СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение.......................................................5
Глава 1. Свойства решений некоторых интегральных уравнений
смешанных задач теории упругости...................................15
1.1.0 структуре решения некоторых сингулярных интегральных уравнений....................................................15
1.2. О структуре решения некоторых интегральных уравнений осесимметричных задач теории упругости.......................25
1.3. О структуре решения некоторых интегральных уравнений пространственных смешанных задач теории упругости............34
Глава 2. Аналитические методы решения смешанных задач
теории упругости..................................................38
2.1. Асимптотический метод больших Л ..........................38
2.2. Асимптотический метод малых Л ............................51
2.3. Метод ортогональных полиномов.............................64
2.4. Метод выделения разностного множителя.....................76
Глава 3. Плоские задачи о трещинах в упругой полосе и
упругом клине......................................................82
3.1. Продольная трещина в полосе, заключенной между
жесткими основаниями............................................82
3.2. Продольная трещина в полосе со свободными гранями.........85
3.3. Две трещины в полосе......................................89
3.4. Внутренняя трещина, расположенная вдоль биссектрисы
угла упругого клина.............................................93
3.5. Симметричная трещина, выходящая к вершине упругого
клина..........................................................100
3.6. Плоская задача о продольной трещине в нелинейноупругом слое при конечных начальных деформациях.............102
2
3.7. Плоская задача о продольной трещине в нелинейно-
упругом слое со свободными границами..........................106
Г лава 4. Осесимметричные задачи о трещинах в упругом пространстве и упругом слое......................................113
4.1. Кручение упругого пространства, ослабленного плоской кольцевой трещиной ........................................113
4.2. Растяжение упругого пространства, ослабленного плоской кольцевой трещиной.........................................120
4.3. Круглая трещина в упругом слое...........................124
Глава 5. Смешанные задачи теории расклинивания.................. 127
5.1. Расклинивание упругого бесконечного клина................127
5.2. Расклинивание упругой полуплоскости клиновидной пластинкой.................................................132
5.3. Расклинивание упругой полосы клином конечной длины 137
5.4. Расклинивание упругой полосы движущимся клином............140
5.5. Сверхзвуковое расклинивание упругой полосы...............144
Глава 6. Смешанные задачи теории упругости для тел с
жесткими включениями и накладками................................152
6.1. Жесткая накладка на границе, либо жесткое включение
внутри упругой полосы.........................................152
6.2. Жесткая накладка на поверхности упругого клина...........155
6.3. Кручение упругого цилиндра двумя жесткими
накладками....................................................156
Глава 7. Задачи об отрыве упругой среды от жестких
включений........................................................159
7.1. Односторонний отрыв среды при кручении жесткой круглой пластинки, расположенной в упругом полупространстве .......159
7.2. Отслоившаяся жесткая круговая пластинка в упругом полупространстве под действием центральной силы............165
з
7.3. Односторонний продольный отрыв среды от жесткой
полосы, расположенной в упругом слое....................... 170
7.4. Круглая отслоившаяся пластинка в срединной плоскости упругого слоя............................................172
Глава 8. Продольные плоские трещины в упругом слое.............175
8.1. Эллиптическая трещина в упругом слое.................. 175
8.2. Прямоугольная трещина в упругом слое...................179
8.3. Две эллиптические трещины в упругом слое...............182
Глава 9. Динамические задачи теории трещин.....................185
9.1. Крутильные колебания берегов круглой трещины в упругом пространстве............................................ 185
9.2. Нормальные колебания берегов трещины в упругой плоскости................................................189
9.3. Продольные колебания берегов полосовой трещины в упругом слое........................................... 192
Глава 10. Учет молекулярных сил сцепления в концевой области трещины при исследовании условий разрушения упругого тела.......... 199
10.1. К задаче Гриффитса....................................199
10.2. Анализ задачи Сака при детальном учете межатомных сил сцепления.............................................. 209
Заключение.....................................................217
Основные обозначения...........................................220
Литература.....................................................222
Приложение.....................................................241
4
ВВЕДЕНИЕ
Задачи теории упругости со смешанными граничными условиями (смешанные задачи) привлекали к себе внимание многих исследователей. Объясняется это тем, что решение целого ряда важнейших практических вопросов, возникающих в инженерной и строительной практике, можно свести к решению смешанных задач теории упругости. К числу таких задач могут быть отнесены контактные задачи теории упругости. Эти задачи находят применение, например, при расчетах на прочность и жесткость деталей инженерных конструкций (зубчатых колес, подшипников, прессовых посадок и т.д.), при расчетах фундаментов и оснований, в вибросейсморазведке.
