Закон больших чисел в банаховом пространстве

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................3
ГЛАВА I
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ...........17
§1. Тип ( р , I , ) и другие классы пространств .17
§2. Основные свойства пространств типа (р , ь , 24
§3. Характеризация типа ( р , ч , с^, неравенствами для сумм независимых ІВ -с.в...........................32
ГЛАВА II
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ............38
§1. Слабый закон больших чисел..........................38
§2. Закон больших чисел относительно квазинорм..........47
§3. Закон больших чисел для разнораспределенных
слагаемых...........................................60
ГЛАВА III
СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ..............76
§1. Скорость сходимости для одинаково распределенных
слагаемых...........................................76
§2. Скорость сходимости для разнораспределенных
слагаемых...........................................88
Литература
100
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
Одним из важнейших утверждений в теории вероятностей и, в частности, в теории вероятностных распределений в банаховых пространствах является закон больших чисел. Наряду с законом повторного логарифма и центральной предельной теоремой, закон больших чисел (з.б.ч.) в банаховых пространствах находит свое применение как в математической статистике так и в математической физике.
Первым утверждением такого рода является результат Я.Бернулли ^опубликованный в »Ars Conjectano^i " 1713 r.j и относится к последовательности независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события одинакова. Следующим отметим результат Ф.Хаусдорфа (1913,[75]j сближающий
з.б.ч. с другими предельными теоремами теории вероятностей в смысле нормировки: пусть Xi , Хг ,... - независимые случайные величины (с.в.) имеющие распределение Р{Х* = ±ф*/г, тогда
Р{ lim п'«Г ZLX; - о)- 1, (0.1)
1*1
для любого 0< р < Z .В случае р = 1 соотношение (O.l) доказал Э.Борель (1909, [49]]. Законченный вид этот результат получил в работе Марцинкевича и Зигмунда (l937, jjoojj. А именно соотношение (o.l) для независимых одинаково распределенных с. в. и некоторого 0 < р < Z выполняется тогда и только тогда когда конечен момент Е|Х/и ЕХ ± - 0 при 16 р < 2, . В случае р= 4 этот результат получен А.Н.Колмогоровым (1930,£эз]|.
Более слабым чем соотношение (o.l) является утверждение
Об этом соотношении и шла речь в выше упомянутой книге Я.Бернулли. В случае р = 4 А.Н.Колмогоровым (1929, [91] , [92]|, а в более общем случае В.Зеллером (1937,(б4^, доказано, что выражение (0.2] имеет место для независимых одинаково распределенных с.в. и некоторого 0 < р < 2, тогда и только тогда когда
1хт п. Р { |Х4 | > п'ЧР ] = О
п —Л, по /
и Л«/р
Um а * , при 4 6 р < 2. (о.з)
пн>°°
Необходимые и достаточные условия для (0.2] выраженные через характеристическую функцию с.в. X \ содержатся в работах [61] и [58].
Другим направлением исследования з.б.ч. можно считать нахождение условий сходимости к нулю нормированной суммы относительно метрик. Так например в монографии Ревеса [lI7j, наряду с выше упомянутами видами сходимости, исследуется сходимость в среднем, т.е. сходимость средних арифметических значений в пространстве L;> • Хорошо известно (см. например стр. 32 в , что вообще говоря сходимость в среднем несравнима со сходимостью с вероятностью единица. В этом смысле интересным является результат Пайка и Рута [пб!, утвервдающий, что соотношение (ол) выполняется тогда и только тогда когда имеет место равенство
lim Е 1 rC4l? ZL X; - 0 .
П-* ОО
Здесь уместно привести аналогичную характеризацию соотношения (0.2) полученную в работе £гт]. А именно, равенство (0.2] экви-
валентно таму, что
- 5 -
Ьгп шр ^РПгг'/РХХЛ>±}= О, (0.5)
П-*оо -£>0 I </““ *
т.е. имеем сходимость в, так называемом, »слабом 1_ р" пространстве.
