Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения второго порядка

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения ................................................... 2
Введение................................................................ 4
ГЛАВА I. МОНОТОННОСТЬ ОПЕРАТОРА ГРИНА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 11
§1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения............... 11
§1.1. Пространство В*’ь................................................ 17
§1.2. Условия сохранения знака функции Грина сингулярных краевых задач с
изотопными операторами............................................. 27
§1.3. Условие “А” в исследовании монотонности операторов Грина сингулярных
краевых задач в общем случае....................................... 35
§1.4. Операторы Грина модельных задач.................................. 45
§1.5. Пространство 1)р 49
I
ГЛАВА И. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕИНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСУММИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 53
§2.1. Сингулярная краевая задача в пространстве Ьр. Теоремы вида теоремы
Валле Пуссена...................................................... 53
§2.2. Пространство В”.................................................. 62
§2.3. Критерии компактности в пространстве ............................ 68
§2.4. Сингулярная краевая задача в пространстве П)р,и. Теоремы вида теоремы
Валле Пуссепа...................................................... 78
ГЛАВА III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 83
§3.1. Теорема вида теоремы Нагумо для сингулярной задачи в пространстве 83
§3.2. Об одной сингулярной краевой задаче в пространстве Б* ........... 95
§3.3. О задаче, возникающей в теории химического реактора.............. 97
§3.4. Об одной нелинейной задаче с несуммируемой особенностью в пространстве
Ъри ,..............................................................104
Заключение.............................................................106
Библиографический список использованной литературы.....................108
У
1
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
R” — пространство n-мерных вещественных вектор-столбцов с нормой
1-І
N — множество натуральных чисел
|| • ||х — норма в нормированном пространстве X, если ясно, о каком пространстве X идет речь, то будем писать просто || • || dim М — размерность линейного многообразия М ||«4||x-*y — норма линейного ограниченного оператора А : X —♦ Y А* — оператор, сопряженный к линейному оператору А R(A) — область значений оператора А D(A) — область определения оператора А р(А) — спектральный радиус оператора А
/(і, •) — t фиксировано и / рассматривается как функция лишь второго аргумента
/(*,$) — s фиксировано и / рассматривается как функция лишь первого аргумента
= — “тождественно равно5’
= — “равно по определению”
Кег А — нуль-пространство (ядро) оператора А ind А — индекс оператора А
С[0,1] = С — пространство непрерывных функций х : [0,1] —> R1 с нормой
и отношением полуупорядоченности <: х < г/, если x{t) < y(t) при всех
і е [0,1)
'Typeset by LATgX
) ds — интеграл вероятности
р' — показатель степени, сопряженный с показателем р: 1/р+ l/р' = 1 (р1 = со, если р = 1 и р' = 1, если р = сю)
Lp[0, l] = Lp(l<p< сю) — пространство классов эквивалентных суммируемых в р-й степени функций х : [0,1] —> R1 с нормой
/ ! ч 1/Р
1И1ц = (/ \x(t)\"dt\
и отношением полуупорядоченности <: х < у, если x(t) < y(t) при почти всех t € [0,1]
Loo[0,1] = Loo — пространство классов эквивалентных измеримых и ограниченных в существенном функций х : [0,1] —* R1 с нормой
MIL« = vrai sup \x(t)\ o<t<\
и отношением полуупорядоченности ИЗ L]
W”[0,1] = Wp — пространство таких п — 1 раз дифференцируемых функций х : [0,1] —» R1 с абсолютно непрерывной производной что
ж(п) € Lp,
INIw;®||*(n)||i,+ EI*w(0)|
»=О
X х Y — прямое (декартово) произведение линейных пространств X и Y /х — тождественный оператор I\ : X —» X, если ясно о каком пространстве X идет речь, то будем писать просто I О — нулевой оператор Е — единичная матрица □ — конец доказательства или замечания
erf(t) =f -7= f exp (-s2 n
-Работа выполнена при финансовой поддержке Capacity Building Project (Credit 2436, Eduardo Mond-lane University, Mozambique)
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы, связанные с сингулярными дифференциальными уравнениями давно привлекают математиков. Книга И. Т. Кигурадзе [25] положила начало в изучении сингулярных уравнений. Им систематически исследованы вопросы существования и единственности решения и зависимость решения от начальных данных и параметров для задачи Коши-Николетти, для задачи Валле Пуссена и для периодической задачи в сингулярном случае.