Смешанные задачи теории упругости являются теоретической базой некоторых расчетов в теории разрушения. Реальные тела имеют большое число дефектов структуры (трещин, полостей, включений), являющихся концентраторами напряжений. При определенных условиях эти дефекты ведут к развитию трещин и могут вызвать разрушение тела. Известные критерии квазихрупкого разрушения тел с трещинами [167] основаны на анализе напряженного состояния в окрестности контура трещины. Такой анализ можно выполнить, решив соответствующую смешанную задачу теории упругости. Полученные с помощью теории квазихрупкого разрушения выводы позволяют сделать заключение о возможности эксплуатации конструкции при наличии в ней трещин.
Можно выделить два основных этапа развития методов решения смешанных задач теории упругости. Первый этап начат работами Г. Герца и Я. Буссинеска. На этом этапе с помощью методов теории потенциала, конформных отображений, теории сингулярных интегральных уравнений был решен ряд простейших смешанных задач теории упругости.
5
Начало второго этапа (середина 50-х годов прошлого столетия) связана со значительным повышением интереса к смешанным задачам теории упругости. Здесь можно выделить несколько основных направлений развития новых методов решения этих задач. В первом из этих направлений (Л. А. Баблоян, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Ю. А. Устинов, Я. С. Уфлянд и др.) с использованием методов парных или тройных интегральных уравнений (рядов) задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Далее используется какой - либо приближенный метод решения этого уравнения.
Методы непосредственного сведения исходной краевой задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений составляют второе направление (Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян, А. А. Баблоян, Г. М. Вавилов, С. М. Мхитарян и др.).
В работах третьего направления (В. М. Александров, И. И. Ворович, А. И. Каландия, И. Я. Штаерман и др.) используются методы коллокации.
Авторы четвертого направления исследуемые задачи сводят к интегральному уравнению первого рода. Решение этого уравнения ищется в виде разложения по собственным функциям (ортогональным полиномам) главной части интегрального оператора. Для коэффициентов этого разложения строится бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Значительное развитие этот метод получил в работах Г. Я. Попова [114, 117-120], В. М. Александрова [5, 11], В. М. Александрова и В.А. Кучерова 121 ] и др. При этом полученные решения являются эффективными в определенной области изменения параметров задачи. В работах [27, 51] использованы в совокупности методы малых А. и ортогональных полиномов. В работах [18, 50, 52] применен метод ортогональных полиномов, эффективный при любых значениях параметров задачи.
Асимптотические методы составляют пятое направление. Метод больших X был предложен для решения смешанных задач теории упруго-
6
сти в работах И. И. Воровича и Ю. А. Устинова [68], В. М. Александрова и И. И. Воровича [16]. Этот метод позволяет строить разложение точного решения исследуемых задач в виде асимптотического ряда по отрицательным степеням параметра X. В работе В. М. Александрова [10] построена логарифмически-степенная асимптотика. Решение, полученное методом больших X, может быть использовано лишь в определенной области изменения параметра X. Метод малых X, развитый В. М. Александровым при исследовании контактных задач [4], позволяет строить главный член асимптотики решения при малых значениях параметра X.
Решения, полученные методами больших и малых X, в ряде случаев обеспечивают перекрытие всего диапазона изменения этого параметра. Если такого перекрытия нет, возникает необходимость строить полную асимптотику при малых значениях X, либо достраивать решение задачи в области промежуточных значений X третьим методом. Общий метод построения полной асимптотики развит в работах В. М. Александрова (11-13, 15], В. А. Бабешко [39, 40, 42, 44]. Полная асимптотика для малых X при исследовании некоторых смешанных задач построена также в работах [115, 189]. Систематическое изложение методов больших и малых X дано в работе [66].
Контактным задачам посвящены монографии [22, 37, 66, 67, 70, 92, 100, 122, 123, 125, 126, 162, 169], вопросы теории хрупкого разрушения изложены в монографиях [38, 53, 82, 85, 95, 108-111, 127, 162, 167, 190], новые результаты исследований по теории интегральных уравнений изложены в [112]. Сведения об обзорных статьях по контактным задачам имеются в [66], по теории хрупкого разрушения - в (110]. Вопросы существования и единственности решения интегральных уравнений, возникающих в смешанных задачах теории упругости, рассмотрены в [42, 43, 65-67] и других работах.
