Разложение решений уравнения Карлемана-Векуа в ряды обобщенных степенных функций и некоторые задачи теории оболочек

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ........................................................... 3
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ І.І. Функциональные пространства и интегральные
операторы....................................... 23
§ 1.2. Некоторые сведения из теории обобщенных
аналитических функций ........................ 30
§ 1.3. Комплексная сопряженно изометрическая параметризация поверхности положительной кривиз-
ны............................................ 38
ГЛАВА П. РАЗЛОЖЕНИЕ ЯДЕР УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА-ВЕКУА В РЯДЫ ОБОБЩЕННЫХ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 2.1. Некоторые свойства обобщенных степенных
функций ........................................ 45
§ 2.2. Разложение ядер уравнения Карлемана-Векуа в
ряды обобщенных степенных функций ........ 55
§ 2.3. Некоторые применения разложений ядер уравнения Карлемана-Векуа ................................. 63
ГЛАВА Ш. УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА-ВЕКУА И БЕЛЬТРАМИ С ПАРАМЕТРАМИ
§ 3.1. Уравнение Карлемана-Векуа с параметром .... 83
§ 3.2. Уравнение Бельтрами с параметром ............... 91
ГЛАВА 1У. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 4.1. Вывод основных уравнений................................................... 97
§ 4.2. Сопряженно изометрическая параметризация
выпуклой оболочки ............................. 106
§ 4.3. Равновесие выпуклой замкнутой оболочки ... 112 ЛИТЕРАТУРА....................................................... 126
ВВЕДЕНИЕ
Теория обобщенных аналитических функций имеет глубокие связи со многими разделами анализа, геометрии и механики. Аналитический аппарат этой теории позволяет существенно расширить и углубить исследование ряда задач, имеющих значительный не только теоретический, но и практический интерес. В свою очередь, связь с реальными объектами исследования наполняет эту теорию конкретным содержанием и способствует ее развитию. Это обстоятельство несомненно указывает на важность и актуальность исследований по теории обобщенных аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций является теорией функций = и (®,у) + 1л/(сс,у) точки 2 + , удовлетворяющих
уравнению Карлемана-Векуа
и представляет собой далеко идущее обобщение классической теории аналитических функций от 2 = сс+1у-
Уравнение (I) эквивалентно системе вещественных уравнений
являющейся канонической формой равномерно эллиптической системы уравнений более общего вида с достаточно гладкими коэффициентами
(I)
'Эу а11 + Ву=о, 'дсс
(2)
Эи ,.^У+ с1) + сЗ>/=0, Ъсс 9^
- 4 -
Начало изучения эллиптических систем вида (3) восходит к Пикару [ 53], высказавшего идею о возможности построения теории функций и) = и (х,у)+ 1\/(ос,у), действительная и мнимая части которых являются решением системы (3), по аналогии с теорией аналитических функций комплексного переменного 2 - ос + I у . Попытка построения такой теории была предпринята Бельтрами [42, 43].
В 1931 году Н.Теодореску [54] (см. также [55]), рассматривая систему (2) в частном случае С = - 6 , с! = а (в (I) это соот-
ветствует случаю В = О ), получил общее представление ее решений через аналитические функции от 2 = ос + I и . Чуть позже Т.Карлеман [50] доказал фундаментальное свойство решений системы (2) - теорему единственности.
Интерес к системе вида (3) снова появился в сороковых годах XX в. В работах Л.Берса и А.Гельбарта [47 , 48], Г.Н.Положил [35, 36], Б.В.Шабата [41], А.Вейнштейна [56] и др. исследовались различные классы систем вида (3). Характерной чертой для этих исследований является применение различных обобщений понятий производной и интеграла. Таким же способом была построена Л.Берсом теория псевдоаналитических функций (см. [44], а также Г45, 46, 49]).
Одновременно и независимо от Л.Берса полная теория функций, удовлетворяющих уравнению (I), ныне именуемая теорией обобщенных аналитических функций, была построена И.Н.Векуа и опубликована в фундаментальной работе [8]. В этой работе получены представления первого и второго рода обобщенных аналитических функций через аналитические функции; вводятся ядра уравнения (I), с помощью которых строится обобщенный интеграл типа Коши, выводится обобщенная интегральная формула Коши; получены разложения обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 1-го рода; изучается широкий класс краевых задач для уравнения (I); указаны
- 5-
применения обобщенных аналитических функций к задачам безмомент-ной теории оболочек.
Интерес к теории обобщенных аналитических функций и ее приложениям особенно возрос после появления в свет монографии И.Н.Ве-куа [93, в которой дано полное изложение многолетних исследований ее автора, а также, некоторых результатов его учеников и последователей (Б.Боярский, В.С.Виноградов, И.И.Данилюк и др.). В этой монографии, в частности, в весьма общей постановке исследованы различные краевые задачи, представляющие естественное обобщение и дальнейшее развитие граничных задач классической теории аналитических функций (см. [31, 17, 14]); особо следует отметить, что е ней важное место занимают приложения теории обобщенных аналитических функций к теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Теория обобщенных аналитических функций находит также важные применения в теории упругости (см., например, [2, 18, 37]), нелинейной теории оболочек [34], теории бесконечно малых изгибаний высшего порядка (см., например, [34, 19, 20]).
