Закономерности пластического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении

Введение........................................................ 5
Глава 1. Историческая справка развития теории пластичности
1.1 Теория пластичности в первой половине 20века................ 8
1.2 Теория процессов упруго-пластического деформирования.... 15
Глава 2. Основные положения и законы теории процессов упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении
2.1 Постулат макроскопической определимости и общий постулат изотропии А.А.Илыошина для начально изотропных
сред............................................................ 21
2.2 Геометрическое представление тензоров и процессов в линейном евклидовом векторном пространстве..................... 23
2.3 Постулат изотропии и принцип запаздывания
A.А.Илыошин а.................................................. 27
2.4 Общая теория определяющих соотношений теории
процессов В.Г.Зубчанинова...................................... 29
2.5 Нелокальная форма определяющих соотношений
B.Г.Зубчанинов а............................................... 32
2.6 Гипотеза компланарности А.А.Илыошина....................... 33
2.7 Теория процессов малого кручения В.Г.Зубчанинова........... 34
2.8 Критерии активного и пассивного деформирования............. 36
2.9 Модифицированная модель теории течения при изотропном упрочнении В.Г.Зубчанинова ................................... 37
2.10 Общая теория течения Мелана-Прагера и ее модифицированная модель В.Г.Зубчанинова........................ 38
2.11 Модифицированная теория пластического течения с изотропным упрочнением......................................... 40
2.12 Математическая модель теории процессов
В.Г.Зубчанинова 41
2.13 Математическая модель теории течения...................... 44
Глава 3. Автоматизированный комплекс СН-ЭВМ, средства измерения, образцы, материалы
3.1 Общая часть................................................ 48
3.2 Описание экспериментального испытательного комплекса СН-ЭВМ....................................................... 50
3.3 Механическая установка (СН) комплекса СН-ЭВМ............... 52
3.4 Захватные приспособления и датчики измерения
.(V
деформаций и усилий.......................................... 55
3.5 Образцы для испытания.................................... 57
3.6 Функционирование комплекса под управлением ЭВМ 64
3.7 Химический анализ образцов............................... 66
Глава 4. Структурные изменения стали в процессе деформирования и деформационная изотропия
4.1. Некоторые сведения об истории развития
материаловедения............................................. 68
4.2. Классификация металлов.................................. 71
4.3 Углеродистые качественные стали, их химический состав 72
4.4 Деформирование поликристаллов............................ 74
4.5 Свойства холоднодеформированных металлов................. 75
4.6 Измельчение структуры металлов в процессе их кристаллизации............................................... 76
4.7 Методы изучения строения металлов, микроструктурный и общий анализ сталей.......................................... 77
4.8 Формирование структуры в процессе деформирования материала, анизотропия кристаллов............................ 80
Глава 5. Аппроксимация диаграмм деформирования, прослеживания процессов и параметрическое представление траекторий деформирования в базовых экспериментальных исследованиях
5.1 Виды программ базовых испытаний.......................... 89
5.2 Аппроксимация базовых диаграмм деформирования и прослеживания процессов для траекторий простого нагружения
и средней кривизны........................................... 90
5.3 Методика определения параметров Д, <7Ф, сг., сг.......... 94
5.4 Типы траекторий деформирования........................... 95
5.5 Дифференциально-нелинейные уравнения задачи Коши приближенной математической модели теории процессов 98
5.6 Методика расчета углов сближения »9, , соприкасания и депланации Д2 в естественном репере Френе.................... 99
Глава б.Базовые экспериментальные исследования в теории процессов пластического деформирования
6.1 Методика проведения экспериментальных исследований 102
6.2 Диаграммы деформирования материалов по типу 103
2
центрального веера с простыми разгрузками и догрузками......
6.3 Испытания по плоским многозвенным ломаным с частичной сложной разгрузкой и образованием обратных нырков напряжений.................................................... 105
6.4 Испытания по плоским многозвенным траекториям с образованием прямых нырков напряжений при частичной
сложной разгрузке............................................. 110
6.5 Испытания типа смещенного веера двузвенных траекторий
и закон частичной разгрузки материала......................... 115
6.6 Исследование предельной поверхности материала............. 126
6.7 Нагружение и разгружение конструкционных материалов по многозвенным сложным траекториям с криволинейными участками..................................................... 131
6.8 Испытания материалов по траектории типа «плоский
винт»......................................................... 138
6.9 Испытания типа смещенного веера концентрических окружностей................................................... 146
6.10 Экспериментальное исследование процессов сложного полного разгружения материалов на многозвенных плоских ломаных замкнутых траекториях....................... 151
6.11 Экспериментальное исследование процессов сложного разгружения материала Ст45 на многозвенных незамкнутых траекториях................................................... 157
6.12 Проверка постулата изотропии А.АИльюшина в теории процессов на плоских многозвенных ломаных траекториях деформирования................................................ 162
6.13 Экспериментальное исследование взаимодействия напряженно-деформированного состояния оболочек при
сложном нагружении за пределом упругости.................... 169
Глава 7. Испытания конструкционных материалов по пространственным винтовым траекториям
7.1 Винтовые траектории постоянной кривизны и кручения 175
7.2 Смещенные винтовые траектории............................. 185
7.3 Скручивающаяся винтовая траектория Архимеда 205
7.4 Раскручивающаяся винтовая траектория Архимеда 211
Глава 8. Математическое моделирование процессов упругопластического деформирования
8.1 Математическая модель теории процессов.................... 216
3
8.2. Моделирование процесса по траектории типа двузвенная ломаная........................................................ 220
8.3. Моделирование процесса по плоским траекториям постоянной кривизны............................................ 230
8.4. Моделирование процесса по траектории типа Архимедова спираль........................................................ 237
8.5. Моделирование процесса по траектории типа винт постоянной кривизны и кручения................................. 247
Основные результаты и выводы 249
Список литературы 254
Приложения 267
4
Введение
Исследование закономерностей упруго-пластического деформирования и прочности материалов, их механических свойств при сложном напряженном состоянии и нагружении является важнейшей актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. Во все времена прочность, надежность и долговечность конструкций зависело от использования природных и созданных человеком материалов. В современном строительстве и машиностроении характерным является увеличение интенсивности нагрузок на конструкции, и как следствие, - появление упруго-пластических деформаций. Учет их в работе и определение предельного состояния конструкций является важным этапом безопасного их функционирования и долговечности.
