Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .....................................................4
ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА
1. Нестационарная п-компонентная система уравнений Власова-Максвелла. Краткий обзор исследований и постановка задачи..........27
2. Существование стационарных решений п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла......................................41
3. Существование решений краевой задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений на скалярный и векторный потенциалы...........................................................56
4. Специальные классы точных решений стационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла..........................64
5. Редукция нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению...........78
6. Исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла с внешними источниками.....................87
ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПР ОВОДНОСТИ
1. Преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями... 91
2. Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока)......101
3. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры..............................................108
4. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида.....................................................112
2
ГЛАВА III. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
1. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока)......................................................121
2. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай).....................................................124
3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (общий случай).......................................................136
4. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком)......................................................143
ГЛАВА IV. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
1. Представление многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде переопределенной системы и исследование ее совместности.....157
2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии.........................................164
3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебродифференциальных уравнений (существование решения, частный случай). Качественный анализ решений задачи Коши для вспомогательного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения........168
4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений..................176
5. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р ф 2)...........188
6. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р — 2)...........198
7. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры 207
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................220
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .........................................222
3
ВВЕДЕНИЕ
Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) - проблема формирования, нагрева и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженных частиц, имеющая многочисленные приложения. Эта и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950] и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением [Калашников, 1987], связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении [Девидсон, 1978] и ее диффузию поперек магнитного поля [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986].
Действительно, в течение длительного времени, в связи с созданием сильноточных ускорителей и проблемой УТС, продолжают оставаться актуальными задачи математического моделирования в физике плазмы, связанные с формированием, удержанием, подавлением диффузии, фокусировкой и транспортировкой взаимодействующих пучков (ансамблей) заряженных частиц [Днестровский, Костомаров. 1982; Дривотин, Овсянников, 2001; Чихачев, 2001].
Одной из математических моделей, описывающих бесстолкновитель-ный ансамбль п € N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц ft, <?2, • • • ,Яп Є 1R\{0}, каждый из которых характеризуется функцией распределения /а(г, v, t) > 0 по координатам г = (х, у, z) Є Cl С R3 и скоростей V = (vXi vy, vz) Є R3, является система уравнений Власова-Максвелла (ВМ)
4/« + V • Vrfa + -(£+-«ß)' V„/e = 0, (0.1)
Ot та с
л
—Е = cV х В — 4тxj, V • Е = 4лр, ot
І-В = -cV х Е, V • В = 0, (0.2)
ot
4
К3 <*-1 кз
Здесь Ь £ Й+ - время; = (0, +оо); (г, г», £ К3хК3хЙ+; £(г, С), В(г, Ь)
- напряженность электрического поля и магнитная индукция; Е, В : К3 х Ёь —> М3; /а : I3 х I3 х |+ —► Ё+; р(г, £), j(r,t) - плотности заряда и тока; гаа, с]а - масса и заряд частиц сорта а; с - скорость света.
Отметим, что наиболее полное описание бесстолкновительной заряженной плазмы, в частности, высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля п € N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц, дается именно кинетическим приближением (0.1)-(0.3), в котором плазма исследуется на основе уравнений Власова (0.1) и системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3) с самосогласованным электромагнитным полем. Под этим подразумевается, что для решения кинетических уравнений Власова (0.1) относительно функций распределения /л(г, у,Ь) необходимо знать электромагнитные поля Е(г, £), В (г, £), которые, в свою очередь, определяются из системы уравнений Максвелла (0.2), (0.3), содержащих моменты функций распределения: плотность пространственного заряда р(г, £) и плотность тока Иначе, электромагнитные
поля £(г,£), В(г,£), определяемые согласно (0.2), (0.3), являются самосогласованными, поскольку из уравнений Власова (0.1) определяются такие распределения /а(г, ?;,£), которые вызывают появление электромагнитных полей Е{г, £), В(г, £), поддерживающих эти распределения.
Таким образом, система (0.1)-(0.3) описывает коллективные взаимодействия п £ N различных сортов заряженных частиц и называется гг-компонент ной системой уравнений ВМ. Система ВМ является, в общем случае, существенно нелинейной системой интегродифференциаль-ных уравнений, имеет с математической точки зрения ряд особенностей [Самарский, 1980), не относится ни к одному из известных типов уравнений и не поддается до конца аналитическому исследованию [ВаН, 1998).
Однако, в настоящей работе, при определенных предположениях относительно функций распределения /<*(г,и,£), удалось продвинуться и в этом направлении. В частности, предложен анзатц, сводящий систему ВМ (0.1)-(0.3) к нелинейному гиперболическому уравнению и доказано, что каждому решению этого уравнения соответствует семейство самосогласованных распределений и электромагнитных полей
Е(г,Ь), В(гЛ) исходной задачи (0.1)-(0.3). Кроме того, в этой работе ис-
следустся задача о существовании решений стационарной п-компонентной системы уравнений ВМ
описывающей кинетическое равновесие плазмы в бесстолкновительном приближении, где /а{г,Ъ') - функция распределения частиц сорта а в расширенном фазовом пространстве (г, у) € К6; Е € К3 - вектор напряженности электрического поля; В € И3 - вектор магнитной индукции; гаа, </а - масса и заряд частицы сорта а.
