Оглаплонис
Стр.
Введение ...................................................... 5
Глава 1. ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО ТРАНСПОРТА 10
1.1. Квантовый транспорт в мезоскопических системах............10
1.1.1. Формализм 5-матрицы. Формула Ландауэра-Буттикера........12
1.1.2. Квантование проводимости и резонансное туннелирование...15
1.1.3. Эффект Ааронова-Бома....................................21
1.2. Квантовые проволки и квантовые биллиарды..................23
1.3. Туннелирование под действием переменного поля.............29
1.4. Электронный транспорт в присутствии снин-орбитального взаимодействия...................................................40
Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА 52
Глава 3. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ НА РЕ> ЗОНАИСНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ И ВОЛЬТ-АМПЕРНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ ДВУХБАРЬЕРНОЙ СТРУКТУРЫ 73
3.1. Формулировка модели и численные результаты для вероятности прохождения................................................74
3.2. Изменение вольт-амперной характеристики под действием переменного поля...............................................82
3.3. Поглощение и излучение энергии туннелирующим электроном и рассеяние волнового пакета.................................88
Глава 4. КОЛЬЦО ААРОНОВА-БОМА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 94
3
4.1. Кольцо Ааронова-Нома иод действием переменного магнитного потока: осцилляции проводимости и транспортные свойства волновых пакетов..................................................95
4.2. Транспортные явления в двумерном мезоскопическом кольце под влиянием переменного электромагнитного поля....................102
Глава 5. РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СО СВЯЗАННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ В ПРОЦЕССЕ ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В КРОСС-СТРУКТУРАХ, ИНДУЦИРОВАННОЕ ПЕРЕМЕННЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 116
5.1. Проводимость £-,Т—,Х— структур...........................117
5.2. Аномалии холловского сопротивления, индуцированные переменным электромагнитным полем................................136
Глава 6. МИКРОВОЛНОВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ И ВОЛНОВОДЫ КАК СИСТЕМЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ КВАНТОВЫЕ МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ ГЕТЕРОСТРУКТУРЫ 142
6.1. Электромагнитный аналог мезоскопического транспорта электронов в присутствии сшш-орбитального взаимодействия Рашбы. . . . 146
6.2. Множество связанных состояний в кросс-структуре типа "ножницы"« возможная экспериментальная реализация для эквивалентной электродинамической задачи................................149
6.3. Влияние связанных состояний микроволновых волноводов на распространение электромагнитных волн........................158
6.3.1. Динамика намагниченности и уравнения электромагнитного ноля. 160
6.3.2. Численные результаты для Г-, Т- и Х-структур...........163
Глава 7. ТРАНСПОРТ В ПРИСУТСТВИИ СПИН-ОРБИТАЛЫЮГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 167
4
7.1. Явление подобное эффекту Холла, индуцированное спин-орбитальным взаимодействием....................................167
7.2. Изменение спинового состояния электрона, в процессе транспорта через мезоскопическую структуру, вызванное спин-орбитальным взаимодействием.....................................................178
7.2.1. Одномерная искривленная проволока.............................185
7/2.2. Двумерный искривленный волновод...............................190
7.3. Статистика волновых функций и токов индуцированная спин-орбитальным взаимодействием в хаотических биллиардах...........194
7.3.1. Формулировка метода граничных элементов в случае квантового биллиарда со спин-орбитальным взаимодействием.................197
7.3.2. Предел слабого и сильного СОВ.................................201
7.3.3. Статистика тока вероятности...................................206
7.4. Спиновая поляризация в квантовых биллиардах под действием
электромагнитного поля, поляризованного по кругу................212
Глава 8. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КОНТИНУУМЕ 221
8.1. Метод эффективного гамильтониана................................221
8.2. Общий подход па основе техники эффективного гамильтониана к проблеме связанных состояний в континууме......................231
8.3. Связанные состояния в континууме в открытых квантовых биллиардах с изменяемой границей....................................234
8.4. ССК состояния в кольце АароновагБома............................242
8.5. ССК состояния в двойных квантовых биллиардах....................253
8.6. ССК состояния в фотонных дефектных волноводах...................263
Заключение...........................................................279
Литература...........................................................286
5
Введение
Мезоскопическая физика интенсивно развивалась на протяжении последних двух десятилетий, как со стороны теории, так и эксперимента, что привело к значительному прогрессу в понимании квантовых явлений для систем занимающих промежуточное положение между микроскопическими и макроскопическими системами. Эта область физики в настоящий момент достаточно серьезно рассматривается с точки зрения важнейших технологических приложений квантовой электроники. Мезоскопические системы имеют характерный размер, лежащий между несколькими нанометрами и несколькими микронами. Таким образом, они являются достаточно большими по сравнению с размерами одного атома или молекулы, где полностью применимо квантовомеханическое описание, и в тоже время еще достаточно малыми, чтобы можно было наблюдать серьезные отличия в поведении от макроскопического предела. В омическом проводнике макроскопических размеров транспортные свойства определяются удельной проводимостью, которая зависит от материала, но не от геометрических размеров проводника. На мезоскопических масштабах ситуация полностью меняется: теперь соотношение между различными физическими масштабами существенно определяет свойства системы в этой области. Электрон в мезоскопическом проводнике не распространяется как классическая частица, а как волна подобная волне в обычном электромагнитном волноводе. Типичная длина волны Л в металлах составляет несколько ангстрем, в то время как в полупроводниках может достигать 50 нанометров. Кроме того, электрон распространяется когерентно (без потерн информации о фа:«?) на характерном масштабе - длине фазовой когерентности. На больших масштабах из за явления неупругого рассеяния фазовая когерентность разрушается. Масштаб 1# в общем случае зависит от температуры и деталей строения системы (электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий) и устанавливает предел мезоскопи-
6
ческой шкале, на которой квантовые интерференционные эффекты играют существенную роль в поведении системы. Третьим масштабом является средняя длина пробега I при упругих столкновениях с примесями, которые порождают нерегулярный потенциал.
