- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ ....................................................... 4
1. Общая характеристика работы ........................ А
2. Краткий обзор литературы ........................... 14
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ
ТЕЛ С ОСТРЫМИ КОНЦЕНТРАТОРАМИ .................... 28
1.1. Антиплоская деформация составного
упругого клина ................................... 31
1.2. Плоская деформация составного
упругого клина ................................... 49
1.3. Кручение конуса с тонким коническим
покрытием ........................................ 58
ГЛАВА 2. КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА С КОЛЬЦЕВОЙ ВЫТОЧКОЙ И
ТОНКИМ ПОКРЫТИЕМ ................................. 65
2.1. Постановка задачи. Учет тонкости покрытия и связанная с ним погрешность. Метод
решения .......................................... 67
2.2. Аналитическое решение поставленной
задачи ........................................... 75
2.3. Некоторые упрощения. Частные случаи.
Обсуядеиие полученных результатов ................ 83
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КРУЧЕНІМ СМЕШАННОГО ТИПА
ДЛЯ ЦИЛИНДРОВ С ПОКРЫТИЯМИ ....................... 86
3.1. Кручение бесконечного цилиндра, закрепленного на полубесконечном опоясывавшем участке боковой поверхности, имеющем тонкое покрытие ... 89
- З -
3.2. Кручение бесконечного цилиндра, закрепленного на полубесконечном опоясывающем участке боковой поверхности, с тонким покрытием на свободной части .......................................... 104
3.3. Кручение полого цилиндра с тонким покрытием на внутренней части, один из торцов которого и наружная боковая поверхность кестко закреплены ................................................. 116
ГЛАВА 4. ЗАДАЧА ОБ АНТИШГОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ НЕОДНОРОДНОЙ
ПОЛУПЛОСКОСТИ С КРАЕВОЙ ТРЕНИНОЙ ................ 124
4.1. Постановка задачи и построение решений ___________ 126
4.2. Случай экспоненциальной зависимости модуля сдвига от координаты ..................... 139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................... 146
ЛИТЕРАТУРА ..................................................... 149
ПРИЛОЖЕНИЯ ..................................................... 166
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
I.- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность про блемы.
Современная техника предъявляет к конструкциям И сооружения!.! высокие требования прочности и надежности. В то же время рациональное использование материалов подразумевает максимальное снижение веса конструкционных элементов и их стоимости. Осуществление этих взаимно противоречивых требований возможно лишь при достаточно точном знании распределения напряжений в деталях машин и сооружениях. Однако исследование напряженно-деформированного состояния в упругих телах сложной формы является чрезвычайно трудоемкой и не всегда разрешимой аналитическими методами задачей. В связи с этим представляет интерес построение упрощенных математических моделей рассматриваемых объектов, верно отражающих их характерные особенности и позволяющих получить решение в аналитическом виде.
Наиболее часто разрушение упругих тел наблюдается в зонах, где происходят резкие перепады напряжений (концентрация напряжений). Поэтому изучение напряженно-деформированного состояния вблизи концентраторов является актуальной задачей. Такие вопросы часто встречаются в различных областях машиностроения, промышленного и гражданского строительства, приборостроении и других отраслях. В силу конструктивных особенностей в деталях машин и сооружениях могут быть различного рода вырезы, полости, включения, закрепления, заделки, отверстия, продольные и коль-
- 5 -
цевые выточки, участки сопряжения валов различного диаметра, шпоночные канавки и другие концентраторы напряжений.
Во многих случаях целесообразна замена реальных концентраторов на идеализированные: разрезы нулевой толщины, угловые или конические вырезы и т.п. При этом в точках, где нарушается гладкость границы рассматриваемого упругого тела, аналитическое решение мозкет привести к появлению бесконечных напряжений, характеризующихся порядком сингулярности и коэффициентом интенсивности. Особенность напряжений иногда возникает также в точках смены типа граничных условий. Оценка прочности конструкции в указанных ситуациях уже не может осуществляться по допускаемым напряжениям, а требует знания критических коэффициентов интенсивности, определение которых часто представляет собой весьма нетривиальную задачу, требующую применения сложного математического аппарата.
Появление в технике и строительстве элементов конструкций из композиционных материалов повысило практическую ценность аналитических методов исследования поля напряжений вблизи острых концентраторов, выходящих на границу раздела сред. Этому вопросу посвящена первая глава настоящей работы.