Теории сингулярных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) посвящено большое количество исследований. Отметим, в частности, работы Г. А. Бессмертных [12], Н. И. Васильева, Ю. А. Клокова [17], Р. Г. Гра-бовской [18], И. Т. Кигурадзе [25], И. Т. Кигурадзе, Б. Л. Шехтера [26], А. И. Шиндяпина [47], [48], С. М. Лабовского [36], [37], Н. В. Азбеле-ва, Л. Ф. Рахматуллиной [52] и Е. И. Бравого [13], [14], [15]. В работах Пермского Семинара были завершены основы нового раздела Анализа, получившего название “Теория абстрактного функционально-дифференциального уравнения”. Большинство результатов этих исследований систематизированы в монографии [52] и обзорных статьях [1], [6], [8], [49], [50]. Эта теория открыла новые возможности изучения широкого класса сингулярных уравнений как обыкновенных дифференциальных, так и функционально-дифференциальных.
В рамках теории ФДУ к этим задачам возможно применение единого подхода, основанного на построении специального пространства Б решений, в котором данная сингулярная задача становится регулярной [52]: к ней становится возможный применить стандартные приемы и методы исследований ФДУ. Такой подход был впервые использован в работах С. М. Лабовского [36], [37], А. И. Шиндяпина [47], [48], Е. И. Бравого [13], [14]. В предлагаемой диссертации развиваются идеи упомянутых работ.
Прежде чем перейти к описанию полученных результатов, сформулируем некоторые положения теории абстрактного ФДУ, которые положены в основу нашей работы. Центральным понятием теории А ФДУ является понятие банахова пространства D функций х : [0,1] —♦ R1, изоморфного прямому произведению В х Rn, где В — банахово пространство функций г : [0,1] —* R1. Если В = Lp, п = 2 и изоморфизм J =f {Л, Y} : LpxR2 —> D определяется равенством
(Л*)(0 ^ }(t - s)z{s) ds, (Y0)(t) *== /З1 + /32(1 - t), о
то элемент х € D имеет представление
t
x(t) = j(t - s)z(s) ds + (3l + /?2(1 - *),
0
и мы имеем дело с соболевским пространством D = \¥р — традиционным при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Общая схема регуляризации сингулярных задач для ФДУ
Сх = /
выглядит следующим образом. Выберем такое банахово пространство В функций, чтобы при любых г £ В и а Е RA краевая задача
CqX = .г, Ex = а
для линейного “модельного" уравнения Cqx = z имела единственное решение т, которое записывается в виде формулы Грина (см. [7], [51], [52])
х — Wz -f- Uoc.
Пространство функций D определяется равенством D = WB0^/R v. Если оператор С действует из пространства D в пространство В, причем оператор £W : В —► В обратим или хотя бы фредгольмов, то уравнение Сх — / перестает быть сингулярным. Отметим, что свойство фредгольмовости “главной части” (стр. 13) характеризует важные внутренние особенности уравнения. Условия, при которых справедлива альтернатива Фредголь-ма для двухточечной краевой задачи с сингулярными точками на концах
5
отрезках, сформулированы для линейного ОДУ в работах И. Т. Кпгура-дзе [25], И. Т. Кигурадзе и Б. Л. Шехтера [26], А. Г. Ломтатидзе [38], а для линейного ФДУ в статье И. Т. Кигурадзе и Б. Пужа [55]. Фредголь-мовость различных видов линейных функционально-дифференциальных операторов с сингулярными точками на концах отрезка установливалась в работах С. М. Лабовского [36], [37] и А. И. Шиндяпина. [47], [48].
А. И. Шиндяпин [47] изучал уравнение
Сх =г х - Бх — Кх — Ах(а) = /
с неограниченным оператором 5 : внутренней суперпозиции
(стр. 41) и неограниченным интегральным оператором К :1ч —* 1ц. Таким образом, в пространстве абсолютно непрерывных функций это уравнение сингулярное. А. И. Шиндяпин строит пространство В, более узкое, чем 1,1 таким образом, что оба оператора 5 и К в этом пространстве ограничены. С. М. Лабовский [36], [37] изучает уравнение
{Сх)(г) <(1 - г)х(г) + р^Б/,ж)(г) = /(<), t е [о, 1],
с измеримым Н и суммируемыми р, /. Если рассматривать это уравнение в пространстве \У^, то главная часть оператора С не является даже нёте-ровым оператором. С. М. Лабовский строит специальное пространство Б ~ 1»! х К2. При таком выборе пространства Б оператор С : Б —► Ь\ становится нётеровым.
В теории ОДУ хорошо известна теорема Штурма о разделении нулей [41, с.167-169], [44, с.135] решений линейного однородного уравнения и теорема Валле Пуссена [53] о дифференциальном неравенстве. Часть диссертации посвящена исследованию условий однозначной разрешимости и знакоопределенности функции Грина краевой задачи Штурма-Лиувилля для сингулярных ФДУ второго порядка. Указанные вопросы изучены и освещены в журнальной и монографической литературе в случае задачи Валле Пуссена для некоторых типов уравнений с отклоняющимся аргументом, а также более общих ФДУ (напр., [2], [37]).