Проводник длины Ь является омическим (классическим), когда размер его много больше характерных размеров Л, I, 1Р. В случае Ь < квантовые эффекты доминируют и проводимость более нс подчиняется закону Ома С = <тЛ/Х, где А - площадь поперечного сечения проводника. Вместо этого, проводимость начинает зависеть от числа распространяющихся мод в проводнике. Формула Ландауэра-Буттиксра, о которой пойдет речь в следующих главах С = (е2/Л)Т, как раз учитывает этот момент. Эта формула устанавливает эквивалентность между проводимостью и вероятностью прохождения Т по всем каналам. Константа е2/Л « (1/26) Ш играет важную роль в мезоскопической физике, поскольку является квантом проводимости. В том случае, когда /, << 1,1^, мы находимся в так называемом баллистическом режиме проводимости, когда механизм рассеяния целиком обусловлен взаимодействием электронов с границей проводника. К наиболее ярким квантовым эффектам мезоскопической физики относятся осцилляции Ааронова-Бома, квантование проводимости квантовых проволок и точечных контактов, незатухающие токи в кольцах, слабая локализация, универсальные флуктуации проводимости, кулоновская блокада, квантовый эффект Холла.
Целью настоящей диссертации является изучение квантового транспорта в двумерных полупроводниковых мезоскопических микроструктурах в баллистическом режиме, находящихся под влиянием статического и переменного электромагнитного поля, а также спин-орбитального взаимодействия Рашбы, которое способно изменять спиновое состояние электронов. Мы исследуем данную проблему с привлечением разнообразных численных методов (метод функции Грина, конечных и граничных элементов и т. д.), а также строим приближенные модели, которые корректно описывают наблюдаемые явле-
7
ния. Диссертация состоит из восьми глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на страницах и содержит рисунков.
Глава I носит обзорный характер и содержит краткое описание важнейших результатов, относящиеся к баллистическому транспорту, которые имеют прямое отношение к теме диссертации.
В главе II дан обзор численных методов, использованных в диссертации.
Глава III посвящена исследованию влияния периодического по времени возмущения на резонансное туннелирование и вольт-амперную характеристику двухбарьерной полупроводниковой гетероструктуры. Рассматриваются два типа переменного воздействия: пространственно однородное и неоднородное. Оба возмущения приводят к появлению сателлитных пиков в вероятности прохождения, что в свою очередь существенно изменяет вольт-амперную характеристику системы. Анализируются принципиальные различия в транспортных характеристиках для разных типов возмущения, а также особенности туннелирования волновых пакетов.
В главе IV рассматривается мезоскопическое кольцо Ааронова-Бома (АБ) под действием переменного электромагнитного поля. Изучалось влияние переменного поля на транспортные характеристики кольца, осцилляции АБ и различные проявления квантового нелинейного резонанса.
Главе V посвящена проблеме взаимодействия туннелирующих электронов со связанными состояниями в двумерных кросс-структурах, находящихся под действием переменного электромагнитного поля. В частности, показывается, что такое взаимодействие приводит к появлению резонансной особенности в амплитудах прохождения частицы, которой можно эффективно управлять, изменяя частоту, амплитуду и поляризацию приложенного поля. Ярким физическим проявлением эффекта взаимодействия со связанным состоянием, которое лежит ниже порога распространения, служит аномалия холловского сопротивления, которая, как показывается, имеет место в простейшей кроссструктуре.
8
В главе VI проводится параллель между квантовым транспортом электронов через двумерные биллиарды и распространением электромагнитной ТМ-моды в двумерном резонаторе, содержащем анизотропный ферромагнитный материа.4. Изменение физических параметров материала эффективно приводит к ^«метрическому фактору растяжения вдоль определенного направления границы эквивалентного квантового биллиарда, что дает возможность легко моделировать в эксперименте с электромагнитным аналогом изменение геометрии квантового биллиарда. Более того, показывается, что даже для такой сложной системы как двумерный электронный газ в присутствии спин-орбитального взаимодействия Рашбы существует электромагнитный аналог. В -заключении главы рассматривается множество связанных состояний электрона в кросс-структурс типа "ножницы"и возможная экспериментальная реализация для эквивалентной электродинамической задачи. Кроме того, предлагается механизм взаимодействия связанных состояний в микроволновых волноводах с расщххгтраняющимися модами, а для простейших двумерных структур проводится численный расчет резонансной аномалии амплитуды прохождения, вызванного этим взаимодействием.
В главе VII изучаются транспортные свойства квантовых биллиардов, в том числе и зависящие от спина, в присутствии сшш-орбитального взаимодействия (СОВ) Рашбы. Обнаружено явление, подобное эффекту Холла, в кросс-структуре, индуцированное СОВ. Проводится изучение закономерностей изменения спинового состояния системы при туннелировании электронов через двумерные биллиарды и изогнутые проволоки. Ставится проблема исследования влияния СОВ на статистические свойст ва волновых функций и токов вероятности в хаотических биллиардах. Показано, что статистические свойства становятся универсальными лишь при выполнении определенных условий. В заключении главы рассматривается эффект спиновой поляризть-ции неполяризованного потока электронов, обусловленного совместным воздействием на электроны СОВ Рашбы и поляризованного но кругу внешнего
9
электромагнитного ноля.
