- 2 -ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения ................................................ 4
Введение ................................................... 8
Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ДИСКРЕТНЫХ МЕР .. 22 §1.1. Пространства функций скачков и дискретных мер .. 22 §1.2. Линейные операторы в пространстве функцій скачков
1.2.1. Общий вид линейных ограниченных операторов
в пространстве функций скачков .................. 26
1.2.2. Условия полной непрерывности операторов в пространстве функций скачков ............................ 28
1.2.3. Интегральные операторы в пространствах абсолютно непрерывных функций и функций скачков, порожденные одним и тем же ядром ......................... 36
§ 1.3. Определение оператора внутренней суперпозиции
Б в пространстве дискретных мер ................42
§ 1.4. Линейное функциональное уравнение бх
1.4.1. Условия действия оператора внутренней суперпозиции 5 в пространстве дискретных мер ..53
1.4.2. Уравнение Эх * Ї с замкнутым плотно определенным оператором ...................................59
§1.5. Условия однозначной разрешимости функциональных уравнений с оператором внутренней суперпозиции
1.5Л. Нильпотентность оператора внутренней
суперпозиции .................................. 73
1.5.2. Условия обратимости и оценки спектрального радиуса оператора внутренней суперпозиции ... 77
§ 1.6. Компактность оператора внутренней суперпозиции
Ї.6.Ї. Койпактность оператора внутренней суперпозиции в пространстве диеіфетньк мер ............84
- з -
1.6.2. Компактность оператора внутренней суперпозиции в пространстве функций скачков .......... 88
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ШЩЙСЕАЛШО-
ДЖФЕРШЩЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ......................92
§2.1. Понятие линейного импульсного функциональнодифференциального уравнения ........................... 92
§ 2.2. Индекс линейного импульсного функционально-
дифференциального уравнения .................... 97
§ 2.3. Разрешимость линейных импульсных функциональнодифференциальных уравнений
2.3.1. Общий случай .................................... 102
2.3.2. Разрешимость уравнений с последействием .... 106 § 2.4. Представление решения линейного импульсного
функционально-дифференциального уравнения
2.4.1. Общая теорема '..................................112
2.4.2. Представление решения уравнения с последействием ..................................... 113
2.4.3. Связь представлений решений функциональнодифференциальных уравнений с импульсными воздействиями и без импульсных воздействий .... 117
§ 2.5. Непрерывная зависимость решений линейных импульсных функционально-дифференциальных уравнений от параметров
2.5.1. Общие теореш .................................. 127
2.5.2. Уравнения, разрешенные относительно производной ......................................... 131
2.5.3. Уравнения нейтрального.типа .................. 132
§ 2.6, 0 функционально-дифференциальных уравнениях,
возмущенных разрывными случайными процессами .. 139 Литература ............................................. 143
- 4 -
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ft - пространство fl -мерных векторов х - cot fa,...,
tl*fo
с нормой тах
Ы1*п
Я - пространство п - п -матриц с нормой I •А , со-
гласованной с нормой в Я ;
Л, - у -» элемент матрицы Л ’ (Лу )у.1 ;
с1е1 Л - определитель матрицы Л ;
Л - матрица, обратная к матрице Л ;
^йпк Л - ранг матрицы Л ;
т
- символ транспонирования; т(И) - мера Лебега множества И ;
^>1 - 6 -алгебра измеримых подмножеств отрезка 1й,Ь];
И - замыкание множества U ;
об И - множество элементов об li={xx\xeli},X еЛ 5
СО V - выпуклая оболочка множества V ;
СОЛ& U - мощность множества U ;
dij - символ Кронекера; О ,L *j , Оцт i ;
£ - единичная п. * п -матрица;
6i - I -й столбец единичной матрицы: eL = cot f O^jj;
w/ - множество натуральных чисел;
Eflt X - целая часть числа X ;
JCy. - функция Хевисайда: jCx(t) » 0 , если £ * Г ,
(t) = 1 , если t > V ; г/Сц - характеристическая функция множества U
Пусть Т - нормированное пространство функций £ '• [й,5]--Н*. f • | - норма в пространстве Т ;
ЁуС0,i) - единичный шар в Т : BT(0J)
- 5 -
ЛІ (Ту - пространство /г*п -матричнозначных функций, каждый столбец которых принадлежит Т ;
Т * “ пространство, сопряженное к пространству Т"* ;
<Ф,ч> - значение функционала Ф на элементе V *
0 п
С - пространство суммируемых последовательностей
до ”9
нормой ;
1 у - тождественный оператор в пространстве Т* .
