Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой

Оглавление
Введение 6
1 Математическое моделирование нелинейного деформирования тел с кристаллической структурой 18
1.1 Введение ................................................................ 18
1.1.1 Кристаллическая решетка............................................ 20
1.1.2 Основные предположения............................................. 21
1.1.3 Межатомные силы.................................................... 21
1.1.4 Обозначения векторных и тензорных величин.......................... 23
1.2 Описание кристаллической упаковки частиц в рамках линейной теории
упругости................................................................ 24
1.2.1 Обозначения........................................................ 24
1.2.2 Уравнения динамики ................................................ 27
1.2.3 Соотношения упругости.............................................. 30
1.2.4 Переход к уравнениям сплошной среды................................ 36
1.3 Нелинейно-упругое деформирование кристаллической упаковки частиц . 40
1.3.1 Предварительные замечания.......................................... 40
1.3.2 Обозначения........................................................ 40
1.3.3 Уравнение статики в форме Пиола.................................... 42
1.3.4 Уравнение статики в форме Коши..................................... 43
1.3.5 Различные формы тензоров напряжений................................ 45
1.3.6 Связь тензора напряжений с деформацией сплошной среды .... 45
1.3.7 Линейная теория.................................................... 47
1.3.8 Физически линейный материал ....................................... 49
1.3.9 Физически линейный материал при малых деформациях.................. 51
1.4 Поликристаллические упаковки — выделение изотропной части нелинейных соотношений упругости 53
2
1.4.1 Обозначения и определения ...................................... 53
1.4.2 Представление определяющих уравнений в виде ряда.............. 54
1.4.3 Изотропные абсолютно симметричные тензоры ...................... 56
1.4.4 Представление свертки Кп(§) через степенные инварианты тензора е 57
1.4.5 Производящая функция.......................................... 58
1.4.6 Представление свертки Кп(§) через главные инварианты тензора | 60
1.4.7 Итоги........................................................... 61
1.5 Учет хаотической составляющей движения частиц ........................... 62
1.5.1 Уравнения движения ............................................... 63
1.5.2 Разделение движений............................................... 64
1.5.3 Осреднение уравнений движения..................................... 65
1.5.4 Осредненные энергетические характеристики......................... 65
1.5.5 Баланс энергии.................................................... 66
1.5.6 Связь микроскопических и макрюскопических величин................. 68
1.5.7 Вириальное преобразование ........................................ 69
1.5.8 Определяющие уравнения для давления и тепловой энергии .... 70
1.5.9 Адиабатическое приближение........................................ 71
1.5.10 Первое приближение по тепловому параметру......................... 73
1.5.11 Уточнение уравнения состоянии для случая сильного растяжения . 74
1.5.12 Второе приближение по тепловому параметру......................... 76
1.5.13 Линеаризация уравнения движения для случая малых деформаций 77
1.5.14 Дополнение: вывод макроскопических уравнений баланса.............. 80
1.5.15 Дополнение: поток энергии......................................... 83
2 Неклассические модели тел с усложненными свойствами 85
2.1 Влияние масштабного фактор>а на механические свойства модели. Приложение к механике наноразмерных объектов ................................ 85
2.1.1 Введение.......................................................... 85
2.1.2 Определение модулей упругости..................................... 86
2.1.3 Энергия деформирования............................................ 90
2.1.4 Учет атомов зторой координационной сферы.......................... 92
2.1.5 Обсуждение ....................................................... 95
2.2 Использование модели твердого тела в качестве частицы..................... 97
2.2.1 Введение.......................................................... 97
3
2.2.2 Векторный аналог динамических уравнений Эйлера.................... 99
2.2.3 Динамические переменные...........................................100
2.2.4 Дифференциальные уравнения для векторных динамических переменных 102
2.2.5 Дифференциальные уравнения для скалярных динамических переменных 105
2.2.6 Описание движения, основанное на векторах кинетического момента и угловой скорости 106
2.2.7 Задача Эйлера....................................................108
2.2.8 Движение твердого тела в среде с линейным сопротивлением ... 110
3 Компьютерное моделирование с использованием идеальных кристаллических упаковок частиц 112
3.1 Техника моделирования.................................................. 112
3.1.1 Уравнения движения ............................................. 112
3.1.2 Интегрирование уравнений движения............................... 113
3.1.3 Потенциалы взаимодействия....................................... 117
3.1.4 Диссипация.......................................................130
3.1.5 Нахождение ряда макроскопических характеристик простых кристаллических решеток 132
3.1.6 Равновесное состояние кристаллической решетки....................139
3.1.7 Определение параметров моделирования.............................142
3.2 Компьютерное моделирование неупругого деформирования..............147
3.2.1 Система из четырех взаимодействующих частиц......................147
3.2.2 Ступенчатый характер диаграммы нагружения........................149
3.2.3 Ударное деформирование.......................................... 151
3.2.4 Термическая коррозия.............................................154
3.2.5 Пробивание пластин...............................................154
3.2.6 Заключительные замечания ........................................154
3.3 Возбуждение хаотической составляющей скоростей частиц в результате
прохождения ударной волны...............................................156
3.3.1 Расчетная модель.................................................156
3.3.2 Результаты.......................................................158
3.3.3 Обсуждение ..................................................... 161
