Метод решения краевых задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций : Прочность, устойчивость, колебания

СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ...............................................
ВВЕДЕНИЕ .................................................. 6
ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОДНОСЛОЙНЫХ И
МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК................................ 56
1.1. Нелинейные и линейные геометрические соотношения 56
1.2. Соотношения упругости для различных моделей механики деформирования ......'.................................. 69
1.3. Основные вариационные принципы получения дифференциальных уравнений статики, динамики и устойчивости ...... 74
1.3.1. Принцип возможных перемещений .................. 75
1.3.2. Смешанный вариационный принцип ................. 80
1.3.3. Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского . 82
1.4. Уравнения динамической устойчивости для ортотропных оболочек вращения в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява ...... 84
1.5. Нелинейные уравнения движения для многослойных оболочек с учетом поперечных сдвиговых деформаций при кубической аппроксимации тангенциальных перемещений .......... 95
1.6. Нелинейные уравнения движения для многослойной оболочки с использованием гипотезы ломаной линии при учете изменения метрики по толщине оболочки ................... 113
ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНО-ВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ....................... 121
2.1. Метод последовательных приближений для определения решения системы дифференциальных уравнений............. 121
2.1.1. Нормированное решение системы однородных дифферен-
циальных уравнений...............................:.. 121
2.1.2. Частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений ........................................... 126
2.2. Вычисления с помощью интеграла Вольтерра. Бином Ньютона ......................................................... 129
2.3. Особенности решения задач динамики и устойчивости ..... 131
ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ............................................. 134
3.1. Алгоритм определения нормированного решения для расчетного участка ............................................. 134
3.2. Формирование разрешающей системы алгебраических уравнений для задач статики, динамики и устойчивости............................ 138
3.3. Геометрические характеристики оболочек вращения, используемые в вычислительных процедурах ......................... 141
3.4. Условия сопряжения оболочек с упругими кольцами ....... 149
3.5. Введение граничных условий ............................ 159
3.6. Априорные и апостериорные оценки погрешностей счета ... 161
3.7. Результаты расчета тестовых задач...................... 171
ГЛАВА 4. ПРОЧНОСТЬ, ДИНАМИКА, УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН И КОЛЕЦ ................................. 175
4.1. Анализ переходного процесса при вынужденных колебаниях сферической оболочки ....................................... 175
4.2. Контактная задача устойчивости тонкой упругой пластины, связанной с круговым кольцом, при действии сосредоточенных радиальных сил ......................................... 181
4.2.1. Уравнения устойчивости и граничные условия .....*.. 182
4.2.2. Определение усилий в начальном состоянии........... 186
4
4.2.3. Определение критических сил ....................... 191
4.3. Напряженно-деформированное состояние многослойного
кольца при импульсном нагружении ....................... 199
ГЛАВА 5. ПРОЧНОСТЬ, КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОН-
КОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ .................................. 216
5.1. Приведение канонических уравнений движения оболочек к глобальным координатам конструкции ..........................216
5.2. Колебания оболочек вращения с присоединенным твердым телом .................................................... 219
5.3. Колебания шахты ядерного реактора энергетической установки ......................................................... 235
5.3.1. Определение жесткостей упругого элемента в радиальном
и поперечном направлениях ........................... 239
5.3.2. Расчет собственных частот и форм колебаний шахты с внутренними конструкционными устройствами ................ 243
5.3.3. Результаты расчета ................................ 262
5.4. Определение собственных частот и форм колебаний модели отсека ракеты ............................................. 268
5.4.1. Описание объекта исследования, экспериментальной установки, аппаратуры возбуждения .......................... 268
5.4.2. Порядок проведения эксперимента ................... 273
5.4.3. Численный расчет собственных частот и форм колебаний 277
5.4.4. Сравнение численных и экспериментальных данных по частотам и формам колебаний ............................ 284
5.5. Напряженно-деформированное состояние обтекателя под действием аэродинамической нагрузки ........................ 287
5.6. Определение собственных частот и форм колебаний многослойного обтекателя......................................... 293
5
5.7. Устойчивость и динамика многослойных конструкций при
начальных напряжениях .................................
ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ..................................
6.1. Устойчивость кольца при существенно неосесимметричном нагружении ................................................
6.2. Нелинейное поведение и устойчивость тонких сферических оболочек при неосесимметричном нагружении .................
6.3. Исследование напряженно-деформированного состояния арочных амортизаторов .....................................
6.3.1. Выбор расчетной схемы арочного амортизатора .;....
6.3.2. Получение системы нелинейных дифференциальных уравнений ...............................................
6.3.3. Анализ результатов численного решения ............
6.3.4. Построение упругих характеристик амортизатора ....
6.3.5. Исследование деформированного состояния амортизаторов .....................................................
6.3.6. Исследование напряженного состояния амортизаторов.
6.4. Экспериментальное исследование деформированного состояния арочных амортизаторов .........................................
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................
ЛИТЕРАТУРА...................................................................
296
304
304
310
318
319
321
331
333
339
345
347
357
360
6
ВВЕДЕНИЕ
Тонкостенные конструкции находят широкое применение в различных отраслях современной техники. Внедрение композитов в несущие конструкции различного назначения требует разработки расчетных моделей механики деформирования, учитывающих особенности структуры и поведения этих материалов. К числу таких особенностей, как известно, относятся их анизотропия, слоистый характер и сравнительно низкая прочность и жесткость в направлениях, не совпадающих с направлением армирования. Поскольку достоверное прогнозирование поведения конструкций немыслимо без детальных и достаточно точных расчетов на прочность, жесткость и устойчивость, роль отмеченных факторов на этапе проектирования существенно возрастает. Математическое моделирование поведения конструкций с учетом условий их эксплуатации позволяет ускорить и удешевить процесс проектирования изделий.
В современной механике деформирования пластин и оболочек можно выделить важное научно-практическое направление по прочностному анализу, определению характеристик собственных и вынужденных колебаний, устойчивости и динамической реакции элементов конструкций. Учет отмеченных характеристик позволяет проектировать оптимальные конструкции, в которых удовлетворяются требования по максимальным напряжениям, резонансным режимам и потере устойчивости в процессе эксплуатации.
Актуальные проблемы развития теории тонкостенных конструкций рассмотрены в работах академиков А.Н. Гузя [1], В.В. Новожилова [2], И.Ф. Образцова [3], A.A. Самарского [4], Г.П. Свищева [5]. В упомянутых публикациях отмечается, что точность теоретического исследования НДС, собственных колебаний, устойчивости и переходных процессов при динамическом нагружении конструкции зависит от соответствия расчетной
7
схемы реальной конструкции, математических моделей деформирования и методов решения краевых задач. К актуальным проблемам механики * деформирования относятся вопросы устойчивости и динамики конструкций сложной формы, вопросы повышения точности в описании их геометрии и ряд других проблем, решение которых невозможно без создания эффективных и экономичных расчетов на ЭВМ.
Отметим, что при использовании уточненных моделей деформирования для конструкций сложной формы не представляется возможным получить разрешающую систему дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Поэтому важным представляется разработка алгоритмов, позволяющих по исходным геометрическим и физическим соотношениям получать необходимые дифференциальные уравнения с помощью ЭВМ.
