Введение
Нелинейная динамика деформируемых систем является одним из бурно развивающихся направлений современной математической физики. Значительные успехи, достигнутые на рубеже 70-х годов прошлого века в области аналитических методов решения нелинейных УЧП, позволили эффективно использовать нелинейные теории механики деформируемых тел, которые выявляют и адекватно описывают явления, невозможные в рамках линейного анализа.
Основным эффектом, породившим целое направление современной пауки, стал эффект существования устойчивых стационарных импульсов - “солитонов” в нелинейных средах с дисперсией, первые опыты научного наблюдения которых в виде волн на воде восходят еще к середине 19 века. Численные эксперименты, связанные с исследованием солитонов привели Крускала, Забусского и Миуру к созданию нового метода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния и теории солитонов. Будучи решениями нелинейных уравнений и обладая при этом свойствами частиц, солитоны являются воплощением корпускулярно-волнового дуализма.
В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы - от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейдена Г.В., Островского Ю.И., Самсонова А.М., Семеновой И.В., Сокуринской Е.В. (1988) Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым
A.B., Самсоновым А.М, Семеновой А.М., Дрсйденом Г.В. (1996) Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С. (1987)
Постоянный рост мощности и производительности современной компьютерной техники является значительным подспорьем на пути преодоления трудностей, связанных с применением нелинейных теорий. Даже нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании решения и нащупать пути для построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга,позволяют обеспечить корректность решения поставленной задачи.
История вопроса
2
Впервые термин “солитон” появился благодаря вычислительному эксперименту, проведенному Ферми, Паста и Уламом в 1953 году, которые сформулировали приводящую к этому понятию проблему. В результате численного эксперимента по динамике нелинейных волн уравнения Кортевега де Вриза Забуски определил солитоыы как уединенные волны, выходящие из взаимодействия, не изменяя своей формы и скорости. Несколько ранее Перрингом и Скирме были обнаружены аналогичные эффекты для уравнения синус-Гордона. Аналитически двухсолитонные решения были найдены десятью годами ранее Зеегером и др. В 1971 г. были обнаружены солитоны уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (Яджима и Оути).
В результате этих пионерских численных исследований последовал целый каскад важнейших открытий в области нелинейной динамики. Были разработаны Метод Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), метод Хироты и преобразования Бэклунда. В результате этих успехов возникло представление, что большинство, если не все, ла-гранжевы системы являются вполне интегрируемыми. Однако, эти надежды были развенчаны в 1974 г., когда в Дубне было обнаружено неупругое взаимодействие ленг-мюровских солитонов в плазме, солитонов модифицированных вариантов уравнений Буссинеска, КдВ, Хиггинса и Клейна-Гордона. Оказалось что “малого” изменения уравнения оказывается достаточно, чтобы оно стало неиптегрируемым. В связи с этим возникло понятие “почти интегрируемых” уравнений, для которых своеобразным нулевым приближением могут служить интегрируемые модели. В случае, если такое отклонение возможно выделить в правой части уравнения, с помощью метода последовательных приближений зачастую можно получить решепия. Однако, даже в этом случае возможно получить решения, принципиально отличающиеся от соответствующих решений интегрируемых моделей.
В настоящее время численный эксперимент является весьма мощным орудием исследования вопроса интегрируемости систем. В частности, упругое взаимодействие солитонов является важной предпосылкой для положительного ответа на этот вопрос, в то время как обнаружение неупругости обрекает все попытки обнаружить следствия интегрируемости, такие как многосолитонные решения, на неудачу. Однако, представления о “почти интегрируемых” системах помогли обнаружить пульсирующие солитоны - “бионы” в рамках уравнений Клей на-Гордона, Хиггса и синус-Гордопа.
Трансформация физической системы, описывающей взаимодействие ленгмю-ровских и ионно-звуковых волн в плазме, от “сильно иеинтегрируемой” (при малых скоростях солитоны могут сливаться) вплоть до вполне интегрируемой была впервые прослежена на компьютере.