4
3.3.4 Выводы......................................................... 161
3.4 Влияние хаотической составляющей движения частиц на откольную прочность .......................................................................166
3.4.1 Расчетная модель................................................166
3.4.2 Результаты......................................................168
3.4.3 Зависимость прочности от начальной девиации скоростей частиц . 170
3.4.4 Обсуждение .................................................... 171
3.4.5 Выводи......................................................... 173
3.5 Трехмерные эффекты при компьютерном моделировании откольного разрушения .....................................................................178
4 Компьютерное моделирование с использованием пористых поликристалли-ческих упаковок частиц 182
4.1 Создание поликристаллических компьютерных материалов................182
4.1.1 Существующие методы............................................ 183
4.1.2 Создание материала из монокристаллических зерен.................184
4.1.3 Алгоритм последовательного заполнения...........................186
4.1.4 Квазистатические эксперименты с поликристаллическими материалами .................................................................190
4.2 Динамические эксперименты с поликристаллическими материалами . . . 193
4.2.1 Компьютерные эксперименты по откольному разрушению 193
4.2.2 Результаты экспериментов........................................196
4.2.3 Выводы......................................................... 197
4.3 Моделирование пластических эффектов при распространении ударных волн 199
4.3.1 Монокристаллический материал....................................199
4.3.2 Пористый кристаллический материал...............................202
Заключение 205
Литература 208
5
Введение
Актуальность темы
Нарушение континуальности материалов при сильном деформировании и разрушении создает серьезные сложности в описании подобных процессов в рамках классической механики сплошной среды. С другой стороны, развитие технологий, позволяющих изучать микроструктуру деформируемых тел, привело к накоплению фактов, свидетельствующих о чрезвычайно высокой роли внутренней структуры материала в процессах, сопровождающих его деформирование. Возросший в последнее десятилетие интерес к механическим свойствам нанообъектов потребовал еще более серьезного внимания к влиянию внутренней структуры материала на его механическое поведение. Особый интерес в этой области связан с появлением технологической возможности не только наблюдать и измерять элементы внутренней структуры твердых тел, но и оказывать влияние на эту структуру, а в случае нанотехнологий и создавать необходимые структурные элементы на .микроуровне. В этой ситуации особую актуальность приобретает развитие аналитических и компьютерных моделей, которые бы могли адекватно описать механические свойства подобных сред и структур.
Бурное развитие вычислительной техники позволило на новом уровне вернуться к проблеме описания сред с микроструктурой, дополняя компьютерным моделированием решение проблем, недоступных для аналитического решения. Компьютерное моделирование становится важным звеном, занимающим промежуточное положение между теорией и реальным экспериментом. Основываясь на теоретических моделях, компьютерный эксперимент осуществляется в результате численного расчета, где сложность модели может сколь угодно увеличиваться по мере развития вычислительных средств, добиваясь все более точного соответствия условиям экспериментальных исследований. Таким образом, с одной стороны, повышаются возможности теоретических исследований, а, с другой стороны, появляется возможность многократно дублировать дорогостоящие экспериментальные исследования. Не имея возможности существовать независимо от аналитической теории, создающей расчетную модель, и эксперимента, обеспе-
6
чиваюшего соответствие между моделью и реальностью, компьютерное моделирование оказывается важным звеном, объединяющим теорию и эксперимент.
В данной ситуации большие перспективы могут быть связаны с использованием метода частиц, который в последние десятилетия широко применялся в различных областях химии и физики, однако относительно мало использовался для моделирования механического поведения твердых тел. Являясь типичным методом компьютерного моделирования, по мере наращизания количественных возможностей вычислительной техники, он позволяет получать качественно новые результаты за счет количественной сложности компьютерной модели. Как принципиально дискретный метод, он не имеет недостатков континуальных моделей, проявляющихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретности его внутренней структуры. В применении и развитии метода частиц для моделирования процессов деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой и состоит основная задача данной диссертационной работы.
Методика исследований
Метод частиц состоит в представлении тела совокупностью взаимодействующих частиц (материальных точек или твердых тел), описываемых законами классической механики. Кроме того, существуют квантово-механические обобщения метода частиц, однако они выходят за рамки данной работы. Одним из наиболее хорошо разработанных вариантов этого метода язляется метод молекулярной динамики, на протяжении последних десятилетий интенсивно использующийся для исследования физико-химических свойств материалов. В классической молекулярной динамике в качестве частиц выступают атомы и молекулы, составляющие материал. В настоящее время потенциалы межатомного взаимодействия для важнейших материалов достаточно хорошо известны, что позволяет моделировать динамику молекулярных соединений с высокой степенью точности. В связи с открытием принципиально нозых механических и физических свойств у материалов, имеющих структурные элементы нанометрового масштаба, чрезвычайно повысился интерес к моделированию материалов на микроскопическом масштабном уровне. Метод молекулярной динамики, при сегодняшнем развитии вычислительной техники, позволяет рассматривать объемы материала размером до кубического микрометра, что соответствует примерно миллиарду частиц (куб 1000 х 1000 х 1000 частиц). Таким образом, практически любые наноструктуры могут быть смоделированы с чрезвычайно высокой степенью точности на современных многопроцессорных вычислительных системах. Поэтому данный метод является важнейшим теоретическим инструментом для
7
разработки нанотехнологий в механике материалов.
