2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ОБЛАСТЯХ КОНТАКТА ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА
1.1. Задачи о взаимодействии штампов на грани упругого клина
1.1.1. Асимптотическое решение для случая относительно удаленных как друг от друга, так и от ребра клина штампов
1.1.2. Метод нелинейных граничных интегральных уравнений для случая, когда штампы расположены относительно близко от ребра клина или выходят на ребро
1.2. Задачи о взаимодействии штампов на грани упругого слоя
1.3. Выводы по главе 1
ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА, ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПР ИГР УЖЕННОЙ ВНЕ ОБЛАСТИ КОНТАКТА
2.1. Задачи Галина для пространственного упругого клина (область контакта известна)
2.1.1. Задача Галина для клина при свободной от напряжений другой грани
2.1.2. Задача Галина для пространственного упругого клина при скользящей заделке
2.2. Задачи Галина для пространственного упругого клина (область контакта известна) при различных условиях на другой грани
2.3. Выводы по главе 2
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ В КОНТАКТЕ С ЖЕСТКИМ ШТАМПОМ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ РАЗДЕЛА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
3.1. Контактные задачи для полосы при наличии дополнительных линий раздела граничных условий
4
11
13
13
20
25
30
31
32
32
39
45
50
51
51
3.1 Л. Нагружение полосы при сложных смешанных условиях на другой ее грани
3.1.2. Задача о штампе на грани полосы при смешанных условиях на другой грани
3.2. Контактные задачи для слоя при наличии дополнительных линий раздела граничных условий
3.2.1. Нагружение слоя при сложных смешанных условиях на другой его грани
3.2.2. Задача о штампе на грани слоя при смешанных условиях на другой грани.
3.3. Контактная задача для трехмерного клина при разделенных по линии граничных условиях на другой грани
3.4. Выводы по главе 3
ГЛАВА 4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЕЙ СЛОЖНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
4.1. Обзор задач о кручении и выбор методов решения соответствующих краевых задач
4.2. Задача Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения
4.2.1. Постановка задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения
4.2.2. Устойчивый численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения
4.2.3. Программная реализация численного метода решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения
4.2.4. Численные эксперименты решения задачи о кручении стержня произвольного односвязного сечения
4.3. Задача Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного сечения
4
4.3.1. Постановка задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной двусвязной областью сечения
4.3.2. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стержня методом конформного отображения
4.3.3. Программная реализация численного метода решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного сечения
4.3.4. Численные эксперименты решения задачи о кручении стержня произвольного двусвязного сечения
126
118
123
117
4.4. Экспериментальное исследование стержней на кручение
4.5. Выводы по главе 4 Выводы по работе Список литературы Приложение
137
139
153
132
136
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию и разработке методов оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанных на решении краевых задач упругости. Тема актуальна в связи с широким внедрением в машиностроении зубчатых зацеплений Новикова, а также в связи с кручением валов, осей и деталей машин.
До 1990-х годов расчет на контактную прочность зубчатых передач Новикова проводился на основе теории Герца (контактная задача для упругого полупространства). Построение аналитических функций Грина для трехмерного упругого клина позволило уточнить методику расчета зубчатых передач Новикова, учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина). Оценка напряженного состояния зубчатых передач остается актуальной, поскольку возможен контакт сразу по нескольким областям (шероховатая поверхность, передачи с двумя линиями зацепления).
В прикладной механике твердого тела по-прежнему актуальна также оценка с высокой точностью напряженного состояния стержней произвольной
5
формы поперечного сечения при кручении, особенно для неодносвязных областей сечений. Случай многосвязного сечения стержня осложняется тем, что в соответствующей краевой задаче имеются неизвестные заранее параметры, число которых определяется порядком связности области.
С середины 80-х годов ХХ-го столетия решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями становятся в центре внимания многих ученых и специалистов научно-исследовательских организаций и высших учебных заведений. Среди них ведущую роль занимают Институт проблем механики Российской академии наук (Москва), НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Донской государственный технический университет (ДГТУ) и др. Значительный вклад в становление и развитие механики контактного взаимодействия внесли ученые С.М. Айзикович, В.М. Александров, Ю.А. Антипов, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, В.Н. Беркович, Н.М. Бородачев, Ф.М. Бородич, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.А. Галанов, Л.А. Галин, Е.В. Глушков, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, A.A. Евтушенко, А.Б. Ефимов, Е.В. Коваленко, A.C. Кравчук, A.B. Манжиров, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, О.В. Онищук, В.В. Панасюк, В.З. Партон, П.И. Перлин, Б.Е. По-бедря, Д.А. Пожарский, Г.Я. Попов, B.C. Проценко, О.Д. Пряхина, Ю.Н. Работ-нов, В.Л. Рвачев, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, В.М. Толкачев, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, И.Я. Штаерман, J.R. Barber, G.M.L. Gladwell, K.L. Johnson, J.J. Kalker, L.M. Keer и др. Исследованию задач кручения посвящены труды Б.Л. Абрамяна, Н.Х. Арутюняна, И.А. Александрова, П.П. Куфарева, Н.И. Мусхелишвили, Ю.А. Устинова, C.Y. Wang, H. Haseg-avva, Н. Akiyama, S. Takahashi, A. Morassi и др.