В последнее время широкое распространение получило нанесение на поверхности деталей тонких покрытий, которые применяются в самых различных областях современной техники (авиации, строительстве космических аппаратов, атомной энергетике, судостроении, автомобилестроении, турбостроении, металлургии, сельскохозяйственном и химическом машиностроении, медицине, станкостроении, электронной промышленности и т.д.). Цели, преследуе-
- б -
мне при этой, весьма многообразны, поэтому отметим лишь некоторые из них: восстановление первоначальных размеров изношенных деталей, снижение веса и стоимости элементов конструкций без ухудшения их прочностных свойств, повышение износостойкости при работе в агрессивных средах, защита тугоплавких и углеродных материалов от высокотемпературного окисления в энергетических и двигательных установках, придание материалам антифрикционных свойств, повышение твердости и эррозионной устойчивости. Нанесение покрытий позволяет рационально использовать материалы в соответствии с их свойствами путем замены редких и дорогих металлов более доступными. При этом работоспособность и сроки эксплуатации деталей не только не снижаются, а в некоторых случаях значительно возрастают. В перспективе подавляющее большинство применяемых в машиностроении деталей будет изготавливаться с покрытиями. Сейчас их доля еще незначительна, но, тем не менее, многие элементы машин и механизмов все же оснащаются покрытиями. К ним относятся валы, лемеха, детали бильнкх мельниц, цилиндры, поршни, поршневые кольца и тарелки выпускных клапанов двигателей внутреннего сгорания, детали компрессоров газовых турбин, выходные валы горных машин, фрезы, сверла, зажимные кулачки текстильных машин, ролики в сварочных аппаратах и листопрокатном производстве, корпуса и рабочие колеса насосов, запорная трубопроводная аппаратура, сопла термобуров, электродержатели печей и т.д. Следует отметить, что наряду с традиционными способами нанесения покрытий (наплавка, напекание порошков, гальванический метод, электроискровое легирование) применяются и постоянно совершенствуют-
- 7 -
ся более современные, такие, как газопламенное, плазменное и детонационное напыление порошков. Именно с ними связаны высокая адгезионная прочность покрытий, подтверждаемая многими экспериментами и позволяющая при постановке задач для тел с покрытиями предполагать условия жесткого контакта на границе раздела. Совершенствование технологии нанесения покрытий приведет к широкому использованию их в ответственных деталях, работающих при больших нагрузках. Важные перспективы, связанные с увеличением прочности покрытия и его адгезионной способности, открывает дальнейшая разработка, наряду с металлическими и керамическими, интерметаллических (композиционных) покрытий.
Более широкому распространению применения покрытий в деталях машиностроительных конструкций с концентраторами напряжений, эксплуатируемых при больших нагрузках, мешает, в определенной мере, отсутствие методов их расчета на прочность. В связи с этим, и, учитывая перспективные направления развития технологии нанесения покрытий, разработка и совершенствование таких методов является важной задачей. Изучение влияния покрытий на напряженно-деформированное состояние упругих тел с концентраторами является одной из главных целей диссертации и касается всех ее разделов. Специально же этому вопросу посвящены вторая и третья главы, в которых рассматривается кручение цилиндров с тонкими покрытиями и концентраторами напряжений.
Вплотную к задачам теории упругости для составных и усиленных тонкими покрытиями тел примыкает проблема определения поля напряжений в неоднородных средах с концентраторами. Это обусловлено, с одной стороны, созданием новых материалов, а с дру-
- 8 -
гой - совершенствованием методов обработки поверхностного слоя традиционных материалов с целью получения желаемых конструкционных свойств. Задача об антиплоской деформации неоднородной полуплоскости с трещиной рассматривается в четвертой главе.
Вышеизложенное указывает на теоретическую и практическую важность и актуальность исследуемых в диссертационной работе вопросов.
Цель работы.
Решение ряда двумерных задач для составных, неоднородных и усиленных тонкими покрытиями упругих тел с концентраторами напряжений и изучение влияния упругих и геометрических параметров на напряженно-деформированное состояние в зонах концентрации составляют цель и предмет диссертации.
Объем и структура диссертации. Публикации.
