ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 3
ГЛАВА I* РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫЧЕТОВ РЕШЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ .................................................. 13
§1.1. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче
для уравнения колебаний струны .............. 13
§1„2. Формула разложения в случае спектральной задачи,соответствующей смешанной задаче
для уравнения стержня ................... 32
§1.3. Изучение спектральной задачи для уравнения
4-го порядка с переменными коэффициентами.. 62 ГЛАВА П. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ ...............................................69
§2.1. Решение смешанных задач для уравнения колебаний струны .........................................69
§2.2. Решение смешанных задач для уравнения колебания стержня................................................................................ 83
§2.3. Решение смешанных задач колебаний прямоугольной мембраны..........................................102
§2.4. Решение одной задачи колебаний прямоугольной пластинки ...........................112
ЛИТЕРАТУРА ......................................................130
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
В связи с многочисленными линейными задачами уравнений в частных производных , не поддающихся по той или другой причине решению известным классическим методом Фурье» в работах М.Л.Расулова [I - б] был разработан вычетный метод решения широких классов задач: I) одномерных смешанных задач для системы уравнений с разделяющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими точки разрыва первого рода, при граничных условиях, не содержащих производных по времени;
2) одномерных смешанных задач для системы уравнений с неразделя-ющимися переменными с коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной, имеющими разрывы первого рода, при граничных условиях, не содержащих только производной по времени старшего порядка;
3) многомерные смешанные задачи для уравнений с разделяющимися переменными.
В цитированных выше работах получены вычетные представления решений классов задач 1)-3) в виде полных интегральных вычетов мероморфных функций, конструируемых с помощью решений соответствующих спектральных задач и задач Коши с комплексным параметром. Следует подчеркнуть, что наподобие методу Фурье, все эти представления получены с помощью формул разложения функций пространственных переменных в ряды полных интегральных вычетов решений спектральных задач, на чем базируется вычетный метод.
При решении задач класса I) вспомогательным средством является формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина [ 7 - 10] для случая спектральной задачи для системы уравнений с разрывными коэффициентами.
При решении задач класса 2) формулы разложения типа Биркгофа--Тамаркина оказались недостаточными. В связи с этим в работах
- 4 -
[1-51 М.Л .Расулова впервые установлены так называемые фор-
мулы кратных разложений.
Что касается задач класса 3) , то для получения вычетного представления их решений необходима была формула разложения типа Биркгофа-Тамаркина для случая многомерных спектральных задач, что сделано в работе [б*] .
Таким образом, основой вычетного метода в каждом отдельном случае задач 1)-3) является спектральная теория для соответствующей спектральной задачи, для которых установлены легко проверяемые условия (регулярности), при выполнении которых доказана справедливость необходимой формулы разложения. Однако в силу достаточной общности рассматриваемых задач проверка выполнения упомянутых условий сопровождается соответствующими трудностями,обусловленными в первую очередь общностью рассматриваемых задач.
В связи с этим применение вычетного метода к задачам математической физики, эффективное решение которых возможно только вычет-ным методом, потребовало прежде всего упрощения условий (регулярности) за счэт сужения класса рассматриваемых задач, при выполнении которых справедлива соответствующая формула разложения.
В настоящей работе для смешанных задач колебаний струны,стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки найдены легко проверяемые условия, при выполнении которых доказана справедливость соответствующих формул разложения, на базе которых в главе П получены вычетные представления решений соответствующих смешанных задач при линейных граничных условиях общего вида.
Таким образом, выделены все разрешимые линейные смешанные задачи для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки.
Работа состоит из двух глав.
Глава I посвящена вопросу разложения функций в ряды полных
- 5 -
интегральных вычетов решений спектральных задач (IЛ Л) ,(1,1.2); (І.2Л) ,(1.2.2) ;(І.ЗЛ) ,(1.3.2),соответствующих задачам (2.1 Л)-(2.1.3) ,(2.2.1)-(2.2.3) ,(2.3.1)-(2.3.4) ,(2.4Л)-(2.4.4).