Описание заряженной плазмы на основе кинетического приближения (0.1)-(0.3) характерно тем, что знание функций распределения /а(г, г?, £) позволяет получить полную информацию о макроскопических величинах, характеризующих плазму, например, таких, как плотность А^а(г,£), средняя скорость К*(г, £) и температура Та(г, £) частиц сорта а, определяемых формулами
В прикладных исследованиях часто пренебрегают влиянием магнитного поля и рассматривают нестационарную предельную систему Власова- Пуассона (ВП)
V • Vг/„ + ^(Е+ -V х В) • У„/а = О, та с
(0-4)
(0.5)
(0.6)
Л
~т/а + *> • V,/« + ^г<р • У„/а = О, Оь та
(0.7)
или ее стационарный аналог
Здесь t G É+; г G Q С R3; i? g R3; ip(r, £) - скалярный потенциал электрического ноля E(r,t), удовлетворяющий уравнению Пуассона; E(r,t) = Vr<p(r, t). При решении системы ВП (0.8) ее обычно сводят либо к интегральному уравнению [Власов, 1950, 1966], либо, задавая вид функций распределения /0(г, и), к нелинейным дифференциальным уравнениям [Власов, 1966; Gogny, Lions, 1989]. Причем при сведении к интегральному уравнению в одномерном случае удается явно построить точные решения [Власов, 1950] системы (0.8). В работе [Gogny, Lions, 1989] функция распределения /(г, v) для одного сорта частиц (электронов) задавалась в виде
f{r'v) = (ïStY'2™р (“llr + {ф{г)'у) + (р[г)) ' (0-9)
с условием нормировки
11 f(r'v№rc^v = *» (0.10)
R3 п
где Т ей' - температура электронов; к G R+ - постоянная Больцмана; <^(г),Ф(г) - функции, определенные в области Q С М3 и принимающие значения соответственно в R,R3;r 6 9 С Е3. Далее с учетом условий (0.9), (0.10) было показано, что система ВП (0.8) сводится к нелинейному эллиптическому уравнению
<р(г) = -^и(г) + Л> ф(г) = 0. * е К,
для г е П; где е - заряд электрона. В случае, когда плазма состоит из щ+ П2 сортов частиц с различными массами и зарядами, то потенциал и = и(г) удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению Пуассона-Больцмана
—Аи = А,е~^ц ( / ехр 1=1 \п
п2
- £ V
7=1
-1
ехр (wju)dr ) , г G Q, \i,Vj G R+, G 1R+,
-î
(0.11)
7
где г € П с R3;u : П С К3 1. Задавая значение потенциала на границе
ц(г) = u0(r), г е да, (0.12)
краевая задача (0.11), (0.12) решалась в работе [Gogny, Lions, 1989] вариационным методом с использованием потенциальности уравнения (0.11). Существование и единственность классического решения краевой задачи (0.11), (0.12) с однородным граничным условием доказывалась [Krzywicki, Nadzieja, 1991] на основе техники априорных оценок с использованием теоремы Лере-Шаудера [Хатсон, Пим, 1983] о неподвижной точке.
Точные предельные свойства решения уравнения Пуассона - Больцмана изучались в работе [Rubinstein, 1986]. Краевая задача (0.8) с условием <р(г) = 0 для г 6 дО. рассматривалась в [Веденяпин, 1986].
В настоящее время наиболее изученными установками, с точки зрения поведения плазмы, являются тороидальные магнитные ловушки (тока-маки) [Кадомцев, Сагдеев, Шафранов. 1985]. Такие установки предназначены для нагрева и достаточно длительного удержания высокотемпературной заряженной плазмы в квазистационарном состоянии, за счет того, что внешние и генерируемые токами плазмы магнитные поля не дают разлететься и остыть нагретой плазме.
В работе [Днестровский, Костомаров, 1982] показано, что при определенных предположениях равновесные конфигурации в плазме токамака описываются задачей на собственные значения для полулинейного эллиптического уравнения
Аи + А/(г, и) = 0, и = и(х), х = (г, z) &а с R2, (0.13)
и > 0, х 6 а, и = 0, х € да,
где а - область сечения проводящего кожуха токамака в плоскости (г, z)\ да - граница области Q;f : R х Й+ —» R; А € К - параметр, пропорциональный полному продольному току в плазме токамака. Причем граница да проводящего кожуха является магнитной поверхностью.