3
В результате значительных усилий, приложенных в этой области, одномерные солитоны сейчас относительно хорошо изучены. Обнаружены солитоны с весьма экзотическими свойствами: возвращающиеся “бумероны” (Калоджеро и Дегасперис), расщепляющиеся солитоны (Захаров и Михайлов)
Одним из первых уравнений решения которых были исследованы численно и проявили солитонное поведение, было уравнение КдВ, которое в общей форме выглядит следующим образом:
Щ + их + ОсьУЧх + иххх = 0. (1)
При V = 1, 2 это уравнение вполне интегрируемо и его солитоны взаимодействуют упруго. При V = 3 уравнение теряет это свойство и становится “почти интегрируемым”. [1] Легко можно получить солитоноподобные решения (1)
:(х - ьЬ - Хо) 1 ) , (2)
(„+!)(„+ 2)
Уравнение (1) описывает очень широкий спектр физических явлений - от волн на воде до волн в плазме и упругих волн в твердых телах. Во многом ему подобно уравнение Вуссинсска (1872 г)
(д?-д1-с%)и-дхи> = о. (3)
Действительно, после однократного интегрирования и замены переменных оно приводится к виду:
(dt + д2 + + дхи2 = const. (4)
Это уравнение при рассмотрении решений с ограниченной энергией совпадает с КдВ поскольку в этом случае const = 0. Уравнение (3) является интегрируемым [2] и для него были получены Хиротой многосолитонные формулы [3].
Также важно упомянуть нелинейное уравнение Шредингера
iut + Ихх + 0\u\vu = 0. (5)
солитоноподобные решения которого имеют вид, аналогичный солитонам КдВ:
и = Aq exp
sech2/v f ,2yjC* ~vt- *o)
(6)
4
При и = 2 уравнение (5) является вполне интегрируемым |4], а его уединенные волны огибающей - истинными солитонами. При других значениях и решения уравнения Шредиигера уже квазисолитоны.
В нелинейной оптике часто возникает уравнение, кратное синус-Гордон:
□u = V"4 — sin —и, □ = дt ~ д%. (7)
71 71
Солнтоноподобные решения этого уравнения численно подробно исследованы в |5J, а при п = 2 в [6] и [7]
Еще одно уравнение, часто встречающееся в литературе
ut + их + иииг - uzzt = 0. (8)
При v — 1 это уравнение было предложено Перегрином [8] для описания приливных волн. Оно обладает солитонным решением
7/v
и = sech [(і/ + l)(v + 2) + 2Л2]~1/2 (і -vt - zo)^| .
(9)
2 A2
v — 1 +
(</ + 1)(1/ + 2)'
Уравнение Бенджамина - Оно (9,10] используется для описания внутренних
волн в слоистых жидкостях
где Н - оператор Гильберта
В (11] дано его решение:
tie + бни* + Нихх = 0. (10)
оо
II = -Р [ PO-dZ. (11)
7Г J < - X
-2/31 + ^х-^- <12>
Вначале исследования, вдохновленные машинными экспериментами по проблеме Ферми-Паста-Уламы, вращались вокруг динамики формирования и взаимодействия солитонов вполне интегрируемых систем. Первые результаты полученные при исследовании этих систем показывали, что взаимодействие солитонов в этих системах приводит лишь к сдвигу положения и фазы, оставляя форму и скорость волн неизменной. Именно из-за этого свойства многие исследователи ассоциировали солитоны с частицами. Так продолжалось до тех пор, пока в 1976 году не были открыты возвращающиеся солитоны - “бумероны” и солитоны, осциллирующие вокруг
5
некоторого положения - “траппоны”. [12]. Наконец, в 1978 году появилась работа, которая демонстрировала распад и взаимопревращения солитонов интегрируемых моделей [13]. Эта работа показывала, что первоначальное определение солитона оказывалось слишком узким даже для интегрируемых систем.
В 1978 году Дж.Эйлбек отметил, что в области численного моделирования уравнений в частных производных вообще, и исследовании солитонов в частности, численный анализ является в той же мере искусством что и наукой. В этом смысле за истекшие десятилетия мало что изменилось. Вопрос о “наилучшем” численном методе для каждого нового уравнения является самым спорным. В середине 80-х годов традиционно применяющиеся разностные методы начали отходить на второй план, уступая место спектральным методам с использованием недавно открытого в то время Быстрого Преобразования Фурье (БПФ) [14]. Эти методы были с успехом использованы в [15,16].
С точки зрения численного эксперимшгта динамика формирования солитонов как для интегрируемых, так и для близких к ним уравнений практически одинакова. В зависимости от энергии первоначального импульса образуются один, два и т.д. солитонов и осцилляторныВ хвост. Именно это свойство ввело исследователей в заблуждение, и была потрачена масса усилий на то чтобы показать что все эти уравнения интегрируемые. Распад начального условия на солитоиы вообще говоря является характерной особенностью квазиинтегрируемых систем.