Цусть %л - линейный оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство У
ИЛ[Х у] - норма оператора Л ;
*Е)(Л,Х) - область определения оператора Л ;
В, (Л) - множество значений оператора Л ;
Кег(Л,Ь - ядро оператора Л ;
СІІШ У - размерность линейного многообразия X ; СОСІІШ У - коразмерность линейного многообразия У ; П(Л) - размерность дцра оператора Л: П(Л>£ІІтІІ&($)\.); І(А) - дефект оператора Л: СІ(Л) * (ІІШ Кег (Л*,У*); ті Л - индекс оператора Л: іпсі Лшп(Л) -сі(Л);
Л - оператор, сопряженный к оператору Л ;
Л - оператор, обратный к оператору Л ;
Л - оператор, представляющий собой композицию к
операторов Л ;
^(Л,Х) - спектральный радиус оператора Л , действую-
щего в пространстве X ;
X® У - прямая сумма пространств X И У ;
ТТ&Т^Х - вариация функции X на отрезке (С,СІ] , иногда
£
будем обозначать ІГСП, X * 1ГО,їа X *
Будем пользоваться следующими обозначениями пространств
6
функций X : [&,$} —*'• Я П :
/ ^
- пространство суммируемых с р -й степенью функ-г 5 X *
ций, (15}Р, ; Л7*'/.” ;
<2^Л й . . п
£/р - пространство таких функций, что X * 1*р *
Ш^1х(юЬШ^л > £)л~£>*;
В л ^ ^
- пространство таких ограниченных функций, что
х<Ь-0 %
3 - пространство измеримых ограниченных функций,
1хЯвп * 1x1/Г т ^ 1X11)1 ;
пространство измеримых ограниченных в существенном функций, ИХ§,п - игасзир $Х&)$ ;
$«ГМ7
С - пространство непрерывных санкций, //Д^л |*Г®(;
лл -
ВТ-
пространство функций ограниченной вариации, ШВу*~ $Х(й)! + 1Га7*Х ;
5р; - пространство функций скачков: 5/р “ =1
оо р л
X и1/1<^,х^Й,т1гФЛ £*£Чесли г*
.аз; - такое пространство, что .©5|Г-л;®55*{г|(Зх.
е Х>р* Зуе5Рр):г^у} &у+Щ5ра;$)5л-1)5";
- функционал на пространстве Г* : ,£>»Г?Ь«£,
если Г е С , ТсЫ,б1,Х « ;
X)/? - подпространство (С ) , состоящее из дискретных
мер:
- 7 -
е«о
XI + Ту , если 1*^
Оо
ж - пространство сумм функционалов вида §в хьЬг.
I л . *
таких, что {^.иЛР} ,
1*1 •СУ1/> с.-*
^ Р^гоо ; ^
«©Я«*- пространство суш функционалов вида
таких, что 5Ш Й ~ 5Кр Ц^Ц;
- /,; ® Шр-тз^сп'.зэем;) у-м>,
^^1§л = .^Р*500 11^ЬП~{-$1;
ОР Р г
- оператор обобщенного дифференцирования, действую-щий из пространства в ♦ Ра: -£,
если ЛГ € £)р » Ъ(ХуСТ) - лЬт«Л ”, г е ;
у - оператор обобщенного интегрирования, действующий из и: в £в; и обратный к оператору Р :
г е
, если хе 4»уц>^/г'
а
ссе Л” , г е ;
Ё - обычная производная функции 2 е«©<5р : если
Е~а:*у,х* &р,у е 5/^Г , то 2 ~ X * /-> р .
Интеграл I и9 понимается в смысле Лебега-Стилтье-б
са. Пусть у=^2оС15г.е «МГ . Будем использовать
£-1 4 *
следующее обозначение
О оо
а
- 8 -
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные системы, решением которых являются разрывные функции, описывают различные задачи физики, техники, биологии и экономики ( примеры см. в монографиях [П8, 135] )♦ Теории таких еистем посвящено большое количество работ, причем необходимо отметить рост числа публикаций в последние годы.