Общий объем диссертации составляет 190 страниц машинописного текста и включает в себя оглавление, введение, четыре главы, заключение, список литературы из 150 наименований к два приложения. По теме диссертации опубликовано семь работ /144/ -/150/.
Основные результаты, выносимые на защиту.
1. Получены зависимости порядков сингулярности и коэффициентов интенсивности напряжений от упругих и гео?яетрических параметров в задаче об антиплоской и плоской деформации составного упругого клина, и в задаче кручения конуса с тонким коническим покрытием.
2. Построено полное решение и исследована концентрация напряжений в задаче кручения цилиндра с кольцевой выточкой и покрытием.
- 9 -
3. Решены задачи кручения бесконечных цилиндров, жестко закрепленных на полубесконечных опоясывающих участках боковой поверхности, с тонкими покрытиями на закрепленной или на свободной части, а также задача кручения полого конечного цилиндра в жесткой обойме с покрытием на внутренней поверхности. ц. Предложен метод решения задачи об антиплоской деформации неоднородной полуплоскости с краевой трещиной.
Краткое? содержание работы и математические методы.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована ее цель, приведены основные результаты, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы, дан обзор литературы.
Первая глава посвящена изучению напряженно-деформирован-пого состояния кусочно-однородных (составных) тел с острыми концентраторами.
В § 1.1 рассматривается задача об антиплоской деформации составного упругого клина. Используется предложенный В.А.Кондратьевым метод определения асимптотики решения уравнения Лапласа вблизи вершины клина. Из однородных краевых условий и условий жесткого контакта на границах раздела получается характеристическое уравнение для определения порядка сингулярности напряжений в зависимости от соотношения модулей сдвига и углов раствора составных частей. Для определения коэффициента интенсивности напряжений используется метод, предложенный В.Г.Пазья и Б.А.Пла-меневским для определения коэффициентов в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с угловыми и коническими точками. Развивая метод тонких покрытий, разработанный Н.Х.Ару-тюняном и К.О.Чобаняном для задач кручения валов с покрытиями, анализируется, какие упрощения могут быть внесены в постановку
- 10 -
и решение задачи для клина с тонким клиновидным покрытием или включением. Для бесконечного клина, кроме того, приводится решение задачи методом интегральных преобразований Меллина.
В § 1.2. аналогичными методами решается задача о плоской деформации бесконечного составного упругого клина. При этом порядок особенности напряжений вычисляется как корень определителя шестого порядка, а коэффициент интенсивности выражается формулой, содержащей константы, являющиеся решениями системы линейных уравнений, которые определяются численно.
В § 1.3 по той яе методике находятся коэффициент интенсивности и порядок особенности напряжений в задаче кручения конуса с тонким коническим покрытием.
Во второй главе методом сращиваемых асимптотических разложений решается задача кручения бесконечного цилиндра с кольцевой выточкой и тонким покрытием.
В § 2.1 приводится постановка задачи, учитывающая, на основании метода Н.Х.Арутюняна, тонкость покрытия. При этом нахождение решения сводится к построению функции напряжений, удовлетворяющей уравнению Дарбу в области осевого сечения с краевым условием третьего рода.
В § 2.2 функция напряжений определяется в виде суммы внешнего решения (решения уравнения Дарбу для цилиндра с покрытием без выточки), которое оставляет невязку на контуре выточке, и решения типа погранслоя, компенсирующего указанную невязку.
В § 2.3 в полученную в предыдущем параграфе формулу для коэффициента концентрации напряжений вносятся некоторые упрощения и анализируются частные случаи.
- II -
В третьей главе рассматриваются задачи кручения цилиндров,
имеющих тонкие покрытия, с граничными условиями смешанного типа.
1
В § 3.1 решается задача кручения бесконечного цилиндра, полубесконечная опоясывающая часть поверхности которого, усиленная тонким покрытием, жестко закреплена. На бесконечно удаленном торце свободной части задан крутящий момент. Учет тонкости покрытия приводит к появлению на части границы области осевого сечения краевого условия третьего рода. В каждой из полуполос, на которые делит осевое сечение линия, соединяющая точки смены типа граничных условий, ищутся решения уравнения Дарбу, удовлетворяющие соответствующим граничным условиям, которые затем 11 склеиваются1’ по вышеупомятутой линии. В окончательном виде решения представляются рядами по бесселевым и экспоненциальным функциям с коэффициентами, которые определяются из решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Возможность применения метода редукции подтверждается численными экспериментами. Кроме того, приводится аналитическое исследование поведения напряжений в точках смены типа граничных условий, которое показывает, что учет тонкости покрытия в виде краевого условия третьего рода приводит к устранению сингулярности напряжений в особой точке. Концентрация напряжений, однако, имеет место, что подтверждается численными расчетами.
