Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства

Работу посвящаю 80-летию Александра Петровича Н О Р Д Е НА
-г -
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ ............................................. 4
ГЛАВА I. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, СОГЛАСОВАННЫЕ СО СТРУКТУ -РОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ I. История вопроса и постановка задачи .......... 13
§ 2. Аффинные связности, допускающие подгруппы
{ 2/г;Щ } , {ЫК и* Х3; Щ} ................... 20
§ 3. Аффинные связности, допускающие подгруппы
{им> /24; 28
§4. Аффинные связности, допускающие подгруппы
/ 26; , {ЦиЪзХь+Як&Ж 35
§ 5. Аффинные связности, допускающие подгруппы
/%.; /4;2/л 2/*} , /26; ^ ;
<*,} ^2
§ б. Аффинные связности, допускающие подгруппу
\7&гыЩ ........................................ 49
§ 7. Аффинные связности, допускающие подгруппу
/24; 24; 26} .................................. 56
§ 8. Аффинные связности, допускающие подгруппу
/24; 24; 2/?} ................................ 61
ГЛАВА П. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ, СОГЛАСО -ВАННЫХ СО СТРУКТУРОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАН -СТВА
§ I. История вопроса и постановка задачи ......... 68
§ 2. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппы/2/*; 26; 2/»}.,/2/»; 24} 72
§3. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппы/24; 2/^2/е-3/г+2/,;#,-2Ь 24? 75
- 3 -
стр.
§ 4. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы {24»; Us;И*} 77
§ 5. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы / Их •» И&; Hs;Hm} > {Их; Ил; И-s; 21*}
{Их; Ил; Иг; 26,; Ц*}............................ 78
§ 6. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппу / Их; 2/Л; 21*}......................... 79
§ 7. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппу { ИЛ;И/' 2lf}........................... 81
§ 8. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппу {Их; 2Л,; 22)}.......................... 82
§ 9. Проектирование геодезических аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиалъного пространства ................................................ 87
§ 10. О специальных проективно-евклидовых связностях
биаксиалъного пространства ...................... 100
Ш. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................... 112
Ж ТЕРАТУРА ................................................. 113
»
- 4- -
ВВЕДЕНИЕ
Актуальноетъ теш. В современных дифференциально-геометри -ческих исследованиях теория расслоенных пространств и связностей в расслоенных пространствах занимают одно из главных мест. Этими вопросами занимались и занимаются отечественные и зарубежные геометры. Теория связностей и параллельного перенесения впервые появляются в работах Риччи и Леви-Чивита. Дальнейшее развитие теория связностей получила в работах Э.Картана, И.Схоутена, В.В .Вагнера, Ш.Эресмана, Г.Ф.Лаптева и других геометров. Обзор работ по теории связностей за последние годы приведен в работе Б.Н.Шапуко-ва [193 •
Биаксиалъная геометрия предоставляет большие возможности для изучения специальных связностей. Само Йиаксиальное пространство является простейшим примером нетривиального расслоенного пространства и потому здесь возникают задачи проектирования аффинных связностей на базу. В последние годы стали также изучаться различные однородные пространства, связанные с биаксиальной группой (см. [8] ,[9]).
В настоящей работе изучаются аффинные связности без круче -ния в биаксиальноы пространстве эллиптического типа Бз , допускающие преобразования подгрупп группы биаксиальных движений в качестве аффинных коллинеаций. Мы называем их связностями, сог -ласованными со структурой биаксиального пространства.
Конгруэнция особых прямых пространства Бз является вещественной моделью Пг комплексной проективной прямой $±(L) и позволяет рассматривать Бз как расслоенное пространство Бз (Пгрс) Для каждой из рассматриваемых подгрупп в расслоении Бз строится естественно возникающая инфинитезимальная связность (х .
- 5 -
Также изучается вопрос о проектируемости найденных аффинных связностей на базуПх с помощью инфинитезимальных связностей (г и о проектируемости геодезических линий аффинных связностей Бъ(Пг/л) с помощью особых прямых пространства Бз . В расслоенном пространстве БаГп./ГС) используемые инфинитезиыальные связности (? (соответствующие тем или иным подгруппам) дают возможность выделить на расслоении Бз класс так называемых & -проек -тируемых аффинных связностей и тензорных полей. При этом их 5 -
проекции, соответственно, определяют аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пл .
Понятия проектируемых аффинных связностей и тензорных полей в расслоении с одномерными слоями впервые введены в работах Яно и Исикара [30,31] . Для произвольных расслоений при наличии инфини -тезимальной связнооти & эта теория обобщена К.М.Егиазаряном М, [5]. В данной работе теория проектирования аффинных связностей и тензорных полей применена к трехмерному расслоенному пространству БзСП,,*) и> тем самым, найдено одно из возможных приложений этой теории.