Двадцатый век ознаменовался крупными достижениями в области механики деформируемого твердого тела, в том числе в области экспериментальной механики. Так были созданы высокопрочные материалы, разработаны различные композиционные материалы, созданы автоматизированные испытательные комплексы типа СН-ЭВМ. Механика и мезомеханика материалов позволяет изучить структуру металлов и сплавов, законы по которым изменяются свойства и структура материалов и сплавов в зависимости от различных воздействий, подбирать металлы и сплавы для определенных конструкций, машин и изделий, исходя из их физикомеханических свойств.
Развитие различных отраслей техники, в особенности авиакосмической, улучшение технологических характеристик конструкций, повышение их прочности, надежности и долговечности связано с внедрением новых конструкционных решений, современных технологий и конструкционных материалов. Применение оболочечных конструкций в авиации, космонавтике, строительных сооружениях и машиностроении; учет их работы в экстремальных условиях с возникновением пластических деформаций выдвинули задачу исследования закономерностей упруго-
5
пластического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении и деформировании в ряд наиболее важных.
В связи с этим данная проблема в развитии современной механики деформируемого твердого тела стала одной из наиболее важных и актуальных проблем теории пластичности и экспериментальной механики.
Данная работа посвящена в основном экспериментальному исследованию закономерностей упругопластического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении и выявлению влияния и оценке этих закономерностей в зависимости от параметров сложного нагружения при изотермических процессах деформирования. Экспериментальные работы проводились на автоматизированном испытательном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории механических испытаний кафедры «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. Осуществление поставленной цели реализовывалось путем постановки решения следующих задач:
1 .Экспериментальных исследований закономерностей упругопластического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении на упомянутом современном испытательном комплексе СН-ЭВМ, реализующем трехпараметрическое сложное деформирование либо нагружение
(растяжение- сжатие, кручение, внутренне давление) на тонкостенных трубчатых образцах.
2.Разработке базовых программ экспериментальных исследований для их реализации на автоматизированным испытательном комплексе СН-ЭВМ для определения влияния различных параметров сложного нагружения на закономерности сложного нагружения и деформирования материалов, в том числе их влияния на скалярные и векторные свойства.
3.Разработке программ полного отображения результатов экспериментальных исследований скалярных и векторных свойств материалов в цифровом и графическом виде, в том числе отображение состояний полной и неполной пластичности и упругости материалов.
^Экспериментального исследования процессов частичной и полной сложной разгрузки материалов с образованием прямых и обратных нырков, связанных с состояниями полной и неполной упругости и пластичности материалов.
5.Экспериментального исследования и анализа взаимовлияния напряжений при сложном упругопластическом деформирование (intcrection - effect, Э2 -effect) на плоских и пространственных винтовых траекториях. б.Экспериментальной проверке постулата изотропии на многозвенных траекториях в условиях ортогонального и неортогонального нагружений. 7.Экспсриментальной проверке достоверности приближенной математической модели теории процессов В.Г.Зубчанинова при сложном деформировании по базовым ломаным траекториям и плоским траекториям малой и средней кривизны.
8.Экспериментальном исследовании закономерностей упругопластического деформирования по пространственным винтовым траекториям постоянной и переменной кривизны и кручения.
^Экспериментальном исследовании закономерностей эффекта Баушингера при знакопеременном простом нагружении-разгружении и его обобщение на сложное нагружение-разгружение.
Ю.Экспериментальном исследовании закономерностей формоизменения и размеров предельных поверхностей деформирования и нагружения.
11 .Экспериментальном исследовании изменения структуры материалов и связанной с ней деформационной анизотропии при упругопластическом деформировании.
7
ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ЕЕ СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Ы.Теорня пластичности в первой половине XX века
Основы науки о прочности и упругости твердого тела закладываются физиками еще в ХУИ-ХУШ веках. Развитие французской инженерной школы способствует развитию техники в ХУШ-Х1Хвв. и приводит к переходу исследований от физиков к инженерам. В это же время в науке выделяется область расчетов на прочность в самостоятельную науку, которая называют «Сопротивление материалов». Именно французские инженеры, с блестящей теоретической математической подготовкой, трудившиеся в стенах Петербургского университета путей и сообщения, среди которых Сен-Венан, Леви, Коши, Ламе и стали основоположниками науки о прочности материалов.
В 1807г. Юнг вводит понятие модуля упругости и предела упругости. Инженеры, осознав, что возводимые ими сооружения надежны в пределах, когда напряжения не выходят за предел упругости, практически перестали исследовать пластическое состояние материала. И, хотя явление текучести было открыто еще Кулоном в 1778г., вплоть до Х1Хв. расчеты вели по упругому состоянию материалов. В этот период появляется представление об изотропном идеально упругом теле.
Для пластических сред основы теории предельных состояний были заложены в конце XIX начале XX века в работах Треска, Мизеса, Сен-Венана, Хаара, Кармана [178]. В 1864г. Треска опубликовал результаты своих экспериментальных исследований по необратимому деформированию твердых тел и пришел к выводу, чго твердое тело течет. В 1870г. Сен-Венан использовал условие текучести Мизеса и построил первую математическую модель теории пластичности [178]. В своих исследованиях они использовали экспериментальные результаты Треска на растяжение, сжатие и сдвиг
8
необходимые в связи с расчетом течения материала в процессе обработки металла давлением [84]. В результате Сен-Венан создает первую математическую теорию пластического течения, основанную на гипотезе пропорциональности девиатора напряжений и девиатора скоростей деформаций при условии текучести Треска. Материал считался несжимаемым и жесткопластическим без упрочнения. В этой теории рассматривается время, за которое не успевает происходить релаксация и ползучесть, поэтому основная область ее применения - технологические процессы обработки металлов давления и решение ряда задач. Леви попытался обобщить теорию Сен-Венана на случай трехмерных задач.
Уже в начале столетия стало ясно, что уравнения упругости и вязкости лишь приближенно представляют уравнения состояния сред в определенных диапазонах параметров движения, но не представляют их, например в пластической и вязкоупругой области деформаций металлов и полимеров. В начале XX века исследования в области пластичности продолжились. В 1913 г. Мизес предложил свое условие пластичности для изотропного материала, а в 1928г. сформулировал условие пластичности для анизотропного. В 1924 г. Генки создал свою теорию пластичности, которую теперь называют деформационной. Он заметил, что левая часть уравнения Мизеса имеет физический смысл - энергия видоизменения. Также Генки считал, что материал является идеальным упруго-пластическим, а полную деформацию он разложил на упругую и пластическую. Хилл [169] обобщил теорию Мизеса на случай анизотропного тела и решил задачу вдавливания штампа в анизотропную среду.