В главе VIII дан общий формализм эффективного гамильтониана, на основе которого анализируется проблема связанных состояний, лежащих в континууме (ССК) для следующих систем: прямоугольный квантовый биллиард с изменяемой границей, кольцо Ааронова-Бома, система двойных квантовых биллиардов, фотонные кристаллы. Для всех перечисленных примеров численно найдены состояния ССК; изучены их свойства, а также обнаружены аномалии в вероятности прохождения, вызванные присутствием этих состояний. Для качественного описания транспорта и явления ССК предложены простые модели с малым числом состояний, которые можно решить аналитически.
10
Глава 1
ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО ТРАНСПОРТА
1.1. Квантовый транспорт в мезоскопических системах.
Малый проводник, чей размер является промежуточным между микроскопическим и макроскопическим, называется мезоскопическим. Он, конечно, гораздо больше по размерам, чем атомы, но все же не достаточно велик, чтобы описываться законом Ома. Проводники обычно являются омическими, если их размер гораздо больше, чем каждая из трех следующих характеристических длин: (1) длина волны де’Бройля, которая связана с кинетической энергией электрона, (2) длина свободного пробега, которая определяет расстояние, проходимое электроном до полной потери первоначального импульса, (3) длина фазовой когерентности - это расстояние, которое проходит электрон до полной потери первоначальной фазы. Эти характерные масштабы широко варьируются от материала к материалу и сильно зависят от температуры, магнитного поля и т. д. Например, средняя длина свободного пробега при наблюдении квантового эффекта Холла составляет порядка миллиметра, для высокомобильных полупроводников длина фазовой когерентности может достигать сотни микрон. По этой причине мезоскопические транспортные явления возможно наблюдать в проводниках, размеры которых изменяются в широких пределах от нескольких нанометров до десятков микрон.
Мезоскопические проводники обычно изготавливают из сверхчистых полупроводниковых материалов, используя так называемый гетеропереход, в тонком слое которого формируется двумерный электронный газ. Двумерная система электронов удерживается на поверхности раздела между двумя различными кристаллическими полупроводниками. Наиболее часто используется для научных исследований и высоко-технологических применений модулирование-легированная гетероструктура галлий-мышьяк/алюминий-
11
галлий-мышьяк (СаЛв/АКЗоАв). Чистые полупроводники не проводят электричества при низких температурах, поскольку в них нет свободных носителей заряда. Для создания свободных носителей заряда требуется введение небольшого количества примесей, или легирование. Однако, в трехмерных проводниках появление примесей приводит к сильному рассеянию свободных носителей. Преодолеть это противоречие удается в случае двумерного электронного газа. Можно отделить подвижные электроны от порождающих их примесей, помещая те и другие в разные, но расположенные по соседству плоскости. Такие слои должны быть близки друг к друг, чтобы примеси свободно могли передавать свои электроны, но с другой стороны, эти слои должны быть на достаточном расстоянии друг от друга, чтобы рассеяние электронов на заряженных остовах примесей подавлялись.
Молекулярно-лучевая эпитаксия дает возможность провести данную процедуру. Это особая техника напыления в условиях глубокого вакуума, которая позволяет напылять очень тонкие слои контролируемого состава друг на друга. В настоящее время она является основой производства приборов с высокими характеристиками для средств связи. В качестве стандартной комбинации для выращивания с помощью данного метода используются ваАз и АЮаАв. Концентрация электронов в инверсном слое ОаАз/АЮаАв определяется концентрацией легирующей примеси и фиксирована для каждого образца. Притяжение положительно заряженных доноров прижимает подвижные электроны к барьеру на поверхности раздела, так что возникает квантование движения носителей в направлении перпендикулярном поверхности, другими словами, они оказываются квантовомеханически связанными у поверхности раздела, оставаясь подвижными в плоскости перехода. Концентрация электронов в области перехода обычно составляет 1011 - 1012 на квадратный сантиметр. Другая важная характеристика двумерного электронного газа - это подвижность электронов, величина, которая характеризует насколько свободно электрон движется через вещество. При низких температурах, когда
12
рассеянием на фононах можно пренебречь, подвижность в современных гетероструктурах достигает рекордных величин ~ 10е см2/в, что в 1000 раз превышает таковую в кремниевых полевых МОП- транзисторах. На сегодняшний день такие модулнропанно-легированные образцы представляют собой совершенное воплощение концепции двумерного металла, в котором практически отсутствует нежелательное рассеяние.
Коль скоро имеется возможность создавать почти идеальный двумерный электронный газ, то возможно дальнейшее понижение размерности системы. Прикладывая отрицательный потенциал к металлическим электродам, расположенным над электронным газом, можно различным образом ограничивать движение электронов, создавая тем самым, например, квазиодномерные волноводы (квантовые проволоки); нуль-мерные структуры - квантовые биллиарды. которые можно рассматривать как искусственно созданные аналоги атомов.
1.1.1. Формализм 5-матрицы. Формула Ландауэра-Буттикера.
Электронный транспорт в мезоскопических гетероструктурак обычно хорошо описывается однаэлект^хлшым уравнением Шредингера в приближении эффективной массы |1|
^<р-£л)’+ !/(*,*)
где х, у- координаты в плоскости гетероструктуры. Квантовая структура представляет собой систему с несколькими открытыми идеальными волноводами (рис. 1.1), через которые электрон либо входит, либо покидает структуру. Фактически оказывается, чтобы полностью описать поведение мезоскопической структуры достаточно знать, как она рассеивает входящие в разные волноводы трансиоргные моды. В связи с этим, очень полезной оказывается концепция 5-матрнцы, нахождение которой фактически эквивалентно решению уравнения Шредингера при определенных граничных условиях.