Анализ математических методов, используемых при расчете сложных структур, к которым относятся составные оболочечные конструкции, позволяет сделать вывод, что не существует ни одного метода, обладающего бесспорным преимуществом при решении данного класса задач. К такому выводу приходит академик A.A. Самарский [4]: “ По-прежнему актуальной остается задача создания эффективных дискретных моделей, разработка методов их реализации на ЭВМ, развитие численных методов”, а по мнению академика И.Ф. Образцова основная проблема при рассмотрении сложных конструкций - создание эффективных математических моделей деформирования, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствующими, в частности, минимизации затрат машинного времени и памяти ЭВМ”.
Представленные в работе результаты относятся к двум актуальным направлениям развития механики деформирования тонкостенных конструкций:
8
- исследованию и развитию различных моделей деформирования многослойных конструкций;
- разработке метода расчета напряженно-деформированного состояния, собственных частот и форм колебаний, в том числе и предварительно напряженных конструкций, статической устойчивости и переходных процессов для тонкостенных составных конструкций. Предлагаемый метод обладает простотой численной реализации, высокой точностью получаемых результатов, малыми затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ, универсальностью к различным моделям деформирования и типам решаемых задач.
Подчеркнем, что большая часть разработанных математических моделей, алгоритмов, пакетов прикладных программ для ЭВМ и исследований были вызваны потребностями практики, а некоторые разделы выполнялись по комплексным научно-техническим программам с предприятиями НПО “Машиностроение”, КБ им. С.А. Лавочкина, ГНИЛ “Вымпел” и другими. Результаты диссертационной работы используются в практической работе при проектировании изделий, что свидетельствует об актуальности темы, научном и практическом значении результатов исследований.
Для более полного обоснования актуальности и научной новизны представленных в работе результатов и определения их места в ряду исследований, выполненных на аналогичную тему, приведем обзор литературы и рассмотрим некоторые научные проблемы по теме диссертации. Известно, что теория пластин и оболочек, в том числе и из композитных материалов, в настоящее время является хорошо разработанной областью механики деформируемого твердого тела. К основополагающим трудам по теории пластин и оболочек относятся работы [6 - 99]. Большой
9
вклад в создание теории пластин и оболочек внесли такие отечественные ученые, как Н.П. Абовский, А. Я. Александров, H.A. Ал футов, С. А. Амбарцумян, В.Г. Баженов, B.JI. Бидерман, И.А. Биргер, В.В. Болотин,
A.Т. Василенко, В.В. Васильев, И.Н. Векуа, В.З. Власов, A.C. Вольмир, /
И.И. Ворович, К.З. Галимов, A.Л. Гольденвейзер, А.Г. Горшков,
Э.ИГриголюк, Я.М. Григоренко, Н.Г. Гурьянов, А.Н. Гузь, A.A. Ильюшин,
B.В. Кабанов, A.B. Кармишин, H.A. Кильчевский, Ю Г. Коноплев, М.С. Корнишин, Х.М. Муштари, Ю.В. Немировский, Б.В. Нерубайло, Ю.Н. Новичков, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, П.М. Огибалов,
В.Н. Паймушин, Б.Л. Пелех, A.B. Погорелов, А.П. Прусаков, Г.И. Пшеничное, А.О. Рассказов, A B. Саченков, И.Г. Терегулов,
А.Г. Угодчиков, А.П. Филин, К.Ф. Черных, П.П. Чулков и другие.
Модели деформирования оболочек, используемые для расчетов, достаточно разнообразны, начиная от классической с гипотезами Кирхгофа-Лява, уточненной типа С.П. Тимошенко с обжатием и без, и кончая различными схемами многослойных оболочек.
Прочностной анализ тонкостенных конструкций из композиционных материалов на стадии проектной разработки приводит к решению задач механики деформирования пространственных оболочечных систем весьма большой размерности. Развитие моделей и методов механики деформирования слоистых неоднородных конструкций на макро- и микроуровнях позволяет создавать эффективные расчетные схемы, имитирующие реальные условия функционирования таких сложных конструкций. Однако тенденция к получению уточненных результатов заставляет уделять внимание более глубокой детачизации расчетных схем рассматриваемого класса конструкций при максимально полном учете специфики их работы в нормальных и экстремальных условиях.
10
Приведенные причины стимулируют интенсификацию исследований в области теории и методов расчета механики деформирования многослойных пластин и оболочек.
Теория многослойных пластин и оболочек сформировалась как
логическое и естественное обобщение теории однослойных и трехслойных
пластин и оболочек на более широкие классы исследуемых объектов. Теория
многослойных пластин и оболочек, отраженная в нескольких тысячах
и,
публикаций, отличается не только большим объемом, но*разновариантностью представления, что обусловливается наличием множества систем исходных гипотез и подходов.
Рассмотрим наиболее характерные результаты. Подход, основанный на применении общих соотношений теории упругости в трехмерной постановке и решении уравнений теории упругости, представляет собой весьма сложную проблему. Ее трудоемкость возрастает с увеличением числа слоев и соответствующих им уравнений теории упругости, причем решение должно удовлетворять как условиям на кромках и лицевых поверхностях оболочки, так и условиям межслоевого контакта. Среди весьма ограниченного числа решенных на основе этого подхода задач следует отметить результаты С.Г. Лехницкого [100], И.И. Воровича, И.Г. Кодомцева, Ю.А. Устинова [101] и ученых института механики АН Украины [102, 103]. Различные решения можно найти в работах [104- 107]. Подробный анализ рассматривается в обзоре [108].
Точные решения, полученные в рамках трехмерных задач, имеют большое теоретическое и практическое значение как эталонные для оценки точности и пределов применимости результатов, полученных различными приближенными методами теории пластин и оболочек. К сожалению, точные решения получены лишь в простейших случаях.
11
Обычно для расчета многослойных оболочек, как и однослойных, в большинстве работ используются различные методы приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным. Большой вклад в разработку теоретических и практических аспектов проблемы внесли такие ученые, как И.Н. Векуа [109], В.В. Власов [30,] В.В.Васильев [110], А.Л.Гольденвейзер [111], Н.А. Кильчевский [58], Ю.Г. Коноплев [61], А.И. Лурье [112], Х.М. Муштари и И.Г.Терегулов [113], Э.Рейсснер [114], А.П. Прусаков [115] и другие. Описанию этих методов и сравнению их друг с другом посвящены работы И.И. Воровича [118], А.Л. Гольденвейзера [117], Н.А. Кильчевского [110].
Воспользуемся классификацией методов приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче теории оболочек, предложенной
А.Л. Гольденвейзером [117]. В соответствии с этой классификацией методы приведения делятся на три группы: 1) метод разложения по толщине;
2) асимптотический метод и 3) метод гипотез.
Метод разложения по толщине заключается в том, что искомые величины раскладываются в ряды по координате г, отсчитываемой по нормали к координатной поверхности, и для нахождения коэффициентов этих разложений строятся последовательности двумерных краевых задач. Метод имеет интересную историю, начатую работами Пуассона и Коши, которые для определения напряженно-деформированного состояния пластинки раскладывали в степенные ряды по координате ъ компоненты тензора напряжений. В дальнейшем этот способ оказался эффективным средством построения теории толстых плит.