Соответствие научному плану работ и целевым комплексным программам. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00004-а «Смешанные задачи для однородных и составных упругих областей с угловыми и коническими точками», а также в соответствии с научным планом работ ДГТУ в рамках научного направления
6
«Исследование краевых задач теории упругости для полосы, слоя, стержней и мембран».
Цель исследования. Получить новые знания о напряженном состоянии в области зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, которые основаны на применении развитых строгих математических методов решения краевых задач упругости.
Идея работы. Моделирование зуба зубчатой передачи Новикова трехмерным упругим клином для учета краевого эффекта вблизи кромки зуба и разработка новых высокоточных методов определения напряженного состояния стержня при кручении.
Методы исследования. Асимптотические методы, метод граничных интегральных уравнений (ГНУ), метод парных интегральных уравнений (ИУ), метод интегральных преобразований, метод конформных отображений.
Основные научные положения, защищаемые автором:
- асимптотический метод определения напряженного состояния в двух заданных симметричных областях контакта трехмерного упругого клина (модель зуба зацепления Новикова) эффективен вдали от ребра клина (кромки зуба); численный метод ГИУ для определения напряженного состояния в двух неизвестных областях контакта трехмерного упругого клина эффективен вблизи ребра клина;
- на регулярной поверхности зуба, моделируемой слоем конечной толщины, метод ГИУ позволяет определить напряжения в двух неизвестных симметричных областях контакта при учете сил трения;
- развиты методы определения напряженного состояния в области контакта трехмерного упругого клина при действии дополнительной пригрузки вне области контакта (асимптотический метод для заданной области контакта и метод ГИУ для неизвестной области контакта), позволяющие в дальнейшем при помощи метода Андрейкива-Панасюка исследовать контакт по нескольким несимметричным областям произвольной формы;
- развит метод определения напряженного состояния в области контакта для пространственного упругого клина, одна грань которого взаимодействует
7
со штампом, а на другой грани граничные условия разделены по линии параллельной ребру клина (часть грани, примыкающая к ребру, свободна от напряжений, другая часть лежит без трения на недеформируемом основании);
- для регулярной поверхности зуба, моделируемой полосой или слоем, развит метод решения плоской контактной задачи для упругой полосы, в одну грань которой внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется дополнительная линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть свободна от напряжений либо жестко защемлена); для осесимметричного контакта упругого слоя развит метод определения давлений, когда в одну грань слоя внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется круговая линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть иод областью контакта жестко защемлена либо свободна от напряжений);
- для определения напряженного состояния стрежня при кручении с произвольной односвязной областью сечения разработан устойчивый численный метод, основанный на прямом решении краевой задачи для гармонических функций в неклассической дискретной постановке с процедурой регуляризации. В случае двусвязного поперечного сечения произвольной формы развит метод конформного отображения. Полученные методы позволяют также вычислять крутильную жесткость стержня.
Научная новизна работы:
- получены модели взаимодействия зубьев зубчатых передач Новикова, при использовании фундаментальных решений трехмерных краевых задач для упругого клина, с учетом нескольких областей контакта, моделирующих шероховатости контактирующих поверхностей; это позволяет учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина);
- впервые развит асимптотический метод решения контактной задачи о взаимодействии двух штампов на одной грани упругого пространственного клина; развит метод ГНУ исследования контакта для трехмерного клина (регуляризация ядра ИУ на ребре клина, куда может выйти область контакта);
- впервые учтены силы трения при исследовании контакта в двух обла-
8
стях на регулярной поверхности зуба, моделируемого упругим слоем конечной толщины;
- обобщена трехмерная контактная задача Л.А. Галина для упругого полупространства на случай трехмерного клина об одновременном действии на грани упругого клина штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта;
- впервые развиты методы решения контактных задач для полосы, слоя, пространственного клина при дополнительных линиях раздела граничных условий на другой грани полосы, слоя, клина;
- развит метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольной односвязной области сечения в форме разновидности метода наименьших квадратов на основе аппроксимации регулярных функций многочленами и минимизации квадратичных невязок граничных значений соответствующей краевой задачи Дирихле с применением процедуры регуляризации по Тихонову для устойчивости решения;
- разработан метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня, основанный на предварительном конформном отображении данной области на круговое кольцо и последующем решении редуцированной краевой задачи Дирихле методом тригонометрических рядов. Предложен новый метод вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме.
Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается математической корректностью постановок решаемых задач, применением строгих математических аналитических и численных методов решения, совпадением результатов при применении для решения одной и той же задачи разных методов, совпадением результатов в частных случаях с результатами других авторов, совпадением результатов с экспериментом.
Научное значение результатов исследований. Развиты численные и аналитические методы решения сложных смешанных (контактных) задач, преимущественно пространственных, теории упругости для полосы, простран-
9
ственных слоя и клина, которые могут быть использованы при решении других подобных задач математической физики. Полученные результаты для трехмерного клина позволяют контролировать результаты решения аналогичных задач, получаемые методом конечных элементов (МКЭ), точность которого может ухудшаться вблизи угловых точек. Разработанные методы решения задачи Сен-Венана о кручении стержня, внеся незначительные изменения, можно применить также и к решению общих краевых задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для гармонических функций на плоскости.
Практическая ценность работы. Результаты позволяют уточнить методику расчета на прочность зубчатых передач Новикова, получивших широкое распространение в отечественном машиностроении. Разработанные программы для решения задачи о кручении стержней могут быть использованы в инженерной практике при автоматизированном проектировании валов, осей и деталей машин для исследования зависимости крутильной жесткости стержня от геометрических параметров и конфигурации его области сечения.
Реализация работы. Полученные решения новых контактных задач и разработанные методы решения задачи о кручении стержней приняты к внедрению в проектную и конструкторскую документацию ЗАО «Ростовгормаш». Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе кафедрой «Прикладная математика» ДГТУ для обучения студентов специальностей 230104 «Прикладная математика», 151001 «Технология машиностроения» и 110304 «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК».
Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические и численные исследования и основные результаты — автору диссертационной работы.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 2009 г.), II международной научно-практической конференции «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук» (Москва, 2010 г.), XXIII
10
международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010 г.), V Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2010 г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011 г., участие поддержано грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 11-01-16081-моб_з_рос), международной научно-практический конференций «Инновационные технологии в машиностроении и металлургии» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), а также на ежегодных научных конференциях ДГТУ (Ростов-на-Дону, 2010, 2011 гг.).
Награды. Соискатель получил стипендии Президента Российской Федерации и Губернатора Ростовской области (2010-2011 уч. г.), стал стипендиатом Программы поддержки технического образования Фонда А1соа (2010-2011 уч. г.); дипломант конкурса инновационных проектов молодых ученых, аспирантов и студентов, проводимого в рамках I молодежного инновационного конвента Южного федерального округа (Ростов-на-Дону, 2009 г.); дипломант международного конкурса молодых ученых «Современные технологии агропромышленного комплекса», проводимого в рамках 13-й международной агропромышленной выставки «Интерагормаш-2010» (Ростов-на-Дону, 2010 г.).
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 14 печ. работах, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, зарегистрированы 2 программы для ЭВМ в Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти».
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем работы составляет 152 страницы машинописного текста, содержит 20 рисунков, 39 таблиц, список литературы из 158 наименований.
II
ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ОБЛАСТЯХ КОНТАКТА ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА
Передачи Новикова появились в 1950-е годы, выполнен значительный объем теоретических и экспериментальных исследований, осуществлено массовое внедрение этих передач в ряде отраслей промышленности. Однако в расчетах этих передач на контактную прочность до 1990-х годов использовалась преимущественно модель герцевского контакта [43, 45]. Это не позволяет учесть краевых эффектов, связанных с выходом пятна контакта на кромки зубьев. Результаты решения трехмерных краевых задач для упругого клина [2], именно полученная в аналитическом виде функция Грина для трехмерного клина, позволили выбрать модель трехмерного клина для проведения прочностных расчетов зацеплений Новикова [42,44].