Вопросам несуществования, существования одного и разветвляющихся решений задачи (0.13) непосредственно посвящены работы [Похожаев, 1965; Gough, 1994] и примыкают исследования [Lions, 1982; Giacomoni, 1998]. Обобщение двумерной краевой задачи (0.13) на систему п € N эллиптических интегродифференциальных уравнений и ее разрешимость (существование и единственность классического решения) будут проведены в этой работе.
8
Теперь кратко остановимся на задачах физики плазмы, при математическом моделировании которых возникает нелинейное вырождающееся параболическое уравнение второго порядка [Калашников, 1987].
Известно [Днестровский, Костомаров, 1982], что один из дополнительных методов нагрева плазмы токамака до термоядерных температур и, тем самым, увеличения ее макроскопических характеристик связан с инжекцией, поперек магнитного поля, пучка нейтральных частиц высокой энергии. Нейтральные частицы не отклоняются магнитным полем и поэтому их пучок легко проникает в плазму токамака. В плазме нейтральные частицы ионизируются, образовавшиеся в результате этого высокоэнергетичные ионы захватываются магнитным полем и за счет кулоновского механизма столкновений передают свою энергию электронам и ионам плазмы. Для медленных процессов эволюции в токамаке при классическом (кулоновском) переносе плазмы преобладающей является ее диффузия поперек магнитного поля [Днестровский, Костомаров, 1982]. Диффузия плазмы в аксиально-симметричных конфигурациях возникает только за счет перекрестных столкновений между электронами и ионами. Тем самым, в результате столкновений между собой, электроны и ионы будут диффундировать поперек магнитного поля.
Диффузия плазмы через магнитное поле изучалась в работах [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986; Kwong, 1988; Bertsch, Kamin, 1990} и описывается, в общем случае, нелинейными вырождающимися параболическими уравнениями второго порядка [Калашников, 1987] вида
ut = 4- /(А, u), (£,а:) € IR+ х О, (0.14)
и = 0, (t, х) € Ш+ х dQ, и = щ, (t,x) G {0} х Г2.
Здесь R+ = (0,oo);Q С Rn - открытое ограниченное подмножество с границей класса С2+а;а G (0,1);# : Й+ —* Й+ - непрерывная возрастающая функция; д(0) = 0; / : R х Й 'ь —► R - непрерывная функция; <?(•),/(А, •) - локально непрерывны по Липшицу; /(А,0) = 0 для А е R. Если д~г непрерывна по Гельдеру, тогда v = д(и) € С'2+0,(П) - классическое решение краевой задачи
—Av = h(А, и), х е fly V = 0, х € <9П, (0.14)'
где h : R х Й+ —► R; h(\,v) = f(\,g~l(y)).
Основными инструментами исследования уравнения (0.14)' являются [Похожасв, 1980, 1991; Митидиери, Похожаев, 1998] метод обыкновенных
9
дифференциальных уравнений, вариационные методы, метод верхних и нижних решений, априорные оценки и, так называемый, метод теорем типа Лиувилля.
Уравнение (0.14) эквивалентно уравнению
ut = V • (flT(u)Vu) 4- Q(\,u), u = u(x,t), х € Mn, (0.15)
и
к {и) = д'(и), д(и) = J и > 0,
о
где К (и) - коэффициент нелинейной теплопроводности, зависящий от температуры и = u(x,t) > 0,Q(A,u) - функция, описывающая процесс тепловыделения или горения в среде с нелинейной теплопроводностью, если Q(А, и) > 0 при и > 0 и процесс поглощения тепла, если Q(А, и) < 0.
В настоящее время имеется значительное число публикаций, посвященных исследованию уравнения (0.15). Приведем, например, обзорные статьи [Aronson, 1986; Калашников, 1987; Галактионов, Дородницын, Еле’ нин, Курдюмов, Самарский, 1987] и монографию [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987]. В работах [Aronson, Peletier, 1981; Bertsh, 1982] для обобщенных решений начально-краевой задачи (0.14) в области Q с Е1, а также [De Mottoni, Schiaffino, Tesci, 1984; Aronson, Crandall, Peletier, 1982] была построена качественная теория, аналогичная той, что развита в исследованиях [Белоносов, Зеленяк, 1975; Зеленяк, 1977] для равномерно параболических уравнений.
Уравнения (0.14), (0.15) описывают различные процессы нелинейной теплопроводности с источником (стоком) и одновременно протекающие процессы диффузии и, в частности, процесс диффузии тепла и горения нелинейной диссипативной среды с объемным энерговыделением при, так называемом, лазерном термоядерном синтезе [Самарский, Михайлов, 1997). При этом процесс горения может осуществляться в виде сложных диссипативных структур [Самарский, Еленин, Змитриенко, Курдюмов, Михайлов, 1977; Самарский, 1980; Курдюмов, 1982], а распространение выделяющейся при этом энергии происходит в результате теплопередачи и описывается, в частности, задачей Коши
ut = (К{и)их)х + Q(u), и(х,0) = щ(х)у (0.16)
где и = u(x,t); t € М+; х € Е; К(и) = k^u°\ Q(u) = qou0; G
R+; 0 > 1.