В § 3.2 аналогичными методами рассматривается задача кручения бесконечного цилиндра, жестко закрепленного на полубесконеч-ном опоясывающем участке боковой поверхности, с тонким покрытием на свободной части.
В § 3.3 методом рядов Фурье получено решение задачи кручения полого конечного цилиндра, внешняя боковая поверхность и
- 12 -
один из торцов которого жестко закреплены, а на внутренней поверхности имеется тонкое покрытие. Крутящая нагрузка задана на незакрепленном торце. Аналитический анализ поведения решений в угловых точках осевого сечения, где меняется тип граничных условий, показывает, что концентрация напряжений в них отсутствует.
Рассмотренные во второй и третьей главах задачи были поставлены Н.Х.Лрутюняном.
В четвертой главе излагается метод решения задачи об анти-плоской деформации неоднородной полуплоскости с краевой трещиной, в направлении которой изменяется (достаточно гладким образом) модуль сдвига. Использование преобразования Лапласа сводит задачу к нахождению решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.
Оно решается методом вариации произвольных постоянных. При построении фундаментальной системы решений и определении неизвестных функции параметра преобразования используется метод ВКБ. Указывается путь определения неизвестной граничной функции, входящей в прагую часть неоднородного уравнения для трансформанты Лапласа искомого решения, из интегрального уравнения. Соотношения, установленные для произвольной зависимости модуля сдвига от координаты, иллюстрируются на частном примере, когда модуль сдвига задается экспоненциальной функцией.
В заключении приведена сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертационной работе.
В приложениях приводятся результаты численных расчетов по материалам первой и третьей глав.
- 13 -
Научная новизна, достоверность и практическая ценность.
Полученные в диссертации результаты являются новыми. Их достоверность основана на применении строгих математических методов и совпадении результатов, в частных случаях,с данными других авторов. Выявленные на основе решения модельных задач закономерности могут быть применены к расчетам на прочность деталей машин и сооружений, изготовленных из композиционных материалов и имеющих острые концентраторы напряжений, валов с покрытиями и кольцевыми выточками, валов с насаженными на них деталями или соединенных жесткими муфтами, когда часть поверхности вала усилена тонким покрытием, а также втулок с покрытиями. Такие элементы имеются в большинстве машин и механизмов.
- 14 -
2. КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Работы общего характера.
Среди фундаментальных трудов, опубликованных различными авторами в последние годы, следует назвать книги Н.Ф.Морозова /56/, /57/, В.В.Панасюка /70/, В.З.Партопа и П.И.Перлина /71/, Г.'Я.Попова /72/, М.П.Саврука /77/, Л.И.Слеляна,/83/, Г.П.Че-репанова /95/, Г.Си и Г.Либовица /79/, в которых подробно рассматриваются вопросы, связанные с распределением напряжений вблизи трещин, острых вырезов, включений и т.д., в плоских (ан-типлоских) задачах теории упругости и приводятся обзоры отечественной и зарубежной литературы по данной тематике.
В недавно изданной книге В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна /3/ последовательно анализируются многие важные проблемы контактного взаимодействия между тонкими накладками (включениями) малой изгибкой жесткости и основным упругим телом, а также воздействия штампов на тела с тонкими покрытиями и прослойками.
Что же касается вопросов теории кручения, то основополагающей здесь является опубликованная в 1963 году книга Н.Х.Арутю-няна и Б.Л.Абрамяна 1!Кручение упругих тел" /6/, в которой рассматривается широкий класс задач кручения и приводится исчерпывающий анализ работ других авторов, вышедших ранее.