Известно (см.[23] и [ю]^, что в случае разнораспредеденных с.в. необходимые и достаточные условия для соотношения (О.I] немогут быть выражены только через моментные условия. Нахождению необходимых и достаточных условий в этом случае посвящены работы С.В.Нагаева [ю] и А.И.Мартикайнена [7]. Хорошо известным достаточным условием для соотношения (ОЛ] при р = Л является сходимость ряда
£ Г1- Е|Х;Г 1 ’
для некоторого г > 4 и ЕХ;= 0 для всех 1 . Этот результат получен Ю.В.Прохоровым [22] , а в частных случаях А.Н.Колмо-горовым [93] (для ?= 4 ^ и Брунком [52] (для целых г] .
Следующим этапом в исследовании з.б.ч. является установление скорости сходимости, естественной мерой которого считается оценка скорости сходимости к нулю величины
Существуют и другие методы измерения скорости сходимости ( см. например работы [бо] , [94], [72], [бз] ,[2] , [18]) . Классическими в ■ этой области сейчас стали результаты Баума и Каца, а также Хейди и Рохатги:
Теорема 0.1 [4б] , [77]. Пусть О < р < 2 , 1 4 . Для после-
довательности независимых одинаково распределенных с.в. (ХДчы следующие утверждения эквивалентны:
1) 6т г.’ Р I IX. | > п*,р ] = О
П~*°° / \ и выполняется соотношение (0.3) ;
2) Ьт гг^РМ^ Х:1>еа^]=0, Уе>0.
1 П ->.оо I * 4 1 J '
- 6 -
Если г > 4 , то каждое из этих утверждений эквивалентно следующему g
3) Пт п"< Р(*Ч> |^VpCX;|>£l=0,Ve>0.
n-юо 1 ft * а 1 t=d ‘ J >
Теорема 0.2 [4б]. Пусть 0 < р < £ , 1 . Для последо-
вательности независимых одинаково распределенных с.в. (XjieifV следующие утверждения эквивалентны:
1) Е|Х4 | ^< 00 И EX* = 0 при 1 ^ р < Z ;
2) £ а'1-2- Р{]£ X: > еа1^) < ©о V£ > 0 .
П=-4 *• J
Если г > 4 »то каждое из этих утверждений эквивалентно сле-
дующему ^ ,1л
3) И пг~г Р ( sap |PPi:XL|>eU<~, V £>0 .
a=d I i~t- а I ‘=d *
Теорема 0.3 [4б]. Пусть 0 < р < Z . Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (Xi)ielN сле" дующие утверждения эквивалентны:
*) ЕI X* |р IXJ <оо и ЕХ<= 0 при 4 6 р < 2, ;
2) £ <С* toon Р (|?Z Xi I > en^j , V £> ;
3) £:ж‘р{|^|Ирг:Х;|>£} <°°, v e>° •
TVs. A
В случае p = 4 и 4s г4 2 Бриллинджером [5l] доказана справедливость утверждения 2) в теореме 0.1 при условиях Е|Х«Г«* и Е^= О . Сюй и Роббинс [84] доказали импликацию I) 2) в теореме 0.2 для р - i и г - 2, , Эрдё-
шем [62], [бз] доказана эквивалентность этих утверждений, а Спицером [120] получен случай р = г = 1 . Обобщения изложе-
нных результатов содержатся, начиная с той же статьи Хейди и Рохатги [77], в работах Френка и Хэнсона [бб], Хэнсона и Рай-та [73], Рохатги [пв] , Чэна [5б] , В. В. Петрова [ю],[2о], И.В.Широковой-Хрущевы [37] ,[зв], [зз], С.Х.Сираждинова и М.У.
- 7 -
Гафурова [б7] , Хатори, Майма и Мори , А.Гута ^65^, Л.В.Ро-зовского [2б] - [2б]. Отметим также статью [18] в которой содержится результат объединяющий теоремы ОЛ и 0.2 (см. также теорему 3.1.5 - первое число указывает главу, второе - параграф третье - номер утверждения в параграфе; в ссылках в пределах той же главы первое число отсутствует; аналогично нумеруются и формулы].