В большинстве работ, посвященных этому методу, используются степенные ряды или ряды по полиномам Лежандра. Так, для однослойных пластин и оболочек искомые компоненты напряженно-деформированного состояния раскладываются в степенные ряды по координате г в работах
12
[119, 120, 121], для многослойных оболочек - в [58, 122] и др. Ряды по полиномам Лежандра используются в [123, 58, 124]; в [96,97] - для многослойных. К этому же направлению примыкают работы [125, 126], в которых строится уточненная теория трехслойных пластин и оболочек, при этом метод разложения перемещений по толщине в ряды по полиномам Лежандра применяется только к слою заполнителя, а для несущих слоев используется гипотеза Кирхгофа-Лява.
Метод разложения можно применять и тогда, когда толщина пластины или оболочки не мала. К преимуществам этого метода можно отнести также и то, что в нем не делается заранее никаких предположений о характере искомого напряженного состояния и можно повышать точность расчета (или, другими словами, степень приближения к решению исходной трехмерной задачи), не выходя за рамки выбранных процедур.
В асимптотическом методе, как и в методе разложения по толщине, решение трехмерной задачи заменяется решением регулярной последовательности двумерных краевых задач; отличие же состоит в том, что асимптотический метод существенно опирается на малость толщины оболочки. В этом методе искомые величины раскладываются в ряды по степеням малого параметра, пропорционального толщине оболочке. Двумерные краевые задачи в асимптотическом методе имеют итерационный характер. Как указано в [36], метод асимптотического интегрирования впервые, по-видимому, применил к оболочкам В Т. Койтер, но он ограничился лишь нулевым приближением, то есть построил вариант уравнений теории оболочек, соответствующий гипотезам Кирхгофа-Лява.
Заметное развитие асимптотический метод в теории однослойных пластин и оболочек получил в работах А.Л. Гольденвейзера [41, 111], который предложил два итерационных процесса: основной - для построения внутреннего напряженного состояния, которое вызывается внешними
13
поверхностными нагрузками и несамоуравновешенной по толщине оболочки частью краевых сил, и вспомогательный - для построения быстрозатухающего от края напряженного состояния погранслоя, которое вызывается самоуравновешенной по толщине оболочки частью краевых сил. Применение асимптотического метода к теории однослойных пластин и оболочек можно также найти в работах [ 127 - 131 ].
В значительно меньшей степени используется асимптотический метод в теории анизотропных и многослойных пластин и оболочек, что связано, по-видимому, с необходимостью громоздких преобразований исходных уравнений. Здесь можно указать на работы [101, 132 - 135]. Особенно интересна работа М.И Гусейн-Заде [135], в которой исследуется напряженное состояние погранслоя в многослойных оболочках. В частности, показано, что зона затухания погранслоя в слоистых оболочках в несколько раз может превышать зону затухания в изотропных, а в некоторых случаях погранслой распространяется на всю оболочку в целом: Наибольшее влияние оказывает погранслой на напряженное состояние трехслойных пластин и оболочек.
Как следует из предыдущего изложения, асимптотический метод, в отличие от метода разложения по толщине, хорошо описывает не только внутреннее напряженное состояние, но и погранслой. Недостатки этого метода заключаются в том, что в нем заранее содержатся предположения о малости толщины оболочки и, в скрытом виде, о характере искомого напряженного состояния.
Метод гипотез составляет самую многочисленную группу подходов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам теории пластин и оболочек. В методе гипотез делается предположение о распределении некоторых компонент тензоров напряжений или деформаций по толщине оболочки, в результате чего исходная трехмерная краевая задача приводится не к регулярной последовательности двумерных задач, а к
14
некоторой вполне определенной краевой задаче. С.А. Амбарцумян [13] отмечает, что метод гипотез обладает не только чрезвычайной наглядностью, но относительно быстро и просто приводит к окончательным результатам и прикладным рекомендациям. Благодаря этим преимуществам метод гипотез применяется для решения подавляющего большинства практически важных задач теории как однослойных, так и многослойных пластин и оболочек. Рассмотрим применение метода гипотез в теории многослойных оболочек.
Описание различных гипотез, сравнение их между собой и обширная библиография приведены в обзорах [45, 136]. Э.И. Григолюк и Ф.А. Коган в обзоре [45] выделяют два направления в теории многослойных оболочек. К первому направлению относятся теории, основанные на привлечении единых гипотез для всего пакета слоев; порядок системы уравнений при этом не зависит от их числа. В научной литературе такие теории получили название непрерывно-структурных [25]. Ко второму направлению относятся дискретно-структурные теории, то есть теории многослойных пластин и оболочек, предполагающие послойное принятие системы гипотез; здесь порядок системы уравнений определяется количеством слоев в пакете.
Среди научных трудов первого направления следует отметить работу
С.А. Амбарцумяна [137], где для всего пакета слоев принимались гипотезы Кирхгофа-Лява. Предложенная теория вполне оправдана для тонких и слабоанизотропных пластин и оболочек, у которых жесткости слоев отличаются незначительно. Классическая теория получила развитие в работах
В.В. Васильева [138], Э.И. Григолюка [139], Б.Г. Газизова [140],
A.B. Саченкова [141] и была обобщена в монографиях С.А. Амбарцумяна [13] и Я.М. Григоренко [49]. Библиографию по этому вопросу можно найти в [45].
Применение в машиностроительных конструкциях композиционных материалов, обладающих малой сдвиговой жесткостью, вызвало
15
необходимость учета поперечно-сдвиговых деформаций. К числу первых работ этого направления следует отнести работы А.Н. Елпатьевского и
B.В. Васильева [142], Б.Л. Пелеха [79], Р.Б. Рикардса и Г.А. Тетерса [143], К.З. Галимова [144], в которых используются кинематическая гипотеза
C.П. Тимошенко [145], обобщенная на задачи теории пластин и оболочек. При этом, как правило, вводятся допущения о характере распределения поперечных касательных напряжений или соответствующих им деформаций поперечного сдвига по толщине пакета.
Для однородных и слоистых тонких пластин и оболочек подобные допущения были введены С.А. Амбарцумяном, результаты подробно описаны в его работах [13, 153, 154]. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек и вклад в эту теорию научной школы
С.А. Амбарцумяна отражены в обзоре [154]. Работы С.А. Амбарцумяна строятся, в основном, на базе двух гипотез [154].
Первая группа гипотез включает в себя следующие предположения: 1) оболочка не деформируется по толщине; 2) поперечными нормальными напряжениями пренебрегают; 3) распределение поперечных касательных напряжений по толщине находится из решения по классической теории, то есть с использованием классической гипотезы Кирхгофа-Лява [13]. Эта группа гипотез вносит изменения лишь в грузовую часть основных дифференциальных уравнений, оставляя неизменными однородные уравнения. Теория, построенная на базе этой группы гипотез, является, по существу, теорией второго приближения по отношению к классической теории.
Вторая группа базируется на предположении о недеформируемости оболочки по толщине и на задании распределения деформаций поперечного сдвига или соответствующих им касательных напряжений по толщине в виде определенного закона. Распространение общей теории С.А. Амбарцумяна на
16
случай многослойных ортотропных пластин симметричной структуры дано в работе [155].
И Г. Терегуловым в работе [156] вариационным методом получены уравнения равновесия и устойчивости тонких упругих многослойных анизотропных оболочек со слоями различной толщины; при этом для оболочек из ортотропных материалов главные направления упругости отдельных слоев могут быть произвольно ориентированы относительно линий главных кривизн по координатной поверхности. В работе принимались следующие допущения: нормальными напряжениями G33 можно пренебречь; прогиб постоянен по толщине оболочки; распределение поперечных касательных напряжений по толщине задается в виде, аналогичном [14].
