ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. Актуальность, цель и задачи исследования, основные 4
результаты, структура диссертации (обоснование).
Глава 1. Обзор исследований по определяющим соотношениям, цель и задачи работы. 8
Глава 2. Теоретические положения для периодических задач. 15
2.1. Определения эффективных напряжений и деформаций для периодических систем. 16
2.2. Интегральные соотношения для периодических систем. 25
2.3. Условия симметрии зависимостей между эффективными
напряжениями и деформациями. 28
2.4. Матрица эффективной податливости. ^ 32
2.5. Матрица дополнительной податливости. 37
2.6. Регулярные системы секущих трещин. 40
Глава 3. Разработка метода гиперсингулярных ГИУ для решения задач об эффективных свойствах среды с растущими трещинами и контактными взаимодействиями. 50
3.1. Выбор и особенности метода численного решения задач. 50
3.1.1. Выбор метода численного решения задачи. 50
3.1.2.Комплексные ГСИУ двоякопериодической задачи. 53
3.1.3. Нахождение матрицы эффективной податливости и зависимостей я-е. 59
3.2. Разработка метода учета роста трещин. 62
3.2.1. Условия, определяющие рост трещин отрыва. 63
3.2.2. Итерационная процедура для нахождения траектории
трещины. 65
3.2.3. Выбор параметров итерационной процедуры. 68
3.2.4. Тестовые примеры. 72
3.2.5. Алгоритм автоматического отслеживания траекторий трещин. 77
3.3. Разработка метода учета контактного взаимодействия. 79
3.3.1. Уравнения контактного взаимодействия. 79
3.3.2. О сходимости итерационного метода решения ГСИУ. 83
3.3.3. Случай идеально пластического контакта. 88
3.3.4. Алгоритм автоматического отслеживания контактных взаимодействий. 89
3.3.5. Объединение алгоритмов отслеживания траекторий трещин и контактных взаимодействий. 92
3.3.6. Тестовые примеры. 93
Глава 4. Исследование роста трещин и эффективных свойств среды при сжатии. 99
4.1. Исследование роста трещин при сжатии. 99
4.1.1. Рост изолированных трещин. 99
4.1.2. Эшелоны трещин с растущими крыльями. 104
4.1.3. Рост двоякопериодической системы трещин. 106 4.2.Эффективные свойства среды с растущими трещинами и
контактными взаимодействиями. 109
4.2.1. Изменение дополнительной податливости с ростом трещин. 109
4.2.2. Макроскопические диаграммы 5-е для среды с контактными 111 взаимодействиями и трещинами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 114
ВВЕДЕНИЕ
Развитие современной науки характеризуется учетом деталей процессов, происходящих на структурном уровне, чему способствует прогресс в вычислительной технике и информационных технологиях. Эта тенденция проявляется и в исследованиях по механике деформируемого твердого тела, в частности, в микромеханике, механике композитов, механике разрушения и геомеханике. Практическая цель таких исследований состоит в предсказании макроскопического поведения среды по особенностям структуры. Этим обуславливается интерес к построению определяющих соотношений с учетом структурных особенностей среды.
Данная работа находится в русле подобных исследований. В ней используется подход, в котором, в отличие от классических методов, таких как методы самосогласованных полей и феноменологических теорий пластичности, структура среды учитывается в явном виде.
В диссертации разрабатывается вариант этого подхода, недавно предложенный в работах [98, 99]. Он состоит в численном решении задач для регулярных (двояко или трояко- периодических) систем, ячейки которых, отождествляемые с элементарными представительными объемами, имеют внутреннюю структуру и могут взаимодействовать на контактах структурных элементов. Такое рассмотрение позволяет использовать циклические постоянные поля смещений для строгого определения матриц эффективной податливости. До начала работ по теме диссертации этот вариант применялся только к задачам с фиксированной геометрией трещин, включений и пор и при упругом деформировании на границах взаимодействия структурных элементов. Этот вариант требует дальнейшего развития при изучении растущих трещин и необратимых деформаций на контактах. Данная работа содержит развитие подхода в этом направлении.