Однако, когда исследование доходит до взаимодействия солитонов, картина качественно меняется. Солитоиы КдВ и модифицированного КдВ являются истинными в том смысле что претерпевают лишь фазовый сдвиг при столкновении (17],
в то время как солитоиы остальных КдВ-подобных уравнений взаимодействуют
неупруго [16,18]. При этом степень неупругости обычно мала, но растет с увеличением и и при V = 4 становится явной. Это хорошо прослеживается на примере уравнения ШЛ¥:
Щ + их + иих - Пья = 0. (13)
Разностные схемы для него были исследованы Эйлбеком и Макгиром [19], а
также X. Абдуллоевым, И. Боголюбским и В. Маханьковым в [18]. В этих работах было обнаружено слабое, на уровне долей процента “дыхание”, солитонов. Была разработана изопфенная вычитательная процедура которая позволила выявить эффект неупругого взаимодействия солитонов.
Аналогичные результаты были получены в процессе численного исследования улучшенного уравнения Буссинсска (1Вч). [19]. Несмотря на внешнюю схожесть уравнений ШЛУ и 1Вя поведение их солитонов при взаимодействии существенно раз-
6
лично. Это связано с тем, что солитоны ЛЬ\У догоняют один другой, а солитоны 11^ могут испытывать встречные соударения. Последний тип столкновений приводит к большей иеупругости соударения.
Болес того, в результате численной работы с квазисолитонами КдВ-подобных уравнений было установлено, что неупругость взаимодействия увеличивается с ростом их амплитуды и степени нелинейности. Бона, Причард и Скотт разработали весьма совершенный вычислительный алгоритм [20), который позволил им детально изучить взаимодействие солитонов ШЛУ.
Численные исследования нелинейного уравнения Шредингера впервые были проведены Яджимой и Оутой (21) в 1971г. Они обнаружили упругое взаимодействие солитонов огибающей уравнения Шредингера с кубической нелинейностью. Объяснение этого факта было дано Захаровым и Шабатом (4) которые показали интегрируемость этой системы.
Наиболее полно нелинейное уравнение Шредингера было исследовано (в том числе численно) в применении к описанию ленгмюровских волн в плазме. В [15] проведен подробный анализ солитонных явлений в применении к теории плазмы. Проведены сравнения результатов при различных параметрах плазмы, амплитуды и скорости солитонов. Детали сравнения различных кодов вычисления можно найти например в [22|. Также большой объем вычислительных исследований ленгмюров-ской турбулентности в плазме при наличии поля накачки или электромагнитного поля была проделана калифорнийскими группами [23].
Французская группа, исследовавшая взаимодействие квазисолитонов в рамках возмущенных вариантов уравнения КдВ-Бюргерса
В этом случае, как и следовало ожидать, отклонение от интегрируемости заключается в появлении осциллирующих хвостов в процессе эволюции квазисолитона и при их взаимодействии [24].
Большая вычислительная работа была проделана в Манчестере для исследования кратных БС-уравнениЙ. В частности, уравнение БЭС:
было изучено в [5,25] Авторам удалось показать что система весьма близка к интегрируемой. При определенных условиях начальные импульсы распадаются на цуг солитонов, взаимодействие которых практически упруго при достаточно больших скоростях. При малых скоростях неупругость становится существенной а при очень малых образуется связанное состояние кинк-антикинк.
щ + б иих + иххх = цихх
(14)
Он = т [зт и + 1 /2А «п и/2].
(15)
7
Весьма интересные объекты, возникающие в теории солитонов - это их связанные состояния. По-видимому впервые такие состояния описаны в (26], где аналитически было найдено бисолитонное решение типа кинк-антикинк для уравнения синус Гордона.
и = 4 arctg | у/1 /и>2 — 1 sechC,' sin (С" + <5)|,
- vt - Го), (16)
С" = yu(vx -1)\ 7-2 = 1 - v2.
Интересно отметить, что в настоящее время появление таких систем во вполне интегрируемых уравнениях типа КдВ считается невозможным, так так из решения обратной задачи рассеяния следует, что каждому дискретному уровню соответствует
ЛИШЬ ОДИН СОЛ ИТОН.
Бионное решение (16) обладает двумя важными особенностями. Во-первых, состояние, описываемое им нельзя получить как результат взаимодействия отдельных кинков и антикинков, так как в силу интегрируемости уравнения синус Гордона в момент взаимодействия не возникает излучения. Во вторых, время жизни биона, благодаря все тому же отсутствию излучения, бесконечно. Наконец, взаимодействие бионов является упругим.
Указания на возможность существования связанных состояний содержались уже в ранних работах по численному исследованию динамики начальных пакетов в рамках нелинейного уравнения Шредингера. В работах [27,28] в результате эволюции начального пакета было получено решение, весьма напоминающее связанное состояние. В работе [27] было исследовано образование биона нелинейного уравнения Шредингера:
«= 4 е-а'г Ch3* + 3c-h*e—■ . (17)
ch Ах + 4 ch 2х -f 3 cos At
из начального пакета и — 2sech(x).