Для описания больших объемов материала, а тем более, макроскопических объектов, уже невозможно придерживаться молекулярной концепции, и частицы должны представлять собой элементы более крупного масштабного уровня (мезоуровня), такие, как, например, зерна материала. Такой подход начал интенсивно развиваться в последние годы в механике как альтернатива континуальному описанию материалов при сильном деформировании и разрушении. Подобный метод часто, по традиции, также называют молекулярной динамикой, хотя более правильно говорить о динамике мезочастиц.
Несомненное преимущество метода частиц по сравнению с методами, основанными на концепции сплошной среды, заключается в том, что он требует значительно меньше априорных предположений о свойствах материала. Действительно, использование только простейшего потенциала взаимодействия (например, типа Леннарда-Джонса) и незначительной диссипации позволяет моделировать такие сложнейшие эффекты, как пластичность, образование трещин, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы. Для описания каждого из этих эффектов в рамках сплошной среды требуется отдельная теория, в то время как при моделировании методом частиц эти эффекты получаются автоматически, в результате интегрирования уравнений движения. В частности, необратимость механических процессов достигается за счет перехода механической энергии длинноволновых движений материала в тепловую энергию хаотического движения частиц.
Потенциал взаимодействия в динамике частиц играет такую же роль, что и определяющие уравнения в механике сплошной среды. Однако структура потенциала неизмеримо проще, чем у определяющих уравнений, так как он представляет собой скалярную функцию расстояния, в то время как определяющие уравнения представляют собой операторы, в которые входят тензорные характеристики напряженного состояния и деформирования, а также термодинамические величины. Конкретный вид потенциала взаимодействия частиц определяется из сравнения механических свойств компьютерного и реального материалов. Для простейших характеристик, таких как, например, упругие модули, это сравнение может быть проведено аналитически. В остальных же случаях соответствие устанавливается на основе тестовых компьютерных экспериментов.
Сложности в описании процессов сильного деформирования и разрушения в рамках механики сплошной среды связаны в значительной степени еще и с тем, что на атомарном уровне структура материала дискретна, с введением модели сплошной среды эта дискретность теряется. Однако, для численного расчета неизбежно введение новой дискретности, диктуемой численным методом (метод сеток, конечных элементов и т. д.) Метод динамики частиц дает уникальную возможность устранить промежуточное кон-
8
тинуальное звено и совместить дискретность физическую с дискретностью, необходимой для численного расчета, что естественным образом может повысить и быстродействие, и точность вычислений.
Ограниченное применение метода частиц в механике разрушения до настоящего времени связано с тем, что этот метод требует значительных компьютерных ресурсов. Интенсивное развитие многопроцессорных вычислительных систем в России, в частности разработка многопроцессорных вычислительных технологий под руководством А. В. Забродина в Институте прикладной механики им. М. В. Келдыша [32, 33] делает возможным моделирование механических свойств материалов с высокой степенью достоверности. Метод частиц обладает тем преимуществом, что. в силу ограниченности радиуса взаимодействия между частицами, он допускает почти полное распараллеливание процессов, происходящих в смежных областях пространства. Это позволяет эффективно применять данный метод на многопроцессорных вычислительных системах, полностью реализуя их возможности по увеличению быстродействия и управлению большими объемами данных.
Все расчеты в данной работе проводились с помощью оригинальных компьютерных программ, разработанных автором и его учениками. Часть расчетов проводилась на персональных компьютерах, а решение наиболее крупных задач осуществлялось на многопроцессорных вычислительных системах.
Цель работы
Цель данной диссертационной работы состоит в применении и развитии метода частиц для аналитического и компьютерного моделирования механических процессов в твердых телах. Аналитическое моделирование применяется в задачах деформирования в рамках нелинейной термоупругости. Компьютерное моделирование используется для исследования процессов неупругого деформирования и разрушения, опираясь при этом на результаты аналитического моделирования.
Научная новизна
Научную новизну составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту.
1. В длинноволновом приближении решена задача о нелинейном упругом деформировании бесконечной монокристаллической упаковки частиц, получены как определяющие уравнения общего вида, так и для частных случаев геометрически нелинейного материала и материала Сетха. Выведены определяющие уравнения для
9
поликристаллической упаковки частиц при нелинейном упругом деформировании в виде ряда по степеням главных инвариантов тензора деформаций.
2. Развит подход, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании вблизи точки разрушения, получены уравнения состояния, позволяющие описать термодинамические процессы при сильном растяжении кристалла вплоть до точки разрыва.
3. Исследована задача об упругом деформировании конечного кристалла, найдены зависимости его упругих модулей от размеров кристалла. Полученные результаты позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц, а также позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмер-ных объектов.
4. Предложена специальная форма уравнений движения твердого недеформируемо-го тела, предназначенная для применения в методе частиц при моделировании материалов, обладающих внутренними вращательными степенями свободы.
5. На основании аналитического решения перечисленных выше задач нелинейной термоупругости для различных упаковок частиц разработана методика численного моделирования методом частиц макроскопических процессов в твердых телах с микроструктурой. На основе данной методики исследован ряд конкретных задач о сильном деформировании и разрушении твердых тел.
