Содержание
Введение. Обзор полученных результатов 4
1. Дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений 15
1.1. Постановка задачи..................................... 15
1.2. Уравнение сдвига спектрального параметра и уравнение связи................................................19
1.3. Прямая дискретно-групповая задача.....................20
1.3.1. Уравнение Бесселя................................20
1.3.2. Уравнение Уиттекера..............................21
1.3.3. Уравнение Ломмеля................................22
1.3.4. Уравнение Вебера (параболического цилиндра) . . 23
1.3.5. Уравнение присоединенных функций Лежандра . 23
1.3.6. Уравнение гармонического осциллятора.............26
1.4. Обратная задача.........................................26
1.4.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами ...................................................26
1.4.2. Уравнение Лежандра ..............................29
1.4.3. Уравнение Эрмита.................................32
1.4.4. Уравнение Чебышева для полиномов 1-го и 2-го
рода.............................................35
1.4.5. Уравнение Лагерра................................39
1.4.6. Уравнение Гегенбауэра............................42
1.4.7. Уравнение Якоби..................................44
1.4.8. Уравнение Куммера................................46
1.5. Заключение к первой главе...............................48
2. Аналитические свойства преобразования Мёбиуса и их приложения 53
2.1. Преобразование Л ОД У 2-го порядка......................53
2.2. Локальное поведение решений ЛОДУ......................56
•
2.2.1. Основные понятия.................................56
2.2.2. Влияние дробно-рационального преобразования
на локальное поведение решений....................59
2.3. Дробно-квадратичное преобразование......................68
2.4. Глобальное поведение решений............................70
2.4.1. Основные понятия.................................70
2.4.2. Влияние дробно-рационального преобразования
на глобальное поведение решений ..................71
2.5. Приложения преобразования Мёбиуса.......................77
4 2.5.1. Гипергеометрическое уравнение и уравнение Гойна 77
2.5.2. Конфлюэнтное гипергеометрическое уравнение и конфлюэнтное уравнение Гойна............................81
2.5.3. Уравнение Гойна и уравнения класса Фукса с шестью и более особыми точками............................84
2.5.4. Конфлюэнтное уравнение Гойна.....................84
2.5.5. Уравнение Эйри ..................................85
2.5.6. Уравнение Вебера (параболического цилиндра) . . 86
2.6. Заключение ко второй главе .............................87
Библиографический список 89
4
4
3
*
Введение. Обзор полученных результатов
#
С момента появления дифференциальных уравнений в математической практике проблема поиска их решений в замкнутом (аналитическом) виде остается актуальной, несмотря на появление мощного аппарата качественной, аналитической и численной теорий, а также электронных вычислительных средств. Причина этого кроется в первую очередь в потребности большинства прикладных наук в представлении решений модельных уравнений в виде точных аналитических формул с явно заданными зависимостями от параметров, имеющих ясный физический смысл.
На протяжении XX века интерес к точным методам решений то за-
• тухал. то снова возрастал, и к настоящему времени возникла ситуация, когда возможности классических методов уже явно исчерпаны, а количество сложных моделей (с большим числом параметров, имеющих неединственное решение и др.) резко растет. Методы классического группового анализа хорошо себя зарекомендовали в теории уравнений с частными производными, а применение их при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего даст предсказуемый результат и является не слишком продуктивным. В конце XX века появился дискретно-групповой анализ [14], который оперирует с конкретным классом уравнений. При этом любой элемент класса определяется набором существенных параметров, которые и из-
• меняются под действием преобразования, в то время, как структура уравнения остается инвариантной. Таким образом, дискретная группа преобразований является группой эквивалентности. Она позволяет расширить множество разрешимых уравнений в случае, если известно хоть одно разрешимое уравнение при каком-то выбранном значении существенного параметра.
Множество преобразований, оставляющих неизменным структуру уравнения, но меняющим набор существенных параметров, образуют
4
♦
группу. Элемент группы преобразует уравнение исходного класса в уравнение того же класса, и решение исходного уравнения в решение конечного. Множество всех уравнений данного класса образуют орбиту, если все элементы связаны между собой элементами группы.
Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с обычными краевыми условиями (г/(х)р(х)]' 4- и(х)[д(х) 4- Аг(х)] = 0. В качестве существенного параметра выберем спектральный параметр А. Если при фиксированных краевых условиях удалось бы его изменять, то мы получили бы связь собственных функций оператора Штурма-Лиувилля, отвечаю-
# щих различным значениям спектрального параметра. В работе строится преобразование Мёбиуса, которое в некоторых случаях позволяет реализовать решение поставленной задачи. При этом значения спектрального параметра образуют циклическую группу С«,, которая при наложении краевых условий (“правила отбора”) может выродиться в псевдогруппу. Знание дискретной группы (псевдогруппы) позволяет восстановить весь спектр по одному известному значению (прямая задача дискретно-группового анализа).
Преобразование Мёбиуса основано на том, что ЛОДУ второго порядка связано с уравнением Риккати, которое инвариантно относительно дробно-линейного преобразования. При этом ключевым моментом является то, что существует “уравнение связи”, которое связывает
* решения начального и преобразованного уравнения, соответствующие различным значениям параметра А.
