Оглавление
-2-
Введение 3
1. Спектральные разложения плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций 15
§1. Определение цепочки плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £2((0, оо), С")................ 15
§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки .... 16
§3. Обобщенные спектральные разложения операторов цепочки 28
2. Спектральные разложения неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций 34
§1. Определение цепочки неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £2((0, ос), Сп) .............34
§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки .... 35 §3. Обобщенные спектральные разложения операторов цепочки 47
3. Примеры описания спектральных разложений некоторых операторов дифференцирования на полуоси 52
§1. Описание спектральных разложений плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £ (0,оо) . . . 52
§2. Описание спектральных разложений неплотно заданного сужения интегро-дифференциального оператора в пространстве £2(0,оо).........................................66
Литература
74
Введение
-3-
В диссертации рассматриваются вопросы, связанные со спектральной теорией симметрических операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций.
Основы общей теории симметрических операторов в гильбертовом пространстве были заложены Дж. фон Нейманом [31], М. Стоуном [33] и получили свое дальнейшее развитие в работах М. А. Наймарка [27] [29], М. Г. Крейна [18]—[20], М. А. Красносельского [16]—[17], А. В. Штрауса [42], [48]—[50] и других авторов.
Ими были описаны совокупности всех обобщенных резольвент и спектральных функций для различных классов симметрических операторов.
Для формулировки некоторых результатов работ [42], [50], [53], [54], [57], использованных в диссертации, напомним основные понятия и предложения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве.
Через $) обозначим абстрактное гильбертово пространство со скалярным произведением (•,•) и нормой || • || .
Линейный оператор А, действующий в S), называется симметрическим, если для любых элементов f,g € Dom А справедливо равенство (Af,g) = (/,Ад). В общем случае область определения оператора не обязательно плотна в Sj. Для ограниченного оператора понятие симметрического оператора совпадает с самосопряженным.
Как обычно, оператор В называется расширением оператора А (А С В), если Dom А С Dom В и Bf = А/ для любого / 6 Dom А. Оператор А в этом случае называют сужением оператора В на Dom А и обозначают А = В|потД •
Теория расширений симметрических операторов развита Дж. фон
-4 -
Нейманом, который свел ее к задаче расширения изометрического оператора с помощью преобразования Кэли. При этом существенную роль играет теория дефектных подпространств.
Пусть Л — произвольное невещественное число. Через 9Яд обозначим область значений оператора А — XI:
9Яд(А) = Ran (А — XI) или ШТд(А) = (А — XI) Dom А.
Ортогональное дополнение к области значений оператора А — XI называется дефектным подпространством оператора А и обозначается *Лд(А):
91д(А) =55ЄЯКд(А).
В дальнейшем, если известно о каком операторе идет речь, будем обозначать их просто 9Лд и 9?д.
Размерность дефектного подпространства 9їд одинакова для всех Л, принадлежащих нижней полуплоскости С_ или верхней полуплоскости С+ и называется дефектным числом оператора в данной полуплоскости. Упорядоченная пара (dimOt-,-, dimOT,) называется индексом дефекта оператора (или просто дефектными числами). Дефектные подпространства 9їд и 9їд являются собственными подпространствами оператора А* (или отношения А*, если оператор неплотно задан), отвечающими собственным значениям Л и Л. Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа. У максимального симметрического оператора, не имеющего симметрических расширений в данном пространстве, одно из дефектных чисел равно нулю.
Замкнутый симметрический оператор обладает самосопряженными расширениями в данном пространстве тогда и только и тогда, когда его дефектные числа равны. Для произвольных дефектных чисел, как показано М. А. Наймарком [27] для плотно заданного оператора и М. А. Крас-
носельским [17] в общем случае, оператор обладает самосопряженными расширениями с выходом из данного пространства.
Комплексное число А называется точкой регулярного типа замкнутого оператора Л, если оператор (Л - А/)-1 существует и ограничен. Если при этом Е)от(Л — А/)“1 = то А называется регулярной точкой. Множество всех точек регулярного типа оператора А называют полем регулярности. Будем обозначать его А (А). Для симметрического опе,-ратора А (А) Э С+ и С_. Множество всех регулярных точек образует резольвентное множество р(А) оператора А. Ясно, что резольвентное множество есть часть поля регулярности (р(А) С А(Л)). Дополнение резольвентного множества до всей комплексной плоскости называется спектром оператора и обозначается <т(А): а (Л) = С \ р(А). В дальнейшем, если не указано о каком операторе идет речь, поле регулярности оператора и его резольвентное множество будем обозначать просто А и Р•
Симметрический оператор Л называется регулярным, если А = С. Очевидно, что для этого достаточно, чтобы Я С А. В случае максимального симметрического несамосопряженного оператора резольвентное множество р совпадает с одной из полуплоскостей (С+ или С_). В случае самосопряженного оператора р Э С+ и С_ .
Операторнозначная функция (Л —А/)-1 (А Є А), называется резольвентой оператора Л и обозначается Я(А).
Одним из основных результатов спектральной теории самосопряженных операторов является теорема о спектральном разложении, кото-рая описывает это разложение в терминах так называемого разложения единицы.
Ортогональным разложением единицы называется операторнозначная функция Е(і) (і Є К), значениями которой являются ортопроекторы
-6 -
в 9), обладающая следующими свойствами:
1) E(ti)E(h) = E(t) (t = min{tbi2});
2) E{t - 0) = E(t);
3) E(-oo) = 0, E(+oo) = I (см., например, [*2]).
Ортогональное разложение E(t) однозначно определяет самосопряженный оператор А, который определяется по формуле
ос-
.4/ = / tdE(t)f
—оо
и имеет область определения
оо
Dom А = {/ е iз| J t2d{E(t)f,f) < оо}.
—оо
Все интегралы здесь и в дальнейшем понимаются в смысле сильной сходимости.
Обобщенным разложением единицы называется всякое однопараметрическое семейство операторов E(t), удовлетворяющих условиям:
1) при t'2 > t\ разность Efa) — E(t\) является ограниченным положительным оператором;
2) E(t - 0) = E(t);
3) E(-oo) = 0, Е(+ос) = I (см., например, [2]).
М. А. Наймарком [28] установлено, что операторнозначная функция E(t) (t £ R), является обобщенным разложением единицы в пространстве 9) тогда и только тогда, когда она допускает представление вида E{t) = PE(t)|я, где E(t) — ортогональное разложение единицы в более широком пространстве Ъ Э 9), Р — ортопроектор в на 9}.
Пусть А — самосопряженное расширение оператора А, действующее в пространстве 9) Э 9). Пусть E(t) (£ € R) — ортогональное разложение единицы, отвечающее оператору А. Обобщенной спектральной функцией оператора А (или просто спектральной функцией), опре-
- Київ+380960830922