10
В этих исследованиях показано, что, в зависимости от значений параметров a,ß, существуют различные режимы горения нелинейной среды. Например, при ß > 1 может развиваться, так называемый, режим горения с обострением, когда температура u(x,t), по крайней мере, в одной из точек пространства обращается в бесконечность за конечное время. Иначе, существует т € R+ {t — т - момент обострения) такое, что решение и(х, t) > 0 определено на (0, т) х R и
lim supu(x, t) = +00,
i-*r-0 xeR
то есть задача Коши (0.16) не имеет глобального по времени решения. Неограниченные решения, или режимы с обострением, приводят к локализации в пространстве областей высокой температуры и к образованию пространственно-временных (нестационарных) диссипативных структур. Тем самым, локализация тепла и горения дает, в частности, возможность сконцентрировать любое количество энергии в ограниченных областях нелинейной среды, удерживать это тепло и горение в течение конечного времени практически без распространения из зоны локализации [Галактионов, Курдюмов, Михайлов, Самарский, 1980]. Следует отметить, что одним из примеров нестационарных диссипативных структур является эффект 7’-слоя [Самарский, Дородницын, Курдюмов, Попов, 1974] в плазме. Суть этого эффекта состоит в том, что в замагниченной плазме при определенных условиях самопроизвольно могут возникать области относительно высокой температуры. Эти области, или Т-слои, обладают повышенной проводимостью. Тем самым, в них концентрируется основная часть плазменного тока, разогревающего плазму и поддерживающего в нем высокую температуру.
В настоящее время работы, посвященные исследованию системы (0.1)-(0.3) и уравнения (0.14), можно условно разделить на две большие группы, отличающиеся как используемыми методами, так и кругом рассматриваемых задач. Дадим очень краткий обзор1, выделяя в каждой группе работ лишь некоторые, наиболее близкие, на взгляд автора, к данной работе публикации.
Первую группу составляют исследования, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений задач Коши, краевых и начально-краевых задач, а также с изучением различных динамических свойств решений, таких, как устойчивость, асимптотическое
1 Более полный обзор работ, примыкающих к результатам диссертации, проводится по главам.
11
поведение [Poupaud, 1992; Braasch, 1996, 1997; Guo, 1997; Batt, 1998; Самарский. 1980; Калашников, 1987; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987|.
Вторую группу составляют работы, посвященные методам построения точных, либо приближенных решений в том или ином явном виде [Mahajan, 1989; Марков, 1992; Batt, Fabian, 1993; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Galaktionov, 1991, 1995; Пухначев, 1995; Капцов, 1998]. К этой группе работ примыкают исследования [Batt, Berestycki, Degond, Perthame, 1988; Degond, 1990; Галактионов, Посашков, 1989; Galaktionov, 1990; Семенов, 2000], основанные на анзатце, позволяющим свести систему (0.1)—(0.3) или уравнение (0.14) к некоторой системе, соответственно, уравнению, которые поддаются разрешимости.
Нет смысла противопоставлять эти две группы работ. Обе они важны как для понимания особенностей поведения решений исследуемых задач (0.1)-(0.3), (0.14), так и для определения области их применимости при математическом моделировании тех или иных процессов в физике плазмы. Это замечание можно отнести ко всем нелинейным уравнениям математической физики.
Частные точные и приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении макроскопических характеристик плазмы, таких, как плотность Arft, средняя скорость Va, температура Та> в некоторых, представляющих интерес с физической точки зрения, ситуациях. Это, в свою очередь, подтверждает правильность выбора математической модели, основанной на системе (0.1)—(0.3) или уравнении (0.14). С другой стороны, строгие результаты, полученные в первой группе работ, позволяют судить о том, насколько исключительны частные точные решения, насколько они отражают общую ситуацию, существуют ли решения в целом или неограниченные решения (режимы с обострением) задач (0.1)—(0.3), (0.14).
Результаты, изложенные в диссертации, примыкают как к первой, так и ко второй группам работ.
Уравнению Власова (0.1) соответствует характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
описывающая движение заряженных частиц в электромагнитном поле.
(0.17)
12
Известно [Власов, 1966], что решением системы уравнений ВМ (0.1) (0.3) являются произвольные функции вида
fot = /а(#а1,...,#ы), а = 1,2,...,гг, (0.18)
где Нл 1,..., Hai - первые интегралы системы ОДУ (0.17). Кроме того, каждая из функций распределения /а(г, v,t) сама является первым интегралом системы (0.17), то есть
|/a(r,v,t)s^ + ^r + ^t) = 0. (0.19)
Уравнение (0.19) называется уравнением Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953] относительно функции распределения /л(г, v,t) частиц сорта для системы ОДУ (0.17). Причем вдоль решения характеристической системы (0.17) функция распределения /а(г,ц, t) является постоянной и определяет классическое решение уравнения Власова (0.1) [Rein, 1990; Horst, 1990]. Этот результат есть не что иное, как классическая теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Ней-штадт, 1985] (см. также формулы (1.9) главы I).
