- 2 -
ВВЕДЕНИЕ
В [13] Н.Н.Коробов предложил метод численного интегри-
_ oL
рования функций класса Вs /S - целое положитель-
ное, cL > Y - вещественное/, т.е. функций, определённых
где Иу - ъуьсмь (4, 1и|) и а не зависит от .
Н.М.Коробов построил куб&турные формулы с помощью сеток, узлы которых получаются из теоретико-числовых соображений. Погрешность приближённого интегрирования функции £ класса В 5 с помощью замены интеграла средним значением в узлах оптимальной параллелелипедальной сетки на р узлах есть величина
при любом выборе сеток может быть улучшена лишь на логарифмический множитель.
Предложенный метод был назван методом оптимальных коэффициентов /"оптимальные коэффициенты" - некоторый набор целых чисел, определяющий сетку/; он изложен В [16],
Ряд работ по теории оптимальных коэффициентов и её
на единичном кубе &$ = Lo>'/]S , коэффициенты классического ряда уурье которых
£ И5 | ^ ^ ... ?
0)
LI7] .
приложениям принадлежит Н.С.Бахвалову /см. Ц], [2]/.
- 3 -
Рассмотрим класс Н 5 /о( > Д - целое/ функций ^ , определённых на и таких, что производная
Ы&)
о*. о*
...
и подчинённые ей существуют и непрерывны на &3 /вплоть до границы/. Реализуя одно замечание Н.Н.Ченцова [б], И.Ф.Шарыгин [39] расширил область применимости метода оптимальных коэффициентов до класса И5 , предложив периодизирующую замену переменных, преобразующую неперио-
о£ г~ °<~
дическую функцию класса в функцию класса •
Вопросами периодизации занимались также Н.С.Бахвалов и
Н.М.Коробов.
В.С.Рябенький [29] и С.А.Смоляк [32] показали, что оптимальные коэффициенты могут быть применены при аппроксимации функций класса Е3 . В работе [29] предложено
_ г»
приближенно вычислять коэффициенты Фурье функции методом оптимальных коэффициентов и определять аппроксимирующий тригонометрический многочлен 'У равенством
?(х„„Л)= г-С (2)
И*..И5<\Гр ?
где “ полученные указанным способом приближён-
ные коэффициенты фурье. При этом требуется знание значений У лишь в узлах оптимальной параллелепипедальной сетки.
Распространяя естественным образом определение класса Н5 на ограниченные замкнутые области в К , В.М.Солодов [34], используя оптимальные коэффициенты, построил для функций класса М5 , производные которых известны, кубатурные формулы на некоторых областях, отличных от Сг$ . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром,
- 4 -
задающим сжимающий интегральный оператор, можно, как известно, решать методом итераций. В [15^ Ы.М.Коробов предложил считать возникающие при этом интегралы на кубах /с растущим Ь / с помощью оптимальных коэффициентов. В [14Д для случая, когда интегральный оператор не является сжимающим, построен коллокационный метод со слоями ядра в качестве базисных функций и с точками оптимальной параллеле-пипедальной сетки в качестве узлов коллокации.
При решении методом итераций интегрального уравнения Вольтерра второго рода приходится считать интегралы
\docA I КЫ^К^'Х*)-.. Ш^ос5) $Ьс5)(1хс
о О о
по многогранникам специального вида /К - ядро/. В этом случае Ю.Н.Шахову [АО], [41] удалось построить теоретико--числовые кубатурные формулы, не использующие производных заданных функций.
Теоретико-числовые методы аппроксимации, решения интегральных уравнений и нахождения собственных значений интегральных операторов исследовались также в [9Д, [22] у И, [42], [45], [46], [47].
В [16], § 12, приведён пример применения оптимальных коэффициентов к приближённому решению уравнений в частных производных. Собственно говоря, в [1бЗ решается не какая--нибудь краевая задача, а ищется периодическое решение уравнения Пуассона с периодической правой частью. Правая часть заменяется аппроксимирующим тригонометрическим многочленом В.С.Рябенького, после чего легко вычислить приближённые коэффициенты Фурье решения /кроме коэффициента с нулевыми индексами, который остаётся свободным/.
В работе В.С. Рябенького £эоД оптимальные коэффициенты применяются при решении задачи Коши для эволюционного уравнения, решение которого периодично по всем пространственным переменным. Эта задача приближённо сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Я.М.Яилейкин в [б], [Д)| использовал явное интегральное представление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, считая возникающие при этом интегралы с помощью оптимальных параллелепипедальных сеток. Также к счёту интегралов свёл В.Т.Стоянцев [ЗоД задачу Коши для параболического уравнения с пространственно-периодическим решением, заменяя её эквивалентным интегральньш уравнением.
Характерной чертой перечисленных выше методов решения задач вычислительной математики, использующих оптимальные коэффициенты, является то, что оценки их погрешности практически не зависят от размерности /на классах /и
улучшаются с возрастанием гладкости входных функций.
Настоящая диссертация посвящена приложениям метода оптимальных коэффициентов к численному решению краевых, начально-краевых и некорректных начальных задач для уравнений в частных производных. Никакой периодичности решения, коэффициентов уравнений или правых частей не предполагается.
Диссертация состоит из трёх глав.
Первая глава носит вспомогательный характер и содержит леммы, необходимые для дальнейшего изложения. Она начинается параграфом, содержащим нужные нам сведения о методе оптимальных коэффициентов и о двух видах классических ортогональных многочленов - ультрасферических и многочленах
- 6 -
Эрмита. В § 2, 3 оценивается погрешность ^ и и&
вычисления коэффициента и5 П0 системе ортого-
нальных многочленов с помощью оптимальных коэффициентов / ти^.. и5 ~ приближённое значение £ , полученое
с помощью оптимальной параллелепипедальной сетки на р
узлах/. Как следствие, в § 2 для функции £ , определённой г
на \г1 л и принадлежащей классу , и для
аппроксимирующего ряда по многочленам Лежандра Ри
£■ f и-,...и РИ1 (х,)... ри (xs) (3)
/ Q, - параметр, сравните с (2) / получается оценка погрешности аппроксимации
Ч f ~ £ II с ~
О J +■ 9 (4)
- вйр-^у а *+ cr‘+as )&,*-* а).
/Отметим, что при оптимальном выборе в (4) параметра 0. ,
X
р 3 , имеем оценку
lf-îlc= *вШ), (5)
где 6(оО ограничены равномерно по d /.
Основной по содержанию и по объёму является глава II.
В ней описывается использующий теоретико-числовые сетки
H.М.Коробова вариационный метод решения задач для уравнений в частных производных. Если решается корректная дифференциальная задача на кубе
- Київ+380960830922