7
В последнее время интенсивно начали развиваться исследования по обратным задачам, в которых по заданному на границе упругого тела волновому полю отыскивается форма и местоположение концентратора напряжений (А.О. Ватульян, Д.Н. Соловьев и др. [56-63]).
Настоящая диссертация посвящена обобщению и дальнейшему развитию асимптотических методов больших и малых X, разработке новых методов решения интегральных уравнений смешанных задач теории упругости, изучению структуры их решения, а также конкретным приложениям.
В главе 1 диссертации исследуется структура решения интегральных уравнений некоторых смешанных задач теории упругости. При этом особое внимание уделяется малоизученному случаю наличия у символа ядра интегрального уравнения двукратного полюса на вещественной оси, установлению неклассических особенностей решения интегральных уравнений и некоторым другим вопросам.
В главе 2 излагаются методы решения интегральных уравнений, возникающих в смешанных задачах теории упругости. Методы больших и малых X, развитые при исследовании контактных задач теории упругости, обобщаются на класс задач для тел с плоскими остроконечными концентраторами напряжений, порождающих интегральные уравнения с ядрами неисследованной в [66] структуры.
Рассматриваются некоторые модификации ортогональных полиномов. Так, совместное применение специальной аппроксимации ядра интегрального уравнения плоских смешанных задач, методов малых X и ортогональных полиномов позволило построить более эффективное решение при малых X, но сравнению с главным членом асимптотики. Использование этой аппроксимации дало также возможность разработать метод ортогональных полиномов, эффективный при любых значениях параметров за-
8
дачи. Этот метод особенно удобен при исследовании многопараметрических задач.
Выделение разностного множителя под знаком особого интеграла использовалось для облегчения вычисления этого интеграла [84]. Выделение разностного множителя в подинтегральном выражении ядра интегрального или интегро-дифференциального уравнений в комбинации со специальной схемой метода последовательных приближений позволило построить приближенное решение исследуемых уравнений плоских или пространственных смешанных задач в простой по структуре форме.
Решение задачи, построенное методом больших л, имеет ограниченный диапазон применимости. В работе предложен способ преобразования рядов, полученных с помощью метода больших X, который позволяет увеличить диапазон их применимости.
В главе 3 рассматриваются плоские задачи о продольных, симметрично расположенных трещинах в упругой полосе, и о трещинах, расположенных на биссектрисе угла упругого клина. Здесь (а также в других главах диссертации в задачах о трещинах) определяются перемещения точек берегов трещин и коэффициент интенсивности напряжений. Найденные значения этого коэффициента позволяют определить параметры критического состояния трещины с помощью критерия локального разрушения, который для трещин нормального разрыва имеет вид [167]
К, = К1С
Здесь К1С - постоянная материала, называемая вязкостью разрушения. Задача о трещине в полосе рассматривается в линейной постановке, либо при наличии начальных конечных деформаций упругой среды с условием малости возмущений, вносимых трещиной. В случае нелинейно-упругой среды установлено явление потери устойчивости.
Задача о продольной трещине в полосе при различных условиях на гранях полосы рассматривалась в работах [7, 25, 26, 75, 98, 129, 179, 180,
9
185, 193]. При получении решения в работах [7, 98, 107, 129, 1851 использовался метод больших X, в работах [25, 26, 129] - метод малых X. В работах [179, 180] решение этой задачи получено с использованием разложений функций в ряды Лорана, в работе [75] - с помощью метода Ритца. Случай двух трещин рассмотрен в работах [133, 157]. Задача о внутренней трещине, расположенной на биссектрисе угла клина, рассматривалась в работах [93, 129, 131], о трещине, выходящей к вершине угла клина - в работах [46, 131, 164, 165, 175, 191].
Решение осесимметричных задач о плоской кольцевой трещине в упругом пространстве и о круглой трещине, расположенной в срединной плоскости упругого слоя, строятся в главе 4. Пространство с кольцевой трещиной подвержено либо растяжению, либо кручению. К берегам трещины, расположенной в слое, приложена нормальная нагрузка. Задача о кольцевой трещине в упругом пространстве рассматривалась в работах [77, 78, 130, 182]. В [130], в отличие от других работ, решение этой задачи для всех значений параметров получено в форме, удобной для инженерной практики. Задача о круглой трещине в слое рассматривалась в работах [7, 25,26, 105, 106, 129, 161, 174, 181, 184, 192].