6. Численно исследована задача об откольном разрушении при плоском ударном взаимодействии двух пластин. Показано, что в зоне откольного разрушения дисперсия скоростей частиц имеет локализованный максимум. Доказано, что, несмотря на удвоение массовой скорости на свободной поверхности мишени, возрастания дисперсии на свободной поверхности не происходит.
7. Моделирование откольного разрушения позволило дать объяснение экспериментальному факту взаимосвязи откольной прочности и дисперсии скоростей частиц. Показано, что увеличение дисперсии приводит к размыванию фронта ударной волны и к интенсификации релаксационных процессов, что в конечном итоге приводит к повышению прочности материала.
8. Разработана методика создания поликристаллических компьютерных материалов с различными механическими свойствами. Решена задача об одноосном квазистати-ческом сжатии поликристаллических образцов, получены зависимости прочностных характеристик от структуры материала.
10
9. Исследована задача об откольном разрушении в поли кристаллическом материале, выявлена зависимость характера разрушения и откольной прочности от пористости материала. Показано разделение фронта на упругий предвестник и пластический фронт, исследована зависимость данного эффекта от величины пористости и скорости ударника.
В совокупности полученные результаты позволили разработать новый подход к анализу деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой.
Достоверность полученных результатов
Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей и применением строгих математических методов; сравнением результатов аналитических исследований и численных расчетов; использованием при компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение; применением современных методов и вычислительных средств; сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.
Практическая значимость работы
Разработанные методы моделирования могут эффективно использоваться для анализа деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой, начиная от нанообъектов, и заканчивая макроскопическими телами. Предложенные методы компьютерного расчета могут использоваться для проведения компьютерных экспериментов, заменяя тем самым значительную часть дорогостоящих натурных экспериментов. Практическая значимость работы подтверждается ее успешным применением для решения прикладных задач, таких как откольное разрушение при плоском ударном взаимодействии пластин, пробивание пластин ударниками различной формы, динамическое взаимодействие инструмента с материалом при вибрационном сверлении, моделирование механических свойств мелкодисперсных порошков.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на семинарах кафедры “Теоретическая механика" СПбГТУ, Института проблем машиноведения РАН (С.-Петербург), Института прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва), кафедры Электроники и электромагнетизма Университета Севильи (Испания), Инженерного департамента Абердинского
11
университета (Великоборнтания), а также на всесоюзных и международных конференциях: “Асимптотические методы в механике" (С.-Петербург 1994), “Инновационные наукоемкие технологии для России” (С.-Петербург 1995), 1С1АМ!95 (Гамбург), GAMM’96 (Прага), “Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (С.-Петербург 1996. 1997. 1998), 2nd ENOC (Прага 1996), “Длительная прочность и неупругое деформирование материалов и элементов конструкций при сложных режимах термомеханического нагружения” (С.-Петербург 1996), GAMM'97 (Регенсбург), EUROMECH 362 (Манчестер 1997). 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference (Стокгольм 1997), SMiRT М (Леон 1997), GAMM’98 (Бремен), “Nondestructive Testing and Computer Simulations in Sciences and Engineering" (С.-Петербург 1998), HVIS'98 (Хант-свил, США), ICIAM’99 (Эдинбург), DETC99/V1B (Лас Вегас), EURODYN’99 (Прага), NOMS’99 (С.-Петербург), АРМ’2000 (С.-Петербург 2000), АРМ’2001 (С.-Петербург), EUROMECH 425 (Абердин, Великобритания 2001), VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь 2001).
Публикации
По теме диссертационной работы опубликовано 55 научных работ, список которых приведен в диссертации.
Структура работы
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Главы !, 2 посвящены аналитическому моделированию деформирования сред с микроструктурой и получению аналитических зависимостей, необходимых для компьютерного моделирования. Главы 3, 4 посвящены компьютерному моделированию деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой.
Обзор литературы
Исследование сред с микроструктурой в значительной степени началось с анализа динамики кристаллических решеток. Основополагающими в этой области считаются работы М. Борна и др. [10], [11|, [12]. В них, в частности, получены линейные соотношения упругости для идеального кристалла на основе развитого Борном метода длинных волн. Впоследствии механика кристаллических решеток исследовалась многими авторами [34, 75, 76, 82, 89, 90, 95, 161] и др. Методика получения макроскопических
12
уравнений в большинстве указанных работ близка к методике [12]. Достаточно полный обзор механики идеальных кристаллов имеется в книге Г. Лейбфрида “Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов” |89]. Обзор различных теорий кристаллических решеток, а также сравнение их с экспериментальными данными содержится в работах (83. 120, 139, 144]. В частности, в недавней обзорной работе [139] анализируется связь параметров потенциалов взаимодействия с термодинамическими характеристиками атомарных и молекулярных систем. Ангармонические эффекты в кристаллах, применительно к исследованию их термодинамических свойств, исследуются в [90]. В работах Л. И. Слепяна [134, 135, 136] получены аналитические решения задач деформирования для кристаллических решеток с трещинами, аналитическое и компьютерное исследование этих задач продолжено в работах Н. Ф. Морозова и М. В. Паукшто [112, ИЗ, 114]. В работе Э. Л. Аэро [2] аналитически получен бифуркационный переход от чисто упругой деформации двумерной решетки к упругопластической. В работах С. А. Кукушкина и др. [19. 80, 79, 81] детально исследованы кинетические процессы в твердых кристаллических телах. Колебательные процессы в бесконечной кристаллической решетке подробно рассмотрены в монографиях А. М. Ко-севича [75, 76]. В монографии И. А. Кунина [82] механика сред с микроструктурой рассматривается с позиций квазиконтинуума, что позволяет использовать континуальные уравнения для сколь угодно коротких волн в среде. В работах Ю. И. Мещерякова и др. [107, 108, 109, 110, 269, 270, 271, 272] проводится аналитическое и экспериментальное исследование кинетических процессов на микро- и мезоуровне и определяется их связь с прочностными характеристиками твердых тел при ударном нагружении.