Начало развития теории импульсных систем, по-видимому, нужно отнести к 50-м годам. В конце 50-х - начале 60-х годов появились работы Я.КурцвеЙля [83,131,132] , В.Д.Мильмана, А.Д.Мышкиса [9l] , Е.А.Барбалгина, С.Т.Завалищина [22,60,
61 ] , положившие начало целым направлениям в развитии теории импульсных систем.
В настоящее время активно развивается теория обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Описание таких уравнений появилось в статье Б.Д.Мильмана, А.Д.Мышкиса [91]. Дальнейшее развитие теория подучила в работах А.Д.Мышкиса, А.М.Самойленко, H.A. Перестюка [94,103, 104] . Наиболее полное изложение результатов дано в монографии [1Сб]. Из последних работ отметим [29] .
В линейном случае дифференциальное уравнение с импульсным воздействием записывается в ввде Ат
J(t)X(t)+ fcb, t*rlr (o.D
ЛХI = BLX + cCi , i-Щ. (0.2)
l£"t,
Здесь решение x(t) терпит разрывы в фиксированные моменты времени t = Ti, I - 1,к .
Близким объектом к дифференциальным уравнениям с
- 9 -
импульсным воздействием (0.1),(0.2) являются дифференциальные уравнения с мегооверхностньши условиями ( intezfaCG COnditiOTlS ) [137,14l], в этой задаче условия (0.2) заменяются на условия
MiXiZ^D) + + О У = Ci, (0.3)
а также неклассическая задача Валле-Пуссена, изучаемая в работах Ю*В.Покорного и его учеников [96,98] ♦
Другое направление теории импульсных систем - обобщенные дифференциальные уравнения d dlff&ZSft*
tiat eouations )
■jj--F(t.X) (0.4)
восходит к работам Я.Курцвейля [82,131,132]. Идеи Курцвейля получили развитие в исследованиях [136,138] чехословацких математиков. Решением уравнения (0.4) называется [13б] функция X , удовлетворяющая равенству
V
x<$ty -x(st)+ J DF (Х(т)Л)
для любых Si,Sge[(l,S], Теория обобщенных дифференциальных уравнений существенно использует понятие и свойства обобщенного интеграла Перрона [13б]. Решением обобщенного дифференциального уравнения, как правило, оказывается функция ограниченной вариации. Из работ советских математиков в этом направлении отметим [21] .
Начало изучения импульсных систем с помощью аппарата обобщенных функций связано с работами Е.А.Барбашина и С.Т.Завалищина [22,60,61]. Определенный итог в развитии этого направления подвела известная монография А.Халаная, Д.Векслера [118].
В работах С.Т.Завалищина 70-х - 80-х гг. исследуется
10
линейное дифференциальное или разностное уравнение
Xx = f, (0.5)
где f - произвольная обобщенная функция. При этом решение уравнения (0.5) также может быть обобщенной функцией произвольного порядка сингулярности. Изучение такого уравнения потребовало существенного развития аппарата обобщенных функций и связанных с ними операторов [60,61,67]. В работах [62,63, 67] проведена классификация таких уравнений, получены условия разрешимости. Большое внимание уделяется вопросам, связанным с представлением решения [66-68] .
Дифференциальному уравнению в мерах ( fil BCLSU %& iiîtexentiat équation )
Dx = F(t,x) * G(t,x)Du (о.б)
посвящены, например, работы [123,124,134,135] . Здесь Dx и Du - меры, поровдаеше функциями ограниченной вариации X и U • Уравнение (0.6) изучается с помощью сведения к эквивалентному уравнению
£ t
Xd) - xdj* J F(s,x<s)) ds + JG(s,x(s» ducs)
t, К
в пространстве функций ограниченной вариации.
Близкий к (0.6) объект исследуется свердловскими математиками [б4,65,67,69,70,76,77,108,109] в связи с изучением процессов, порождаемых в нелинейных динамических системах законами управления, действующими по принципу обратной связи и вырабатывающими сосредоточенные импульсы. Так, в [108] в качестве решения системы
Dx - Fd,X) + G(trX)bu ,X(Û)-X° (0.7)
предлагается рассматривать предел последовательности решений задачи (0.7), индуцированной произвольной последовательностью
- II -
абсолютно непрерывных функций Щ (Ь), слабо сходящейся к функции .