Глава 5 посвящена задачам о симметричном расклинивании упругого бесконечного клина и упругой полосы тонкой жесткой гладкой пластинкой. Особенностью этого класса задач является наличие области контакта расклинивающей пластинки с упругой средой и трещины, появляющейся в среде на линии продолжения пластинки. В случае клина пластинка внедряется в среду вдоль биссектрисы его угла [69, 132, 134]. В случае полосы рассматривается задача для неподвижной расклинивающей пластинки конечной длины [133J, а также задача о движении клина в полосе [52, 134].
В главе 6 приводятся решения задач о контакте упругой полосы, клина, либо цилиндра с жесткими включениями или накладками [36, 156].
10
В главе 7 исследуются задачи об отслоившихся жестких включениях в упругом полупространстве и упругом слое. Особенностью этих задач является неклассическая структура контактных напряжений на включении [138, 143, 153, 155]. Ранее эта структура была установлена для более простого случая отслоившихся включений в упругом пространстве [122].
Исследованию пространственной задачи о трещинах нормального разрыва, расположенных в срединной плоскости упругого слоя, посвящена глава 8. Слой зажат между гладкими жесткими основаниями. В качестве примеров рассматривается прямоугольная трещина, одна, либо две эллиптические трещины в слое [153]. В случае прямоугольной трещины проводится дополнительное исследование решения в окрестности угловой точки ее контура. Задача об одной эллиптической трещине в слое со свободными гранями рассматривалась в [72, 183].
В главе 9 дается решение следующих задач теории упругости об установившихся колебаниях точек берегов трещины: осесимметричной задачи о крутильных колебаниях берегов круглой трещины в пространстве, плоской задачи о нормальных колебаниях берегов прямолинейной трещины в плоскости и антиплоская задача о продольных колебаниях берегов полосовой трещины в слое [64, 151]. При построении решения этих задач используется принцип предельного поглощения [67].
В главе 10 в рамках модели Александрова-Кудиша [20] проведено исследование условий разрушения тела с трещиной с учетом молекулярных сил сцепления в концевой области трещины. Это исследование позволило сделать вывод о том, что величина критической нагрузки не превышает значения теоретического предела прочности при любой длине трещины [32,33, 171, 172].
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 48 научных работах, в числе которых - четыре монографии коллективов авторов.
11
В работах [25,26] Александрову В.М. принадлежит постановка задач, идея метода решения, Сметанину Б.И. принадлежит получение новой модификации метода «малых X» и ее практическая реализация.
В работе [64] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи, выбор метода решения, получение расчетных формул. Результаты вычислений принадлежат Великотному A.B.
В работе [156] Соловьеву A.C. принадлежит обзор работ по накладкам и включениям в упругих телах, Сметанину Б.И. принадлежит обзор работ по расклиниванию упругих тел.
В работах [149-153,155] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задач, выбор методов решения, обоснования. Соболю Б.В. принадлежит практическая реализация методов решения. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени.
В работах [147,148,154] Соболю Б.В. принадлежит постановка задач, вывод основных соотношений, реализация метода решения задач. Сметанину Б.И. принадлежит выбор метода решения интегральных уравнений.
В работах [27-31] Александрову В.М. принадлежит постановка задач, идея методов решения. Сметанину Б.И. принадлежит аналитическая и численная реализация этих методов.
В [32,33,171,172] Александрову В.М. принадлежит идея метода решения задач. Сметанину Б.И. принадлежит практическая реализация метода, анализ полученных результатов, основные выводы.
В [35] Сметаниным Б.И. написаны главы 2 и 3.
В [34] Сметанину Б.И. принадлежит идея преобразований основного функционального и интегрального уравнений, Александрову В.М. принадлежит практическая реализация метода решения.
В работе [36] Александрову В.М. принадлежат идеи по построению решений интегрального уравнения рассматриваемой задачи, Сметанину Б.И. принадлежит аналитическая и численная реализация методов решения
12
задач для упругих тел с трещинами, Соловьеву A.C. принадлежит реализация метода решения задач для упругих тел, подкрепленных гибкими накладками, либо включениями.
В работах [51,52] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задач, метод решения, Белокопытову Н.М. принадлежат результаты численного исследования задач.
В работе [69] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи и выбор метода решения. Сируяном В.Х. выполнен вывод основных соотношений, Галаджевой М.Р. выполнены численные расчеты. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени.
