Оглавление
I
Введений 3
1 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями 18
1.1 Теоремы вложения разных метрик для пространств ^а(Г2) 18
1.2 Некоторые неравенства для произведения элементов пространства Ур.а(£1) 35
1.3 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями.....................................42
2 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями 50
2.1 Теоремы вложения разных метрик для пространств И^Л(П) 50
2.2 Оценки норм произведения производных двух функций ... 58
" 2.3 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями...................................62
3 О гладкости решения вариационных задач Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений 69
3.1 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для
общих эллиптических уравнений с вырождением..............69
3.2 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для
эллиптического уравнения в дивергентной форме............75
3.3 О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения
в дивергентной форме.....................................83
2
Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной области тг-мерного евклидова пространства Rn и изучению дифференциальных свойств ее решений.
Исследование разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является одним из бурно развивающихся областей теории дифференциальных уравнений. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют многообразные способы вырождения, которые требуют применение соответствующих разных методов и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы всех результатов этого направления.
Применяемый нами метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.). Первый результат типа теорем вложения для весовых пространств функций многих переменных был получен в 1938 г. в работе В.И.Кондрашова [26]. Систематическое изучение весовых пространств с весом, равным расстоянию до границы области в положительной степени, атак же их приложения к решению краевых задач для вырождающихся на границе ограниченной области эллиптических дифференциальных уравнений, впервые было проведено в монографии Л.Д.Кудрявцева [27]. Обзор работ и подробная библиография по весовым функциональным пространствам содержатся в монографиях С. М. Ни Кольского [46], Х.Трибеля [52, 53] и статьях О.В.Бесова, Л.Д.Кудрявцева, П.И.Лизоркина, С.М.Никольского
[6], Л.Д.Кудрявцева, С.М.Никольского [31].
Достаточно полный обзор полученных результатов в теории краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений содержится в работах В.П.Глушко, Ю.Б.Савченко [17], С.З.Левендорского, Б.П.Панеях [33], С.М.Никольского, П.И.Лизоркина,Н.В.Мирошииа [47],
O.A.Олейника, ЕВ.Радкевича [48], М.М.Смирнова [49], С.А.Тсрсепова [51],
3
Х.Трибеля [52] и С.В.Успенского, Г.В.Демиденко. В.Г.Перепелкипа [54]. Наши исследования в основном примыкают к исследованиям, проведенным в работах Б.Л.Байдельдинова [1, 2], К.Х.Бойматова [7] - [12], К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [13, 14], А.А.Вашарина [15], А.А.Башарина, П.И.Лизоркина [16], С.А.Исхокова [18] - [23], С.А.Исхокова, Г.И.Тарасовой [25], С.А.Исхокова, Г.И.Сивцевой [24], Л.Д.Кудрявцева [27] - [30], П.И.Лизоркина [34], П.И.Лизоркина, С. М.Ни кол некого [36, 37], П.И.Лизоркина,
Н.В.Мирошина [35], Н.В.Мирошина [44] - [42].
В указанных выше работах, в которых рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения в ограниченной области п-мерного евклидова пространства, коэффициенты дифференциальных операторов имели форму произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы области. В отличие от этого, в настоящей диссертационной работе, мы предполагаем, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым Ьр - пространствам. Предварительно доказаны теоремы вложения разных метрик для соответствующих весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и установлены некоторые оценки для норм произведения элементов из этих пространств.
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на помер параграфа, а третий - на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.
Везде в диссертации П - ограниченная области в /?п, граница которой является замкнутым п — 1-мерным многообразием <9П; р(х) - регуляри-зованное расстояние точки х £ 12 до сЮ; г - натуральное, а,р - вещественные числа, причем 1 < р < -Ьоо; к = (Ац, &2, • • • , кп) - мультииндекс, |А:| = А?1 -Ь А>2 Н Ь кп - длина мультииндекса к и
„даю = д'к'и^
дх\'дхк^---дхУ
Символом Со°(П) обозначен класс бесконечно дифференцируемых финитных в П функций. Если В - некоторое нормированное пространство,
о
содержащее Со°(П), то через В обозначено замыкание множества (П) в норме пространства В. Как обычно символом обозначен класс
функций О.В. Бесова, заданные на (определение В^(дС1) см., например, в [4] или [52]).