Особенностью данной диссертационной работы является аналитическое получение нелинейных определяющих уравнений кристаллической упаковки частиц при сколь угодно больших деформациях вплоть до точки потери упругости; в работе рассматриваются частные случаи, соответствующие геометрически нелинейному материалу и материалу Сетха; дается микроскопическая трактовка различных тензоров напряжений, используемых в нелинейной механике деформируемого твердого тела; учитывается тепловое движение, нерегулярность внутренней структуры и ограниченность размеров кристалла. В частном случае линейного материала для тензора жесткости получаются уравнения, которые могут быть сведены к классическим [12, 89], однако более удобны для последующего применения при численном моделировании методом частиц. Для учета в механических уравнениях теплового движения частиц используется метод разделения медленных и быстрых движений, близкий к методу И. И. Блехмана, развиваемому в вибрационной механике [7]. основное различие состоит в хаотичности тепловых движений, рассматриваемых в данной работе.
13
Метод частиц, как метод численного моделирования сред с микроструктурой, исторически начал развиваться на двух полюсах масштабной лестницы — в описании микромира (метод молекулярной динамики) и сверхмакромира (звездные и галактические системы). В основе метода лежало представление вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек, в качестве которых могли выступать как атомы в молекулярной физике, так и звезды в астрофизике. Возможность использования сходного метода для столь разных систем связана с тем. что к те и другие системы в рамках классической механики описываются аналогичными уравнениями, различие состоит только в масштабе и виде потенциалов взаимодействия. Первые работы в этих двух областях относятся примерно к одному и тому же времени — началу 60-х годов, когда появились первые достаточно быстродействующие компьютеры. Разрыв между этими двумя областями был огромен и начал только немного сокращаться в последнее время, когда мощность вычислительных систем, за счет роста количества используемых в моделировании частиц, позволила подниматься с микроуровня на мезоуровень и даже макроуровень.
Оставляя вопросы, связанные с астрофизикой, за рамками данного обзора, остановимся вкратце на истории развития метода молекулярной динамики (МД), но возможности придерживаясь работ, но своей направленности более близких к вопросам механики деформируемого твердого тела. Первая статья, посвященная МД была написана Б. Ал-дером и Т. Вейнрайтом в 1957 (1551. В этой работе исследовалась фазовая диаграмма системы жестких сфер. Видимо первая работа, в которой рассматривался непрерывный потенциал взаимодействия и использовалась разностная схема для решения уравнений движения, была опубликована в 1960 Дж. Гибсоном, А. Голандом, М. Милграмом и Г. Виньярдом [204]. В работе исследовалось возникновение дефектов кристаллической структуры под действием радиоактивного излучения в системе из 500 атомов. В 1964 была опубликована работа А. Рахмана [292], в которой исследовались свойства жидкого аргона, описываемого потенциалом Леннарда-Джонса. В 1967 Л. Верле рассчитал фазовую диаграмму аргона при том же потенциале взаимодействия, предложив при этом алгоритм численного интегрирования, получивший впоследствии его имя (алгоритм Верлс) |312, 313]. Репринты первых ключевых работ по МД опубликованы в [181. 182].