В §1.1 рассматривается спектральная задача нахождения решения уравнения
сСч
сі з?
- Яу = к (*х.) ,
(I)
при граничных условиях
^(у)=Х[^„кУСКС°') + Р„К Ля] = 0 С**1»2). (2)
где ) Р -постоянные числа.
Составляются многочлены по ^ первой степени, связанные с коэффициентами граничных условий (2):
где £1 = •< , = ■
Предполагается выполнение условия:
^1. Определители
А„М
А„М 6„и)
V»
К М К, ы
представляют собой многочлены одинаковой степени , а все
остальные определители второго порядка, составленные из столбцов матрицы
А,,ш М» 4,1» \м
АД» А„(ч ь„(» е>„и,
- 6 -
суть многочлены степеней, не больших X
В § 1.1 доказывается , что при выполнении условия ^ спектральная задача (I), (2) имеет бесконечное множество собственных значений А , пронумерованных в порядке возрас-
тания их модулей и имеющих асимптотические представления (1.1.28) вне некоторой £ -окрестности собственных значений ^N5 5 функция Грина 0(эсД>А) спектральной задачи (I) , (2) имеет асимптотическую оценку
Ос«дд)= о (А)
при больших X , и любую непрерывно-дифференцируемую на [0,1] функцию кСх) можно разложить в ряд полного интегрального вычета по формуле (1.1.48) (см. теоремы I -3 главы I).
Аналогичные результаты получены в §§1.2,1.3 для спектральных задач (1.2.1),(1.2.2) и (1.3.1) ,(1.3.2) (см.теоремы 4-8).
В §1.2 рассматривается спектральная задача:
X? ~ ^ ~ , (3)
при граничных условиях
51 К* Ло + ^ *£К о] ' О N = ) , (4)
где о^к -постоянные числа.
Составляются многочлены
г=1 у
где , £3.-1 ^ = - V. .
Предполагается выполнение условия ;
Ф,.Определители
- 7 -
V*) Ь1аМ Алг(х) А1Ч (>)
ЬЧ11» ВЧ2С» А„М А,ЧШ
В*Ы Ап(» А13(Х) В,1Ч<»
ЬЧ100 Ачгш АЧЗ(Х) ЬЧЧ(Л
А.М Ь,гС>Л ЬпОО А (РЗ
ДА
А^Ш V» ЬпО0 Амчи)
А*Ы А*Ы БЧМ V»
А„Ю АН(Я Е>пм Бчч(л)
суть многочлены одинаковой степени # , а все определители
4-го порядка., составленные из столбцов матрицы
А„М • • А,чС^) Ьм(х) . . В„0)
чА„(». . Ачч(х) ■ • В,ч(я)
суть многочлены степеней, не больших ^
В § 1.2 доказано, что при выполнении условия ^ задача (3), (4) имеет бесконечное множество собственных
значений = пронумерованных в порядке возрастания их
модулей и допускающих асимптотические представления (1.2.38) в каждом из секторов , образованных биссектрисами координат-
ных углов X -плоскости. Вне -окрестности собственных значений функция Грина (т(х,3,Л) задачи (3) , (4) имеет
асимптотическую оценку С*0с,3,Х) =0(>з) • Любая непрерывно-
дифференцируемая функция ^(х) может быть разложена в ряд полного интегрального вычета:
- 8 -
при й-о^,г
эс^Со/О, (5) при 5-3
где ОС^З,*) -функция Грина задачи (3), (4), с* простой замкнутый контур, окружающий только один полюс подынтегральной функции, и сумма по -) распространена на все полюсы (см.теоремы 4-6).
Совершенно такие же результаты получены в §1.3 для спектральной задачи для уравнения 4-го порядка с переменными коэффициента-ми ^ 1- 21 ^С-эО - к у -\гМ при граничных условиях вида
лХ Сл^с
(4) , где РКС*/) -непрерывны на И°ИЗ (см.теоремы 7,8).
Глава П посвящена получению вычетных представлений решений смешанных задач для уравнений струны, стержня, прямоугольной мембраны и прямоугольной пластинки при выполнении соответствующих условий ф, г<$2 главы I.