В конце 20-х - начале 30-х годов XX столетия начинает развиваться экспериментальная механика - проводятся экспериментальные исследования на тонкостенных трубчатых образцах. Это способствовало реализации программы многоосного нагружения в условиях однородного напряженно-деформированного состояния. Первыми опытами по проверке теории пластического течения были опыты Надаи и Лоде [162]. Ими были
9
проверены условия пластичности Сен-Венана и Мизеса и установлено, что условие пластичности Мизеса более точно соответствует экспериментальным данным. Исходя из экспериментальных исследований Надаи и Лоде впервые ввели параметр вида напряженного состояния р [162].
В 1927г. Рош и Эйхингер в своих экспериментальных исследованиях над трубчатыми образцами из стали с площадкой текучести и участком упрочнения при действии растяжения, кручения и внутреннего давления в условиях пропорционального нагружения установили, что зависимость между октаэдрическим касательным напряжением и октаэдрическим сдвигом является универсальной и описывается законом единой кривой [162]. Рош и Эйхингер допускали разложение полных деформаций на упругие и пластические части при пропорциональном нагружении. Они также считали, что в процессе пластического деформирования в условиях упрочнения материал остается квазиизотропным.
В 1932г. Шмидт также подтвердил закон единой кривой для пропорционального нагружения на трубчатых стальных и медных образцах. Вместе с тем, им были проведены экспериментальные исследования с промежуточными разгрузками и чередованием растяжения и кручения. В данном случае закон единой кривой не подтвердился [162].
В опытах Хоэнемзера и Прагера [162] в 1932г. было использовано определяющее соотношение, из которого можно было получить соотношения других частных теорий течения. Они испытывали трубчатые образцы при одновременном раздельном действии растяжения и кручения. Ими также было предложено изображать тензор напряжений и деформаций в линейном многомерном пространстве в виде векторов. Для плоского напряженного состояния при растяжении с кручением трубчатых образцов они предложили изображать тензоры в индексных обозначениях.
Девис [162] в 1943 и 1945 гг. подвергал испытаниям трубчатые образцы из меди и стали при пропорциональном нагружении при растяжении и
10
внутреннем давлении. Закон единой кривой Роша и Эйхингера в данных экспериментах подтвердился, а деформация разрушения достигала 40%.
Опыты Роша, Эйхингера, Лоде, Надаи, Шмидта, Девиса показали, что испытания трубчатых образцов при сложном напряженном состоянии подтверждают законы пластичности для случаев, когда нагружение элемента тела является простым, а между напряженным и деформированным состоянием элемента существует инвариантная зависимость. Однако, при сложном нагружении, до А.А.Ильюшина не было установлено определяющих закономерностей, описывающих сложное напряженное состояние. Вместе с тем, невозможно закономерности, полученные для простого нагружения, применить для сложного, которые наблюдаются при работе конструкций, в технических процессах и др.
Классическая теория деформаций, напряжений и уравнений движения, разработанная Коши, эйлерово и лагранжево представление движения сплошной среды являются основой механики сплошной среды и в наше время.
А.А.Илыошин разрабатывает теорию малых упругопластических деформаций для упрочняющихся материалов, вводит понятие «направляющего тензора» процесса, простого и сложного нагружения, теорему о простом нагружении, теорию малых упруго пластических деформаций, которая является общей теорией пластичности для классов простых нагружений изотропных тел, вводит понятие соответствия теории и эксперимента [129,130].
Тейлор, Квини и Девис проводили экспериментальные исследования на пропорциональное нагружение и подтвердили гипотезу о пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций или скоростей деформаций, которые использовались на тот момент в вариантах теории пластичности. Уже позднее, в середине 50-х годов А.М. Жуков сделал широкий обзор экспериментальных исследований по проверке основных положений теории пластичности [103,104].
11
В начале 40-х годов А.А.Илыошин решает проблему упругопластического деформирования материалов для отдельных классов траекторий и формулирует для них законы пластичности. В 1943г. А.А.Илыошин записывает определяющие соотношения деформационной теории в виде следующих законов [123,127,130]: закон упрочнения, закон упругого изменения объема, закон пластического формоизменения. Кроме этого А.А.Ильюшиным в теорию пластичности были введены понятия простого и сложного нагружения, направляющих тензоров напряжений и деформаций [127]. Он доказал, что при простом нагружении все теории совпадают.
В 1944 году на основе теории малых упругопластических деформаций А.А.Илыошин создает теорию устойчивости оболочек и пластин за пределом упругости при простом докритическом нагружении. Эта теория дает лучшие результаты, чем общая теория течения и более точно соответствует экспериментальным данным. А в теории устойчивости теория течения вообще неприемлема [127].
На основе теории малых упругопластических деформаций были рассчитаны артиллерийские снаряды и стволы орудий, которые затем были усовершенствованы и имели большое значение при обороне Москвы в 1941г. Он указал методы решения задач деформационной теории пластичности -«метод упругих решений» для краевых задач, который повлиял на развитие численных методов решения физически нелинейных краевых задач в механике твердого тела, предложил способ расчета на прочность и устойчивость тонкостенных пластин и оболочек за пределом упругости, имея экспериментальные зависимости между напряжениями и деформациями в металлах, он безошибочно предсказал сходимость итерационного процесса, что позднее было строго подтверждено математическими методами. А метод упругих решений послужил толчком к развитию более совершенных методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений эллиптического
12
типа, однако все они уже требовали применения ЭВМ. А метод А.А.Илыошина применялся задолго до их появления.
В 1945г. А.А.Ильюшин обобщил теорию Сен-Венана-Мизеса на изотропно упрочняющиеся среды, учел упругие составляющие в полных деформациях, развил три закона теории: закон упругого изменения объема, закон пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформаций, закон упрочняющейся упругопластической среды в виде обобщающегося закона Одквиста.
В послевоенные годы теорию пластичности развивали в своих трудах
А.А.Ильюшин, Е.И.Шемякин, Хилл, Койтер, Друккер, В.В.Новожилов, Ю.И.Кадашевич, Прагер, Будянский, Ю.Н.Работнов, В.Д.Клюшников, И.Я.Леонов, В.С.Ленский, А.С.Кравчук, В.Г.Зубчанинов, Д.Д.Ивлев,
А.А.Лебедев, В.В.Москвитин, Л.А.Толоконников, Р.А.Васин,
С.А.Христианович, Ю.Н.Шевченко и др. ученые [6, 102, 129, 130, 147, 169, 171,175].
При учете сложного деформирования материалов возникла необходимость разработки нескольких подходов к построению определяющих соотношений: теория пластического течения, теория
скольжения, теория упругопластических процессов и т.д.