В последующие годы в СССР были изданы книги /100/ и /34/, касающиеся методов расчета на кручение. В /100/ исследуется кручение стержней разнообразных профилей, в том числе и валов с продольными концентраторами напряжений. /34/ посвящена разработке и применению вариационно-разностных методов
- 15 -
и МКЭ к исследованию напряженно-деформированного состояния анизотропных и неоднородных тел вращения. Среди работ зару-бенннх авторов укажем монографию /117/, изданную в Дании, и /142/, вышедшую в Великобритании. Кручению валов переменного сечения посвящена такие книга К.В.Соляника-Красса /84/. Кроме указанных выше, к тематике диссертации имеет отношение такие монография Г.Нейбера /61/.
В связи с вышейзлоиенным ограничимся в настоящем обзоре при рассмотрении работ, касающихся плоских Сантиплоских) задач для областей с угловыми точками, в основном, статьями, опубликованными в течении последних десяти-двенадцати лет, а среди работ по кручению - за прошедшие двадцать лет.
Двумерные задачи для областей с угловыми точками.
Исследованию поведения напряжений в окрестности нерегулярных точек, границы посвящены многие работы. Остановимся лишь на тех, которые касаются определения напряжений вблизи вершин однородных и составных клиньев.
В /2/ устанавливается, что изучение решений вблизи ребра в пространственной задачи сводится к изучению двух двумерных задач о плоской и антиплоской деформации области нормального к ребру сечения.
Порядок сингулярности напряжений в вершине однородного упругого клина был определен в работе А.И.Каландия /31/.
Среди работ последних лет этому вопросу были посвящены статьи /33/, /12/, /144/, причем в последних двух работах вычислены не только первые корни характеристических уравнений, определяющие порядок особенности главного члена асимптотики напряжений, но и некоторые последующие. В /12/, кроме того,
16 -
изучено поведение мнимых частей комплексных корней.
В /23/ метод А.И.Каландия определения показателей сингулярности распространяется на более широкий класс задач.
Для составных упругих клиньев порядки сингулярности напряне-нений определялись в работах /46/ (двухсоставной клин), /I/ (трехсоставной клин) и /47/ (многосоставной клин).
Для трещины, упирающейся в границу раздела, корни характеристического уравнения приведены в книге Г.П.Черепанова /95/ со ссылкой на исследования А.Зака и М.Вильямса.
Среди работ зарубежных авторов, посвященных этой проблеме, отметим серию статей /136/-Д40/, в которых определены порядки сингулярности напряжений в вершинах двухсоставных клиньев для различных типов граничных условий и величин углов раствора.
Статья /113/ связана с определением порядков особенности напряжений в вершине составного клина для 37 различных вариантов граничных условий и условий на линиях раздела сред. В их число, наряду с непрерывностью каких-либо компонент напряжений или смещений, включен также контакт с трением.
Метод Е.Г.Маэья и Б.А.Пламеневского для определения коэффициента интенсивности напряжений в вершине клина использовался только для однородных тел в работах /26/ и /II/, причем в последней указанный коэффициент выражается в виде конкретных формул для трех основных типов граничных условий.
Аналогичная методика применяется в статье /133/ для клина, закрепленного на одной грани и свободного на другой. Для построения приближенного решения вне вершины используется МКЭ.
- 17 -
Укажем еще работу /76/, в которой рассматривается применение формулы Бетти, модифицированный на комплексный случай, для определения коэффициентов интенсивности.
Интересно отметить также статьи /III/ и /112/, в которых анализируются случаи, когда решение задачи теории упругости для клина имеет в его вершине логарифмическую особенность (это реализуется, если внешняя нагрузка в угловой точке не обращается в ноль, для некоторых углов раствора клина).
Асимптотика напряжений в вершине клина, состоящего из двух разнородных клиньев с прямой анизотропией общего вида, изучается в /109/.
Метод интегральных преобразований Неллина для определения напряженно-деформированного состояния в вершине клина нашел свое отражение в следующих работах:
В /52/ анализируются некоторые трудности и противоречия, возникающие при использовании преобразований Неллина в задаче о клине. Намечаются пути их устранения с помощью нового интегрального преобразования. При этом вместо единого контура интегрирования вводится веер контуров.
В /53/ указанный метод применяется к решению смешанной задачи теории упругости для однородного клина.
В статье /102/ методом преобразований Неллина решается плоская задача для клина в случае симметричной относительно его биссектрисы нагрузки.
В работе /17/ этим методом определен коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины сдвига, перпендикулярной к границе раздела.
- Київ+380960830922