Первые моделирования плоских ударных волн с использованием непрерывного потенциала опубликованы в 1966 (307], где исследовалось распространение упругих волн э одномерной среде (рассматривался трехмерный кристалл, но фиксация атомов в соседних плоскостях, фактически, сводила задачу к одномерной). Несколько позже в трудах симпозиума ШТАМ были опубликованы работы по моделированию ударных
14
волн в двумерных [308] и трехмерных кристаллах [187]. В работе [187] была впервые применена методика “подвижного окна”, следящего за фронтом ударной волны. Еще через несколько лет была опубликована подробная статья [287] по моделированию ударной волны в трехмерном кристалле. По мере роста мощности вычислительных систем стало возможно более детальное исследование процессов, сопровождающих распространение ударных волн. Так Б. Холиан и Г. Страуб провели исследование структуры фронта ударной волны в одномерном [212] и трехмерном кристаллах (213], показав невозможность пластических эффектов в одномерном случае (распад фронта на цепочку солитонов) и аналогичное поведение фронта в трехмерном случае при отсутствии теплового движения. Только наличие достаточно высокого уровня теплового движения частиц приводило к исчезновению солитонов и переходу их энергии в пластическую деформацию кристалла. Чуть раньше (в 1978 г.) советские исследователи В. Ю. Клименко и А. Н. Дремин опубликовали работу по моделированию ударных волн в жидкости [52, 53], опередив тем самым американских исследователей [214, 215, 223]. К тому же времени относятся работы М. А. Могилевского [273]. С использованием многопроцессорных вычислительных систем группа исследователей из Лос Аломос-ской лаборатории провела многочисленные исследования ударных процессов методом частиц с постоянно увеличивающимися объемами рассматриваемых систем, из которых особенно выделяются работы Б. Холиана и др. [216, 218, 222]. Отметим также работы В. Хувера и др. [223, 225, 226, 227, 228] по теории МД моделирования, работы Ф. Абрахама, X. Гао и др. 1152, 153, 154, 194, 195, 200, 201, 207, 208] по моделированию роста трещин. Метод частиц успешно применяется к решению широкого спектра задач, включая моделирование жидких кристаллов [157, 163, 1711; моделирование нанообъектов [175, 185, 300. 301, 302, 310]; физика поверхностей [189, 191, 303, 304, 318] и др. [167, 184, 190, 195, 198, 222, 275, 298, 306].
Советским исследователям из-за отсутствия столь быстродействующей техники было сложно конкурировать с американскими коллегами но объему вычислений, тем не менее на качественном уровне удалось достичь значительных результатов. В последнее время, благодаря появлению в России достаточно быстродействующей техники, в частности, многопроцессорных вычислительных систем, разрабатываемых под руководством А. В. Забродина в Институте прикладной механики им. М. В. Келдыша [32, 33]. у российских ученых появилась возможность вступить в конкуренцию и на количественном уровне.
Отметим работы следующих советских и российских исследователей в области компьютерного моделирования методом МД и методом частиц: С. И. Анисимов. В. В. Жа-ховский и др. [158, 322, 323, 324), E. Н. Бродская и А. И. Русанов [13, 177, 178],
15
И. Ф. Головнев, В. М. Фомин и др. [8, 9, 26. 27, 28, 29, 30], В. Ю. Клименко и А. Н. Дре-мин [52, 531, В. А. Лагунов и А. Б. Синани [85, 86, 87], А. И. Мелькер и др. [97, 99, 101, 102, 104. 105, 266, 268], Н. Ф. Морозов и М. В. Паукшто [112, 113, 114], В. Л. Попов и др. [122, 130], С. Г. Псахье и др. [43, 44, 131, 132, 133], В. Г. Чудинов и др. [147, 148], Ю. Г. Яновский и др. (150, 151], и ряда других авторов [21, 78, 117, 118, 141]. Остановимся чуть подробнее на некоторых работах из числа перечисленных выше. В работах И. Ф. Головнева, В. М. Фомина и др. предложен пропагаторный метод интегрирования уравнений динамики частиц [26, 27], исследовано распространение ударных волн и процесса детонации в одномерном кристалле [28, 30, 143], изучены задачи о соударениях сферических кластеров [8, 9]. В работе [87] В. А. Лагуновым и А. Б. Синани методом молекулярной динамики исследованы задачи о растяжении кристаллов, моделирующие эксперименты но одноосному нагружению. В работах А. И. Мелькера и др. с позиций молекулярной динамики исследуются процессы зарождения разрушения [96, 98, 99, 1111; изучаются деформирование и самоорганизация полимеров [ 100, 103, 104. 105]. В работах Н. Ф. Морозова и М. В. Паукшто [112, ИЗ, 114] проведено сравнительное численное и аналитическое исследование задач деформирования кристаллических решеток с трещинами.
Подробная информация о работах в области компьютерного моделирования методом частиц содержится в обзорных статьях [166, 199, 218, 280, 285, 288, 297, 299, 309, 311] и монографиях 1156, 181, 209, 211, 225, 296]. Отметим также обзорные статьи Б. М. Смирнова [137, 138, 139].
Для моделирования нелинейных процессов в сплошных средах применяется также семейство методов, в которых частицы используются как численный прием для интегрирования континуальных уравнений динамики сплошной среды, что отличает их от метода частиц, рассматриваемого в данной работе. Это метод частиц в ячейках М. Эванса и Ф. Харлоу [193, 145], его дальнейшее развитие — метод свободных точек В. Ф. Дьяченко [18, 188], метод крупных частиц О. М. Белоцерковского и Ю. М. Давыдова [6, 16]. К этой же группе относится метод гидродинамики гладких частиц [267, 314] и другие методы. В перечисленных методах за основу берутся континуальные уравнения сплошной среды, чаше всего это уравнения гидро- и газодинамики, а частицы играют роль дискретных элементов, позволяющих свести уравнения в частных производных к разностной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. По своей сути эти методы являются континуальными, дискретность в них чисто вычислительная. Метод частиц и метод молекулярной динамики, рассматриваемые в данной работе, отличаются от перечисленных методов тем, что в них за основу берутся уравнения движения самих частиц (обыкновенные дифференциальные уравнения), определяемые балансом
16
количества движения и потенциалом взаимодействия между частицами, то есть данные методы являются истинно дискретными. Разумеется, в результате длинноволнового приближения и осреднений, из уравнений движения частиц могут быть приближенно получены соответствующие им уравнения сплошной среды (этому вопросу посвящена первая глава данной работы), что позволяет определить параметры моделирования через параметры моделируемой макроскопической задачи. Однако, исходными для метода частиц, рассматриваемого в данной работе, являются микроскопические, а не макроскопические уравнения. Отметим, однако, что. как было показано В. Хувером [227|, при определенном выборе параметров моделирования, метод гидродинамики гладких частиц (континуальный) и метод молекулярной динамики (дискретный) могут давать идентичные траектории частиц. С другой стороны, сравнение метода гидродинамики гладких частиц и сеточного метода С. К. Годунова 125, 23], широко применяемого для решения задач газовой динамики, показывает совпадение результатов расчетов (314]. Все это свидетельствует о глубинном родстве перечисленных методов и возможной эквивалентности микро- и макроскопических подходов.