В работах А.П. Прусакова [157, 158] на основе принципа возможных перемещений получены геометрически нелинейные уравнения изгиба слоистых пологих оболочек несимметричного строения с трансверсально изотропными слоями. Распределение поперечных касательных напряжений по толщине слоев принималось таким же, как в классической теории. Предполагалось также, что нормальными напряжениями 033 можно пренебречь, поперечные деформации слоев равны нулю, коэффициент Пуассона для всех слоев одинаков.
А.Ф. Рябов [159, 160] получил уравнения неоднородных пологих многослойных оболочек средней толщины. Сформулированная в этих работах теория является теорией второго приближения, в которой распределение касательных и нормальных напряжений по толщине задается в форме, найденной из уравнений равновесия в классической теории. В результате закон изменения тангенциальных перемещений по толщине оказывается нелинейным. Учет деформаций поперечного сдвига производится при помощи некоторой скалярной функции, одинаковой для всех слоев.
17
В работе [161] рассмотрен изгиб многослойных пластин несимметричной структуры с ортотропными слоями на базе гипотез, аналогичных [159, 160]. С помощью вариационного принципа, кроме обычных, получены дополнительные силовые факторы типа моментов высшего порядка и соответствующие им уравнения равновесия, которые затем сведены к обычным силовым факторам и уравнениям.
Нелинейные уравнения статики многослойных оболочек вращения с учетом деформаций поперечного сдвига получены вариационным методом в работе [162]. Рассматривалась геометрическая нелинейность в предположении, что деформации удлинения и сдвига малы по сравнению с углами поворота элемента оболочки. Деформации поперечного сдвига считались постоянными по толщине многослойного пакета, распределение же соответствующих им касательных напряжений принималось таким же, как в классической теории. Это противоречие между законами распределения по толщине деформаций поперечного сдвига и соответствующих им касательных напряжений устранялось тем, что при выводе соотношений упругости использовалось условие эквивалентности, выражающееся в равенстве работы перерезывающих усилий работе поперечных касательных напряжений.
Теория многослойных оболочек переменной жесткости разработана в работах Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко [49, 163 - 166], которые в основу подхода и построения уточненной модели слоистой оболочки положили предположение о наличии в слоях оболочки локальных углов поворота, обусловленных поперечными сдвигами, и обеспечение непрерывности перемещений и напряжений на поверхности контакта смежных слоев. Это дает возможность получить уравнения, порядок которых не зависит от числа слоев оболочки [166].
В рамках рассматриваемого направления практический интерес представляет теория многослойных оболочек, в основе которой лежит подход к формированию основных соотношений уточненной теории однослойных оболочек, предложенной Б.Я. Кантором и В.В. Науменко [167], а для произвольных перемещений - В.Н. Паймушиным [168]. Указанная теория базируется на гипотезах типа С.П. Тимошенко с явным выделением угла поперечного сдвига, что позволяет достаточно просто, без дополнительных дифференциальных преобразований, получать соотношения как уточненной, так и классической теории многослойных оболочек.
Рассмотрены и другие варианты непрерывно-структурных теорий многослойных оболочек с применением тех или иных допущений относительно характера изменения перемещений, поперечных касательных и нормальных напряжений по толщине пакета.
Теории подобного рода, помимо вышеупомянутых, рассмотрены и развиты в работах А.И. Андреева и Ю.В. Немировского [15], В.Г. Назаренко [169], М.С. Ганеевой [40], В.И. Самсонова [170], В.В. Пикуля [81],
В.Г. Пискунова [82], А.О. Рассказова [171, 172], А.Р. Ржаницина [173], H.A. Ульяшиной [174] и других авторов [66,146 - 152, 176 - 178].
Подведем итог рассмотрению работ первого направления. При использовании метода гипотез тангенциальные напряжения не терпят разрыва на границах слоев вследствие того, что их распределение по толщине пакета задается заранее в виде функций, удовлетворяющих условиям контакта на границах смежных слоев. Недостатком теорий этого направления является невозможность учесть влияние произвольного распределения краевой нагрузки по толщине на напряженно-деформированное состояние многослойной оболочки. Введение в рассмотрение дополнительных силовых факторов типа моментов высшего порядка не меняет сути дела, так как конкретному закону распределения тангенциальных перемещений по
19
толщине соответствует вполне определенное распределение краевой нагрузки, причем любое другое распределение краевой нагрузки противоречит уравнениям равновесия. Закон распределения тангенциальных перемещений по толщине многослойного пакета в теориях этого направления задается как исходная гипотеза, либо определяется из условия работы слоев без скольжения, если в качестве исходной гипотезы- принимается закон распределения по толщине поперечных касательных напряжений.
Дискретно-структурный подход используется для многослойных оболочек, слои которых имеют существенно различающиеся физикомеханические характеристики, в частности, для расчета трехслойных конструкций. В работе [179] E. Reissner впервые использовал дискретноструктурный подход для расчета трехслойных пластин. Значительный вклад в развитие этого направления внесли работы Э.И. Григолюка по трехслойным оболочкам [139, 180], В.В. Болотина [181, 105], а также работы их учеников: П.П. Чулкова, Ю.Н. Новичкова, Г.М. Куликова, JI.B. Баева и других.
В связи с огромным количеством опубликованных работ, посвященных теории пластин и оболочек, особое значение приобретают обзоры. Такие обзоры содержатся в работах [136, 182, 183].
Вопросы устойчивости трехслойных оболочек исследовались в работах Л.М. Куршина [184], В.Н. Паймушина [177, 185], вопросы колебаний - в работах М.А. Ильгамова, А.И. Холода [187, 188]. Нелинейная теория трехслойных оболочек была развита В.Н. Паймушиным [168, 186] и Н.К. Галимовым [189]. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек изложена в монографии A.C. Вольмира [190].
Специфика расчета трехслойных конструкций состоит в необходимости учета в заполнителе деформаций поперечного сдвига и поперечного обжатия. Заполнитель, работающий только на поперечный сдвиг и поперечное обжатие, называется “легким”. Если в заполнителе учитываются нормальные
20
напряжения, параллельные срединной поверхности, такой заполнитель называют “жестким”.
Различные варианты приближенных теорий трехслойных пластин и оболочек исследовались в работах Л.Э. Брюккера [191, 192], Л.М. Куршина [184], Х.М. Муштари [193], а также в трудах [106, 194- 198]. Опыт, накопленный при расчете трехслойных конструкций, позволил разработать дискретно-структурные модели для многослойных оболочек.
В настоящее время можно отметить два основных подхода. Первый из них был разработан и развит в работах В.В. Болотина и его учеников [105, 181,199-202].
При рассмотрении конструкции, состоящей из чередующихся мягких и жестких слоев, жесткие слои рассматриваются в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява, а заполнители работают только на поперечный сдвиг и поперечное обжатие.
Для случая большого количества слоев используется принцип континуализации [105], позволяющий переходить к рассмотрению квазиоднородной оболочки, которая энергетически эквивалентна исходной слоистой. При этом суммирование по слоям в выражениях для потенциальной и кинетической энергии заменяется интегрированием по поперечной координате. Принцип континуализации, предложенный
В.В. Болотиным, получил дальнейшее развитие в работах [203 - 207]. Результаты исследований обобщены в монографии В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [25].