Ф(х,у) = ЕФ(х,у), (1.1)
13
Рис. 1.1. Открытая гетероструктура с тремя волноводами.
Формализм 5-матрицы [2, 3, 4, 5| является очень удобным, когда мы имеем дело с очень сложной структурой, но которую можно представить как совокупность простых связанных блоков с известными свойствами (известными 5-.матрицами). Тогда полная 5-матрица может быть построена из отдельных 5-магриц сегментов, используя простые законы композиции. Кроме того, формальная теория 5-матрицы естественным образом связана с техникой функции Грина, нагорая является мощным и развитым вычислительным инструментом теоретической физики.
Для заданной энергии электрона 5-матрица связывает входящие амплитуды волн в структуру по отдельным каналам с выходящими амплитудами Ь = 5а. Предполагается, что ток переносимый каждой волной пропорционален амплитуде в квадрате. Амплитуды ар = (а)р, Ьр = (Ь)я описывают падающие и рассеянные волны />го канала. Эти величины сами могут быть векторами столбцами, если канал поддерживает несколько распространяющихся мод, скажем А/р. Следовательно, 5-матрица - это матрица размером Л/ х М, где М — А/р. Другими важным дня электронного транспорта понятиями являются матрица прохождения Тпт = |5пт|2 и функция прохождения Трц — последняя есть сумма вероятностей рассеяния
14
всех мод из канапа q в канал р.
Перечислим важнейшие свойства 5-матрицы 1) Унитарность: 55+ = 5,+5 = 1, является следствием закона сохранения вероятности. 2) Правило сумм: = ££ Ти = А/р. 3) Обратимость: [5£я = когда струк-
тура находится во внешнем поле В. Являемся прямым следствием уравнения Шредингера. Используя это соотношение, можно доказать условие обратимости и для функции рассеяния: Т^'\~п ~ [Ї.в• 4) Закон композиции.
Рассмотрим теперь ток проходящий через идеальную квантовую проволоку, подключенную к двум резервуарам, находящихся при нулевой температуре. Химический потенциал левого и правою резервуаров соответственно /і],/*2- Квантовая проволка способна поддерживать много распространяющихся мод с законом дисперсии Е(:\!,к) для номера моды N. Пусть
£лг = к = 0) эго положение дна Лг-ой минизоны. Если энергия элек-
трона Е, то число распространяющихся мод равно М(Е) = в(Е — £.%•). Предположим, что состояние с волновым вектором -г к палевой границе проволоки занято с вероятностью /+(£), пусть также г\у = ^ ',Е-~к Л- обозначает скорость электронов для Л'-ой моды в проволоке. Ток переносимый фиксированной модой через структуру равен
с 4 £ ■*/♦(*> = IЕ \™шг (Е) = £ £ Г(Е). (,2)
АГ К
где Ь-длина проволоки. Если теперь просуммировать но всем модам, которые могут распространяться, то полный ток окажется равным
Г = Т Г Ґ(В)М{Е)ЛЕ. (1.3)
* У-00
Из-за принципа запрета Паули, в формуле (1.3) на самом деле мы должны ограничивать интегрирование интервалом /*2 < Е < р\, поэтому
0.4)
Кроме того, если учесть тот факт, что разность химических потенциалов равна работе совершаемой при переносе заряда в электрическом поле еЬт =
15
И\-Ц2, то из формулы (1.4) сразу получаем проводимость Сс и сопротивление /?с мезоскопической проволоки
(1'5)
Представляет интерес два вопроса, а именно, как обобщить формулу (1.4) на случай многотерминалыюй структуры, которая к тому же может рассеивать падающие волны, и второй вопрос, как учесть влияние температуры. Ответ на первый поставленный вопрос дает знаменитая формула Ландауэра-Буттикера |2, 3]
^ = "д" £Р>р — (1.6)
я
где Тт функция прохождения. Если использовать правило сумм для функции прохождения, то получаем еще один вариант формулы Лапдауэра-Вуттиксра через напряжения Ь'р = /гр/е
/ = £ а„\и, - (,.7)
я
При низких температурах формула (1.7) остается в силе с единственной поправкой, что матрицу' проводимости необходимо вычислять через интеграл с функцией распределения Ферми-Дирака
2е2 Г= /г,ч, д/
- т / с-8)
Теория Ландауэра-Буттикера позволяет объяснить такие фундаментальные, экспериментально подтвержденные явления, как квантование проводимости идеальной проволоки и квантовый эффект Холла.
1.1.2. Квантование проводимости и резонансное туннелирование. Обычно, достаточно широкая квантовая проволока поддерживает несколько десятков распространяющихся мод. Их число легко находится, если известна длина волны электрона на поверхности Ферми А/, тогда М{Ег) = Іпі[2№/А/], где И’’ -ширина проволоки. Например, в случае
16
6
X
Рис. 1.2. Резонансная двухбарьерная структура.