Работы по изучению импульсных систем для уравнений с отклоняющимся аргументом появились уже в 60-е годы [118,62] . Необходимость исследования импульсных систем для функционально-дифференциальных уравнений отмечалась на 1У Всесоюзной конференции по теории и приложениям дифференциальных уравнений е отклоняющимся аргументом [90]. При этом было подчеркнуто, что содержательная теория таких систем почти не развивалась.
В последнее время отдельные вопросы теории функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием изучались в работах С.Д.Борисенко [28] (устойчивость) и болгарских математиков [106,121] (обоснование метода частичного усреднения). Оператор внутренней суперпозиции, занимающий одно из центральных мест в теории функционально-дифференциальных уравнений [4,6,7,58], в пространстве функций ограниченной вариации исследован А.Г.Ляминым [85-8?] .
Импульсные воздействия характерны для математических моделей задач биологии и иммунологии. Так, при изучении модели заболевания с малым поражением органа [90] роль импульсного воздействия играет попадание в организм вирусов (бактерий), приводящее к началу развития заболевания. Введение лекарства в некоторые моменты времени также естественно рассматривать как импульсное воздействие [122]. В работах [125, 143] изучается модель распространения заболевания растений, где система время от времени испытывает импульсные воздействия, заключающиеся в удалении заболевших растений. Отметим, что если при изучении многих физических явлений, не имеющих космических масштабов, запаздыванием удается пренебречь, то
12
в задачах иммунологии эго не так [90]. Это связано с тем, что при многих заболеваниях инкубационный период сравним с продолжительностью заболевания [90], например, может достигать нескольких лет [125], введенное лекарство не вызывает немедленного действия, а при возникновении эпидемий заболевший становится заразным за некоторое время до появления внешних признаков заболевания [12®,128] .
В экономических задачах роль импульсного воздействия могут играть единовременные вложения в отрасль, а также внезапное отвлечение средств, связанное с непредвиденными событиями (стихийное бедствие, забастовка). Наличие запаздывания в моделях экономических систем было отмечено еде в 1968 г. Леонтьевым при исследовании структуры американской экономики [84] .
Большой интерес к импульсным системам связан также с особым значением импульсных управлений различными объектами [64,65] . Обобщенные дифференциальные уравнения (обобщенные процессы) позволяют с единой точки зрения рассматривать как дифференциальные, так и разностные уравнения [21]. В виде импульсной системы можно записать краевые задачи на графе [99], а таете некоторые дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами. Из работ, посвященных таким уравнениям, отметим [48,49]. В статье [48] , например, показана связь между такими, казалось бы, не связанными друг с другом объектами, как задача Валле-Пуссена и дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами. При изучении уравнений с обобщенными коэффициентами возникает проблема определения произведения обобщенной функции на разрывную [108,109] .
При рассмотрении некоторых задач, например, возникающих в теории вероятностей, требование непрерывности решений
- ІЗ
функциональных и функционально-дифференциальных уравнений не является естественным [50,51] .
Необходимость развития теории импульсных систем также связана с потребностями теории функционально-дифференциальных уравнений. Так, в классе функций, имеющих разрыв в фиксированной точке, могут быть разрешимы функционально-дифференциальные уравнения, не разрешимые в пространстве абсолютно непрерывных функций [12]. Теория импульсных систем также помогает строить уравнения, которым удовлетворяет функция Кипи пнеиыпульсного" уравнения.
Вопросам общей теории линейных импульсных систем для функционально-дифференциальных уравнений посвящена диссертация A.B.Анохина [із] и работы [9,14]. В этих исследованиях импульсной системой называется система уравнений
(Xx)(t) - fct), t е Ca,6], (©.в)
tbX =Хі , і'їм, (0.9)
где X - линейный ограниченный оператор, действующий из пространства £>S?(k> кусочно абсолютно непрерывных функций, имеющих разрывы в конечном числе фиксированных точек
, . . . , tk , в ; Ні : JDSp(k)—- Я - ли-
нейные ограниченные вектор-функционалы, составляющие линейно независящую свстецу. Решением импульсной системы (0.8),(0.9) называется Xе JDS^C/r), удовлетворяющая (0.8) при почти всех telCL,6l и условиям (0.9). Импульсная система (0.8), (0.9) является обобщением дифференциальных уравнений е импульсным воздействием (0.1),(0.2) і обыкновенное дифференциальное уравнение (0.1) заменяется на функционально-дифференциальное (0.8), а условия (0.9) дают информацию для определения AX(.ti) скачка решения.
- Київ+380960830922