Нестационарные гидроупругие колебания ограниченных пластин

2
Оглавление
Введение 3
1. Современное состояние вопроса.
1.1. Обзор работ но нестационарному деформированию
упругих структур, контактирующих с жидкостью. 5
1.2. Цели и задачи исследования. 13
2. Нестационарные гидроупругие колебания пластины-полосы. .Метод суперпозиции стационарных решений.
2.1. Постановка задачи. 15
2.2. Представление нестационарной реакции суперпозицией
периодических движений. 17
2.3. Определение стационарных составляющих
решения. 19
2.4. Результаты расчета и их анализ. 22
3. Плоская и осесимметричная задачи нестационарной гидроупругости пластин.
3.1. Разрешающая система уравнений плоской задачи. 31
3.2. Вычисление коэффициентов системы и алгоритм
формирования правых частей. 36
3.3. Разрешающая система уравнений осессиметричной
задачи. 41
3.4. Результаты расчета и их анализ. 48
4. Двумерные нестационарные колебания пластин, контактирующих с жидкостью.
4.1. Прямоугольная пластина. 56
4.2. Пластина произвольной формы. 64
4.3. Алгоритм формирования разрешающей системы методом
конечных элементов. 72
4.4. Результаты расчетов. 77
Заключение. 83
Список использованной литературы. 84
Введение
Пластины и оболочки, взаимодействующие со средой, являются распространенной расчетной схемой элементов подводных емкостей и трубопроводов, судовых и авиационных конструкций, а также конструкций энергетического и транспортного машиностроения, гидротехнического и промышленного строительства. Это приводит к необходимости исследования их поведения при действии заданных динамических нагрузок и возникающей при колебаниях реакция акустической среды. Самостоятельный интерес определение указанной реакции представляет при расчетах звуковых полей, создаваемых в среде вибрирующими конструктивными элементами, что обусловлено широким применением акустических приборов в современной технике.
Тесная связь и взаимное влияние вибрационного ноля упругой структуры и акустического поля в контактирующей с ней жидкости существенно затрудняет их теоретический анализ, который в нестационарной постановке достаточно детально проведен лишь для замкнутой сферической оболочки и бесконечных мембраны, пластины и цилиндрической оболочки. Значительно менее изученным является нестационарное взаимодействие с жидкостью упругих структур конечных размеров, поскольку здесь возникают дополнительные трудности, связанные с наличием краевых и усложнением граничноконтактных условий. Без использования приближенных представлений связи прогиба и поверхностного звукового давления оно рассматривалось в нескольких работах. Содержащийся з них фактический материал представлен конкретными немногочисленными расчетами, поскольку практическая реализация предложенных подходов требует сравнительно тонких, сложных и достаточно объемных вычислений. В связи с этим разработка эффективных методов расчета и проведение систематических исследований нестационарных колебаний ограниченных упругих структур при строгом учете механизма их взаимодействия с жидкостью сохраняют свою актуальность.
В данной работе указанные вопросы решаются применительно к широко распространенному классу конструктивных элементов - пластинам конечных размеров.
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе дан обзор работ, посвященных рассмотрению вибрационного и акустического аспектов нестационарного взаимодействия упругих структур с жидкостью, обоснована необходимость и актуальность дальнейших исследований в этом направлении, сформулированы цели и задачи данной работы.
Вторая глава посвящена решению задачи о нестационарных гидроупругих колебаниях экранированной пластины-полосы с использованием подхода. заключающегося в представлении процесса нестационарного деформирования пластины суперпозицией её периодических движений. Изложены процедуры получения стационарных составляющих решения и их суммирования. Приведены результаты расчетов и выполнен их физический анализ.
4
В третьей главе разработан численно-аналитический метод расчета одномерных (по формам цилиндрического изгиба и осесимметричных ) нестационарных гидроупругих колебаний ограниченных экранированных пластин, базирующийся на рассмотрении поведения пластины под действием заданной возбуждающей нагрузки и определяемой в процессе решения задачи кусочно аппроксимированной по пространственной координате и времени реакции среды. Описан алгоритм определения узловых значений этой реакции на каждом шаге по времени и выполнена практическая реализация соответствующих численных процедур. Представлен обширный числовой материал, иллюстрирующий основные закономерности нестационарных колебаний пластин, контактирующих с жидкостью.
Четвертая глава посвящена рассмотрению двумерных нестационарных гидроупругих колебаний пластин. В случае прямоугольной пластины решение строится также, как и в одномерных задачах, а для пластин произвольной формы кусочная аппроксимация реакции среды используется в сочетании с конечноэлементным анализом их деформирования.
В заключении сформулированы основные результаты выполненной работы.
5
1. Современное состояние вопроса.
1.1 Обзор работ по нестационарному деформированию упругих структур, контактирующих с жидкостью.