Второе направление дискретно-структурного подхода к расчету многослойных пластин и оболочек связано с именами Э.И. Григолюка. П.П. Чулкова, Г.М. Куликова и других. Способ построения теории многослойных оболочек, когда кинематические гипотезы принимаются для каждого отдельного слоя, впервые был предложен П.П. Чуйковым [208, 209].
21
Построенная теория многослойных оболочек базируется на привлечении для пакета слоев гипотезы ломаной линии Григолюка-Чулкова, согласно которой для каждого слоя многослойной оболочки используется гипотеза типа
С.П. Тимошенко. Такой подход позволяет максимально алгоритмизировать задачу при получении основных разрешающих уравнений.
Аналогичный подход к построению различных вариантов теории многослойных оболочек используется в работах [97, 147, 186, 210]. Многочисленные исследования в области построения и практического применения разнообразных вариантов теории многослойных оболочек, имеющих в своей основе подход Григолюка-Чулкова, выполнены Г.М. Куликовым и обобщены в монографии [46]. При выводе основных зависимостей используется смешанный вариационный принцип, что позволяет обеспечить равенство поперечных касательных напряжений на границах слоев и удовлетворить граничным условиям на лицевых поверхностях. Обсуждаются новые подходы к учету локальных эффектов, основанные на послойном привлечении как гипотез С.П. Тимошенко, так и гипотез о нелинейной зависимости тангенциальных перемещений от поперечной координаты. Это позволяет освободиться от недостатков теории ломаной линии в отношении равномерности распределения поперечных сдвигов и, как следствие, поперечно-касательных напряжений по толщине слоя. Обобщенный закон Гука соблюдается интегрально как по толщине каждого слоя, так и в целом по пакету.
Анализ существующей литературы по разработке моделей деформирования многослойных конструкций позволяет сделать вывод, что существующие теории многослойных неоднородных оболочек не удовлетворяют с достаточной степенью полноты всей совокупности основных требований прочностного анализа сложных конструкций с точки зрения единого методологического подхода; универсальности при выборе
22
расчетных схем подструктур; обеспечения требуемой дет&чизации реальной структуры и расчетной модели; возможности как непосредственного анализа многослойной конструкции, так и последовательного уточнения расчетной модели или создания ее новых вариантов. Вывод основных разрешающих уравнений связан с весьма сложными математическими выкладками, которые желательно возложить на вычислительную технику. В связи с этим разработка вопросов общей теории многослойных оболочек, направленных на формирование эффективных расчетных моделей сложных конструкций, является актуальной задачей.
Как было отмечено выше, не менее актуальной задачей является разработка прикладных методов расчета для исследования прочности, динамического поведения и устойчивости пластин и оболочек, так как аналитические методы имеют весьма ограниченную область применения.
К числу аналитических методов можно отнести метод разложения решения в двойные тригонометрические ряды [13, 20, 25, 252, 257] при выполнении на торцах условий свободного опирания. Некоторые точные решения для цилиндрической, конической и сферической оболочек приведены в работе [254]. Решение для цилиндрических оболочек постоянной толщины получено в работах [20, 75, 255, 256] с помощью представления решения в виде экспоненциальных функций. При решении задач о сосредоточенном нагружении и контактных задач используются функции Грина. Фундаментальное исследование о применении метода Грина к определению НДС цилиндрической оболочки при сосредоточенной нагрузке приведено в [47]. В работе дано общее интегральное представление решения уравнений равновесия с помощью матрицы Грина. Матрица Грина, в свою очередь, определена с помощью разрешающей (скалярной) функции Грина, через которую, в конечном счете, выражаются деформации, смещения, удельные усилия и моменты в срединной поверхности оболочки.
23
Дано фундаментальное решение основного разрешающего уравнения для функции Грина. Это решение представлено в виде тригонометрического ряда по окружной координате. Подобное решение получается путем использования интеграла Фурье для решения обыкновенных дифференциальных уравнений по продольной координате, получающихся после разделения переменных. Отмечается, что компоненты матрицы Грина для мембранных усилий и изгибающих моментов могут неограниченно возрастать в окрестности точки приложения сосредоточенного фактора. Для построения функции Грина для оболочки конечной длины берется суперпозиция бесконечного числа фундаментальных решений, каждое из которых, в свою очередь, выражается тригонометрическим рядом. Получается двойной ряд, который, в отличие от обычного двойного тригонометрического ряда, очень быстро сходится.
Решение задачи о свободных колебаниях предварительно нагруженных гофрированных оболочек вращения с помощью функции Грина получено О.С. Нарайкиным [259]. Поведение оболочки вращения под локальными нагрузками с помощью функции Грина исследовано в работах Н.Г. Гурьянова [263], Ю.П. Жигалко [264, 265], В.А. Никитина [266], Н.Г. Чернышева [267], L. Ting, S.W. Yuan [269, 270]. Контактные задачи взаимодействия оболочек и стержней освещается в работах Ю.П. Артюхина [260, 261], И.А. Биргера [262], Э.И. Григолюка [47], В. И. Моссаковского и B.C. Гудрамовича [268].
Решение вышеупомянутых задач строится путем перехода с помощью функций Грина к интегральным уравнениям относительно неизвестных контактных усилий взаимодействия с последующим отысканием приближенного решения методами ортогональных многочленов, механических квадратур, последовательных приближений и различных вариантов метода граничных элементов [225, 271 -275]. Применение такой постановки, несмотря на привлекательное снижение размерности задачи,
24
затруднено для сложных конструкций из-за необходимости вычисления в явном виде функций Грина.
Очевидная ограниченность аналитических подходов к решению задач для сложных конструкций стимулирует широкое применение приближенных методов и, в частности, метода асимптотического интегрирования, основанного на выделении малоизменяющегося основного напряженного состояния и его быстроизменяющейся составляющей в областях резкого изменения НДС (точки приложения сосредоточенной нагрузки, сопряжение оболочек различной геометрии, подкрепляющие элементы и т.п.)
Теоретическое обоснование методов изложено в работах
О. Блюменталя [276], В. Вазова [277], М.И. Вишика [282],
A.J1. Гольденвейзера [278], H.H. Моисеева [279], М.В. Федорюка [280], Г.Н. Чернышева [281]. Дальнейшее развитие применительно к решению задач теории пластин и оболочек метод получил в трудах Д.В. Бережного,
А.И. Голованова, И.Ю. Красновского [283], Т.В. Виленской, И.И. Воровича [128], A.JT. Гольденвейзера [41], В.М. Даревского [284], В.Ю. Ольшанского [285], К.Ф. Черных [286]. Вопросы динамики и устойчивости оболочек рассмотрены в работах [287 -291]. Итоги развития асимптотических методов подведены в монографии И.Ф. Образцова, Б.В. Нерубайло, И.В. Андрианова [251], где изложены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, возмущения формы границы и размера области; развиты методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, синтеза напряженного состояния. Вместе с тем, следует отметить, что при расчете сложных оболочечных конструкций асимптотические методы не нашли широкого применения из-за трудностей математического характера.