XV — 1000 ангстрем, Л/ = 300 ангстрем, получаем М(Е/) = 6. Согласно формуле (1.5), мы имеем замечательный факт - проводимость проволоки квантована и квант проводимости равен точно 2<г/Л. Экспериментально наблюдать квантование проводимости проще всего, используя так называемый точечный контакт. Это такое адиабатическое изменение, либо геометрического сечения проволоки, либо локального потенциального рельефа, которое создает энергетический барьер для распространяющихся мод. Управлять величиной барьера можно, прилагая напряжение непосредственно к точечному контакту. Это приводит к тому, что часть мод с малой продольной кинетической энергией будет полностью отражаться от препятствия, так что проводимость будет определяться только числом прошедших без отражения мод А/(V)
С' = Ц-М(У). (1.9)
Величина М[у) изменяется монотонно при увеличении потенциала, в результате, мы получаем последовательность широких плато в местах определяемых по формуле (1.9) и резкими переходами между ними.
Туннелирование является замечательным явлением мезоскопического переноса заряда. Однобарьерное туннелирование нашло широкое применение в фундаментальных исследованиях и технологических приложениях. Наиболее выдающееся достижение недавнего времени - это туннельная ми крое ко-
17
пня, которая дает возможность получать изображения отдельных атомов. Более тонкий эффект - резонансное туннелирование, которое можно наблюдать в структурах, состоящих из двух и более потенциальных барьеров. Вольт-амперные характеристики таких структур нелинейны и имеют очень полезные с практической точки зрения особенности (например, отрицательный участок дифференциального сопротивления), которые не исчезают даже при комнатной температуре и высоких приложенных напряжениях. Мы ограничим обсуждение только случаем когерентного транспорт, так как при таком допущении, ток можно найти, просто решая одночастичное уравнение Шредин гера с заданным потенциалом. В связи с обсуждаемым вопросом, необходимо упомянуть также о явлении одноэлсктронного туннелирования, которое является активной областью изучения в настоящее время. Явление одноэлек-тронного туннелирования было предсказано в 1980 году К.К.Лихаревым [7]. Подобно явлению резонансного туннелирования, этот эффект наблюдается в двухбарьерных структурах, но физический механизм лежащий в основе этих двух явлений принципиально различный. Резонансное туннелирование возникает по причине волновой природы электрона и квантования уровней энергии в пространстве замкнутой структуры, в то время как в одноэлек-трониом туннелировании отражается другая сторона дуалистической природы квантовых частиц - квантование заряда. Резонансное туннелирование не наблюдается, если расстояние между барьерами достаточно велико так, что расстояние между ближайшими уровнями энергии в потенциальной яме много меньше по сравнению с кв'Гу с другой стороны, одноэлектронное туннелирование может все еще хорошо наблюдаться, коль скоро емкость квантового дота достаточно мала, чтобы энергия электростатическою взаимодействия электрона е~}С превышала квТ ■ Эгог эффект не мог бы наблюдаться, если бы заряд не был бы квантован.
Функцию рассеяния Т(Е) двухбарьерной мезоскопической структуры (рис. 1.2) можно найти, решая одномерное уравнение Шредингера (1.1) с под-
18
ходящими граничными условиями задачи рассеяния. Если Т^Е) - это вероятность прохождения через одномерную структуру, ТО Т(Е) = Ьт),
где £т - эго энергия поперечного квантования т-оП моды, (Е~£т) - кинетическая энергия продольного движения. Заметим, что таким способом можно решить задачу о многомодовом транспорте только в том случае, когда переменные в уравнении Шредингера разделяются, и мы получаем два независимых уравнения для продольного и поперечного движения. Вольт-амперную характеристику структуры можно найти, если использовать выражение для тока
/ = | У Г(Е)(/,(Е> - /,{£))<(£, (1.10)
где /[(Е), /г(£)- фермиевские функции распределения левого и правого контактов. Существует простая формула, которая выражает ТЬ(Е) двухбарьерной структуры через вероятности прохождения и отражения для отдельных барьеров 7\, Т2, Н\. Я-2 и фазовый сдвиг 0, который приобретает электрон при движении между барьерами
П{Е)= 1-2Д^со1((>(£)) + Я,Д2' (1П)
Функция Ть{Е) имеет острый резонансный пик при определенном значении энергии Ег, а именно, когда сов(0(£)) = 1. В окрестности пика можно записать приближенную формулу для вероятности прохождения
- г!тН£ - *>• л(£) - та72?’ (1Л2)
где Г = Г1 + Г2, а функция А{Е) имеет лоренцевскую форму. Таким образом, функция рассеяния равна
Т(Е) = £Г(Е-£Д = У^ £>(£-£„), Ет = Е,+ Ет. (1ЛЗ)
т 1 2 т
Величины 1’ь Г 2 входящие в функцию рассеяния очень малы, их физический смысл довольно прозрачен - это частота с которой электрон, локализованный в яме, покидает яму через первый, или второй барьер соответственно.
19
Рис. 1.3. Резонансное туннелирование в окне прозрачности и вне его.
Электрический ток через структуру получается интегрированием функции рассеяния Т(Е) в энергетическом окне между химическими потенциалами контактов рь < Е < ц\. Обычно в области максимального тока щ < £т, а также в случае Е < £т функция рассеяния практически равна нулю. Учитывая сказанное, интегрирование можно проводить в пределах £т < Е < ц\. Тогда полный ток через структуру равен
2с — 2е Г, Го Р1
1я = т1 Т{Е)(1Е=Т1^Т21 а{е ~Ет)ЛЕ' <114)
Значение тока может сильно изменяться в зависимости от того, как спектральная функция располагается по отношению к окну проводимости £т < Е < Ц[. Максимальное значение тока 1„, получается, когда вся спектральная функция располагается в пределах упомянутого окна, т. е.