В случае существования производящих функций моментов с.в. в невыражденном интервале, скорость сходимости в з.б.ч. является экспоненциальной. Более точно следующий результат Баума, Каца и Рида, дополняющий теоремы ОЛ - 0.3, гласит:
Теорема 0.4 [45]. Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (Х[][е следующие утверждения эквивалентны:
1) Уе>о3 С и Т такие, что
П Ее**1 4 Се"-'1*1 , У*е[-т,т];
2) V е>0 л с и такие, что
р [|^Х;|>еа]< с$\
Одним из этапов исследования з.б.ч. является рассмотрение с.в. со значениями в пространстве Банаха. Такая постановка задачи не является только теоретическим обобщением. Обоснованием этого направления является работа Ю.В.Прохорова [21]. Примеры отдельных задач, решения которых следуют из результатов з.б.ч. и скорости сходимости в з.б.ч. для банаховозначных с.в., можно найти в работах Лая [98] и А.Кожэниовского [эб].
Для обсуждения известных результатов: и изложения содержания диссертации введем некоторые обозначения и понятия.
Всюду в дальнейшем (1В » || * II) - вещественное сепарабельное пространство Банаха, (Л.Т.Р) - вероятностное прост-
- 8 -
ранство, Ц(в) - множество сильно измеримых отображений
, называемых банаховозначными с.в. (1В -С.В.).
В круге вопросов затрагиваемых в диссертации требование сепарабельности пространства и сильной измеримости 1В -с.в. не являются излишними (по этому вопросу см. например работу [64]). Распределением 1В -с.в. X называется мера *(*) на борелевс-
кой б"-алгебре 2(1Ё>) , определенная равенством
*(Х)(А) = Р°Х_< (А) - Р(Х'ЧА))
Как обычно, 5р. обозначает сумму первых г\ членов последовательности независимых 1Е> -с. в. (X £,) с с 1Ы • Если дополнительно выполняется равенство Л(Х)=-5&(Х[) для всех I %. 1 , то используется обозначение 5а (X ) . Срезку 1В -с.в. X на уров-
не а будем обозначать через X Г0-! =Х‘11^||Х||^.а} и Х1ои = Х- ХГа1 , здесь и в дальнейшем Д р - индикатор множества Г . Е X означает среднее по Бохнеру. Предел
(А) ЕХ а ит 5 хт Р(^со)
~Ь оо
будем называть А -интегралом. Если среднее по Бохнеру существует, то (А)ЕХ - Е X .На протяжении всей работы будем рассматривать следующие множества 16 —с.в.:
;
р,оО
Ц,(В)*{Х«1м(В):.(А)ЕХ-0 при Р>1],
для р 6 ^ ^ оо . Заметим, что 1_р(р (!Б) = ЬрОВ) - множеству
- 9 -
классов lB-с.в., норма которых интегрируема в р-той степени.
Эго легко следует применяя интегрирование по частям. Введенные множества изоморфны соответственно подпространствам пространств Лоренца и Марцинкевича. Квазинормы в этих пространствах обычно определяются с помощью невозрастающей перестановки измеримой функции X
Jt(DC||;P)=mf{.>o-.P{IXB>s}<<}
Пространства Лоренца и Марцинкевича состоят из классов функций X для которых соответственно конечны величины
Ы[*П № SlFwy*.
,х***(|Х|>р) М
где 0 < р о < оо .В доказательстве леммы 2.1.9 мы пользуемся равенством квазинормы ЦХНр,*, величине (о.б] (см. например стр. 17 монографии И). Более исчерпывающую информацию об этих пространствах можно найти в работах [48J и j^85j. Для упрощения формулирован утверждений введем еще следующие множества IB-с.в.:
WLLNf(B“) ä|(XiU‘L.(lB“) : P-fcn r.-"PS„ = o} ;
s LLN. (|B~) S j (x;)u„ * Г..Н,- fern S„ - о};
LLNp(lB“ 0] •
Здесь
UtfVUija,,?* : pei, ? 8M M
и IBj, = iB для всех i i . Пределы P- &m и гг.R.- Um