Аналогично метод построения стационарных решений системы (0.4)-(0.6) состоит во введении анзатца
fa{r,v) = <A*(/ai,...|/ы). а = 1,2,...,71, (0.20)
где lai = Iai(r,v); г € О с R3; v G R3; ipQ : R* —♦ R+ - некоторые фиксированные функции своих аргументов; 7ai,..., IQi : Q х R3 —> R -первые интегралы уравнения Власова (0.4); <^Q, /al.-.- , IQ1 - непрерывно дифференцируемые функции. Причем анзатц (0.20) редуцирует стационарную систему уравнений ВМ (0.4)-(0.6) к нелинейной системе эллиптических уравнений.
Действительно (см. раздел 2 главы I), если отыскивать стационарные распределения вида
fi(r,v) = Л(-Сф|2 + <л, (v,di) + V-j) = fi(R,G), (0.20)'
Vi - Vi{r) : R3 —► R, i>i = ipi(r) : R3 —> R, г e fi Ç R3; v e R3; a, 6 R+, dt G R3 (i = 1,2,... ,n),
и соответствующие им самосогласованные электромагнитные поля £(г), В (г), удовлетворяющие (0.4)—(0.6), тогда приходим к совместному исследованию системы нелинейных эллиптических уравнений
п » п
Д|р = / fkdv, Д^ = *]Гqk(v, d)fkdv, (0.21)
в области £2 С К2. Здесь \сЦ\ Ф 0 - свободные параметры; д = 87гад/т; и = -47гд/(тс2); а = оц\ д = дг, т = тр, й = в.\.
Далее рассматривается редукция системы (0.21) к одному нелинейному эллиптическому уравнению.
Конкретизируя вид функций распределения (0.20), представляющих интерес в теории высокотемпературной плазмы [Ладиков, 1978],
fi = ехр(-еф|2 + (t>, di) + liip + W + 7i) (* = 1,2,..., n), (0.22)
и полагая, что /,• удовлетворяют условию нормировки (0.10), система (0.21) запишется
где <р = ф{х), гр = ф{х) - потенциалы электрического и магнитного полей; х € П С Ш2.
В работе [Марков, Рудых, Сидоров, Синицын, 1989] система (0.23) исследовалась в двух предельных случаях и сводилась к одному уравнению вида (0.11). Причем, зная решение уравнения (0.11) и граничное значение потенциала <р\дп, можно определить искомые электромагнитные поля.
Далее (см. раздел 3 главы I) рассматривается общий случай, когда систему (0.23) нельзя свести к одному уравнению эллиптического вида. В этом случае доказывается разрешимость (существование и единственность классического решения) задачи Дирихле для системы (0.23).
Причем в случае одного уравнения вида (0.11) при нарушении условий А*, ц € (г = 1,2,..., п) свойство единственности решения может теряться. Например, этот факт следует из анализа упрощенного уравнения
с однородным условием Дирихле, которое допускает разветвляющиеся решения [Hesse, Schinder, 1986]. Существование разветвляющихся реше-
(0.23)
Ди + Ае2и = 0, х € О С R2,
14
ний задачи Дирихле для уравнения Лиувилля Аи + еехри = 0, е е 1R+, рассмотрено в [Dancer, 1988).