Наряду с асимптотическими методами для расчета пластин и оболочек используется весь арсенал приближенных численных методов дискретизации краевых и вариационных задач. Следуя [72], эти методы можно условно
25
разделить на три класса - континуальные, дискретные и дискретноконтинуальные. К континуальным методам будем относить методы, согласно которым рассчитываемая система рассматривается как сплошная среда (континуум), причем описывающие ее поведение функции, например, перемещения, аппроксимируются гладкими функциями координат. Дискретные методы, интенсивное развитие которых, в последние годы связано с совершенствованием вычислительной техники, основаны на замене задачи об определении непрерывных искомых функций задачей о приближенном отыскании значений этих функций в конечном числе точек рассчитываемой конструкции. И, наконец, дискретно-континуальные методы совмещают дискретное описание искомых функций по одной координате с построением непрерывного решения по другой.
Теоретические основы численных методов изложены в монографиях И.С. Березина, Н.П. Жидкова [118], И. Бабушки, Э. Витасека, М. Пратера [211], Н.С. Бахвалова, Н.П. Жидкова, Г.М. Кобельникова [223],
С.К. Годунова, B.C. Рябенького [243], Б.П. Демидовича, И.А. Марона [175, 234], J1.B. Канторовича, В.И. Крылова [236], Д. Мак-Кракена, У. Дорна [214], Г.И. Марчука [231], С.Г. Михлина [232], Б.Е. Победри [219] и других [215, 218, 225, 227,228, 230, 233, 237].
На основе теоретических исследований в последние десятилетия интенсивно развиваются прикладные численные методы по расчету оболочек и оболочечных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Среди многочисленных публикаций на эту тему отметим только часть наиболее известных работ A.B. Александрова, Б .Я. Лащенкова, H.H. Шапошникова [7], Л.В. Андреева, А.Л. Дышко, И.Д. Павленко [16], В.Г. Баженова, Е.В. Игоничевой [18], М.Б. Вахитова [217], Ю.И. Виноградова [249, 250],
Н.В. Валишвили [252], A.C. Вольмира [33, 34], А.И. Голованова,
М.С. Корнишина [244], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой
26
[226], О. Зенкевича [245], A.B. Кармишина, В.И. Мяченкова [57, 66], Б.В. Нерубайло [67], И.Ф. Образцова [71-73], П.М. Огибалова, М.А. Колтунова [75], В.Г. Пискунова, В.Е. Ворожейко [82], Б.Г. Попова [83], Р.Б. Рикардса, Г.А. Тетерса [147, 243], А.П. Филлипова [248].
Постановка задач теории упругости и механики деформирования оболочек как вариационных задач позволяет использовать прямые методы решения, с помощью которых можно получить приближенное решение с наперед заданной точностью любой задачи теории упругости и пластичности, т.е. определить перемещения по заданным внешним силам, удовлетворяющие заданным граничным условиям.
Идея прямых методов в теории оболочек состоит в отыскании экстремальных значений функций непосредственно из функционала энергии. Основополагающими в развитии прямых методов явились исследования Ритца, С.П. Тимошенко, И.Г. Бубнова, Б. Г. Галер кина, П.Ф. Папковича,
В.З. Власова и других.
В работе Ритца [292] дано математическое обоснование предложенного им метода для некоторых простейших случаев. С.П. Тимошенко [293] развил этот метод при изучении устойчивости упругих систем.
Вопросам теоретического обоснования вариационных методов и их численной реализации посвящено множество работ, например, [71, 239, 294, 295]. Анализируя современную литературу по механике деформирования пластин и оболочек, можно утверждать, что в большинстве работ, рассматривающих вопросы собственных колебаний и устойчивости, численное решение строится на основе метода Ритца. Рассмотрим результаты некоторых исследований.
В работе Д.В. Хронина [296] рассмотрены колебания лопатки турбины переменного сечения с учетом действия центробежных сил. К.С. Колесниковым [297] с помощью метода Ритца исследованы
27
осесимметричные колебания упругих баков с жидкостью. Для более удобной численной реализации используется матричная формулировка данного метода. Приближенный расчет прочности многослойных пластин с помощью метода Ритца приведен в работе В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [25]. Там же приведены оценки частот собственных колебаний многослойных плит, полученные методом Релея-Ритца. В работе J.Locke [298] в рамках модели Кирхгофа-Лява определяется нелинейная реакция прямоугольных пластин, состоящих из чередующихся слоев с различными углами укладки волокон, при больших прогибах при совместном воздействии статической, акустической нагрузок и теплового поля. Показано, что предварительное статическое нагружение может оказывать существенное влияние на общее НДС пластин. Оценки точности данного метода и способы улучшения сходимости приведены в работах И.В. Свирского [299] и С.Н. Кукуджанова [300].
Ключевым вопросам этого метода, построению специальных систем базисных функций, посвящены исследования [301 - 303].
Применение вариационных методов для расчета пространственных конструкций рассмотрено в работе И.Ф. Образцова [71].
Эффективное использование вариационных методов для решения задач механики деформирования составных конструкций в рамках оболочечных моделей, вообще говоря, возможно только при применении тех или иных вариантов метода декомпозиции и структурного способа организации вычислений.
Один из эффективных вариантов декомпозиции, базирующийся на контактной формулировке задач механики линейно-упругих составных тел, и соответствующая ему вариационная формулировка смешанного ' типа, предложены В.Н. Паймушиным [304]. В дальнейшем, базируясь на основополагающих идеях работы [304], им построены вариационные
28
формулы, относящиеся к классу обобщенных вариационных формул типа Рейсснера, предназначенные для решения линейных и нелинейных задач статики однослойных [305] и многослойных [306] оболочек. Дальнейшее развитие метод В.Н. Паймушина получил в работах Ю.Я. Петрушенко [307, 308], в которых на основе метода Ритца разработан численный метод решения задач упругой устойчивости и собственных колебаний предварительно нагруженных слоистых оболочечных фрагментов сложной геометрии.
Теоретические основы и области применения метода Бубнова-Галеркина изложены в монографиях [299, 309]. Данный метод нашел широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, динамику и устойчивость.
Л.Г. Агеносовым и A.B. Саченковым в работе [310], в предположении, что оболочка находится под действием неоднородного внешнего давления и равномерно распределенного по торцу сжимающего усилия, изучены собственные колебания подкрепленных и гладких цилиндрических и конических оболочек. Начальное напряженное состояние определялось по безмоментной теории, а решение задачи строилось методом Бубнова с введением в него экспоненциачьного множителя с неизвестным параметром, определяемым из условия минимума частоты. В работе Н.В. Колкунова [255] рассмотрен приближенный способ решения, позволяющий рассчитать пологую оболочку при любых граничных условиях на произвольную внешнюю нагрузку, - вариационный метод Бубнова-Галеркина в форме, разработанной для оболочек В.З. Власовым. Отмечается, что применение метода приобретает особую простоту в том случае, когда функции, аппроксимирующие решение, удовлетворяют всем граничным условиям задачи и заданы в форме ряда.
29
Изгиб прямоугольной многослойной плиты рассмотрен
В.В. Болотиным и Ю.Н. Новичковым [25]. Задача сводится к системе разностных уравнений путем представления решений в виде рядов, по некоторым системам координатных функций с дальнейшим применением метода Бубнова-Галеркина. В результате авторы получают одну или несколько групп разностных уравнений с постоянными коэффициентами. В качестве аппроксимирующих функций принята система балочных функций, обладающая свойством полноты.