Отличие методов моделирования, разрабатываемых в данной работе, от имеющихся в литературе, состоит прежде всего з том, что они используют и развивают метод частиц применительно к решению задач механики деформируемого твердого тела. Новизна результатов данной работы определяется разработкой оригинальных методов определения параметров численной модели по макроскопическим параметрам моделируемого объекта, учетом хаотической компоненты движения частиц для адекватного описания прочностных характеристик среды, учетом вращательных степеней свободы частиц, использованием неидеальных упаковок частиц (поликристаллических, пористых), развитием методов создания подобных упаковок. На основании разработанных методов в данной работе решен ряд конкретных задач, имеющих прикладное значение, в том числе задачи по распространению ударных волн и откольному разрушению в твердых телах с микроструктурой.
Используемое в данной работе описание нелинейной механики сплошной среды опирается на работы П. А. Жилина, Л. И. Лурье, В. А. Пальмова, К. Трусделла [40. 92, 124, 142]. В настоящей работе используется язык прямого тензорного исчисления (31, 39, 77, 84|. В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А. И. Лурье [91, 92]. хМетодика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики деформируемого твердого тела отражена в монографии В. А. Пальмова [124]. Особенности тензорного аппарата. необходимые при описании механики сплошной среды и динамики твердого тела, излагаются в работах П. А. Жилина [35, 39, 41].
17
Глава 1
Математическое моделирование нелинейного деформирования тел с кристаллической структурой
1.1 Введение
Простейшей моделью твердого тела с микроструктурой является идеальный монокристалл. В силу его регулярности, многие соотношения, связывающие параметры микроструктуры с макроскопическими параметрами деформирования, удается получить аналитически. С одной стороны, подобные аналитические соотношения представляют самостоятельный интерес для теоретического анализа деформирования кристаллических твердых тел. С другой стороны, они необходимы для постановки задач компьютерного моделирования процессов деформирования и разрушения методом частиц, так как в основе этого метода лежит представление твердого тела с помощью различных упаковок частиц, из которых монокристаллические являются наиболее широко используемыми. В данной главе предложено математическое описание нелинейного деформирования тел с кристаллической структурой. В основном изучаются монокристаллические структуры, однако, также рассматривается осреднение нелинейных определяющих уравнений, позволяющее описывать деформирование поликристаллических материалов.
Рассматривается множество частиц (материальных точек), взаимодействующих между собой парными центральными силами. В равновесии расположение частиц в пространстве характеризуется трансляционной симметрией — то есть они образуют идеальную кристаллическую решетку. Силы взаимодействия в общем случае нелинейны. Рассматривается как линейное, так и нелинейное, но обязательно упругое деформирование системы. Впрочем, ряд результатов может быть распространен и на некоторые случаи неупругого деформирования. Кроме того, будем считать, что каждая частица
18
взаимодействует лишь с ограниченным числом соседей — это позволит при переходе к макроскопическому масштабному уровню получить локальную теорию. Для ряда кристаллов предлагаемая модель является весьма точной — прежде всего это относится к Ван-дер-Ваальсовым кристаллам и ионным кристаллам, центрально-симметричным относительно любого узла решетки. Более подробно этот вопрос обсуждается ниже. Для наглядности будем иногда называть частицы атомами, хотя они не обязательно таковыми являются.
Данная глава состоит из вводной части и четырех основных параграфов. Используемое ниже описание нелинейной механики сплошной среды опирается на работы [40, 92, 124, 142]. Параграф 1.2 посвящен выводу линейных макроскопических уравнений из микроскопических. Рассматривается получение только механических уравнений, вопросы термодинамики не затрагиваются. Выкладки проделаны для трехмерного пространства, однако практически без каких-либо изменений они могут быть перенесены на пространство произвольной размерности, в частности размерности 2.
Остановимся на сравнении изложенного в параграфе 1.2 способа получения макроскопических уравнений с существующими в литературе. Прежде всего в работе не используется понятие потенциальной энергии деформации. Это, во-первых, связано со сложностью строгого определения этого понятия для бесконечного кристалла (суммы, определяющие энергию деформации, вообще говоря, расходятся), а во-вторых, потому, что исходя из целей данной работы, для вывода макроскопических уравнений удобнее использовать уравнения движения частиц. Результатом такого подхода стало появление еще на микроскопическом уровне тензора напряжений, а также получение уравнений динамики сплошной среды в том виде, в каком они появляются в теории сплошных сред
независимо от определяющих уравнений. Во-вторых, в работах, посвященных механике кристаллической решетки, определяющие уравнения как таковые не получались. Применение длинноволнового приближения к уравнениям колебаний решетки давало уравнения, соответствующие уравнениям теории упругости в перемещениях, и из сравнения. с последними определялись упругие модули. Развитый же в данной работе подход позволяет непосредственно выводить определяющие уравнения.