В § 2.1. рассматривается смешанная задача
--А + *<*,*> , (6)
Зг Зх 2
I *-•1
Зое
сс=о
= 0 0 = 1,2),
(7)
-1
4
Х^ф(*лЛ><*3 =
О
С, О | К (*0
к
(к =0,0
(8)
- 9 -
Доказано, что, если фк(.х) (к-о>О , -непрерывно-
дифференцируемы и если при выполнении условия (рл задача (7)- (8) имеет решение и.(х,4) , то оно представимо
формулой
1
-7
Г!!«
2Т&1 у ^ 0
(9)
где , О и сумма по V имеют те же смыслы, что и для спектральной задачи (1),(2), 2. -решение задачи
Коши
сЦ2
оо
(см.теорему 9).
В этом же параграфе по формуле (9) рассчитано решение частной задачи нахождения решения уравнения (6) при граничных условиях
и(0,1)*0 , и^(о,4) - (1,*)= О , { >0
и начальных условиях (8) ,характерной тем, что все собствен-
ные значения имеют вторую кратность, за исключением 1-0 которое является простым полюсом подынтегральной функции (9)
(см.формулу (2.1.48)).
В § 2.2 рассмотрена смешанная задача
2 V
3 ч Эи о,11
Э1-
(10)
К-4
3 и
-ь
*
д и
К-1
ог -о
* 9хк''
(И)
- 10 -
п*
= Я^Сос) (К = 0,0. (12)
Ьо
Доказано, что при выполнении условия § 1*2 , если задача (10)-( 12) для функций (ос) , ,непрерывно-дифференцируемых ПО Х€Со,1] при 1е1о,т] , имеет решение
и , то оно представимо формулой
* * С. о
V
(13)
где О С*. 5, Л) 1 Су и сумма по 1) имеют те не смыслы, что и для задачи (3),(4), 2 (-к, 3, Л ) -решение за-
дачи:
Ле ^
ск:
+ Л 2 = ^(1, Л, Я (о) -Фк(1) (к = о,1) .
(см.теорему 10).
В частности, для задачи (10) при граничных условиях
(и) (к*0 (к*1)
и(о,и = о . и Со, 1) - и а^) = о С«=о,г)
X ' X
и начальных условиях (12) , характерной тем, что все соб-
ственные значения соответствующей спектральной задачи имеют вторую кратность, за исключением \~о , решение и. рас-
считано по формуле (13) (см.формулу (2.2.58)).
В § 2.3 рассматривается смешанная задача
-2. г о
3 ос Э и э и
П2 Зхг 9 у
7 ' (14)
- II -
К-1
І
1
К-і
о(
З їх * Зх""
&
ОС.-О
К-і
З а
™ 3=сКИ
0С-О-
= 0 (>> = 1,2),
К-1
Э а
Ук
3*і
к-1
з*-1
З а
■*к о К-1
Зу
У--Є
1К о ц
2*к
вФкС*,У) 0 = 0,1),
1 = 0
(15)
(16)
к решению которой применяется вычетный метод разделения переменных .
Доказано, что при выполнении условия ^ § 1.1 для каждой
из задач(2.3.5),(2.3.6) и (2.3.7),(2.3.8) при условии 1° §2.3, если задача (14)-(16) имеет решение, то оно представимо в
виде
з а
/ V £ о * 1Г
У %
й к
(17)
где (г (* > 3 > 2 ) ♦ &л(.у,4, Р) -функции Грина соответствен-
но спектральных задач(2.3.5),(2.3.6) и (2.3.7),(2.3.8), С -простой замкнутый контур, окружающий только один полюс функции 0(х,з,А) , Ск -простой замкнутый контур, окружающий ТОЛЬКО ОДИН ПОЛЮС ^ функции у*} * суммы по ^
и к распространены на все полюсы этих функций (см.теорему II ).
Вычетныы методом разделения переменных построено явное решение задачи (2.3.1) при граничных условиях
- Київ+380960830922