С.Н. Кукуджановым [309-313] предложен способ нахождения оптимальных приближений в рамках рассматриваемого метода. Применение этого способа позволяет избежать значительных трудностей, связанных с учетом в общем решении большого числа членов используемого ряда. Исследованы собственные колебания цилиндрических оболочек с учетом действия неоднородного в окружном направлении внешнего давления [315] и поперечной силы [314, 315]; и конических оболочек под действием изгибающего момента.
В работе [316]на осноъе соотношении Кирхгофа-Лява построена модель колебаний некруговых цилиндрических оболочек с начальными напряжениями, вызываемых осевой нагрузкой, кручением и нормальным давлением. Рассмотрены собственные колебания цилиндрической оболочки с поперечным сечением в виде овала. При этом решение ищется методом Бубнова с представлением искомых перемещений в виде двойных тригонометрических рядов.
В работе [317] проведено обстоятельное исследование влияния угла ориентации волокна на частоту тонкой перекрестно-армированной панели при осевом сжатии и поперечном давлении. Для описания механики ее деформирования привлекаются уравнения типа Доннела, которые решаются методом Бубнова-Галеркина.
30
Примеры использования данного метода можно найти также в работах [318-321]. В.Н. Паймушиным и И.X. Сайтовым [322-325] разработан интегрально-проекционный метод, где средством дискретизации дифференциального представления двумерной краевой задачи по одной из независимых переменных в рамках подхода Л.В. Канторовича служит проекционно-сеточный метод Галеркина-Петрова [301], а по другой - метод механических квадратур в варианте метода конечных сумм с определенными модификациями. Отличительными особенностями предлагаемого метода является выбор в качестве неизвестных старших производных кинематических функций в силовых факторах; приближенное решение интегральных уравнений имеет, несомненно, более устойчивый характер и увеличенную скорость сходимости по сравнению с приближенными решениями эквивалентных дифференциальных уравнений. Использование результатов В.Н. Паймушина [326 - 328], предложившего новый численноаналитический метод параметризации поверхностей сложной формы, позволило решать задачи для конструкций с большим разнообразием пространственных форм и произвольными схемами (топологией) объединения в КОНСТруКЦИЮ.
Метод локальных вариаций, представляющий численную реализацию вариационных подходов, используется в работах [379 - 381] для определения НДС оболочки при силовом и температурном воздействии и при расчете устойчивости пластин и оболочек.
Необходимо отметить, что в задачах определения НДС при нестационарном нагружении применение методов Ритца и Бубнова-Галеркина, базирующееся на глобальных базисных функциях, обладает существенными недостатками. Поскольку решения, получаемые с помощью этих методов очень сильно зависят от конкретного вида базисных функций,
31
аппроксимирующих перемещения, необходимость удержания того или иного количества членов разложения до сих пор не получила строгого обоснования.
Метод Власова-Канторовича в сочетании с численными методами используется в работах [20] для расчета пластин с произвольным очертанием контура, в [323] рассматривается неравномерный нагрев крыла большого удлинения. Применение данного метода для более сложных задач рассмотрено в монографии Я.М. Григоренко [213], где определяется НДС для незамкнутых оболочек вращения, механические характеристики и толщина которых изменяются в направлении меридиана и параллели. Аппроксимирующие функции по окружной координате выбираются таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям на меридиональном контуре. Применение метода интегральных преобразований [320] приводит к одномерной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для оболочек Кирхгофа-Лява порядок такой системы будет 8М, где М - число удерживаемых членов разложения. Рассмотрено решение задач для замкнутых оболочек вращения с изменяющимися характеристиками. Используется метод последовательных приближений, где в качестве нулевого приближения принимается решение для оболочек с осесимметричными характеристиками.
Весьма эффективным численным методом исследования механики деформирования оболочек произвольной геометрии и составных конструкций является широко используемый в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом метод конечных элементов (МКЭ). Основные фундаментальные результаты в теории МКЭ получены в работах О. Зенкевича [245],
С.Г. Михлина [232, 239], К. Ректориса [241], J.T. Oden [242]. Широкому распространению МКЭ способствовала его простая механическая интерпретация, которая дает возможность использовать процедуру метода не
32
только для решения математических задач, но и для непосредственного построения расчетных схем исследуемых объектов.
Теоретические основы МКЭ и его приложения подробно изложены в работах К. Бате, Е. Вилсона [233], Р. Галлахера [331], А.И. Голованова, М.С. Корнишина [244], О. Зенкевича, И. Чанга [332], И.Ф. Образцова [333],
В.А. Постнова [334], Л.А. Розина [335], Г. Стренга, Дж. Фикса [336],
I. Babuska, А.К. Aziz [337], J.T. Oden, G.F. Carey [242]. Особенности применения МКЭ в нелинейных задачах рассмотрены Д. Оденом [338]. В работах А.И. Голованова [339, 340], М.С. Корнишина, В.И. Савинова [341],
В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева [66] МКЭ использовался для расчета составных упругих конструкций. Для решения задач большой размерности в последнее время получил развитие метод суперэлементов (МСЭ), где наряду с обычными конечными элементами рассматриваются подструктуры различной иерархии. К этому направлению относятся работы З.И. Бурмана [342], Б.А. Куранова С.С. Гусева [343], В.А. Постнова, A.A. Родионова [344]. Конечные элементы на основе смешанного вариационного принципа получены в работах Е.В. Быкова, Б.Г. Попова [345], С.В. Ли, Т.Х. Пиана [346]. Как отмечается в работе E. Ramm [347], благодаря менее жестким требованиям к функциям формы, смешанный подход при использовании двумерных изопараметрических элементов является более перспективным.
Для расчета незамкнутых многослойных оболочек по уточненным теориям, учитывающим деформации сдвига и растяжения-сжатия в поперечном направлении, существенную анизотропию упругих свойств, к настоящему времени разработано мало конечных элементов. Среди исследований в этом направлении следует отметить работы Дж. Веббера и П. Холта [348], А. Нура и С. Андерсена [349], В.Н. Бакулина и В.И. Демидова [350], B.C. Кривцова [351], Р.Б. Рикардса [247].
Кратко охарактеризуем современные достижения в области создания конечных элементов общего вида (кольцевые конечные элементы оболочек вращения в обзор не включены). На рис. 1 представлена классификация конечных элементов по способу аппроксимации оболочек [331].
Рис. 1. Классификация конечных элементов по способу аппроксимации оболочек
Несмотря на многообразие разработанных конечных элементов для расчета сложных тонкостенных конструкций, заметим, что большая их часть ориентирована на исследование либо пластинчатых пространственных конструкций, либо структур, образованных из пологих оболочек, а применение высокоточных КЭ, построенных на основе сложных тензорных соотношений теории оболочек и аппроксимации высокой степени, дает хорошую точность на редких сетках, но требует от пользователя высочайшей квалификации, что ограничивает их использование в прикладных исследованиях механики деформирования конструкций, так как, например, наличие в КЭ в качестве узловых степеней свободы первых и, особенно, вторых производных от компонент вектора перемещений затрудняет формулировку граничных условий и условий сопряжения оболочек с изломом срединной поверхности, и поэтому на практике предпочитают работать с такими КЭ и схемами их реализации, в которых все узловые неизвестные имеют ясный физический смысл. Кроме того, вопросы существования, единственности и сходимости решений, полученных МКЭ, для разнообразных вариационных формулировок краевых задач математической физики не получили окончательного решения. Помимо этого, при применении элементов различного типа могут возникать “ложные” деформации при смещении элемента как жесткого целого, эффекты “ложных” поперечных сдвигов, элементы с низким порядком аппроксимации могут накапливать “лишнюю” энергию мембранной деформации.
