условий (11) и (12) почти наверное имеет место включение:
Жт Е{/(Хп+1) - f(Xn) | *„} = Мт т*(ЛГ„) С М. (15)
п—*сс п—юо
Для любых числа с > 0 и точки х £ 5 положим
£#! = {«€ 5: ||/(ч)-/(*)!!< с}.
У_________________________________________________________________________________________23
Определим переходную вероятность Рп^ (х, В) И случайный вектор 7?п'(т) ра-венствами
Рп(х, В П В^), если х £ В,
Рп(х, В П В**1) + Рп(х, {5 \ в]?1}), если х е В,
Р$(х,В) =
и
»$(*) =
г?п(х), если ||7?„(х))|| < с,
О, если ||7?„(х))|| > с.
ГІО построению распределение случайного вектора т]^(х) совпадает с распределением разности /(Я) - /(х), где 2 имеет распределение Р^(х, ■).
Пусть А > 0. Рассмотрим цепь Маркова Уп, Уо = -Хо> с переходными вероятностями Я1Лп1(-, •)• Цепи Уп и Хп можно задать на одном вероятностном пространстве таким образом, что вероятность несовпадения траекторий Уп и Хп не будет превосходить
оо
Р{УП Ф Хп для некоторого п} ^ £р{||/(Хп+1) - /(Хп)|| > Ап)
п=0
оо
Следовательно,
« £р{і,>Лп}<^. (16)
П=1
р< * (17)
п »оо П п »оо п ) А
Положим
гг£(У.) = Е{/(Уп+1)-/(Уп)|Кп} = Ет?Ип1(х)
Х=КП
и
А„ = /(Уп+і)-/(У„)-т^(Уп),
так что
71-1
71-1
ЯК) - Д*о) = 2>Г(У*) + 1>* = ^+2І-
к=0
к=0
В силу условия (14) на скачки 77п(а:) имеем оценку
Поэтому
70 1 Г1“1 Л:—0
/с=0 1 п-1
к=0
Ввиду конечности Е77,
1 п~1
-^^Е{т)\т] > Лк} —► 0 п к=о
при п —> оо и, следовательно, на всех элементарных исходах
20 1 "-1 = Л&т —
71—*00 П
Ы О
Из (16) имеем оценку
уО і ^-1
— = £іт -У га? (У*).
71—00 п 71—00 П '
(18)
(19)
*■=0 А:—О
Поскольку множество М замкнуто и выпукло, из (15) вытекает почти наверное включение
71-1
Жт -'У^(Хк) С м.
71—00 п '
А:—О
(20)
Соотношения (18)—(20) влекут оценку
§2
25
Ввиду того, что последовательность Уп является цепью Маркова и по определению Д„ имеем равенства
Е{Дп | Уо,..., Уп) — Е{Дп | Уп) = 0.
Ввиду этого процесс образует мартингал относительно потока сг-алгебр сг(Уо, • • •»Уп-1). Докажем, что приращения данного мартингала удовлетворяют условию
ос
< «■ <22>
п= 1
Для любого х но построению Дп, в силу неравенства ||а+6||р ^ 2р||а||р+2р||6||р и ввиду условия (14) имеем
Е{||Д,Г|У» = *} = Е||^!(х)-Е^!(х)Г
^ аРЕИч^^г + 2''||Ег7И")(«)Г
< 2’,+1ЩгГ;т)< Ап}.
Поэтому
у' ЕЦА„1Г < 2 у' Е{чту; г) ^ Ап}
п? пР
п=1 п=1
Последний ряд сходится при любом значении Д, так как
- Е&ы
П=1 П=1
00 АР 71
п=1 Л=1
00 00
= А’>У^Р{к-1<г1/А^к}У^р
< 00,
, пР
к—1 п—к
в силу эквивалентности ^1™=к Vп?> ~ (так как Р > 1) и существования Е г].