Теперь кратко остановимся на некоторых аспектах теоремы и уравнения Лиувилля для системы обыкновенных дифференциальных уравне-ний(ОДУ)
х = Х(х, t), x(t0) = х° € IRn, (0.24)
где х е Rn; ./ = {( : to < t < +00}; Xi(x,t) 6 G^G); G = П x J; Q С Rn - область (открытое связное множество). При выполнении этих условий через каждую точку я0 € Rn в любой момент времени to проходит единственное решение x(t) = x(x°,toyt) задачи Коши (0.24). Известно, что системе ОДУ (0.24) соответствует уравнение Лиувилля [Немыцкий, Степанов, 1949; Kaplan, 1953|
Здесь
о
—/(х,4) = £/(х,{), /(х^0) = /о(х). (0.25)
с' = - £ тсгМ*- *М = г)-]- (0-26)
І=1 °Хі
оператор Лиувилля, относительно которого, исходя из специфики функции /(х,£) € Ь2(Шп), £ Є </, будем предполагать, что С действует согласно формуле
С : СПКп) - 12(КП), (0.27)
/0(х) - функция, обладающая свойствами
/о(*) > о, /о(х) Є <Т(КП), У /о(х)йх = 1, (0.28)
К"
Х(:г,£) = сИуХ(х,Ь) - дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24); О(х(х0у Ьо, £)0 = - якобиан отображения х° —> х(х(х°, £0,0>
5(а:, 0 = дх ~ як°биан отображения х(х°, £<ь 0 “н"
Х(ф°,«о,0»0 “ дивергенция векторного поля системы ОДУ (0.24), вычисленная вдоль ее решения х(0 = ж(ж°,£о>0-
Ансамблем Гиббса [Гиббс, 1946] системы уравнений (0.24) назовем множество идентичных систем вида (0.24) с одинаковыми правыми частями и отличающимися друг от друга лишь начальными состояниями. Если систему ОДУ (0.24) трактовать как закон движения изображающей точки х в Еп, то ансамблю Гиббса системы уравнений (0.24) будет
15
соответствовать в Rri ансамбль изображающих точек. Пусть С П - компактное множество меры Лебега mesQto, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы (0.24) в момент времени t — £0. Каждая из изображающих точек х° € двигаясь по траекториям системы ОДУ (0.24), переместится за время от tо до t в новое состояние х(х°, to,t) = T(t, to)x° 6 Qt С П, где T(t,to) -оператор сдвига [Красносельский, 1966] вдоль траекторий системы (0.24); Qt = {х(х°,г0>0 = T(t,to)x° : х° € Qto} - образ множества Q<0 в силу системы ОДУ (0.24). Итак, имеем Qt = T(t,to)Qt<)• Пусть mes Qt - мера Лебега множества Qt С Qn. Функцию fo(x) со свойствами (0.28) будем трактовать как плотность вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы (0.24), принадлежащего множеству Qto. Текущее значение функции плотности вероятности распределения /(х, t) е L2(Rn),i € J, определяется из задачи Коши (0.25), (0.26) и характеризует состояние ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (0.24) в образе П* множества Qto. Будем говорить, что для системы уравнений (0.24) выполняется предположение А, если для всех изображающих точек х° С Qt0 решение x(t) = х(х°, to, t) последней нелокально продолжимо [Красносельский, 1966] на J и остается в Q при всех t > to- Под классическим решением задачи Коши (0.25) с оператором (0.26), действующим согласно (0.27), будем понимать функцию f(x,t) € Z>2(Rn), которая, будучи подставленной в уравнение Лиувилля (0.25), обращает последнее в тождество. Тогда имеет место следующий результат [Рудых, 1987].
Теорема 0.1. Пусть для системы ОДУ (0.24) выполняется предположение А и ансамбль изображающих точек Гиббса последней характеризуется в компактном множестве Qto С Q начальной функцией плотности вероятности распределения fo(x) со свойствами (0.28). Пусть Qt = {х(х°,£о>£) = T(t,to)x° : х° 6 Qtu} - образ множества Qto в силу системы (0.24) и D(x(x°1to,t),t) ф 0. Тогда оператор сдвига T(t,to) вдоль траекторий системы ОДУ (0.24) определяет гомеоморфизм множества Qt0 С Q в множество Qt С Q и для всех t £ J существует единственное классическое решение задачи Коши (0.25)-(0.27), обладающее свойствами
f(x, t) > 0, /Or, t) е Cg°(R"), J f(x, t)dx = 1, (0.29)
R"
16
L
f(x(x°, t0, t), t) = fo{x°) cxp [ - J x(z(z°, «0, t),t) dt] = (0.30)
ta
= fo(x*)/D(x(x°,C,t),t),
t
f(x,t) = f0(p(x,t,t9))exp[-J x(x(p(rr,t,<o),<o,T),r)dr] = (0.31)
<0
= fo(p(x,t,to))S(x,t).
Помимо этого, справедливы соотношения
— \nD(x(x°,t0,t),t) = x(x(x0,t0,t),t),D(x(x0,to,t),t)|(=t|) = 1, (0.32)
dt
dS(x,t)
dt
= £S(x, t), S(x,t)\t=t0 = l, (0.33)
t
Qt = J exp [ J xCx^.to.t)^)^]^0, (0.34)
г
tït = J J xix,r) + mesnfo, (0.35)
mes
to
t
mes Qt —
to nt
где С - оператор Лиувилля (0.26); p{x,t,to) = T-1(£,io)£ = я0*
В работах [Немыцкий, Степанов, 1949; Зубов, 1982] функция р(х, t), удовлетворяющая уравнению Лиувилля (0.25),(0.26), трактовалась как ядро или плотность интегрального инварианта. Разрешая п соотношений х = гг(т°, to, t) относительно п начальных состояний (что возможно, так как отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t, to), является гомеоморфным, более того, выполняются условия теоремы о неявной функции), имеем
1° = T~l(t, t0) = р(х, t, to), (0.36)
где p{x,t,to) - функции, являющиеся п независимыми первыми интегралами системы ОДУ (0.24).