С полной очевидностью был обнаружен бион в численных экспериментах Кудрявцева по исследованию взаимодействия кинков и антикинков в модели Хиггса [29]. Оказалось, что окончательное состояние зависит от скорости v сталкивающихся ква-зисолитонов. Если скорость v больше некоторого критического значения, то кинк и антикинк отталкиваются друг от друга, теряя некоторую долю энергии на излучение. Причем эта доля падает с ростом скорости, так что в релятивистской области столкновение становится квазиупругим. При скоростях меньших критической картина качественно меняется и в результате образуется осциллируещее во времени решение описывающее связанное состояние кинка-антикинка. Этот новый объект иродолжа-
8
ет слабо излучать энергию в виде линейных вон малой амплитуды. Тем не менее, время его жизни является весьма значительным.
Эти результаты навели исследователей на мысль, что связанные состояния не являются прерогативой лишь интегрируемых моделей. Системы, близкие к интегрируемым тоже должны обладать решениями, описывающими долгоживущие связанные состояния. Это предположение было подтверждено в работах (7,30). Таким образом особенно интересным становится факт возникновения устойчивых долгоживущих состояний из неустойчивых квазисолитонов.
Одним из важнейших вопросов солитонной теории является устойчивость со-литонов. Можно говорить о двух типах устойчивости солитонов: 1) по отношению к возмущению начальных данных 2) по отношению к структурным возмущениям определяющего эволюционного уравнения. С вычислительной точки зрения обе проблемы можно исследовать в рамках единого подхода - начальной задачи. В первом случае изучается эволюция возмущенного начального состояния, заданного в виде исследуемого на устойчивость начального состояния. Во втором случае эволюция начального состояния подчиняется возмущенному уравнению.
В первом случае под устойчивым решением понимают решения для которого возмущение не нарастает лавинообразно с течением времени. Также устойчивыми считаются слабоизлучающие солитонные решения не теряющие своей структурной целостности под действием возмущения. При моделировании на компьютере такая устойчивость особенно важна так как не позволяет накапливаться ошибкам округления, связанным с конечной точностью компьютерных вычислений.
Под структурной устойчивостью понимают решения, достаточно долго (с точки зрения физики задачи) сохраняющие свою форму. Некоторые из невозмущенных решений при этом могут разрушаться весьма быстро, при этом возможно появление вместо них совершенно других типов решений.
В одномерном случае большинство исследованных систем обладает устойчивыми солитонами, во всяком случае по отношению к возмущениям не изменяющим симметрию системы. Устойчивость истинных солитонов вытекает из интегрируемости соответствующих систем (4). Однако, существует весьма поучительный контрпример, который привел Берриман в (31). Второй контрпример был обнаружен Сатсу-мой и Яджимой (27) в численном эксперименте которых бион нелинейного уравнения Шредингера распадался на составляющие его солитоны под воздействием начального возмущения с ассиметричной мнимой частью.
В самых современных работах особое внимание уделяется гибридным методам различной природы, а также вопросам реализации их на векторной и массивно-
9
параллельной архитектуре. В работе [32] сравнивались различные численные методы для решения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза. В статье предложен метод численного моделирования уравнения за счет последовательного решения двух составляющих уравнения задач - гиперболического закона сохранения и дисперсионного соотношения. Все численные методы были протест ированы на одно и двусолитон-ных решениях КдВ. Саттингср [33] рассматривал взаимодействие солитонов в ионно-акустической плазме. Уравнения описывающие динамику системы, были сведены к уравнению КдВ. С помощью неявного псевдоспектралыюго метода был прослежен эффект почти упругого взаимодействия солитонов. В результате взаимодействия за солитонами оставался дисперсионный хвост малой амплитуды. А.В.Бухановский и
А.М.Самсонов [34] решали задачи численного моделирования распространения и фокусировки уединенных нелинейных волн упругой деформации в твердотельных волноводах с переменным поперечным сечением, в том числе, составных. Исследован процесс трансформации солитонов в волноводах с периодически меняющейся площадью сечения. Алгоритмы численного моделирования реализованы на векторном CONVEX С3820 и массивном параллельном HP SPP 1600 суперкомпьютерах.
В работе [35] исследуется другое обобщение уравнения КдВ - с периодически изменяющимся коэффициентом дисперсии. Авторы упрощают обобщенное уравнение, сводя его к интегрируемому аналогу, солитонное решение которого используется в качестве начальных условий для численного моделирования полного уравнения. Обсуждаются эффекты различпых законов изменения коэффициента дисперсии и введения дисперсии пятого порядка.