4
Цель диссертации состоит в разработке метода, использующего решение двояко- (трояко-) периодических задач для численного построения определяющих соотношений, учитывающих как обратимые, так и необратимые деформации на уровне структуры среды.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1) разработать общие теоретические положения, справедливые для регулярных систем, элементы которых могут испытывать необратимые деформации на границах взаимодействия структурных элементов;
2) разработать методы пошагового отслеживания изменений, обусловленных двумя факторами: а) разрывами смещений на контактах элементов среды и б) ростом трещин;
3) разработать алгоритм, реализующий эти методы; обосновать параметры пошаговых процедур;
4) провести сопоставление численных результатов, касающихся раздельного влияния указанных факторов, с аналитическими решениями, данными других авторов и экспериментами;
5) осуществить учет совместного влияния необратимых деформаций на контактах и роста трещин;
6) на базе разработанного численного метода провести численное моделирование сред с трещинами и контактными взаимодействиями и получить новые численные данные о влиянии необратимых деформаций на контактах и роста трещин на макроскопическое поведение среды.
Достижение поставленной цели путем решения указанных задач привело автора к новым научным результатам. Они относятся к теоретическому, вычислительному и физическому аспектам проблемы. А именно,
1) Разработаны теоретические положения для регулярных систем, элементы которых могут испытывать необратимые деформации на взаимодействующих границах. Они включают строгое определение эффективных напряжений и деформаций в регулярных структурах, общие
энергетические соотношения для периодических полей, теоремы о симметрии и положительной определенности матрицы (секущей и касательной) эффективных податливостей, анализ анизотропии, достаточные условия единственности и устойчивости для задачи приведения.
2) Предложены и реализованы методы численного моделирования определяющих соотношений для сред с взаимодействующими структурными элементами и растущими трещинами. В частности, на базе комплексного метода граничных элементов для двояко-периодических систем предложены новые пошаговые процедуры, позволяющие автоматически отслеживать влияние необратимых подвижек на взаимодействующих поверхностях и роста трещин. Установлены значения параметров, обеспечивающих сходимость процедур при расчете траекторий трещин, как на гладких участках, так и в точках излома и бифуркации. Установлено, что численные результаты, полученные с помощью разработанных методов, согласуются с имеющимися данными других авторов, превосходя последние по точности и способности улавливать точки излома и бифуркации.
3) Получены новые количественные физические заключения о деформировании сред с взаимодействующими структурнььми элементами и растущими трещинами. В частности, установлено, что традиционно используемая гипотеза о неизменности нормальных усилий на исходной трещине сдвига на 63% завышает отрывающую силу для достаточно длинных трещин; показано, что обычно используемая оценка критической силы дает заниженное значение. Впервые численно получены количественные данные о полных диаграммах для сред с разупрочнением на секущих трещинах и системами сдвиговых трещин с растущими крыльями. Установлено, что при сжимающих нагрузках поперечная деформация, вызываемая ростом крыльев, в несколько раз превышает
б
дополнительную осевую деформацию, что отвечает необратимому увеличению объема. Увеличение бокового давления подавляет рост крыльев. Описание этих эффектов, наблюдавшихся в экспериментах и качественно объяснимых простыми моделями, приобрело строгое количественное выражение.
Эти научные результаты выносятся на защиту.
Автор глубоко признателен за поддержку этой работы Российскому фонду фундаментальных исследований (фант 00-05-64316), университету штатов Калифорния и Оклахома (грант CRDF №RGO-821), Комитету по науке и высшей школе Администрации Санкт-Петербурга (фант М01-2.2К-235). Искренняя признательность выражается профессорам Ж.-К.Де-Бремакеру (University of Texas) и М.А.Качанову (Tafts University), Ж.-К.Роже (University of Oklahoma) и доктору Л.Р.Миеру (Lawrence Berkeley National Laboratory) за стимулирующие контакты, обсуждения и советы. Специальная признательность выражается профессору А.М.Линькову (ИПМаш РАН), без ценных советов которого данная работа не мгла бы быть выполнена в ее настоящем виде. Особая благодарность приносится научному руководителю кандидату технических наук В.Ф.Кошелеву (ИПМаш РАН) за постоянное внимание и разностороннюю помощь.