Цель работы. Целью настоящей работы является:
1) построить аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве БзСПа РС) согласованные со структурой этого про -странства и выяснить их геометрический смысл;
2) изучить вопрос о проектируемости этих связностей на базу с помощью инфинитезимальных связностей & ;
3) выделить специальные проективно-евклидовы связности Бз(П^"Л) из найденных аффинных связностей, согласованных со
структурой этого пространства и выяснить их геометрический смысл.
Научная новизна. Построены аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз(Пг,ж) , допускающие различные
- б -
подгруппы движений пространства Бз в качестве аффинных коллине-аций. Изучены свойства этих аффинных связностей и выяснен их геометрический смысл. Применена теория £ -проектируемости аффинной связности и тензорного поля, введенные Яно, Исихара и Егиазаря -ном. Выделен класс (? -проектируемых аффинных связностей и тен -зорных полей на расслоении Б3 , которые, будучи спроектированы, определяют, соответственно, аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Па • Среди проектируемых аффинных связностей в расслоении Бз выделен класс аффинных связностей, геодезические которых проектируются, соответственно, на геодезические спроектированной аффинной связности базы П* . Выделены специальные проективно-евклидовы связности Бз из найденных аффинных связностей, согласованных со структурой этого пространства. Изу -чен вопрос о проектируемости выделенных специальных проективно -евклидовых связностей и их геодезических линий. Все эти результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Материал, содержащийся в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по дифференциальной и проективной геометрии в Тадж.гос. университете им.В.И.Ленина, Ташкентском гос.университете им. В.И. Ленина, Казанском гос.университете им .В.И.Ульянова-Ленина, Душанбинском и Пензенском пединститутах.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на годо -вых итоговых научных конференциях Казанского университета в 1980 и 1984 годах, на заседаниях семинара кафедры геометрии Казанского университета (руководитель - проф. А.П.Норден), на семинаре ка -федры геометрии Пензенского пединститута (руководитель - проф.
И.П.Егоров), на У1 Прибалтийской геометрической конференции (г.Таллин, 1984г.).
- 7 -
Диссертация является самостоятельным научным исследованием автора.
Основные результаты диссертации отражены в девяти статьях и тезисах докладов научной конференции.
Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из двух глав и списка литературы. В первой глазе изучаются аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства эллиптического типа.
В § I даются основные необходимые понятия: I) определение биаксиального пространства эллиптического типа Бз ; 2) самосо -пряженные образы: сфероиды, бицилиндры, к.а.п., циклические комплексы и группы движений пространства Бз , впервые введенные А.П.Норденом; 3) делается обзор аналогичных исследований отече -ственных и зарубежных геометров; 4) далее сформулирована поста -новка задачи - нахождение аффинных связностей, допускающих пре -образования тех или иных подгрупп группы движений биаксиального пространства в качестве аффинных коллинеаций. Эти аффинные связности названы аффинными связностями, согласованными со структу -рой биаксиального пространства; 5) введены некоторые определения и обозначения для упрощения дальнейшей.записи.
В § 2 рассматриваются аффинные связности без кручения биаксиального пространства эллиптического типа, допускающие трех членную подгруппу{ц1; иг: «з} группы ‘Ц6 параллельных пере -носов и четырехчленную подгруппу { 2/4; 2/г; Из: 2/*} полной группы движений 'Зч этого пространства, переводящую в себя действи -тельный сфероид.*/
х/ Говоря о подгруппе группы движений пространства Бз » мы Указываем базис ее инфинитезимальных преобразований и считаем, что тем самым подгруппа задана.
- 8 -
Аффинные связности биаксиального пространства, допускающие эти подгруппы, зависят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Далее изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации, которые приведены в одиннадцати случаях для подгруппы {ТЛ\; Иг: ^зЗ и четырех случаях для подгруппыЫг: ИцИч} • Показывается, что базисные тензоры аффинной деформации имеют простой смысл с точки зрения биакси -альной геометрии.
В § 3 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу ^ 2Д; і*і-2/г}
группы ‘У 6 И четырехчленную подгруппу {Н.1,; Не + 2/4; Нз-Иг;К%} группы движений этого пространства, переводящую в себя мни -
мый сфероид. Аффинные связности, допускающие эти подгруппы, за -висят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Аналогично § I, изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации. Выясняется геометрический смысл этих аффинных связностей биаксиального пространства Б з .
В § 4 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу {Иг: И5; группы ‘Уб И четырехчленную подгруппу {цг; и*і Н^+ЛЫцН*} группы движений этого пространства. Показано, что аффинные
связности Бз , допускающие эти подгруппы, зависят, соответст -венно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных; выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и выяснен их геометрический смысл.
В § 5 изучаются аффинные связности биаксиального простран -ства, допускающие четырехчленную подгруппу { %; Иг: Не: И*} группы > четырехчленную подгруппу / 2/а; 2/г; И5 У 2/*} И ПЯ -тичленную подгруппу /2/*; Иг; 2/л; 2/4-; Ич) группы движений 41% этого пространства, переводящую в себя особую прямую. Эти аффин-