Теория течения основывается на понятии предельной поверхности -поверхности нагружения или поверхности текучести, а также представлении полной деформации в виде суммы пластической и упругой составляющих и постулате Друккера [128, 145], из которого следует выпуклость предельной поверхности и условие, что вектор приращения пластической деформации направлен по нормали к предельной поверхности в точке нагружения (принцип градиентальности). При изменении формы и размеров предельной поверхности при пластической деформации происходит процесс упрочнения. В зависимости от применяемой модели упрочнения различают несколько вариантов теории течения. Первая модель, не учитывающая эффект Баушингера (модель изотропного упрочнения), не дает в расчетах точных
13
результатов. Во второй модели, модели трансляционного упрочнения, предполагается, что предельная поверхность перемещается как жесткое целое без расширения.
В традиционной теории течения с гладкой поверхностью наилучшие результаты были достигнуты, когда одновременно с перемещением предельной поверхности учитывалось и ее расширение, т.е. учитывается одновременно изотропное и трансляционное упрочнение [143]. Однако в точке нагружения не описывается факт отклонения вектора приращения пластической деформации от нормали к предельной поверхности [150].
Поэтому одной из причин развития подходов, использующих сингулярные поверхности текучести, является нарушение принципа градиентальности.
Койтер и Сандерс сделали предположение, что предельная поверхность является огибающей множества регулярных поверхностей, возникает каноническая область в точке нагружений и приращение пластической деформации зависит от направления активного процесса. Впоследствии эта теория получила развитие в работах В.Д.Клюшникова [136].
В теорию течения различных направлений с учетом сложного нагружения, также большой вклад внесли Ю.И.Кадашевич, В.В.Новожилов,
В.Д.Клюшников, В.С.Бондарь и другие ученые [3, 135, 136].
Модель С.Батдорфа и Б.Будянского получила название теории скольжения. В этой теории материал представлялся как совокупность частично ориентированных монокристаллов и каждый такой монокристалл обладает своей системой скольжения, которая характеризуется ориентацией плоскостей скольжения и направлением скольжения. Когда касательные напряжения в плоскости скольжения достигают величины равной пределу текучести на сдвиг, в монокристалле наступает пластический сдвиг. И за пределом текучести деформация является определенной функцией касательного напряжения. Впоследствии, теория А.К.Малмейстера, которую использовали Г.Тетерс и И.Кнетс [168] для решения задач устойчивости
14
упругопластических систем при сложном нагружении, а также теории М.Я.Леонова, С.А.Христиановича [170] и др. Различные варианты теории скольжения отличаются только тем, на каких системах скольжения и по какому закону происходят пластические скольжения при заданных условиях нагружения. Однако в данной теории достаточно сложно построение определяющей функции, применение данной теории к решению практических задач весьма затруднительно с точки зрения математики [146-150].
Теория идеальной пластичности была разработана Д.Д.Ивлевым. Пользуясь соотношениями ассоциированного закона течения Мизеса (1928г.), он решает замкнутую систему уравнений, вводит поля деформаций (поля скоростей деформаций) и определяет связи между напряжениями деформациями, посредством обобщенного ассоциированного закона пластического течения Рейса (1933г.), решает пространственную задачу теории идеальной пластичности, доказывает, что в плоском случае различий между теорией идеальной пластичности и теорией предельного состояния нет [105,106,107].
Еще в 30-х годах А.А.Ильюшин занимается исследованиями вязкопластического течения прежде всего для усовершенствования технологических процессов производства металлических конструкций. Была создана теория, позволяющая вести расчет течения пластических материалов по поверхности жестких и деформируемых деталей оборудования, а также обработки металлов давлением. Прежде всего эта теория была необходима металлургической промышленности [129, 130].
1.2 Теория процессов упруго-пластического деформирования
В 50-х-бО годах в теории пластичности начинается исследование процессов. А.А.Ильюшин развивает новое направление в теории пластичности, которое было названо общей математической теорией упругопластических процессов [109,117,130]. В ней рассматривается
начальная поверхность текучести, используется геометрическое представление процессов деформирования и нагружения в пятимерных векторных пространствах деформации Э(5) и напряжений $(5) [117,129,130] в линейных координатных евклидовых пространствах. В этих пространствах тензоры напряжений и деформаций он изобразил векторно, а для процессов-траекторий ввел понятие образов процессов. В основу положен постулат изотропии, выдвинутый А.А.Ильюшиным, теорема изоморфизма, принцип запаздывания, система универсальных соотношений между напряжениями, деформациями, временем и температурой для различных сплошных сред путем разделения свойств материала на векторные, определяющие направления процесса, и скалярные, характеризующие интенсивность процесса.
На основе закона Роша и Эйхингера о единой кривой упрочнения,
А.А.Илыошин сделал вывод, что начальная поверхность текучести очень близка к поверхности Мизеса, но может с ней и не совпадать. В теории течения при изотропном упрочнении применяется скользящий образ процесса пластического деформирования, а для описания универсального закона упрочнения используется закон Одквиста-Ильюшина. В теории течения линейные пространства практически изотропны, а теория процессов включает в себя теорию течения, как частный вариант. Основой теории процессов является общий и частный постулат изотропии. На его основе установлены соотношения между напряжениями и деформациями для траекторий малой кривизны и дальнейших разгрузок по траектории с угловыми точками. А.А.Илыошин назвал постулат изотропии частным, так как для отдельных материалов он может нарушаться. С помощью постулата изотропии возможно решение краевых задач прямым методом решения.
В дальнейшем В.Г.Зубчанинов построил теорию пластичности для траекторий малого кручения, сформулировал постулат локальной размерности образа процесса [43, 56, 57], а на сегодняшний день им создан и
16
доказан закон сложной разгрузки материала [67]; Р.А.Васин развил теорию пластичности для траекторий типа двузвенных ломаных [5,6] и др.
По сравнению с другими теориями, теория упругопластических процессов является наглядной и имеется возможность геометрического представления процессов нагружения и деформироания, простота математических формулировок, возможность опытной проверки основных постулатов, что выполнено в работах B.C.Ленского [143, 148], А.М.Жукова [103, 104], Р.А.Васина [5, 6], В.Г.Зубчанинова [46, 51, 56, 66], В.П.Деггярева [10] и др. [106, 136, 164]. При этом фундаментальная роль постулата изотропии в том, что на его основе сокращается число экспериментов до количества базовых, которые необходимы для определения материальных функций, входящих в определяющие соотношения.
Значительный вклад в развитие теории пластичности при конечных деформациях внесли работы Л.А.Толоконникова, А.А.Маркина, П.В.Трусова, А.А.Поздеева и других ученых [154,155,164].