В работе [157] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи и выбор метода ее решения, Сычаве В .Я. принадлежит реализация предложенного метода решения задачи.
В работах [145,146] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи о трещине в предварительно напряженном нелинейно-упругом слое, идея метода решения задачи, Воротынцевой И.В. принадлежит реализация метода решения задачи.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на III,V-VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Москва, 1968 г., Алма-Ата, 1981 г., Ташкент, 1986 г., Москва, 1991 г.), на VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966 г.), на I-IV Всесоюзных конференциях «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Ростов н/Д, 1977 г., Днепропетровск, 1981 г., Харьков, 1985 г., Одесса, 1989 г.), на II Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984 г.), на II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе, 1985 г.), на 11 Всесоюзном симпозиуме по механике разрушения (Киев, 1985 г.), на Симпозиуме «Современные проблемы механики контактных взаимодействий» (Ереван, 1992 г.), на VIII Международном конгрессе по механи-
13
ке разрушения (Львов, 1993 г.), на XIV Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2006 г.), на семинарах кафедры теории упругости МГУ (1985 г.), кафедры пластичности МГУ (1985 г.), кафедры теории упругости РГУ (1985 г., 1993 г.), кафедры теоретической гидроаэромеханики ЮФУ (1993 г., 2007 г.).
Результаты работ автора использовались и развивались в кандидатских диссертациях I ГМ.Белокопытова и Ь.В.Соболя, выполненных под руководством В.М.Александрова и автора.
Исследования проводились в рамках научно-исследовательской работы РГУ по теме: «Смешанные задачи механики сплошной среды» (№ 76082607 гос. Регистрация, 1976 г.), а также в рамках Координационного плана АН СССР по проблеме «Механика деформируемого тела» (1.10.2) на 1981-1985 г.г. Шифр: 1.10.2.2. Основные задачи: решение контактных задач для тел сложной формы, в том числе для тел конечных размеров и неограниченных тел с полостями и включениями, а также для тел со сложными физико-механическими свойствами (исполнитель: НИИМ и ПМ РГУ).
14
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1.1. О структуре решения некоторых сингулярных интегральных
уравнений
Рассмотрим следующее интегральное уравнение первого рода
Здесь р(х) - функция, подлежащая определению, А(^) и /(х) - заданные функции, Х,€(0,оо) - безразмерный параметр. Символ ядра А(д) - аналитическая функция комплексного переменного д-и +шу четная и вещественная на вещественной оси. Большинство встречающихся в приложениях случаев по поведению символа ядра на вещественной оси в нуле и на бесконечности можно разбить на три группы:
где А, В, С -постоянные. Случаи б) и в) хорошо изучены [2, 66], поэтому далее остановимся на случае а).
Рассмотрим вспомогательный интеграл
1 \ Л )
] 00+/с
(1.10
\ л(*у'«ч
-00+/с
(1.1)
а) Л(м)->-~ (м-»0) Л(м) —> — (|г/| —> ос) и2 Щ
б) А(г/) —> — (и-»0), Л(и)-»~ (|м|~»оо)
\и\ и
(1.3)
в) Л(и)-»С (м->0), Л(и)-»Г] (||/|->оо)
и
(1.4)
15
по контуру Г в плоскости комплексного переменного д. В (1.4) Н(£) -аналитическая функция, возрастающая как \д\ на правильной системе контуров С С:С при п—юо [66. 90|, четная и вещественная на веществен-
*г п п+\
ной оси. Пусть контур Г имеет вид, изображенный на рис. 10 (с > 0). Тогда, предполагая, что внутри области, очерченной контуром Г, функция #(0 регулярна, и используя теорию вычетов, найдем