* - “ ТгЙЙ* (115)
Полный ток приближенно определяется количеством резонансных мод при данном напряжении на контактах, каждая из которых дает вклад (1.15). В целом вольт-амперная характеристика изменяется крайне нерегулярно, состоит из множества участков подъема и падения тока в зависимости от того "входит"какая-либо мода в данный момент в окно прозрачности, или покидает его (рис. 1.3). В общем случае количество -задействованных мод может
20
быть очень велико, если поперечное сечение структуры велико. В этом пределе мы можем в формуле (1.14) суммирование по модам заменить интегрированием. С учетом плотности состояний двумерного электронного газа тп/тгй2, получаем выражение для максимального тока
1 = Я? 10 1т<*ет = ~ ^
где 5- площадь поперечного сечения. Ток (1-16) увеличивается линейно как функция химического потенциалащ. Ненулевой ток через структуру практически полностью определяется резонансным туннелированием. Поэтому проводимость структуры в слабых электрических полях крайне чувствительна к положению резонансных уровней энергии. Действительно, эксперименты, проведенные на 2Т> структурах, созданных литографически, подтверждают эти выводы. В данных структурах использовались металлические электроды, размещенные над поверхностью двумерного электронного газа, которые одновременно создают и транспортный канал и два энергетических барьера. Еще один металлический электрод располагается под электронным газом, что позволяет изменять электронную плотность в канале, тем самым управлять положением уровня Ферми. Таким образом, в эксперименте есть возможность прямого измерения проводимости в слабом электрическом поле как функции энергии Ферми. Экспериментальные измерения действительно показывают, что проводимость состоит из нескольких острых пиков, которые хорошо описываются теорией резонансного прохождения. Из модели линейного отклика следует, что проводимость пропорциональна функции рассеяния, т. е.
_ Л п(п»)р(т)
о = С(Я,) = £ 1 - Ет). (1.17)
т 1 1 + 1 2
Как видно, проводимость имеет острые пики в положениях Е/ = Ет. Тем не менее, экспериментальная картина электронного транспорта оказывается гораздо богаче, чем это слудует из формулы (1.17). В частности, хорошо выраженные пики проводимости наблюдаются даже для очень длинных двух-
21
барьерных структур, у которых расстояние между соседними квазиуровнями энергии меньше чем кв'Г и, по общепринятым представлениям, картина резонансного туннелирования в таких условиях должна полностью нарушаться. Здесь мы сталкиваемся с другим важным явлением - одноэлектронным транспортом, который обусловлен кулоновским взаимодействием электронов, или кулоновской блокадой.
1.1.3. Эффект Ааронова-Бома. Эффект Ааронова-Бома {8{ это фундаментальный ннтерфренционный эффект квантовой механики. Если говорить формально, то причина эффекта заключается в том, что в уравнение Шредингера входит не само магнитное поле В, а векторный потенциал, через который выражается магнитное поле В = V х А. Сильным следствием это1Х) факта является зависимость движения электрона, который находится вне бесконечного соленоида, от магнитного потока соленоида, хотя в области, где может находится электрон, магнитное поле равно нулю. Другой вариант наблюдения эффекта АБ состоит в использовании колец. Пучок электронов в плоскости, испускаемый из источника, расщепляется таким образом, чтобы ои огибал магнитный поток с двух сторон. Затем парциальные электронные пучки сливаются, и электронные волны интерферируют друг с другом. Относительная фаза электронов в двух пучках определяется магнитным потоком, проходящим сквозь кольцо. При изменении потока будет периодически изменяться и интерференционная картина, а, следовательно, электронный ток и проводимость структуры. Осцилляции АБ наблюдались в мезоскопических металлических и полупроводниковых кольцах |9].
Рассмотрим простейшую теорию этого эффекта. Пусть волна, распространяющаяся по верхней дуге кольца, приходит к точке контакта В с амплитудой 1\, а другая волна, распространяющаяся по нижней дуге, с амплитудой 1о. В точке контакта вероятность прохождения равна Т = |<1 + Ьч|2. Если основываться на фейнмановской формулировке квантовой механики через интегра-
22
лы по траекториям |10|, то каждая траектория, при наложении магнитного поля, получает дополнительный фазовый фактор І => іехр(^ /с Ас/г). Если такими траекториями являются пути вдоль верхней и нижней дуг кольца, то разность приобретенных фаз выражается через магнитный поток, проходящий сквозь кольцо
где Ф - магнитный поток сквозь кольцо. Следовательно, с учетом магнитного поля
Т = І*! ехр(і^і) + <2ехр (г^)|2 = |І1І2 + Ы2 + 2|<і||<2ІС08(|е|Ф/Дс + ^).
(1.19)
Коэффициент прохождения осциллирует как функция магнитного потока, а это в свою очередь приводит к осцилляциям проводимости но гармоническому закону. Экспериментальные осцилляции выглядят гораздо сложнее. Причина расхождения в том. что наша теория слишком упрощена. Во-первых, экспериментальное кольцо имеет конечную ширину, а это значит, что в пределах дуги существует не один путь, связывающий контакты. Это приводит к тому, что разность фаз интерферирующих путей становится сложной, непериодической функцией магнитного поля, а осцилляции проводимости Ааронова-Бома перестают быть периодическими [11, 12). Во-вторых, попов в область контакта, электрон с определенной вероятностью может отразиться обратно, либо пройти в другую дугу. В-третьих, в кольце имеется определенное количество примесей, которые также влияют на картину интерференции. Еще более нетривиальную картину электронного транспорта мы получим, если в динамику вовлекаются спиновые степени свободы. В частности, в немагнитных полупроводниках достаточно сильное магнитное ноле, неоднородное на мезоскопических масштабах, изменяет спиновое состояние туннелирующего электрона, в результате чего и сам процесс туннелирования становится
23
зависящим от спина. Это приводит к новым нетривиальным эффектам, например, влиянию геометрической фазы Бери на вероятность прохождения.