В настоящее время существует два подхода к разработке определяющих соотношений теории упругопластических процессов. Для первого подхода характерно построение их для простых классов процессов и траекторий. Для второго подхода разработаны определяющие соотношения для сложного нагружения по различным траекториям [49, 56, 57, 58]. В определяющие соотношения входят функционалы пластичности, которые зависят от параметров кривизны, кручения и скалярных параметров (о, p=Oij/3, Т). В последнее время в тверской научной школе ведутся широкие теоретические исследования по определению функционалов пластичности и аппроксимаций, которые позволяют использовать теорию процессов, в том числе и для решения краевых задач упругопластического деформирования материалов. Структура аппроксимаций, их физическая достоверность обосновываются многочисленными базовыми экспериментальными исследованиями.
17
В тверской научной школе, ее руководителем проф. В.Г.Зубчаниновым для пятимерного пространства были получены новые экспериментально обоснованные зависимости связи между напряжениями и деформациями при различных траекториях сложного нагружения. В определяющие соотношения входят пять функционалов: один отвечает за скалярные свойства, а четыре - за векторные. В.Г.Зубчаниновым был предложен постулат локальной размерности [50,67,94,101], который упрощает математическое представление определяющих соотношений теории упругопластических процессов и им было показано, что пятимерное девиаторное пространство, отнесенное к реперу Френе, может быть разложено на ряд пересекающихся подпространств: два трехмерных, пересекающихся по одной из осей, четырехмерное и двумерное, двумерное и четырехмерное. Одно из них является физически пустым, а другое -изображающим. Образ процесса является трехмерным для аналитических траекторий и четырехмерным - для неаналитических. В связи с этим в определяющие соотношения вместо пяти функционалов остается только четыре или три. Для выяснения чего необходима постановка базовых экспериментов.
Если для теоретических исследований используются варианты теории процессов, то это упрощает расчеты. К таковым, например, относится теория пластических процессов малого кручения [88, 95], которая говорит о том, что кручение траектории мало, а вектор напряжений <У лежит в соприкасающейся плоскости. Если пренебречь круткой траектории, то функционалы и их аппроксимации значительно упрощаются. В таком случае мы подходим к уравнениям гипотезы компланарности Л.А.Ильюшина [116, 130].
В.С.Ленским была предложена гипотеза компланарности для произвольных траекторий по Э . Им же была проверена гипотеза компланарности для траекторий деформирования в виде трехзвенных пространственных ломанных [144, 149], для винтовых траекторий -
18
Р.А.Васиным [6] и Е.Танакой [161]. В.Г.Зубчаниновым показано, что гипотеза компланарности Ильюшина иногда не выполняется для локальнопростых процессов и указаны условия ее невыполнения. Из гипотезы компланарности Ильюшина следуют частные варианты теории пластичности: теория квазииростых процессов, теория пластичности для траекторий средней кривизны, теория Прагера, Прандтля-Рейса, теория течения с изотропным упрочнением и т.д. исходя их этого, на основе соотношений гипотезы компланарности Ильюшина можно проверить физическую достоверность нескольких вариантов теории пластичности на разных классах траекторий. Вместе с этим, для проверки теории пластических процессов
малого кручения [131], в которой функционалы —, М\Мз зависят от
<15
модуля вектора напряжений о, угла сближения У\ кривизны Х\ и кручения Жз траектории, необходимо проведение базовых экспериментальных исследований по пространственным траекториям.
Экспериментальные исследования по изучению закономерностей деформирования материалов при сложном нагружении и деформировании были выполнены на тонкостенных цилиндрических оболочках при одновременном действии растяжсния-сжатия, кручения и внутреннего давления. При этом, в оболочке, моделируется однородное плоское напряженное состояние, а в девиаторных пространствах реализовываются трехмерные процессы как по напряжениям, так и по деформациям. Поведение материалов по плоским многозвенным траекториям изучали
A.М.Жуков [103, 104], В.С.Ленский [143, 147, 150], Р.А.Васин [6],
B.Г.Зубчанинов [77, 81, 87, 92, 94], В.П.Дегтярев [10], Н.Л.Охлопков [95,96,97,98] и др. В этих работах проверялись фундаментальные гипотезы теории пластичности, закономерности изменения векторных и скалярных свойств материалов, проверялись аппроксимации определяющих функций пластичности.
19
Экспериментальные исследования по пространственным многозвенным траекториям были выполнены В.Г.Зубчаниновым [30, 83, 89, 90, 94, 97, 98, 101], Р.А.Васиным [6], Р.Н.Шировым, Танаки, Охаши [161],
B.C. Ленским [148]. Многие экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что первоначально изотропный материал становится анизотропным в результате пластической деформации.
Перечисленные испытания по плоским и пространственным траекториям достаточно сложны для экспериментального осуществления и требуют наличия автоматических аппаратных средств с применением управляющей ЭВМ, программного обеспечения, состыковки ЭВМ и нагружающего устройства. В настоящее время, в тверской научной школе под руководством проф. В.Г.Зубчанинова проводятся такие экспериментальные исследования на испытательном комплексе СН-ЭВМ.
Теория процессов, являющаяся основной теории пластичности и отражающая реальные пластические процессы использовалась в данной работе. На ее основе проводятся экспериментальные исследования на сложное нагружения с помощью СН-ЭВМ в Тверской научной школе под руководством В.Г.Зубчанинова, она позволяет получать все новые и новые закономерности поведения различных конструкционных материалов, исследовать пластические деформации.
20
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ПРОЦЕССОВ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ
В данной главе излагается новое современное направление в теории пластичности, разработанное А.А.Илыошиным [109, 120, 125] и развиваемое его научной школой и его учениками [45, 47 48] для произвольных процессов сложного нагружения. Главное отличие соотношений теории процессов от соотношений МДТТ и теории течения, состоит в том, что А.А.Ильюшин сумел геометрически изобразить процессы нагружения и деформирования в линейном векторном евклидовом пространстве и наряду со скалярными свойствами материалов явно выделить их векторные свойства. В теории процессов рассматриваются не только простые и скользящие процессы пластического деформирования и нагружения, но и более сложные, понять суть которых можно только с введением их геометрического изображения в векторных пространствах.
2.1 Постулат макроскопической определимости и общий постулат изотропии A.A. Илыошина для начально изотропных сред
В основе математической теории пластичности лежит постулат макроскопической определимости (ПМО), согласно которому макроскопическое состояние среды для любой величины, характеризующей ее термомеханическое состояние в момент времени /, определяется процессом деформирования либо нагружения в каждой частице среды х тела физического пространства при декартовом репере {^i9e2,e2}. Следовательно, физический закон в виде дифференциально-нелинейных определяющих соотношений является локально устойчивым для данной частицы среды, т.е. не зависит от процессов в соседних частицах среды. Кроме того, в некотором макрообъеме среды можно создать однородное напряженно-
21
деформированное состояние и температурное поле, полностью удовлетворяющие состоянию в данной частице х.