5 ($) = Я€~ХН(€)$т& (1.5)
о
Устремляя ^ к бесконечности и учитывая, что интегралы по отрезкам АВ и СО исчезают, будем иметь
5 (0 = т Ще^ас- Т "Це'^и 0-6)
-сс+к С —8 ' _сс и~ —£~
На основании (1.5) и (1.6) при е -> 0 получим
1(1)=^А(и)со&и^и + -Н(0)1 С-7)
0 2
где принято
// (г/) = г/2 А(/-/) (1.8)
Аналогично, если с < 0, то
/(/)=7 А(ы) сое Шс1и-~ Н(0У (1-9)
о 2
Пусть теперь в (1.4) контур Г совпадает с действительной осью (с = 0). Тогда интеграл (1.4) будем понимать в смысле главного значения по Коши. 11ри этом, устремляя с к нулю, получим
/(0 = 7 \(и)СО$Шс!и (1*10)
о
Заметим, что интеграл в (1.7), (1.9), (1.10) определен с точностью до бесконечной постоянной Д которую можно выделить, например, следующим образом
16
со оо _ 2
І А(и)соьиґсіи=ІА(и)(со$иІ-е и )сІи+0 о о
Наличие этой постоянной в ядре ЦІ) не позволяет в задачах группы а), (как, впрочем, и в задачах группы б)) определить связь между функцией /(х) и интегральной характеристикой решения уравнения (1.1)
Р=}р(х)с1х (1-11)
-1
Из (1.1) с учетом (1.7), (1.9), (1.10) после дифференцирования по х получим
1 Р(М Хи;=лЛГ{х) Й<1) (1 •12)
-1 V Л )
k(t) = [ ^^ sin utdu~H(0)signc (1-13)
О и 2
Введем обозначение
J Р^)к
ПА-1
'4-х
(jx|>l)
(1.14)
Â
Рассмотрим некоторые свойства ядра k(t). На основании свойств преобразования Фурье можно установить
I msin utdu->±—H(0) (r->±co) (1-15)
О и 2
Из ( 1.13) - ( 1.15) следует, что
k(t) -> ± У2 7i{}+signc)H (0) (/->±оо)
а(х) —> ± РН(0) ^ q- sjgnc^ (х->Тсо)
2 Л
Таким образом, положение контура интегрирования в (1.2) при заданном значении Р может определяться в соответствии с (1.16) условиями на бесконечности для функции о(х).
Пусть функция Щи) удовлетворяет условию
17
м| ^Н(и)~\ + 0^у\ е (jw|—»co,j>o) (1-17)
В этом случае имеет место
Лемма 1.1. При всех значениях 0<|/|<сс для к(1) справедливо представление
k(t) -t~x-y2 яН (0)signc + F(t) (П18)
sin utdu 0-19)
00
m=i
0
и_1Я(и)-1
причем Р'((), как нечетная функция комплексного переменного *у = / + /г, является регулярной в полосе |г| <со,|г| <х- При |'|<Х функция Р(() представима абсолютно сходящимся рядом
F(t)= Ydnt2n+1 <1 -2°)
П=О
Формулы (1.18), (1.19) вытекают из представления ядра (1.13) и обобщенного значения интеграла
j sin utdu=- (1.21)
о /
Регулярность функции F(w) следует из свойства (1.17) и теоремы А §
1.4 монографии [104]. Раскладывая в (1.19) sin ut в ряд по степеням ut, получим разложение F(t) в степенной ряд (1.20) и коэффициенты этого разложения
d = Т[H(u)-u\i2ndu (п = 0,1,2,...) ( 1.22)
" (2и+1)!о
Из регулярности F(w) вытекает, что функция F(t) является непрерывной со всеми производными при 0 <|/| <00. Учитывая, что шах|/| = ^д
при t = и |х|; |£| < 1, можно сделать вывод, что решение, полученное с
использованием разложения (1.20), будет иметь смысл, по крайней мере, при
18
Я>Д1=2/Х (1.23)
Теорема 1.1. Если функция /(х)є # ®+1(-1Д),а>0, п>0 , а решение интегрального уравнения (1.12) существует в х (-1,1), р> Ь то его Реше~
ние р(х) при всех Яе(0,оо) имеет вид
р{х) = ^хК\-х2Г0-5 где функция уфс)єСл(-1,1)-
Теорема 1.2. Если функция Дх)еНа .(-1,1), а>4., п>0. а решс-
17 + 1 / ^
ние интегрального уравнения (1.12) существует в Ьр(-1,1), р> 1, и выполнено условие
у(±1)=0 (1.24)
то его решение р(х) при всех Я Є (0,со) имеет вид р(х)-у/* (х) (]~х2)/г , где функция у* (х) Є С„(-1,1).
Доказательство теорем 1.1 и 1.2 строится с использованием леммы
1.1 и аналогично доказательству соответствующих теорем § 24 монографии [66].