4
Если В2 - нормированные пространства с нормами ||•; В\||, ||-;Д>И соответственно, то запись В\ —> В4 означает, что все элементы пространства В\ можно рассматривать как элементы пространства Вч и, кроме того ||г/;52|| < С\\и\ Б1Ц для любого и € В\ с положительной константой С, не зависящей от и.
Первая глава диссертационно]"! работы, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями.
Символом \^а(П) обозначим пространство всех измеримых в П функций ц(х), имеющих зсе обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные х) (|А;| < г) с конечной нормой
Основные свойства пространства 1^а(П) изучены С.М.Никольским, П.И.Лизоркиным и Н.В.Мирошиным в работах [36, 37, 47]. Из результатов этих работ, в частности, следует следующий результат.
Теорема 0.1. 1) Для любого натурального числа г и естественных чисел а, р, причем 1 < р < оо, мнооісество бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в О, плотно в пространстве
В первом параграфе первой главы сначала доказывается теорема об эквивалентной нормировке пространства (теорема 0.2), а затем
доказана теорема вложения разных метрик для этого пространства (теорема 0.3).
где
5
Теорема 0.2. Норма (0.0.1) пространства V£a(f2) эквивалентна следующей норме
і/p
1к^«(я)Н* = | Е [ (р“-г+|*'(*)№)|)Р^
и^п
Теорема 0.3 Пусть г - натуральное число и целое число в Є [0,г]. Тогда при выполнении следующих условий
, п П л
1 < Р < <7 < оо, 5-----1— >0,
V Я
п п Ос — 5 Н-------< ос$
Р я
имеет место вложение
у;.,ат -> та«).
Заметим, что результат, сформулированный в теореме 0.2, ранее был известен (см., например, теорему 1.2.G работы [47], которую сформулирована без доказательства). Его подробное доказательство приведено в диссертации, с целыо выделения основных моментов доказательства теоремы 0.3.
Во втором параграфе первой главы доказываются некоторые неравенства для норм произведения производных двух функций, каждая из которых принадлежит пространству типа V£a(ft). Основными результатами этого параграфа являются следующие две теоремы.
Теорема 0.4. Пусть ос, /5, р, q- вещественные числа, р > 1, q > 1; 7*, t. - натуральные числа, и мультиипдексы k, I такие, что |/с| < г, |/.| < t. Для мультииндексов к и I определяем число А*/ с помощью равенства
1 + і _ г+НЦ-1^ если р[г _ \k\) < nt g(ï _ Щ) < п>
І _ rdM + Є; если p(r _ |Л'|) < n, q(t - |Z|) > n,
І
і - ^ + є, если p[r - |fc|) > n, q(t - \l\) < n,
є, если p(r — I&I) > n, q(t - |/|) > n, где є - достаточно малое положительное число.
G
Тогда для всех и Є V^ft(Q), v Є V*ß(Si) имеет место неравенство
ll«w®<4;bWn)ll 5 "11«;^0(П)№;^,(П)||,
где
r\ I » I III ^ H ^
= a + ß - r - t + &| 4- К H f--------r—.
V Q Ml
Теорема 0.5. Пусть г - натуральное число, |/с|. |/| < г и |/с| + |/| = 2r — I. Тогда для всех и, v 6 V^Ö(Q) справедливо неравенство
И«»)««; L^m < Moll«; цуп)111к ИУ«)ІІ.
где число Mq не зависит от и, у, а числа Л0, 70 определяются равенствами
1 — если п > 2,
п1 1
_1_
Ао
^ -f £, если 1 < п < 2. 7о = 2a - 1 + п (1 - -І-) .
Л
о
В третьем параграфе первой главы исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для следующего дифференциального уравнения
{Ьи){х) = £ (-1)« (<*(*).,«(*))® = /(*) (х € П). (0.0.2)
|*|.1Ч<Г
Заметим, что функция и(х) называется обобщенным решением уравнения (0.0.2), если она удовлетворяет равенство
[ аы(х)и(к\х)уМ(х)с1х = [ /(;х)у(х)бх
для всех V Е Сд°(£1). Поэтому вопрос о существовании обобщенных решений уравнения (0.0.2) связан со следующей билинейной формой
В[и, и] = ^ [ аы(х)и(к\х)у№(х)с1х. (0.0.3)
Ш1\<гп
Задача Др Для заданного антилинейного функционала Р, определенного на У£а(П), требуется найти решение и(х) уравнения
В[1Г, и] = (^у) (V* € С0°°(П)), (0.0.4)
- Київ+380960830922