В общем случае ПМО утверждает, что возникший в процессе деформирования тензор напряжений (/) либо сго(/) и девиатор £,,(/)
являются вполне определенными однозначными функциями процесса, зависящими от функций /гДг), Г(г), /?(г) либо е0(т), Э,,(г), Г(г), /з(т). Следовательно,
(2.1)
или
<т0=^к,Г,/?}( 5, (2.2)
В соотношениях (2.2) выделен закон упругого изменения объема, так как возникновение пластических деформаций имеет сдвиговый характер, связанный с формоизменением тел. Данные соотношения получили название уравнений состояния сплошной среды или общего постулата изотропии для начально изотропных сред. Соотношения (2.1) и (2.2) должны оставаться инвариантными относительно ортогональных преобразований поворота начальных декартовых координатных осей хк (Д: = 1,2,з), для правильного отображения физических свойств среды.
А.А.Илыошин в 1945г [130] предложил обобщить тензорные соотношения В.Прагера и К.Хоэнемзера на упрочняющиеся среды Л(Эу) + 5(5у)+ С(</Эу) + £)(б/5'у) = 0 и записать его в виде одного
тензорного соотношения, из которого вытекали все существующие теории пластичности
Ж с1Э
м., + В-^-+ +... = Л'Э, + +... (2.3)
где коэффициенты А, В, С, ... А’, В*, С’, ... - функции инвариантов тензоров-девиаторов и параметр прослеживания процесса £ в частице тела.
22
В частности из (2.3) следует, что при простом нагружении все теории пластичности тождественно совпадают между собой и эквивалентны простейшей из них - теории малых упругопластических деформаций
5 =—Э © = 3£* = —
з у ’ К
где су = Ф{э) - универсальная функция.
В дальнейшем А.А.Илыошин предложил соотношение (2.3) в более
простой, но все же весьма сложной форме
а, =3Ке„ 5, =2>^А (/,/ = 1,2,3) (2.4)
я=0
где коэффициенты Ап зависят от всех трех инвариантов тензора деформаций
0 = Зе0 = 8Ц £1)У Э = Дэ;> Л = |^//19 а также температуры Т и других нетермофизических параметров.
2.2 Геометрическое представление тензоров и процессов в линейном евклидовом векторном пространстве
Множество элементов любой природы, в том числе тензоров напряжений (сгу) и деформаций (е0) называют в линейной алгебре [108] линейным векторным пространством, если для них определены операции сложения и умножения на скаляр X. Если, например, даны тензоры
(р'ЛШр«’™
|(р;)+и;)=(р;+п")
1 *(р,)=М
Так как скалярное произведение тензоров не обладает свойствами перестановки множителей, (р'Хр")* (/•>' Хр,/)> то в общем случае для них, как
элементов линейного пространства, нельзя ввести операцию скалярного произведения в данном виде. Следовательно, линейные тензорное пространство не является евклидовым.
23
Поэтому в линейной алгебре тензоры представляют в виде упорядоченной совокупности п-чисел Хк = р*, где п= 1,2,3,... 9. Для
симметричных тензоров (р,у=р^,п = б) тензор-элемент линейного пространства представляют в виде
Х = (р„)=(Хх,Хг„.(2.5)
где величины
Х\ — Рц*^2 — Р2 2»Х3 = Рзз, X 4 = рп>Хь — Р2з, X ь (2.6)
носят название координат тензора-элемента векторного пространства, а сам элемент-тензор X - [рп) называют в линейном пространстве векторами этого пространства.
Если X = (Хк)9 Г = (Га.) - два вектора, то они удовлетворяют не только операциям сложения и умножения на скаляр X, то есть (ХК)+(УК) = (ХК+УК\ а(Хк) = (АХк)9 но для них можно ввести и операцию скалярного умножения
Х-? = ХХ=ЩУ\,™[Х,Г) (2.7)
Такое линейное пространство называют евклидовым координатным линейным пространством.
Совокупность линейно-независимых единичных векторов
с, = (1А0...0), е2 = (0,1,0...0), і, = (0,0,1 ...0),...і„ = (0Д0...1) (2.8)
образует базис линейного евклидова координатного пространства. Так как
... /0 при і * у
і * у = у = | . . .
11 ирм1 - }
где 51} - символ Кронекера, то базис {£,} является ортогональным. Базис {£„} называется иногда в механике базисом В.Прагера.
Таким образом, каждый симметричный тензор второго ранга (/?,,), в том числе тензоры напряжений (<т„) и деформаций могут быть
представлены в линейном координатном векторном пространстве Еб в виде вектора.
24
где
Например, тензоры напряжений (сг„) и деформаций ) имеют вид
*-Хяёя.ЭшУиёя (« = 1,2,...6) (2.9)
XI — ^11» ^2 — &22 > ~ ^33, ^К ~ Л*» ^ 1 ~ Г23 » ~ ‘^^13
К = £ц, К2 = ^22 » П = ^33» ^4 = ^ЄП* ?! = ^Є2І* ^6 = ^,3
а их модули
(2.10)
Линейное евклидово координатное пространство может иметь несколько базисов. А.А.Ильюшин ввел в шестимерном векторном пространстве Е6 свой базис {/,}, связанный с базисом В.Прагера зависимостями
*0 “ ^ (^1 + ^2 + *1 “
ё,~^(ёг+ё3)
Л Л
? — £, ? А? А? А
*2 = ^ ' , *3 = *4» ^4 = *5» ^5 = ^6 '■
(2.11)
Тогда векторы напряжений и деформаций в Е6 будут
5=5Л, ё = эХ (к = 0,1,2,...5)
(2.12)
где
5„ = 7з<г0, 5, =73/25,,, .V, =л/2[5п +^5„'' 5”
к. ^
_ 22 ~°33
■ 72
(2.13)
Э22+^Э„
э,2 - э, 72
(2.14)
53 = *І2сг 12, 54 = 42<т23, 55 = л/2сг13 .
'
Э0 = л/3£0, Э, = ^3/2Эм, Э2 = V2
\
Э3 = 4їех1> Э4 = л/2£23, Э5 = 4їєіх.