Теорема 0.2 [Зубов, 1982]. Пусть (1) решение х = x(x°:tQ,t) системы (0.24) существует при t £ (—оо. Н-оо), to € (—оо, +оо),гг° £ Rn;
(2) векторная функция (0.36) существует при t £ (-оо, +оо), £
(—оо, +оо),х £ Rn. Тогда каждой неотрицательной функции ро{х) ф 0,
17
заданной при х £ 3&п, непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам, отвечает единственное неотрицательное решение р(х,£) уравнения
такое, что p(x,t) = ра{х) при t — tQ. При этом p{x,t) является ядром интегрального инварианта системы (0.24).
Формулировку знаменитой теоремы Лиувилля, помимо его оригинальной работы [Liouville, 1838], можно найти в трудах Якоби, Больцмана» Пуанкаре, различные ее аспекты изложены в курсе математического анализа [Гурса, 1936] и в более поздних публикациях [Соболев, 1962; Fronteau, 1965; Guiasu, 1967; Арнольд, 1974, 1975; Федорюк. 1985]. Переход от детерминированного описания динамических систем к вероятностному обсуждался в отечественной и зарубежной литературе неоднократно и связан с, так называемой, проблемой обоснования статистики [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954, 1969, 1970], заключающейся в установлении связи между вероятностным и детерминированным описаниями динамических систем [Митропольский, Боголюбов, Прикарпатский, Самойленко, 1987]. По-видимому, в работах Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова (см. избранные труды [Боголюбов, 1969, с.480-497; 1970, с.5-76]) впервые использовалось классическое уравнение Лиувилля
для вероятностного описания системы канонических уравнений Гамильтона
со случайными начальными состояниями, распределенными в фазовом пространстве М2п. Здесь q,p Є Кп - вектор обобщенных координат и сопряженный вектор обобщенных импульсов; £о < £ < Н(я,Р> 0 €
С°°(и2п+1) - функция Гамильтона;
- скобка Пуассона; /о(<7,р), }(я^РЛ) - начальная и текущая функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек
Ё^)+у.[Х(х!ф(х,4)]=0,
а /
[*./] = £( i=l '
дн_д±_ _ аяа/
dqi dpi dpi dqt
18
Гиббса [Гиббс, 1946] системы канонических уравнений в К2п со свойствами
Теорема и уравнение Лиувилля являются эффективным инструментом и широко используются при доказательстве теорем существования [Повзнер, 1964], синтезе оптимальных управлений пучками траекторий [Овсянников, 1980; Рудых, 1982], исследовании устойчивости [Fronteau, 1965; Рудых 1982, 1983, 1984; Жуков, 1992], анализе различных динамических свойств [Misra, 1978; Steeb, 1979; Рудых 1982, 1987], качественном изучении [Fronteau, 1979; Рудых 1982; Жуков, 1992] систем обыкновенных дифференциальных уравнений, динамических систем [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980] и, наконец, при выявлении стохастических режимов [Синай, 1979] последних.
Кроме того, теорема и уравнение Лиувилля играют весьма важную роль в статистической механике [Хинчин, 1943; Крылов, 1950; Боголюбов, 1946, 1954; Пригожин, 1964] не только в связи с проблемой обоснования статистики, но и с выяснением структуры состояния системы многих тел и процессов стремления ее к равновесию. Теорема Лиувилля об инвариантной мере [Арнольд, Козлов, Нейштадт, 1985] является основой качественных методов в исследовании проблемы п- тел в классической механике [Хильми, 1951, 1958] и звездной динамике [Батт, 1986; Guo, Rein, 1998]. Помимо этого, уравнение Лиувилля является отправной точкой как для эргодической теории [Корнфельд, Синай, Фомин, 1980], так и для кинетической теории необратимых процессов, например, для вывода системы интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950, 1966). В самом деле, из работ [Власов, 1950, 1966] следует, что уравнение Власова может быть получено из уравнения Лиувилля для функции распределения всех заряженных частиц данного сорта а, если пренебречь корреляциями частиц и предположить, что многочастичная функция распределения является произведением одночастичных функций распределения. Использование теоремы Лиувилля в исследовании системы уравнений ВМ можно найти в работах [Маслов, Федорюк, 1985; Schwarz, 1986; Lewis, Barnes, Melendez, 1987; Horst, 1990; Rein, 1990]. Бесконечномерный гамильтонов формализм для бесконечномерной системы ВМ развит в работах [Morrison, 1980; Weinstein, Morrison, 1981; Marsden, 1982]. В этих публикациях вводится техника вычисления скобок Пуассона для системы уравнений ВМ и показано, что
19
последняя является бесконечномерной гамильтоновой системой, то есть допускает представление в виде уравнения Лиувилля.