Другой класс обобщений КдВ рассматривался в работе [36]. Для достаточно широкого класса КдВ-подобных уравнений построены точные волновые решения и проведено численное исследование распространения и взаимодействия солитонов, в том числе и для неинтегрируемых уравнений.
В работе [37] с помощью явного псевдоспектрального метода с высокой точностью рассматривается детальная картина формирования солитона КдВ из синусоидального начального пакета. Изучаются спектральные свойства генерируемых солитонов в широком диапазоне параметров.
Уравнения механики ДТТ являются удобным предметом исследований нелинейных волновых явлений, поскольку они естественным образом содержат пространственные производные высокого порядка. Изначальная сложность этих уравнений оборачивается возможностью сведения их к хорошо исследованным интегрируемым и близким к ним моделям нелинейной динамики. Исследование нелинейных воли деформации имеет более чем 30-летнюю историю.
10
Первыми подошли к новой проблеме У.К.Нигул и Ю.К.Энгельбрехт в [38,39|. В этих работах изучались переходные волновые процессы в задачах термоупругости и были получены важные качественные результаты о процессе распространения нелинейных волн деформации в сплошных средах. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах рассматривали Л.К.Зарсмбо и
В.А.Красильников [40], Л. А. Островский, Е. Н. Пелиновский [41], Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Я.Н.Давыдоным и З.А. Спольником [42]. В книге В.И.Карпмана [43] изучены общие закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах. Общие закономерности нелинейного волнового движения в свете последних исследований обсуждаются в статье Энгель-брехта [44].
По-видимому, первой работой интересующего нас направления применительно к конкретным тонкостенным конструкциям можно назвать статьи Kariboli и Sedov [45,46] , в которых изучались продольные диспергирующие волны в упругих и вязко-упругих стержнях и пластинах. Для компоненты продольной деформации были получены уравнения Кортевега - де Вриза и Кортевега - де Вриза -Бюргерса.
Отечественные исследования начинаются со статьи Л.А.Островского и А.М. Сутина [47], в которой анализировались нелинейные упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольные колебания стержня удовлетворяет уравнению Кортевега - де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром 1 мм. Кроме того, показано, что минимальная длина солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня (т.е. предположение о малости "поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется дія солитонов).
И.А.Молотков и С.А.Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга (48]. С использовалием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину "хвост". В работах А.М.Самсонова и Е.В.Сокуринской [49-52] изучено влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс, Было отмечено, что
11
при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакег, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочнении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать.
В работе (53] тем же коллективом авторов были впервые описаны эксперименты по наблюдению продольных солитонов деформации в упругом стержне. В качестве экспериментальной установки использовался канал, предназначенный для генерации волн деформации в твердом теле с помощью малой ударной волны в жидкости. Ударная волна генерировалась с помощью вызванного лазерным излучением взрывного вскипания элемента металлической мишени, расположенной в жидкости в непосредственной близости от торца исследуемого прозрачного полистиринового стержня диаметром 1 см. Процесс генерации и распространения солитона регистрировался с помощью метода голографической интерферометрии. На расстоянии 7-12 см от начала стержня формировался солитон продольной деформации, который распространялся вдоль стержня без наблюдаемых изменений формы. В отличие от пего, ударные волны деформации, связанные с начальным воздействием, очень быстро разрушались под действием диссипации и дисперсии.
A.В.Мартынов (54] рассматривает продольные вибрационных колебания в тонкой пластине. Исследуются уравнения нелинейных продольных колебаний пластины с большими прогибами срединной упругой поверхности, полученные вариационным методом. В случаи плоской продольной волны, распространяющейся вдаль какой-либо координатной оси, уравнения сводятся к волновым возмущенным уравнениям синус-Гордона (для неограниченного пространства). В общем случае исследовано качественное поведение решения уравнения, а для неограниченного пространства получен простой класс решений в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся с неизменной скоростью.
B.И.Потапов, И.Н.Солдатов (55] исследовали распространение слаборасходя-щегося пучка нелинейных продольных волн в пластине, показав, что компонента продатьной деформации удовлетворяет уравнепию Кадомцева - Петвиашвили. Таким образом, было показано, что в пластинах могут распространяться двумерные салитоны. Заметим, что уравнения продольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической нелинейностей проводился путем использования пятиконстантной теории упругости |56]. Результаты исследований о распространении ударных волн деформации в стержнях и пластинах были обобщены
12
- Київ+380960830922