Наличие 3-х независимых параметров преобразования позволяет при должном их подборе менять спектральный параметр А. Но в большинстве случаев это не реализуемо прямыми методами. Для этого в настоящей диссертации разработан дискретный аналог обратной задачи, заключающийся в следующем: пусть нам известны множество значений параметра А и решения уравнения при различных значениях параметра А. Реализуем преобразование Мёбиуса с тремя независимыми параметрами преобразования так, чтобы решение начального уравнения преобразовывалось в решение конечного уравнения. При
♦ этом значения параметров преобразования нам не известны, но известно условие, названное “уравнением сдвига спектрального параметра” (далее УССП), которому параметры преобразования должны удовлетворять, чтобы такая трансформация была возможна. УССП является нелинейным уравнением третьего порядка относительно параметров преобразования. Если бы мы решили УССП относительно параметров, то получили бы желаемое изменение спектрального параметра. Это в большинстве случаев невозможно. Но, решения начального и ко-
5
#
немного уравнения удовлетворяют “уравнению связи”, которое зависит и от параметров преобразования. При этом относительно параметров преобразования это “уравнение связи” линейно, точнее сводится к линейному. Из него можем получить значения параметров преобразования, при которых возможна трансформация спектрального параметра. Очевидно, что найденные из уравнения связи параметры преобразования будут удовлетворять и УССП.
Таким образом, получаем алгоритм для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка. В некотором смысле он аналогичен обратной задаче теории рассеяния, в которой эволюция данных рассеяния представляется решением линейных дифференциальных уравнений. Заметим, что среди классов нелинейных уравнений, решаемых методом обратной задачи дискретно-группового анализа, имеются и “неприводимые”, т.е. уравнения, порядок которых невозможно понизить известными к настоящему времени методами (напомним, что простейшим “неприводимым” уравнением является первое уравнение Пенлеве у" = 6у2 + х).
Впервые идея постановки обратной задачи дискретно-группового анализа балы выдвинута Кормилициной Т.В. и Зайцевым В.Ф. Были предприняты попытки построить общую теорию обратных дискретных задач. Но, в основном, были построены многочисленные примеры. Причинами относительных неудач явились: 1) выбор в качестве промежуточного уравнения 3-го порядка, что существенно осложнило алгоритм, и 2) отсутствие мощных систем аналитических вычислений на ЭВМ.
В настоящей работе выполнены общие исследования обратной задачи дискретно-группового анализа и результаты, полученные в ней, открывают путь к ее регулярному применению. Существенное видоизменение алгоритма, предложенные автором настоящей работы, позволило резко снизить трудоемкость вычислений. Применение теории обратных задач особенно перспективно для поиска решений нелинейных дифференциальных уравнений. В работе приведен широкий класс уравнений, найдено его решение.
Заметим, что еще в начале XIX столетия математики поняли, что зависимую переменную в дифференциальном уравнении (ДУ) далеко не всегда можно представить в виде конечной композиции известных к тому моменту функций. Тогда и были предприняты первые попытки увеличить количество математических функций за счет присоединения к ним новых, являющихся решениями дифференциальных уравнений. Это привело к мысли об исследования решения дифференци-
ального уравнения и его свойств по его виду, так как известно, что решение является линией в фазовом пространстве - интегральной кривой. Подобный подход характерен для качественной теории дифференциальных уравнений. О.Коши предложил рассматривать решения дифференциальных уравнений как функции комплексной переменной. При этом независимая и зависимая переменные в дифференциальном уравнении предполагаются комплексными переменными и при исследовании дифференциального уравнения используются все достижения теории функций комплексного переменного. В основном, изучаемые в аналитической теории уравнения являются многочленами относительно зависимой переменной и ее производных, а коэффициенты - аналитические функции. Поведение решения и область его существования определяется точками, где нарушается аналитичность функции - особыми точками. В точках регулярности же решение определяется внутри некоторой окружности и задается элемент аналитической функции, удовлетворяющий ДУ, и все аналитические продолжения этого элемента на всю область тоже удовлетворяют- этому ДУ согласно теореме о монодромии (48). Поэтому аналитическая функция в целом есть также решение того же дифференциального уравнения (60), [5). Оказывается, что решения ДУ могут являться многозначными функциями, поэтому приведем классификацию особых точек аналитических функций -решений ДУ, которая впервые была предложена Пенлеве (4). Эта классификация основана на числе значений, которые принимает функция при обходе вокруг особой точки.
Определение. Особая точка г = го функции ги(г) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции ги(г) меняется. В противном случае особая точка г — го функции ю(г) называется некритической.
Пусть п - наименьшее целое число (п > 1), такое, что после 71-кратного обхода точки г = го значение функции ю(г) возвращается к первоначальному значению. Тогда ю(г) выражается через 2 в виде
1 2 ю(г) = оо + а,(г - го)” 4- 02(2 - г0)» + ...
и точка го называется критической алгебраической точкой.
В случае если ги(г) представима в виде
го(г) = а~т(г - го)~» + ... + а~\(г - 2о)~" + ао + • • •,
то точка г = го называется критическим полюсом.
Если после однократного обхода значение функции совпадает с начальным, то такая особая точка называется особой точкой однозиач-
- Київ+380960830922