1.2. Квантовые проволки и квантовые биллиарды.
Квантовые проволоки и квантовые биллиарды (квантовые доты) являются предметом интенсивного изучения. Квантовая проволока - это бесконечно протяженная система (одномерный волновод для двумерного электронного газа), которые могут иметь различную форму : либо постоянного сечения прямые или с изгибами, либо с медленно, адиабатически изменяющимся сечением ( в виде выпуклостей или вогнутостей). Квантовые проволоки могут пересекаться, образуя более сложные ветвящиеся структуры (Т-, Х-, 8-, Г-структуры), или суперрешетки. В узких каналах квантовых проволок движение электронасильно квантовано в поперечном направлении, так что каждое поперечное состояние определяет некоторую минизону. В случае искривленных квантовых проволок возникает очень интересные явления. Даже самое слабое искривление квантовой проволоки вызывает появление нераспростра-няющихся. т. е. связанных, или квазисвязаиных состояний электрона. Квази-связанныс состояния, как правило, лежат в минизонах другой симметрии. В транспортных измерениях мы обнаруживаем резонансные провалы в амплитуде туннелирования при сканировании энергии в районе квазисвязаиного состояния.
Наиболее ранние теоретические результаты по связанным состояниям в квантовых проволоках прснадлежат Экснеру, Себе, Стовичеку и Питерсу [13, 14|. Эти авторы показали, что существует связанное состояние в Ь- типа проволоке (с изломом), лежащее ниже дна зоны проводимости. Появление связанных состояний на качественном уровне может быть объяснено возникновением новог о характерного масштаба в системе, который характеризует область излома. Помимо этого, было предсказано появление связанных со-
24
стояний в квантовой проволоке постоянного сечения, но которая претерпевает гладкий изгиб [151- Подробное численное исследование пересекающихся прямых проволок (Г, А’-структуры), находящихся под действием магнитного поля, предприняли Шулт и Равенхолл (16]. В своих расчетах в Х-структуре они обнаружили два связанных состояния разной симметрии, которые претерпевали сложную динамику под действием магнитного поля. В сильных магнитных полях было предсказано появление множества квазисвязанных состояний в зоне проводимости, которые проявляли себя резкими пиками в амплитуде прохождения.
Голдстоун и Яффе (17) методом функции Грина аналитически изучали бо.пее общий случай - связанные состояния в бесконечной трубе постоянного сечения в пространстве любой размерности. Как и в случае квантовой проволоки, доказано существование связанных состояний при любой сколь угодно малой кривизне участков. Более того, положение уровня Еь зависит от кривизны трубки 7 по следующему простому закону Еь — Ео — ку2, где Ео - край зоны проводимости. При малой кривизне уровень оказывается вблизи самого края. Голдстоун и Яффе доказали, что несмотря на то, что уровень находится ниже зоны проводимости, тем не менее существенно влияет на амплитуду рассеяния вблизи края зоны, а именно, происходит быстрое изменение амплитуды от нуля до насыщения, когда волновой вектор изменяется от нулевых значений до у.
Связанные состояния могут быть легко обнаружены в экспериментах по транспорту электронов в том случае, если подводящие волноводы изготовлены из другого материала [18]. Была также отмечена [19] интересная особенность тока вероятности вблизи квази-свизанного состояния: при достижении связанного состояния ламинарный поток превращается в завихренный, причем направление завихрения изменяется на противоположное при прохождении резонанса. Багвелл установил (20], что появление связанных состояний в проволоке могут быть вызваны не только кривизной, но и наличием дефекта.
25
Даже в прямой проволоке в присутствии 6- примеси существует целый набор квазисвязанных состояний вблизи края минизон.
В работах группы Карини (21, 22] связанные состояния в прямой квантовой проволоке с изломом в виде острого угла изучались, как теоретически, так и экспериментально. Хорошо известно, что если угол излома равен л/2, то существует лишь одно связанное состояние, однако если угол непрерывно уменьшать, то у края нижней зоны последовательно рождаются новые состояния, которые затем уходят все дальше и дальше от края зоны. В момент рождения эти состояния являются очень протяженными в пространстве, в дальнейшем, однако, степень локапизашш увеличивается. Главное достижение группы Карини в том, что этот класс нерегулярных проволок удалось исследовать экспериментально, моделируя квантовомеханическую систему с помощью электромагнитных ТЕ-мод в плоском резонаторе. Энергии связанных 7’£-мод, найденные в эксперименте, с высокой степенью точности совпадают с результатами численных расчетов. Другими словами, было получено экспериментальное подтверждение сущест вования связанных состояний в открытых квантовомеханических системах.