Актуальность исследования контакта в нескольких областях обусловлена тем, что, как известно [43, с. 42], контактирование зубьев передач Новикова с двумя линиями зацепления (ДЛЗ) происходит в нескольких точках. Такие передачи Новикова наиболее распространены. Количество точек контакта зависит от коэффициента осевого перекрытия по каждой из двух линий зацепления, от расстояния между проекциями на полюсную линию следующих друг за другом теоретических точек контакта, расположенных на разных линиях зацепления. Кроме того, контакт по нескольким областям может происходить вследствие шероховатости поверхности зубьев (дискретный контакт).
После определения контактных давлений возможен расчет на прочность внутри клина. Оказывается [76], что эффективные напряжения, входящие в критерий разрушения, достигают максимума на определенной глубине под поверхностью зуба. Это подтверждается и экспериментальными наблюдениями разрушения (образование подповерхностных трещин).
В данной главе зуб моделируется клином (на кромке зуба встречается двугранный угол около 105° [43]). Модель герцевского контакта (упругое полупространство) не учитывает изменение напряженного состояния вблизи кромки
12
зуба (краевой эффект). Модель функции Грина для чствертьпространства при скользящей заделке [53, 125, 126] дает существенную погрешность но сравнению с четвертьпространством со свободной гранью. Вдали от кромки зуба на регулярной поверхности зуб зацепления Новикова моделируется слоем или полупространством (при учете сил трения).
Набор методов решения смешанных, в частности, контактных задач развит в работах [3-7, 9, 20, 22, 23, 68-76, 84-86, 127, 130]. Еще Беляев Н.М. показал, что эффективные напряжения достигают максимума на некоторой глубине под поверхностью упругого полупространства [21]. Задачи о контактном взаимодействии между круговыми и эллиптическими штампами и упругим полупространством и на квазиклассическом основании рассматривались в [14 (обзор), 15-17, 34, 35, 135, 138]. Асимптотические и численные решения были получены для трехмерных задач о контактном взаимодействии одного штампа с гранью упругого клина [2, 68]. Ряд краевых задач для плоского составного упругого клина рассмотрен в диссертации Иванова Э.Г. [37]. Задачи с трением для случая одного штампа на слое и на полосе рассматривались в [10, 11, 121-124]. В [109] решена пространственная задача о контакте с упругим слоем системы двух симметричных эллиптических штампов с плоской подошвой (асимптотический метод решения). Контактные задачи для шероховатых тел, в том числе при использовании модели нелинейного покрытия Винклера, а также контактные задачи при учете трения рассматривались в работах [29, 33-35]. Ряд исследователей (например, Barber J.J.) развивают статистический (фрактальный) подход к описанию шероховатостей [17].
На Западе для решения смешанных задач теории упругости, в частности контактных задач, в основном применяются методы конечных и граничных элементов [128, 129, 131, 133, 136, 148, 149, 158]. Развитые нами методы помогают контролировать точность метода конечных элементов, которая может ухудшаться вблизи угловых линий (клин).
Основные результаты главы отражены в работах [60, 61, 145].
13
1.1. Задача о взаимодействии штампов на грани упругого клипа
1.1.1. Асимптотическое решение для случая относительно удаленных как друг от друга, так и от ребра клина штампов Постановка задачи о взаимодействии штампов на грани упругого клина. В цилиндрических координатах г, ф, 2 рассмотрим трехмерный упругий клин {г е [0, со), <р е [0, а], г € (- со, со)} угла раствора а, ось г направлена по ребру клина. Материал клина характеризуется модулем сдвига С и коэффициентом Пуассона V. Грань ф = 0 свободна от напряжений либо находится в условиях скользящей или жесткой заделки (задачи А, Б и В соответственно). В грань ф = а без перекоса вдавливаются два одинаковых эллиптических в плане штампа с плоским основанием, к которым приложены равные силы Р. Для простоты считаем задачи симметричными по координате 2. Осадка штампов равна 5. Пусть области контакта — известные эллипсы 0± = - Ь)2 /о2 + (г±И)2 /с2}, Ь>а>с, И>с (см. рис. 1.1). При заданных ве-
г
личинах а, б, а, с, /? и 5 требуется определить контактное давление под штампами оф = -<у(г, г),
(г,:)е^+иО_, ф = ос, и затем найти силу Р.
Используя известные функции Грина для трехмерного клина, т.е.
решения соответствующих задач о сосредоточенных силах на грани клина [2, 68], получим относительно функции <?(г, г) следующее ИУ
Рис. 1.1. Расположение штампов
на грани упругого клина, ф=а
(6=(?/( 1-у»:
\д(х,у)К.(х,у,г,г)с1х<^у=2т1в8, (/-,г)еП+иО_, (1.1)
- Київ+380960830922