Такое представление компонент векторов напряжений и деформаций соответствует разложению тензоров на шаровые и тензоры-деиваторы, а векторного пространства на одномерное Ео всестороннего растяжения-сжатия и пятимерное Е5 формоизменения, то есть
^ = ^0+^, Э=Э0 + Э (2.15)
где
25
<7=5/, Э = Э /
**• ’ \ А'
(2.16)
(2.17)
Учитывая, что объемная деформация упруга и определяется законом Бриджмена
0 = 3*о=^-,
все внимание в теории процессов и вообще в теории пластичности уделяется в Е5 поведению векторов а и Э, характеризующих формоизменение материалов.
Концы векторов а и Э в совмещенном пространстве Е5 с общим базисом {/,} описывают траектории нагружения с длиной дуги I и деформирования с длиной дуги 5. Геометрически каждая из траекторий в Е5 отображает процесс нагружения либо деформирования.
Траектория деформирования в Е5 с построенными в каждой ее точке векторами о, с1<т и приписанными с ней температурой Т, средней деформацией е0 и другими нетермофизическими параметрами |3 создают образ процесса деформирования в частице тела. Аналогично, вводится понятие образа процесса нагружения в совмещенном Е5. При вращении либо отражении траекторий в Е5, как жестких целых, инварианты е0, <т0 и углы
вида НДС <р, ^ изменяются. Это означает, что в общем случае при таких преобразованиях для начально-изотропных сред линейное координатное пространств. Е5 - неизотропно.
Соотношения общего постулата изотропии (2.2) можно с помощью преобразований (2.4), связывающих проекции векторов 5А.,Э„ и тензоров-девиаторов , Э,,, представить в виде
(2.18)
или после умножения на /х. и суммирования,
(2.19)
26
В каждой точке траектории деформирования можно построить обобщенный на многомерное векторное пространство естественный ортогональный подвижный репер Френе-Ильюшина {Д}. Единичные векторы этого репера удовлетворяют обобщенным уравнением Френе-Ильюшина
%--»ыРы+ЪРы (*=1,2,...5), (2.20)
аг>
где *б0 = 0, ж5 = 0. С учетом Д = (1Э 1(18 из (2.20) следует
л л 1 (12Э л 1 (1Э с!_ Г1 с12Э V
Рх (18 ’ Рг ж, (182 ’ Р} ж2 ** (К + (18 1*1 я2 )\
Используя эти соотношения (2.21) определяющие соотношения (2.18) преобразуются к виду
50 = ЗКЭ0> а = Ркрк (*=1,2,...5) (2.22)
где коэффициенты
рк ~ Рк{£о» (2.23)
- являются функционалами параметров процесса, в том числе трех
инвариантов тензора деформаций, четырех параметров (/я = 1,2,3,4) кривизны и кручения траектории, температуры Г, нетермофизических параметров р. Это означает, что каждая траектория в в общем случае отвечает различным физическим процессам.
2.3 Постулат изотропии и принцип запаздывания А.А.Илыошина
Многочисленные опыты для многих начально-изотропных материалов и их сплавов, в условиях начальной и повышенной температуры, малых деформаций показали, что влияние инвариантов с0, ср в Е5 является слабым. В этом случае для начально изотропных сред векторное пространство Е5, введенное А.А.Ильюшиным, можно считать изотропным по отношению к ортогональным преобразованиям вращения и отражения траекторий и образов процессов в целом. Это фундаментальное предположение по
отношению ко многим материалам позволило А.А.Ильюшину
27
сформулировать частный постулат изотропии в линейном многомерном пространстве: образ процесса деформирования сохраняется при всех преобразованиях вращения и отражения траекторий деформирования в Е5, если в соответствующих точках траектории сохраняются инварианты Т, р [111, 130].
Сформулированный выше закон остается наиболее общим на сегодняшний день в современной теории пластичности и ее теории процессов пластического деформирования. Вместе с постулатом изотропии
А.А.Ильюшин выдвинул принцип запаздывания векторных свойств материалов [120, 130]: ориентация вектора напряжений а относительно траектории деформирования определяется не всей историей процесса деформирования из начального состояния, а лишь некоторым ее конечным участком длиной к, который ему предшествует и называется следом запаздывания. Оказалось, что если радиус кривизны р траектории больше И, то вектор а практически совпадает с направлением касательной к траектории, а его модуль а является функцией только длины 5 траектории, т.е. практически является такой же универсальной функцией, как при простом нагружении. Длину следа запаздывания имеет смысл измерять тогда, когда последнее звено траектории - прямая линия [117, 127, 130]. Длина следа запаздывания при нормальной температуре имеет значение 10-15 упругих порядка еТ=<гТ/Е« 10~3, т.е. является нестабильной характеристикой материалов и зависит от нескольких факторов, таких, как кривизна предшествующего участка траектории, величины излома и т.д. Постулат изотропии подтверждается в опытах на простое и близкое к простому нагружениям. Установлена точность теории простых процессов по углу сближения $п которая составляет 6°-7°.
28
2.4 Общая теория определяющих соотношений теории процессов
В.Г.Зубчанинова
Общая теория определяющих соотношений в теории процессов была разработана В.Г.Зубчаниновым в 1989г [51].
В репере Френе {рк} можно разложить не только вектор а, но и другие физические векторы
dCT _» • da ф а /л а J4
^ = ls=P'p‘- (Z24)
Единичный вектор а можно представить в репере Френе в виде
<r = cos ßKP', (2.25)
где ßK - угловые координаты вектора а.
Тогда в формуле полного вектора
<г = Рврк=о&
коэффициенты
Рк-<у cos Д.. (2.26)
В работе [51] получены выражения коэффициентов
Р* = ——cos ß +аР°,
К г' К v * к *
К = ^(«»ДМ** C0SÄ-I -«*-1 cosA.,),
с помощью которых определяющее соотношение
da . а
dS "р‘
приводится к виду
где
Мк = а
Так как из (2.25) следует
ро_ро cos/?.
2 COS/?,
6- А oos А {кф2)
У2 cos у?2
(2.27)
^-(M.+A/cosA)A, (2.28)
29
то из (2.28) следует определяющее соотношение в виде
с1(Т л ...
-^7 = Мкрк+Ма.
Из (2.27) получена система уравнений
(2.29)
^•(cosA)-(a;, cos Д., -ас,., cos^..,)= 1[Л/, -(Л/„ cos/?Jcos/?J (2.30)
<т
Вместо угловых координат Д, в работе [62] вводятся полярные сферические Д по формулам
\ cos Д = cos Д, cos Д2 = sin Д cos Д, cos Д = sin Д sin Д cos Д, cos Д = sin Д sin Д sin Д cos Д, cos Д = sin Д sin Д sin Д sin Д.