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе получены условия сохранения знака функции Грина для сингулярного ФДУ
(£з;)(<) = тг(<)[х(<) + &(*)*(*)] - / х{в) (1ег(1, в) = /(<), г € [0,1], (А)
О
б
где 7r(f) = t, 7Г(t) = 1 - t или 7г(/) = /(1 - t). Эти вопросы для ФДУ без сингулярностей, т.е. при 7г(t) = 1, рассматривались, например, в работах [3], [4]. На основе общей теории абстрактного функционально-дифференциально го уравнения, изложенной в монографии [52], сингулярное уравнение регуляризуется, затем проводятся исследования о распределении нулей решений однородного уравнения. Полученные утверждения используются для доказательства критериев изотонности операторов Грина задач Коши-Николетти в случае неубывания функции r(£, s) по второму аргументу. Указаны достаточные признаки антитонности операторов Грина краевых задач Штурма-Лиувилля для общего случая r(t, s).
В §1.0 приведены краткие сведения из теории ФДУ и функционального анализа. В §1.1 построено пространство D£’6, в котором краевая задача для сингулярного уравнения (Л) становится рег}'лярной. Здесь же показано, что при каждом р > 1 это пространство вполне непрерывно вложено в пространство С. В §1.2 установлены условия сохранения знака функции Грина краевой задачи для сингулярного уравнения (Л) в случае неубывания при каждом t 6 [0,1] функции r(t, •).
В §1.3 рассмотрены вопрос о монотонности операторов Грина краевых задач для сингулярного уравнения (Л) без предположения монотонности функции r(t, •). Ядро r(t, s) представляется в виде разности двух неубывающих по второму аргументу функций, т.е. r(t,s) = r+(t,s) — r~(t,s). С помощью общей теории АФДУ (подробнее см. [7], [51], [52]) и методики оценки спектральных радиусов операторов [9], [22], [59] установлены условия однозначной разрешимости и знакоопределенности функции Грина краевой задачи для сингулярного уравнения (Л), в случае, когда уравнение
1
n(t)[x(t) + b{t)x(t)] - I a:(s) dsr+(t, s) = f(t), t g [0,1]
0
обладает свойством А (стр. 30). Отметим, что некоторые утверждения изложенны в параграфах §1.2 и §1.3, при 5 = 0, были полученны автором совместно с Н. В. Азбелевым и Е. И. Бравым, и опубликованы в [А2].
В §1.4 изучены свойства операторов Грина некоторых “модельных"' краевых задач. Показано, что при каждом р > 1 операторы Г рина краевых задач для сингулярного уравнения (Л) вполне непрерывно действуют из
7
Ьр в С. В §1.5 проведены аналогичные исследования о разрешимости и
сохранении знака функции Грина для линейной краевой задачи Штурма-
Лиувилля
•/
1
<£(<) + кх^) - Iх(з)с18г(г,з) = /(<), <€[0,1], ^
я(0) = а1, х(1) + 7«т(1) = а2.
В главе II исследованы линейные уравнения с несуммируемой особенности). В §2.1 следуя приведенной в монографии [52] схеме, построено специальное пространство Бр ~ 1>р х Я1, в котором задача
*(*) + у*(0 - (Тх)(г) = /(<), * € [о, 1], ^
±(0) = 0, ж(1) + 72^(1) =
становится регулярной. Доказана теорема типа теоремы Валле Пуссена об условиях знакопостоянства функции Грина краевой задачи Штурма-Лиувилля (С). В §2.2 введено пространство Вр, обобщающее пространство, ранее введенное А. И. Шиндяпиным [47]. Установлена полнота этого пространства. В §2.3 доказаны критерии компактности в пространстве Вр при ?;(/) = ГГ, 0<7<1,1<р<оо. В §2.4 проведены исследования, аналогично исследованиям §2.1, для краевой задачи
т + ^ ^ - (Тх)о) = /(<), (е [о, 1],
я(О) = 0, я(1) 4- их(1) = а
в пространстве Б*’**, 1 < р < оо и в пространстве 0^ ’* (стр. 79).
В третьей главе приведены утверждения о существовании и единственности решений нелинейных краевых задач для сингулярных ФДУ. Эти утверждения основаны на результатах первой и второй глав, которые гарантируют сохранение знаков функций Грина соответствующих линейных задач. При выполнении иЬ1Ь2п — условий Н. В. Азбелева исходная нелинейная задача сведена к уравнению либо с изотонным, либо с анти-тонным оператором. Редукция данной задачи к уравнению с изотонным оператором дает возможность доказать теорему о существовании. Если, кроме того, возможно редуцировать нелинейную задачу к уравнению с антитонным оператором, то тем самым удается доказать единственность решения.
8