Параграф 1.3 посвящен получению нелинейных макроскопических уравнений. Для простоты рассматривается статика простой решетки, однако это практически не снижает общности, так как замена массовых сил инерционными дает уравнения динамики, а главной задачей параграфа является получение определяющих уравнений, одинаковых в статической и динамической постановках. Исследование ведется в том же ключе, что и в параграфе 1.2. Определяются из микроскопических соображений тензоры напряжений
19
Пиола и Коши, выводятся соответствующие им уравнения статики сплошной среды. Получаются в общем виде определяющие уравнения. Рассмотрен также ряд приближений, в том числе соответствующих геометрически нелинейному материалу и материалу Сетха. Отметим, что полученные определяющие уравнения, вообще говоря, могут описывать и неупругую деформацию. Однако при появлении пластичности потребуется учет теплового движения, возможно, придется критически подойти к получению длинноволнового приближения.
Параграф 1.4 посвящен выделению изотропной части определяющих уравнений. Получены формулы, позволяющие определить плотность внутренней энергии через главные инварианты тензора деформации в произвольном нелинейном случае. В ходе исследования развит оригинальный математический аппарат, доказан ряд теорем об абсолютно симметричных тензорах произвольных рангов. Результаты параграфа предназначены для описания свойств поликристаллических материалов, в том числе при компьютерном моделировании.
В параграфе 1.5 развит подход, основанный на разделении быстрых и медленных движений, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании в случаях, когда использование подходов, основанных на методах статистической физики оказывается слишком сложным, например, вблизи точки разрушения. Предлагаемый подход удобен для определения термодинамических величин в ходе моделирования.
Ниже приведем некоторые общие сведения, необходимые для дальнейшей работы.
1.1.1 Кристаллическая решетка
Кристаллической решеткой называется множество точек (узлов) в трехмерном пространстве, для которого существует такая тройка некомпланарных векторов, что смещение этого множества на любой из них есть тождественное преобразование. Очевидно, что подобное множество должно быть неограниченным в пространстве. Если указанная тройка векторов существует, то она может быть выбрана не единственным образом. В качестве основной тройки выбирается такая, чтобы параллелепипед, построенный на ее векторах, имел минимальный объем. Эти векторы называются основными, а параллелепипед — элементарной ячейкой. Основные зекторы также определены неоднозначно, однако всегда можно выделить какую-нибудь одну тройку из возможных. Введенное понятие решетки очевидным образом может быть распространено на пространство произвольной размерности, в том числе на одно- и двухмерные пространства.
Совокупность узлов, которая может быть получена из некоторого одного узла композициями перемещений на основные векторы, называется решеткой Браве данной кри-
20
сталлической решетки. Решетка, совпадающая со своей решеткой Браво, называется простой, не совпадающая — сложной. Сложная решетка состоит из нескольких вставленных друг в друга одинаковых решеток Браве. Иными словами, простой называется решетка, для которой перемещение на вектор, соединяющий любые 2 узла, есть тождественное преобразование. Элементарная ячейка простой решетки содержит один узел, сложной — несколько. В случае узлов, находящихся на границе ячейки, требуется следующее уточнение: элементарной ячейкой называется объединение внутренней области соответствующего параллелепипеда с такой частью его границы, чтобы перемещая ее на основные векторы можно было заполнить все пространство без перекрытий.
Отметим, что только при недеформированном состоянии кристалла частицы находятся в узлах решетки, при деформации они получают некоторые смещения и с узлами уже не совпадают.
1.1.2 Основные предположения
Будет рассматриваться совокупность частиц, образующих в равновесном состоянии идеальную кристаллическую решетку. Частицы будем называть атомами, а всю совокупность кристаллом. Как уже отмечалось ранее, эти названия, з известной мере, условны. Силы взаимодействия между атомами полагаются парными, центральными, зависящими только от межатомных расстояний. Кроме того предполагается, что они достаточно быстро убывают на расстоянии, в результате чего можно считать, что атом взаимодействует лишь с ограниченным числом соседей.
Для получения макроскопических уравнений будет использоваться так называемое длинноволновое приближение. Суть его состоит в том, что рассматриваются лишь функции, мало меняющиеся на расстояниях, сравнимых с длинами основных векторов. В динамике это »можно сформулировать так: рассматриваются волны, длины которых много больше межатомных расстояний. Тепловое движение ни в коем случае не является длинноволновым, поэтому все рассуждения будут вестись для некоторых осредненных характеристик. Вопросы осреднения и тепловые эффекты рассматриваются в параграфе 1.5.
1.1.3 Межатомные силы
Рассмотрим существующие в природе основные типы межатомных взаимодействий. По характеру преобладающих сил взаимодействия кристаллы грубо могут быть разделены на четыре группы:
21