Транспортные свойства квантовых точек также широко исследовались, как экспериментально, так и теоретически [23, 24, 25|. Главное отличие открытых квантовых точек (биллиардов) от квантовых проволок - это сильная нерегулярность границы, напротив, в квантовых проволоках сечение всегда изменяется адиабатически. Наиболее полно результаты по транспортным свойствам биллиардов представлены в недавнем обзоре па эту тему [25]. Если быть кратких», то дня квантовомеханического транспорта через биллиарды, поддерживающих малое число распространяющихся мод, характерно следующие:
1) Флуктуации проводимости как функция магнитного поля являются квазнпериодическими при слабых полях. 2) Флуктуации проводимости имеют резонансные выбр<х:ы, появляющиеся периодически, этим выбросах» со-
26
ответствует волновые функции биллиарда, в виде так называемых "шрамов1’(сильно локализованные решения, как правило, вблизи замкнутых классических орбит). 3) Решения для волновой функции в виде шрамов появляются в той области магнитных полей, где соответствующее классическое решение является полностью хаотическим. 4) В слабом магнитном поле только малое число регулярных орбит, вблизи которых локализовано решение, дают вклад в квантовый транспорт, несмотря на то, что система является полностью хаотической в классическом пределе. 5) Решения в виде шрамов слабо зависят от размера дота. 6) Положение электродов, способ их соединения с биллиардом, их поперечный размер имеют большое значение для возбуждения орбит. 7) Решения в виде шрамов появляются при различных конфигурациях электродов, и это свойство является универсальным. 8) Положение пиков проводимости универсально зависит от линейных размеров системы. 9) Решения в виде шрамов являются высокостабильными и слабо зависят от температуры и приложенного к контактам напряжения. 19) Решения в виде шрамов является интерференционным эффектом, поэтому для их существования должна быть обеспечена фазовая когерентность на протяжении всей классической орбиты, которая в случае слабого магнитного поля замыкается только после нескольких оборотов.
Многие эксперименты с квантовыми биллиардами имеют прямое отношение к быстро развивающейся области физики - "квантовому хаосу"[26]. Хаотические биллиарды являются очень простыми физическими системами, вместе с тем, как оказалось, проявляют все существенные аспекты квантовой хаотической динамики. Еще совсем недавно выражение "квантовый ха-ос"вызывало большое неприятие. Существует ли квантовый хаос? Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением в частных производных и в строгом смысле слова не может приводить к хаотической динамике (дчя этого обязательно необходима нелинейность). Вместе с тем, принцип соответствия требует, чтобы в квазикласснческой области, где длина
волны де’БроЙля много меньше характерных масштабов системы, квантовая механика непрерывно переходила в классическую механику, где разнообразные проявления хаоса возможны. По этой причине, на сегодняшний день с понятием квантовый хаос- принято связывать весь комплекс проблем, касающихся квантовомеханического поведения систем, хаотических в классическом пределе.
До 1900 года существовало небольшое число экспериментов по квантовой механике хаотических систем. Главным образом, упоминались в этой связи эксперименты Байфилда и Коха |27| над атомами водорода в сильном микроволновом поле и тех же атомов в сильном магнитном ноле (28). Однако, начиная с 1990 года, появились новые возможности исследования квантового хаоса - с использованием электромагнитного поля в микроволновом резонаторе с нерегулярной границей (29). Дело втом, что уравнение Гельмгольца, ко торос описывает Ті?-моды электромагнитного ноля в резонаторе полностью эквивалентно стационарному уравнению Шредингера .тля квантовой частицы, заключенной в геометрию той же самой формы. Другие демонстрации волнового хаоса в хаотических биллиардах также известны и касаются поверхностных волн на воде, или поперечных колебаний тонких пластин, а также поведения электросхем (30, 31). Однако эти примеры мы рассматривать не будем. Остановимся подробнее на аналогии с микроволновыми резонаторами. Уравнения Максвелла в резонаторе, с учетом обычной подстановки Е. Н =» E(r) exp (iwt), H(r) exp (iu>t) имеют вид
V х Н - ikE = 0; УхЕ + »Ш = 0; VE = 0; VH = 0; (1.20)
Решение системы (1.20), как известно, может быть выражено через два скалярных потенциала Ф, Ф |32|.
28
Потенциалы обязаны удовлетворять уравнению Гельмгольца
0?2 + *2) Ф = 0; (V2 + &2)Ф = 0; (1.22)
В случае ТЕ - мод плоского, в виде сендвича, резонатора мы должны положить потенциал Ф = 0, в тоже время потенциал Ф(х. у) считается зависящим только от координат х, у. При таком выборе, х, у - компоненты электрического поля равны нулю, а для Ег - компоненты на границе резонатора требуется обращения в нуль. Как следствие, приходим к плоской задаче для уравнения Гельмгольца с нулевыми граничными условиями на контуре. В результате полная эквивалентность задаче о квантовом биллиарде доказала.
Измерение собственных мод микроват нового резонатора - задача достаточно простая. Для этого небольшая антенна через отверстие помещается внутрь пат ости, через которую подается мощность микроволновой накачки. С помошью этой же антенны снимается отраженный сигнал. При сканировании отраженного сигнала по частоте образуется характерная картина резонансного поглощения электромагнитного поля, состоящая из множества очень острых пиков. Каждый пик ассоциируется с собственной модой закрытой системы. Более того, в микроволновых экспериментах также измерялось пространственное распределение поля Е:{х,у), которое является аналогом волновой функции в квантовой механике. Для этих измерений используется хорошо известный факт, что высота резонансного пика поглощения пропорциональна квадрату электрического ноля в точке, где приложена антенна. Таким образом, при сканировании сигнала поглощения при разных позициях антенны мы производим прямое измерение электромагнитного поля резонатора. Также проводились эксперименты и с квантовыми биллиардами [25). В этих экспериментах собственные моды биллиарда возбуждались при прохождении электрона, который попадал в структуру через открытий канал. Результат получается вполне аналогичный микроволновым резонаторам. Если связь биллиарда с каналом очень слабая, то узкие пики в амплитуде ирохож-
- Київ+380960830922