Методы работ [8] и [9], представляющие дальнейшее развитие-методов, созданных ранее в исследованиях И.Н.Векуа об эллиптических уравнениях с аналитическими коэффициентами с ДЕумя независимыми переменными [7], оказались весьма плодотворными в дальнейшем развитии теории обобщенных аналитических функций (см., например, 15, б, .3, 15, 18, 28, 25, 30, 40]).
В теории обобщенных аналитических функций и ее приложениях одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с представлением решений уравнения Карлемана-Векуа в виде функциональных рядов, близких по своей природе к степенным рядам. Представления 1-го и 2-го рода обобщенных аналитических функций позволяют строить обобщенные степенные ряды двух видов: обобщенные степенные
- б -
ряды I-го рода - ряды обобщенных рациональных функций и обобщенные степенные ряды 2-го рода - ряды обобщенных степенных функций (по терминологии И.Н.Векуа). Обобщенные степенные ряды I-го рода подробно изучены И.Н.Векуа [8, ,9] (см. также [51] ). В ра-
ботах [44] и [45] дается полное исследование рядов формальных степеней (по терминологии Л.Берса). С другой стороны, до последних лет оставалась не разработанной теория обобщенных степенных рядов 2-го рода; в монографии И.Н.Векуа [9] дается лишь общая характеристика этих рядов и отмечается, что для них "можно, по-видимому, доказать" аналог теоремы Тейлора (см. [9], стр. 210). Отметим здесь не, что, как будет видно из полученных в работе результатов, обобщенные степенные ряды 2-го рода по сравнению с другими известными аналогами степенных рядов наиболее полно сохраняют основные свойства последних. Следует отметить также, что к необходимости исследовать вопрос о разложении обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 2-го рода естественным образом приводит ряд задач теории выпуклых оболочек и теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ниже всюду обобщенные степенные ряды 2-го рода будем называть просто обобщенными степенными рядами.
В диссертационной работе на основе специальных разложений ядер уравнения Карлемана-Векуа по обобщенным степенным функциям развивается достаточно полная теория обобщенных степенных рядов (второго рода), исследуется характер зависимости от параметра решений уравнений Бельтрами и Карлемана-Векуа с коэффициентами, зависящими от этого параметра, и на основе полученных результатов дается решение ряда задач о равновесии замкнутых выпуклых оболочек.
Работа состоит из четырех глав.
Первая глаЕа носит вспомогательный характер. В ней указаны
- 7 -
понятия и факты (в удобной для наших целей форме), систематически используемые в работе. Из этой главы приведем только обозначения и определения, необходимые для изложения некоторых основных результатов диссертации.
Через L р,2 , Р > А , обозначается пространство заданных на всей комплексной плоскости С функций j , для которых конечна норма
IЛР>е= С,JJ IJfa)IPd=,dуГIггаIJQ)I)d=cdyг-а>1а;
С(G) - пространство непрерывных ограниченных на G с (D функций, IIJ J cfe)= sup (g)|; C^(G) , О <• ос « 'I, - пространст-
26G
во, состоящее из всех функций класса C(G) , удовлетворяющих на G условию Гёльдера с показателем сс (класс таких функций обозначим через H^CG), I) J |] IIJ lcCG)+ Н
прерывные производные до порядка m включительно, причем
- пространство функций J , имеющих в замкнутой области G не-
В р? оо » р> 2 - пространство, состоящее удовлетворяющих условиям:
р> 00 »
a) -f(o)=o, 6) feHp^Cc), с) “Э f, 9_feLp(<D>
Р
- 8 -
(производные понимаются в обобщенном смысле), с нормой
If 1вР,.= Н ({,с), (Vitp®* «V
Множество функций, заданных на множестве G с (D и принимающих
Л
значения в банаховом пространстве X , обозначим через X .
Ниже всюду предполагается, что коэффициенты уравнения Карле-мана-Векуа (I) принадлежат пространству Lp,2 , р > 2 . Функция иУ называется решением уравнения (I) в области G е С , если для каждой точки G , исключая, быть может, точки некоторого дискретного относительно G множества (гц/ , существует ок-
рестность, в которой иУ обладает обобщенной (е смысле С.JLСоболева) производной по 2 и почти всюду удовлетворяет уравнению (I). Если = Ф , то uJ называется регулярным решени-
ем уравнения (I) в области G . Множества решений и регулярных решений уравнения (I) в области & обозначим через Ob*(A,B;G) и G) .В случаях, когда нет необходимости указать
на область, в которой иГ является решением или регулярным решением уравнения (I) будем писать uJe Ol* (А, 8) или ur е Ог. С А, 8) соответственно. Решения (регулярные решения) уравнения (I) называются обобщенными аналитическими функциями класса Оь ( А, 8) (класса О (А, 8) ).