Наконец, в исследованиях [Fronteau, Combis, 1984; Chaljub-Simon, Fronteau, 1986] применялась теорема Лиувилля, а в работах [Рудых, Семенов, 1990, 1991, 1993, 1995, 1997, 1998, 2000; Рудых, 1998, 2000; Rudykh, Semenov, 1990, 1991] - уравнение Лиувилля для построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений. Большинство из построенных на основе уравнения Лиувилля точных решений нелинейных эволюционных уравнений не являются инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли-Беклунда [Овсянников, 1978; Ибрагимов, 1983]. Построению точных неотрицательных решений квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности посвящено большое число публикаций. Укажем лишь наиболее близкие исследования [Баренблатт, 1952, 1956; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Галактионов, Посашков, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свиртцевский, 1994, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1994, 1995; Мартинсон, 1979, 1982, 1986; Овсянников, 1959; Пухначев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987; Свирщевский, 1995; Аристов, 1999; Сидоров, 1985; Титов, 1988, 1996; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.
Точные решения нелинейных дифференциальных и интегродиффе-ренциальных уравнений с частными производными, задача построения которых является сама по себе самостоятельной математической проблемой [Калоджеро, Дегасперис, 1985], играют весьма важную роль практически во всех областях современной математической физики. Дело в том, что при математическом моделировании [Самарский, Михайлов, 1997] исследуемого физического явления (объекта) наиболее интересные закономерности, как правило, обусловлены его нелинейным поведением. С друтой стороны, математическая модель в первую очередь отражает наиболее общие закономерности исследуемого объекта, такие, как законы сохранения, правила отбора и т.н., являющиеся следствием его симмет-рийных свойств, исследованию которых посвящена обширная литература. За последние три десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении и исследовании точных решений широкого класса нелиней-
20
ных дифференциальных и интегродифференциальных (например, система Бенни) уравнений с частными производными. Используемые при этом алгеброгеометрический и аналитический подходы в основном связаны с методом обратной задачи рассеяния [Лаке, 1969; Захаров, Шабат, 1974, 1979; Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский, 1980j. Однако [Маслов, Данилов, Волосов, 1987] к полулинейным, а тем более к нелинейным параболическим уравнениям второго порядка неприменим метод обратной задачи рассеяния. В связи с этим, в работе [Маслов, Данилов, Волосов, 1987, с. 177-209], прямым методом [Хирота, 1983], с небольшими модификациями и с использованием Падс-аппроксимации, построены точные одно и двухфазные решения широкого класса одномерных полулинейных параболических уравнений.
Возникает естественный вопрос, для чего нам нужны точные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Дело в том, что точные решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными служат прекрасными тестами для приближенных методов их интегрирования, дают представление о структуре решения и позволяют провести его качественный анализ. Хорошо известно, что метод дифференциальных связей [ Сидоров, Шапеев, Яненко, 1984; Андреев, Капцов, Пухначев, Родионов, 1994; Кап-цов, 1998] является одним из эффективных методов выделения классов точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и содержит в качестве частных случаев методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных и автомодельных решений.
Итак, точные решения квазилинейных параболических уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как неограниченные решения, или режимы с обострением, эффекты локализации режимов с обострением, приводящих к образованию нестационарных диссипативных структур, асимптотическое поведение положительных решений, множественность или отсутствие стационарных состояний и т.п.[Самарский, Галактионов, Кур-дюмов, Михайлов, 1987; Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский, 1987; Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский, 1992].
Следует отметить, что даже частные точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые не имеют ясного физического смысла, играют важную роль тестовых примеров при проверке корректности и оценке точности различных численных, асимптотических и при-
21
ближенных аналитических методов. С другой стороны, так как исследуемые уравнения являются нелинейными и построить их общее решение из частного нельзя, то наборы частных точных решений последних служат своего рода ориентирами или границами среди множества всех возможных решений. В связи с этим, частные точные (в частности, автомодельные) решения нашли широкое применение [Самарский, Галактионов, Курдюмов, Михайлов, 1987] в принципе максимума и теоремах сравнения, когда исследование многих важных аспектов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными опирается на специальное сравнение с пространственно временной структурой построенного точного решения. Тем самым, принцип максимума и теоремы сравнения позволяют сопоставить различные решения исследуемого нелинейного параболического уравнения и дают возможность с помощью какого-то одного фиксированного (точного) решения описать и изучить свойства широкого класса других решений.
Задача нахождения в замкнутом виде точных решений нелинейных уравнений математической физики является очень трудной и порой непреодолимой. Сложность обусловлена, главным образом, либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования (см. работы [Galaktionov, 1991; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Свирщевский, 1995] и цитируемую в них литературу), связанные с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора. Показано, что изучаемая проблема, в общем случае, сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения.
С другой стороны, многие важные нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными обладают некоторой внутренней структурой, знание которой позволяет отыскивать точные решения, исходя из соображений симметрии. Одним из таких уравнений является уравнение нелинейной теплопроводности с источником (стоком) вида (0.15).
Для уравнения (0.16) в исследовании [Овсянников, 1959) впервые решена задача групповой классификации в одномерном случае и отсутствии объемных источников тепла. В работах [Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983] проведен групповой анализ уравнения (0.16) соответственно в одномерном и многомерном случаях (п — 2,п = 3).
22