(2.31)
Заменяя в (2.30) угловые координаты Д полярными сферическими, получим
dS
+ ас, cos Д = — [- Mt sin Д + Л/0 sin Д cos Д ]
(7
с/Д
sin Д —- + ге2 cos Д
dS
М
= ае, cos Д sin Д + —- cos Д
<7
(d&з
sin Д sin Д —- + зе3 cos Д = х2 sin Д cos Д sin Д + ydS
+—[Л/, cos Д - Мъ sin Д ]
<т
sin Д sin Д sin Д f + ге4 J = ае3 sin Д sin Д cos Д sin Д +
(2.32)
—[A/s cos Д - МА sin Д ]
(Т
где
Л/0 = Му cos Д + М4 sin Д, М, = МА cos Д + А/} sin Д. (2.33)
Система дифференциальных уравнений определяет углы Д (т = 1,2,3,4). Для их определения необходимо знать функционалы
(*=1,2,.„5) (2.34)
среди которых М2 — 0. Эти функционалы ответственны за описание векторных свойств материалов функционал daldS, входящий в функционал М ответственен за скалярные свойства.
30
Для плоских задач «93=»94=0, ж3=се4=0 основные уравнения принимают вид [97]
^ = M,pl+M<r + M,ps, а = cos Зх рх + sin i9, (cos ,92р2 + sin Эърг),
(2.35)
(2.36)
где
М = — - Му cos «9, - Мз sin «9, sin <9, dS
М, = K-k. Э, p, x„se2,T, fi}sV)
Для углов сближения «9, и депланации .92 имеем уравнения
+ ж, cos «92 = — [- My sin $у + Мг cos »9, sin Л ] dS а
d$.
Мг
(2.37)
sin *9, —L + ac2 1 = аг, cos *9, sin *92 -f-—-cos $
CT
Для плоских траекторий «92=0, ге2 =0 основные уравнения имеют вид
da .. а х ул
— = М,р,+Ма
а = cos «9, ру + sin i9, р2
M = — cosi9, = (Я-Л/.)cosЯ, Му =0 dS
dSy My .
—- + х, =----L sin 9.
dS 1 a 1
(2.38)
где функционал
P =
da 1
(2.39)
dS cos «9, носит имя А.Л.Ильюшина.
Соотношение (2.38), исключив А/, и М„ и а, также в несколько ином виде [51]
da
dS
da
d&
—cos »9, - a sin —— + ae,
dS
dS
Pi +
— sin .9, + a cos »9, \ ^- + Xy
da . ~dS
dSl
\dS
(2.40)
Pi
31
В частности для простых (пропорциональных) процессов при «9,= О, ге,=0,£ = Э,<7 = Ф(э) имеем дифференциальный закон
*.§45 (2.41)
где
— = 2GK = 2G(l - Л)
(1Э
- удвоенный касательный модуль сдвига, X - параметр разупрочнения А.А.Илыошина, G - упругий модуль сдвига.
2.5 Нелокальная форма определяющих соотношений В.Г.Зубчанинова
Из определяющего соотношения (2.35) локальной формы следует при исключении вектора рь нелокальная форма [51].
^ = Nlpl+N„6r + N:>3, (2.42)
dS
где
Nc = ^ - N} cos «9, - N3 cos a (2.43 )
dS
, N3 ~ функционалы процесса, cos «9 = p, • <т, cos 3 = a ■ Э.
Определяющее соотношение (2.42) играет большую роль при построении приближенной математической модели теории процессов и теории течения для траекторий малой и средней кривизны, когда закон упрочнения можно принять в виде закона Ильюшина-Одквиста <х = ф(5). Обычно соотношение (2.42) записывают в виде
da = Nxd3 + dS[Nla + М3Э J, (2.44)
где
К=^, (2.45)
a sj
32
2.6 Гипотеза компланарности А.А.Ильюшина
Гипотеза состоит в предположении, что для траекторий произвольной кривизны, но малого кручения аз2 « 0 векторы сг,</5\</Э всегда лежат в одной плоскости, то есть с достаточной для практики точностью совпадают с уравнениями (2.35), (2.44) для плоских траекторий. Обычно это уравнение записывают в виде
с/а = М1с!Э + (Р-М1)^-д: (2.46)
СГ
ИЛИ
2 С
'1 1
(2.47)
<7
VP
В соприкасающейся плоскости рассмотрим ортогональные векторы (л 1<т)
а = соб«9,Д + sin«9,jP2, n = -sm^lpl + cosi9,/>2. (2.48)
Тогда из (2.48) следует
_ dad da 1 dan
Р = —=— =-----------, м, =—=—.
dS a dS cos ,9, 1 d3 h
Гипотеза компланарности привлекательна тем, что определяющие соотношения многих частных теорий процессов пластического деформирования и теории течения следуют из ее определяющих соотношений (2.46), (2.47).
Так для квазипростых процессов (а = Э) при а = Ф(э) имеем
М, = J = 20, = 2G(I -v\P = ^ = 2Gk = 20(1 - Я) (2.49)
где со - параметр пластичности А.А.Ильюшина.
Для теории средней кривизны а = Ф(£) и
(2.50)
где со» » 0,68.
Для траекторий и теории малой кривизны, а = o(s) и из (2.40) при -> 0 .9,' ->0 следует
33
сісу сіа л л сі і (ІЗ
= Р. + (Т£Є./7, =-------------------- СУ-------
Ж 172
откуда, после интегрирования
— сіЗ сІ8 _ ,лГП
сг — сг— или с/Э =—су (2.51)
сіЗ а
При этом Мх неопределенно, а
_ ас _ </ф(5)
(/5 </5
В теории течения с изотропным упрочнением СУ=Ф(3)
М, =Ю, Р = — = —
В теории течения Пратера при а =Ф(э)
М, = 20, Р = ^._!_ = ^ = 2С1 соэ «9( ^ *
где «9, = 0, «Юсов© = Ю.
Общего вида аппроксимаций для М1У Р в теории комланарности А.А.Илыошина дано не было. Это было сделано В.Г.Зубчаниновым в его теории малого кручения [43].
2.7 Теория процессов малого кручения В.ГЗубчанинова
Теория процессов для траекторий малого кручения аз2 * 0 (теория малого кручения или вторая гипотеза компланарности) была получена в 1982г. [43] В.Г.Зубчаниновым. В ее основе лежало предположение о том, что при малом кручении траектории угол «9,= 0, то есть вектор а остаются лежать в поворачивающейся в пространстве соприкасающейся плоскости.
— 1 </2Э
Следовательно, в процессе деформирования вектора стуЮ = р.<&9 Д = т
ге, с13
остаются лежать в одной плоскости, то есть компланарны. Однако, вектор (}ст не остается лежать в этой же плоскости.
Основные уравнения теории малого кручения имеют вид
34