А В
Через R ’ обозначим оператор, сопоставляющий каждой ■ь__________________________________________________________________________________
аналитической функции Ф и точке t е (D решение уравнения
А 8
(I) uj(2,t.) = R ’ (ф)(2) , удовлетворяющее условиям: I) функция
"Ь
иу ( 2,-Ь) = иг (2,-Ь)/Ф (2) - непрерывна в замыкании области аналитичности функции Ф и непрерывно продолжима на (В , при-
г*
чем и? (• ,-b)eCg-a СО ; 2) и/Са,-Ь) не обращается в нуль
р ~
ни б одной точке расширенной комплексной плоскости; 3) иг СЬ.-ЬЫ. Ядра и обобщенные степенные функции класса Оъ* С А, 8) (урав-
- 9 -
нения (I)) обозначим через п , оС=‘\,2 и . к= о,±1,±&
К “ " 9 ***э
соответственно:
л
«<а-*>=К4
и (г,г„|=КА,в((г-И“), Ц.„„ЙА)- С^Сг-г.)“)-
2к 20 ^к+1
Наряду с функциями П мы рассматриваем также обобщенные сте-
К
пенные функции вида
Ядра и обобщенные степенные функции сопряженного с (I) уравнения
0 иг- Аиг'-Вйг=0 (р/)
обозначим через ,&='!,2 и , К = 0,±-1,±2,... .
Во второй главе дается достаточно полное исследование вопросов, связанных с представлением обобщенных аналитических функций в виде обобщенных рядов (2-го рода). Предварительно в § 2.1 устанавливаются некоторые свойства обобщенных степенных функций, а в §2.2 выводятся некоторые соотношения для ядер уравнения Карлема-на-Векуа, в частности, установлена сеязь между ядрами различных уравнений определенного вида, получены разложения этих ядер в ряды обобщенных степенных функций, обобщающие известные элементарные разложения ядра Коши. Эти результаты имеют определенный самостоятельный интерес и могут быть применены при исследовании различных свойств обобщенных аналитических функций; на их основе в §2.3 даны разложения обобщенных аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, доказывается аналог теоремы Голубева-Привалова,
- 10 -
установлены необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций, установлены также необходимые и достаточные условия для того, чтобы регулярное на всей плоскости решение неоднородного уравнения Карлемана-Векуа обращалось в нуль на бесконечности с некоторым заданным порядком.
Приведем некоторые основные результаты П главы.
Теорема 2.1. Пусть Г - кусочно-гладкая простая замкнутая кривая, окружающая точку г0 ф оо . Тогда имеют место равенства
Кєїіг1
г ( (4)
«е V (г,2о)УД с г, 2о)с)г = I *>т,
Г
где I = 1(1 =-1) , если Кит четные (нечетные) и
К, т К,гп '
^ Н1+[гп| = -1 • I К5 т = 0 во всех остальных случаях.
Теорема 2.2. Для любого натурального числа К имеют место формулы:
21Ц.И(\20)и^(2^оу (5а)
и “
+ С2-2о)К(і-2оТ" а™ , 2^-Ь, ЬФ2о ,
ае(ш*Н |
+ (г-2о)Ка- 2о)'кПСеК) (2,-Ь) , ? Ф і, Ъ Ф 20 , (56)
+(г-гсГСі-аГо^і), 2 ф -ь, г ф 2о, (&)
- II -
к-<
0,(2,-«4 2 и'ЛА> и 2(>„Й,ь)- и^-ЬА) и %._,(гл>
и (66)
+ (2-г0Га-1,)Ъ2К)(г,-Ь), гН>, 2ф2о,
(к)
где О , оС = 1,2, - ядра уравнения
с(
9ллг+ Алл7 + 6к\а/=0, В = 6(2)(2-^)к(2-2о)'^ 2оФ «>• (?)
2 к
Теорема 2.3. Ядра уравнения (I) представляются в виде рядов
£и:8<1<.,/*А)иа1ЙА)-и:2мал)иа<не,г.), <8а)
о/г,«-! £/8№/*Л)иг/гл)-1053игк<1№л), (вб)
при I 3-2о| < | -Ь-2о|, и
Ч(г^=4|и1,^г»)и-«-../г'ь)-и^Аг«)и-а«(гА)- <*»
при I 2-2о| >|-Ь-2о|.
Ряды (8а,б)((9а,б)) сходятся абсолютно и равномерно внутри области ^(2,1): | 2-20 I < Я , !‘6-Зо1>К} ( { (2,1): 12-2о| > Я,
| -Ь - 2о I < Я } ) при любом Р? > 0.
В § 2.1 доказываются равенства
и-зк-и)СЬ>£°) и2кГг, ?о)-и ак-1 (-6,?°) и2кн (г,2о)=