Теоретическое исследование неустановившихся колебаний пластин и оболочек, взаимодействующих с акустической средой и возбуждаемых заданными внешними нагрузками, сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения упругой структуры и разделяемых ею областей среды
Си+М^ = Й+(Рг-р2) |ч (1.1)
О!'
д''={0;0;А}; 1=1,2
ЛД-ЙМ 0.2)
с0 с/
при выполнении условий их совместного движения
др I I _др2
= ~Рч
д: «з
д1
(1.3)
дп дп
краевых условий, зависящих от формы структуры и её закрепления в пространстве
4« = 0:
а также нулевых начальных условий.
В открытой бесконечной области звуковое давление кроме того должно стремиться к нулю на бесконечности и соответствовать системе волн, уходящих от вибрирующей поверхности.
В формулах (1.1) - (1.3) 11 - вектор перемещений срединной поверхности оболочки (пластины), компонента которого направлена по внешней норма-
ли С, М - упругий и инерционный операторы на поверхности; ^- вектор
6
заданной возбуждающей нагрузки; Р^^-звуковые давления по обе стороны оболочки (пластины); - дифференциальный оператор на её контуре ; -
оператор Лапласа; ^°,с° - плотность среды и скорость звука в ней.
При возбуждении колебаний источником расположенным в среде, в (1.1)
необходимо положить # =0, а давление в соответствующей области представить суммой где Р° и Р заданное и рассеянное поля давлений.
Таким образом, исследование нестационарных вибрационных и акустических процессов в системе упругая структура - акустическая среда сводится по существу к решению совокупности гранично-начальных задач для уравнений движения конструкции и волнового уравнения. Основная сложность здесь заключается в том, что эти задачи связаны между собой, поскольку, во-первых, должны выполняться условия безотрывного движения (1.3) и, во-вторых, в уравнения движения конструкции входит разность граничных значений звукового давления по обе её стороны. Физически это означает наличие взаимной зависимости между колебаниями упругой структуры и акустической среды.
Задача (1.1) - (1.3) существенно упрощается при изменении всех искомых и заданных величин во времени по закону ехР(-/^0 что соответствует установившемуся режиму колебаний и звукоизлучения упругой структуры. Исследованию вибрационного и акустического аспектов стационарного взаимодействия тонкостенных элементов конструкций с жидкостью посвящено значительное число работ, результаты которых систематизированы, обобщены и развиты в книгах [7,16, 26, 31. 48, 62, 69, 72, 58, 1, 71]. Содержащийся в них, а также в публикациях последних лет [35, 85, 90, 75] материал свидетельствует о достаточно полной изученности проблемы стационарных колебаний пластин и оболочек, находящихся в неразрывном контакте с идеальной жидкой средой.
7
Значительно более сложными и вследствие этого менее изученными являются задачи нестационарного взаимодействия упругих структур с жидкостью.
Переходя к обзору работ в этом направлении отметим, что их систематизация проводилась по рассматриваемым авторами физическим моделям упругих структур и применяемому математическому аппарату вне зависимости от того анализировалось ли поведение упругого тела или же акустическое поле в контактирующей с ним жидкости. Это представляется оправданным, поскольку указанные объекты исследования суть различные аспекты одной и той же задачи.
По первому из указанных признаков можно выделить 2 основных направления. Одно из них, включающее наибольшее число публикаций, объединяет задачи нестационарной гидроупругости замкнутой сферической оболочки 192, 8, 98, 56, 89, 23, 76, 80, 94], бесконечных мембран 146, 39, 40. 52, 51, 36], пластин 188, 41, 42] и цилиндрических оболочек |76, 92, 86, 82, 83, 81, 80, 91, 96, 97, 78, 9, 10, 77, 84, 56, 23]. Другое - это задачи гидроупругости ограниченных упругих структур, содержащих дополнительные трудности, связанные с усложнением гранично-контактных и наличием краевых условий. Основные результаты, полученные по каждому из этих направлений связаны с действием на упругие структуры слабых ударных волн и лишь в незначительной степени с действием поверхностных нестационарных нагрузок и отражены в обзорах (17, 18, 19, 20. 24, 54, 11, 87, 103, 95] и монографиях [29. 50. 21, 22, 63, 38, 53, 49, 49, 27, 59, 57].
Объект сферической формы является одним из немногих для которого найдены точные решения ряда нестационарных задач взаимодействия [70, 12, 88]. Достигается это применением интегрального преобразования по времени с последующим разделением переменных по радиальной и угловой координатам. В результате изображение решения задачи представляется в виде ряда Фурье по полиномам Лежандра с коэффициентами, отыскиваемыми из условий контакта тела с жидкостью. Для каждого члена ряда зависимость реше-