Рассмотрим следующее интегральное уравнение
1ч(*)Л( )Лв = я/(х) 0х|<1) (1.25)
-I Л
здесь ц(х)- функция, подлежащая определению, Яє(0,оо). Ядро интегрального уравнения (1.25) (\) имеет вид
СО
^ і (г) = \ [Л1(г/)со8м/ - Л?(и)ї>иш]—
6 " м
Функции Л„(г) (п = 1,2) в плоскости комплексного переменного г = и + і и являются мероморфными функциями, действительными при
и = 0. На оси и = 0 функция Л, (г) имеет единственный нуль г/ = 0 и не
19
имеет полюсов, функция А2 (2) на оси и = 0 не имеет ни нулей, ни полюсов. Функции Ап(и) удовлетворяют условию:
Л„(ц)-> 1 + о(е~кМ) (|м1 -» оо,а:п > 0; п = 1,2)
Лемма 1.2. При всех значениях 0<|г|<оо для ^,(/) справедливо представление
£\({) = -1пУ\ - Ш&и -г Т7,(/) (1.26)
00
/гі(0= / {ІЛі(н)_ і]созм/ + е~и - [Л2(и)-і]зіп«г \и {с!и (1.27) о
причем Т7! (р) как функция комплексного переменного со = ( + іт является регулярной В полосе ]/' < 00, |г] < К* (/Т* = ГПІп(/С| /с2)). При |?| < к* функция /*](/) представима абсолютно сходящимся рядом
ос
^1(0= IV" (1-28)
п=О
Для доказательства представления (1.26) следует воспользоваться значениями интегралов (22.29) [66] и 3.721(1) [76]. Регулярность функции в полосе |г|< аг* вытекает из свойств функций Ая(г) (« = 1,2) и теоремы А § 1.4 [104]. Из регулярности F](co) следует, что У7, (г) при 0 < |г| < со
непрерывна со всеми производными. Раскладывая соьш и вши* в (1.27) в ряды по степеням и(, получим представление (1.28) и коэффициенты этого разложения
а о
_иг
= }[л1(М)-1+е-и]— (1.29)
Л и
«2»=7^уЯЛ.М-ф2"-1^ (« = 1,2.)
[М о
ащ+х = 7Г-""ї^ Я1 " Аг(и)Упс1и (п = 0,1,2,....)
(2« + 1)! о
20
Так как jfj < 2/л, то решение уравнения (1.25), полученное с использованием разложения (1.28), будет иметь смысл, по крайней мере, при Л > /1о , где
/*2=2 /к* (1.30)
Преобразуем интегральное уравнение (1.25) с учетом (1.26) к виду
Я
1
(nT7—j + ао - х)
. иМ 2
q{Ç)d4 = tf(x)-
1 я J 1 1
d£, (jx|<l) (1.31)
Далее рассмотрим следующее интегральное уравнение Я
1
J
-1
ы
\g-
+ «о - Tsign{Ç - х)
q{Ç)dS, = 7f{x) (jx| < l) (1.32)
Как будет показано в п. 2.1, решение уравнения (1.32) является главным членом асимптотики решения уравнения (1.31) при больших значениях Я. Продифференцировав по х уравнение (1.32), получим сингулярное интегральное уравнение вида
щ{х)+ = Jf\x) (jx|<l)
-|Ь *
(1.33)
Решение уравнения (1.33) имеет вид [71J
„Ю- JL.±)Wf(gb^lfV)
V 7 Х(х) 2л \x{x\Ç-x) 2
Х{х)={\ + х)У*{\ -х)Уа
(1.34)
(1.35)
Составляющая решения £|Лг_1(х) есть решение однородного инте-грального уравнения (1.33).
Теорема 1.3. Если функция /(*)е Н^+\ (- 1,1), а > 0, п > 0, то решение интегрального уравнения (1.33) с/(х) имеет вид [138]
ц(х) = со(х)Х~ л(х) (1.36)
21
-от+1
(1.37)
причем й)(х) е Сп(-1,1)
Для доказательства теоремы преобразуем (1.34) с учетом значения интеграла [113]
_1 £-х т=0г=0 \т-г}.г\
к следующему виду
о{х) = D, + (2V2)"'(1 + 2x)f'(x)~ N(x)
N{x) = — tö-f (1.38)
-л -1
Продифференцировав формально п раз по л: интеграл (1.38) и используя формулу (7.4) монографии [102], получим
NM(x)=— \X^}N'f*’ ^W (l - от < /? < l) (1.39)
-1
I#-
где функция удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным. Из ограниченности функции при *,£<=[-1,1] следует рав-
номерная относительно л; сходимость интеграла (1.39). Тем самым также обосновано дифференцирование под знаком этого интеграла. Следовательно, - непрерывная функция, и теорема доказана.