В последние годы получили широкое распространение численные методы, основанные на дискретом представлении рассчитываемой конструкции и соответствующих математических зависимостей.
Одним из таких методов, используемых для решения двумерных задач теории пластин и оболочек, является метод конечных разностей (МКР). Теоретическое обоснование метода дано в работах Л.В. Канторовича,
В.И. Крылова [236], С.К. Годунова, B.C. Рябенького [243], A.A. Самарского
[352]. В монографии Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева МКР использован для приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых изменяется по длине. Исследована точность метода на конкретном примере. Изгиб двухслойной пологой оболочки исследован Н.Г. Гурьяновым
[353]. Прочность составной обол очечной конструкции рассмотрена в работе В.И. Моссаковского [354]. Расчету больших прогибов сферической панели под действием сосредоточенной нагрузки посвящена работа М.С. Корнишина [355]. Устойчивость оболочек исследована в трудах Ю.В. Липовцева [356]. В работе К.А. Жекова [357] исследовано напряженно-деформированное состояние пластины, имеющей вырез и лежащей на упругом основании. Отмечается, что жесткость упругого основания существенно влияет на деформируемость панели, особенно в районе выреза. Собственные колебания составной оболочки рассмотрены в работе Д.И. Макаревского [358]. Для нахождения наименьшей частоты собственных колебаний и соответствующей формы использовался метод итерации обратной матрицы с применением “сдвига” доя ускорения процесса сходимости. В работе A.B. Колодянского и В.И. Севрюкова [359] исследовано динамическое поведение свободно опертых конических оболочек. Используются три различные модели деформирования: классическая, безмоментная и теория типа Тимошенко. Оболочки нагружены по внутренней поверхности равномерно распределенным давлением, а в качестве нестационарной нагрузки принималась сферическая ударная волна. Решение системы уравнений во всех трех случаях находилось с помощью явной трехточечной схемы. В работах В.И. Гуляева и его учеников [360, 361] разработаны методы решения линейных и нелинейных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии на основе метода конечных разностей и соотношений теории оболочек Кирхгофа-Лява, формулируемых в произвольной метрике.
36
Фундаментальные исследования по применению МКР для расчета прочности, устойчивости и динамики многослойных оболочек выполнены М.А. Ильгамовым, В.А. Ивановым, Б.В. Гулиным [187]. Для задач с концентраторами используется метод сгущающихся сеток. При решении систем алгебраических уравнений высокого порядка предлагается использовать метод матричной прогонки [243]. Отмечены особенности применения МКР в задачах при импульсном нагружении. Нелинейные задачи рассмотрены в [362, 363].
Во многих работах отмечается, что комбинированные методы, основанные на подходе Л.В. Канторовича, показывают большую эффективность, чем универсальные. Аналогичное преимущество проявляется и в методах частичной дискретизации, реализующих конечно-разностную аппроксимацию одного их координатных направлений. Вариационноразностный метод применен в работе В.Г. Баженова, Е.А. Журавлева [364] для решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) используется в трудах Я.М. Григоренко, H.H. Крюкова [365], Ю.П. Петрова [366] и других. В работах М.Б. Вахитова [217, 367-369] изложен эффективный метод интегрирующих матриц для решения дифференциальных уравнений строительной механики. Комбинация метода конечных разностей (МКР) и метода конечных сумм (МКС), получившая название интегральноразностного метода (ИРМ), изложена в работах В.Н. Паймушина, В.А. Фирсова, В.И. Халилулина и других [370 - 392]. Метод применяется как в дифференциальной, так и в вариационной постановке задач. Наряду с ИРМ известны и другие комбинированные с МКС методы, как, например, матричная форма интегрально-разностного метода [373], дифференциальная форма МКЭ [374].
37
Среди экспериментальных работ, посвященных исследованию оболочечных систем, отметим работы Ю.Г. Коноплева, А.В. Саченкова, А.К. Шалабанова [64, 61, 88, 375, 376]. Эффективный и экономичный теоретико-экспериментальный метод, основанный на комбинации экспериментальных и аналитических подходов, изложен в работе [88]. Моделированию в задачах механики деформирования элементов конструкций посвящена монография Л.А. Шаповалова [377]. Геометрические подходы в нелинейной теории упругих оболочек развиты в работе [378].
Анализ литературы по численным методам, применяемым для расчета оболочек и составных оболочечных конструкций, позволяет сделать вывод, что основной проблемой при этом является решение одномерной краевой задачи. Обычно двумерная краевая задача сводится к одномерной с помощью разложения в ряды Фурье, методом Канторовича, представлением функций по одной из координат конечными разностями и другими способами. Ниже обсуждаются численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений краевой задачи для оболочек и пластин.
Наиболее простым (но не всегда применимым) способом сведения краевой задачи к задаче Коши является метод начальных параметров. При его использовании в начале интервала интегрирования задается матрица линейно независимых векторов, удовлетворяющих краевым условиям, затем уравнения интегрируются одним из численных методов (чаще всего, методом Рунге-Кутта) и в конце интервала интегрирования в соответствии с граничными условиями определяются недостающие константы.
В работе В.З. Власова [382] приведен расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, при действии локальных нагрузок. Для ортотропной оболочки получено общее разрешающее уравнение. Общие интегралы для коэффициентов рядов Фурье, через которые выражаются компоненты НДС, строились методом начальных параметров. Л.В. Андреев и
38
другие [383] применили метод начальных параметров к расчету составных систем при осесимметричных нагрузках. В работе A.A. Зотова [384] рассмотрена осесимметричная деформация упругой конструкции, состоящей из оболочек различной геометрии. Приводятся результаты расчета шарнирно опертой цилиндрической оболочки. Примеры использования метода начальных параметров можно найти в трудах [252, 296, 297, 385, 386]. Метод начальных параметров является наиболее простым способом сведения краевой задачи к задаче Коши. Однако, как отмечено в работах [20, 252, 387], он применим лишь тогда, когда система дифференциальных уравнений не имеет одновременно как быстроубывающих, так и быстровозрастающих решений, то есть когда отсутствуют краевые эффекты. В противном случае точность расчета быстро уменьшается с увеличением интервала интегрирования, и часто счет по методу начальных параметров оказывается неустойчивым.
Для преодоления трудностей, связанных с наличием быстровозрастающих и быстроубывающих решений дифференциатьного уравнения, разработаны специальные методы.
В работе [252] предложен прием деления интервала интегрирования на промежуточные отрезки. При этом возникает необходимость определения констант на каждом выбранном отрезке. При решении сложных задач может потребоваться большое число промежуточных отрезков. С увеличением числа промежуточных отрезков возрастает и число постоянных интегрирования, входящих в решение, что также ограничивает применимость этого метода.
Методы прогонки (методы переноса граничных условий) связаны с перестройкой исходной системы уравнений. На практике применяют два метода: факторизации (разработан И.М. Гельфандом и О.В. Локуциевским [387]) и встречной прогонки A.A. Абрамова [388]. Первый вариант проще