Проинтегрируем (1.34) по л- в пределах от -1 до 1. В результате найдем
0 = *л/2А +1[/(1)-/(-1)]-± (1.40)
2 2/Т_,Х(л-)_] $-х
I
0= \я{х^х (1.41)
-1
Меняя порядок интегрирования в (1.40) и вычисляя интегралы, определим
£> = л-л/2Ц (1.42)
22
Формула (1.42) связывает постоянную с интегральной характери-
остается произвольной и для ее определения необходимо использовать дополнительное условие.
Лемма 1.3. В условиях теоремы 1.3, если
Для доказательства умножим левую и правую части уравнения (1.32)
рядок интегрирования и используя формулу (6.7) из таблицы А работы [122], получим (1.43).
Таким образом, формула (1.34) представляет также решение уравнения (1.32) при выполнении условий (1.42),(1.43) и, следовательно, структура решения этого уравнения определяется формулой (1.36).
Полученное решение (1.34) содержит интегрируемую бесконечность при х = ±1. Если потребовать, чтобы это решение было ограниченным на одном из концов рассматриваемого промежутка, то появится дополнительное условие - условие ограниченности, из которого в случае уравнения (1.33) может быть определена постоянная (7.
Теорема 1.4. Если функция /(х)е Н%+](-1,1), а > п > 0 и выполнено соотношение
стикой функции q(x). Однако, в случае уравнения (1.33) постоянная Ц
(1.43)
на X 1 (— х) и проинтегрируем по х в пределах от-1 до 1. Меняя затем по-
(1.44)
(1.45)
то решение интегрального уравнения (1.32) д{х) имеет вид
23
q{x)-со*{х)У{х) (1-46)
причем со* (л ) € С„ (- 1,1).
Для доказательства теоремы соотношение (1.34) следует преобразовать с учетом (1.42) и (1.44) к виду
Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3. Отметим, что условие (1.44) равносильно условию: <&(-1) = 0.
Решение интегрального уравнения (1.25) представим в виде
я(х) = Яо{х)+Ч*(х) С1-47)
где 0оМ есть решение уравнения (1.32), определяемое формулами (1.34), (1.42) и (1.43). Внося (1.47) в (1.25), получим следующее уравнение для определения функции д*(х)
I
-1
Ы
І ІМ
+«о
ф{&4=ії1(х)- /<?.(£ -1
я
'4-х
Я
-«о
4-х
. Я ,
« (1.48)
(1.49)
Теорема 1.5. Если функция /(х)е (-1,1), аг > 0, и> 0, а решение
интегрального уравнения (1.25) существует в Ьр(-1,1), р > 1, то решение этого уравнения q(x) при всех Я є (0,оо) имеет вид
^/(х) = 0(д:)Аг”,(д:) причем функция Сі(х)є Сп(-1,1).
Для доказательства теоремы рассмотрим правую часть уравнения (1.48). На основании теоремы 1.3, леммы 1.2 легко доказать, что /Дх), определяемая формулой (1.49), при хе[- 1,1 ] непрерывна со всеми производными. Такой же вывод можно сделать и относительно второго слагаемого ,
24
стоящего в правой части (1.48), с учетом того, что с]*(х)е 1,1), Р > 1.
Таким образом, уравнение (1.48) можно рассматривать как уравнение (1.32), правая часть которого является непрерывной со всеми производными функцией. Отсюда, с учетом (1.47) и леммы 1.3 следует справедливость теоремы.
Теорема 1.6. Если функция /(*)е (-1,1), а > ^ п > 0, а решение интегрального уравнения (1.25) существует в 1,1), /? > 1 и выполнено условие
О(-1)=0
то решение этого уравнения ц(х) при всех Я е (0,эо) имеет вид
причем функция 0*(х)еС„(- 1,1).
Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 1.4 и подобно доказательству теоремы 1.5.
1.2. О структуре решения некоторых интегральных уравнений осесимметричных смешанных задач теории упругости
Рассмотрим интегральное уравнение вида
)с<1]{СКЫ№ = /;{г) (о < г < 1) (1.50)
о
к„,;{г,С)= (1-51)
о
Здесь 0у(г)- неизвестная функция, т = {0,2}, ядро кь(г,£) следует понимать в смысле обобщенных функций. При т = 7 = 0 это уравнение возникает при исследований осесимметричной контактной задачи для упругого полупространства с круговой областью раздела граничных условий.
25