7
ГЛАВА 1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЯМ, ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДАННОЙ РАБОТЫ
Определяющие соотношения вместе с уравнениями равновесия и условиями совместности дают полную систему уравнений механики сплошной среды. Именно они характеризуют особенности конкретной среды. Поэтому формулировка определяющих соотношений представляет фундаментальную проблему; ее исследованию и решению посвящено множество работ как экспериментального, так и теоретического плана.
Основой для получения определяющих соотношений служит некоторый набор экспериментов с изучаемым материалом. Однако, как выбор экспериментов, так и обработка их результатов существенно опираются на некоторые теоретические представления. Полученные экспериментальные данные обобщаются с помощью этих или скорректированных представлений. В итоге, - обычно в аналитическом виде, - формулируются те или иные определяющие соотношения.
Всесторонние обзоры методов определения эффективных характеристик среды и состояния вопроса содержится в ряде монографий (см., например, [2, 5, 8, 13, 19, 26, 27, 34, 44, 58, 111]). Не повторяя содержащегося в них глубокого анализа, остановимся на основных подходах и обсудим детально только те из них, которые непосредственно примыкают к направлению, развиваемому в данной работе.
Можно выделить три основных подхода к превращению экспериментальных данных в определяющие соотношения среды. Первый из них, физический, как правило, имеет дело с фундаментальными свойствами среды на уровне атомов, молекул, кристаллической решетки, дислокаций или, по крайней мере, зерен среды [15, 16, 51, 56, 60]. Эти методы находятся за пределами исследований по механике твердого деформируемого тела, освещенных в данной работе.
8
Второй, феноменологический, подход - наиболее распространенный. Он представляет основу классических теорий упругости, пластичности и ползучести (см., например, [20-22, 35, 39, 40, 45, 48, 54, 112]). В современных вариантах этих теорий используются внутренние параметры среды (см., например, [84, 101, 114, 132]). К этому направлению примыкает механика повреждений [4, 20, 45, 90, 94]. Параметр повреждения используется и в определяющих соотношениях, связывающих напряжения и деформации [8, 116, 121-123]. Нахождение определяющих соотношений для этих параметров опирается на общие термодинамические законы. Тем не менее, получение конкретных зависимостей требует специальных экспериментов, число и стоимость которых нередко велики.
Третий подход, занимающий промежуточное место между упомянутыми двумя, состоит в получении макроскопических свойств среды путем осреднения свойств отдельных элементов структуры (см., например, [5, 19, 33, 34, 68, 69, 82, 85, 87, 90]. Для этого, как правило, используются различные варианты метода самосогласованного поля. Такой подход дает хорошие результаты для линейных задач при малых неоднородностях, либо при сравнительно небольших концентрациях неоднородностей. Как справедливо отмечено в [90], этот подход теряет привлекательность, когда локальные возмущения, мало сказываясь на упругих свойствах, контролируют макроскопическое поведение материала, как, например, при росте магистральных трещин. В подобных случаях необходим более детальный учет структуры.
Такой учет совершенно необходим для хрупких материалов типа керамик, бетона и горных пород. Работы в этом направлении, начиная со статей [66, 67], совмещают использование локального критерия роста трещин с осреднением по множеству трещин для получения макроскопических диаграмм напряжение-деформация. Ввиду математических трудностей задачи, авторы обычно ограничиваются грубыми оценками, как локальных полей, так и осредненных
9
макроскопических характеристик (см., например, [91, 111]). В настоящее время этот подход, сочетающий локальный критерий разрушения с осреднением по множеству структурных элементов, использует возрастающие возможности вычислительной техники и реализуется в двух вариантах. Один из них основан на МКЭ, а другой на МГЭ.
В варианте, основанном на МКЭ, в локальном представлении используются напряжения в конечных элементах. Если некоторая их комбинация превышает критический уровень, то либо конечный элемент выключается из системы, либо его модуль упругости уменьшается по некоторому закону [6, 7, 8, 17, 19, 121-123]. «Трещины» в этом варианте появляются как совокупность элементов с нулевым модулем упругости. В связи с особенностями МКЭ этот вариант пока что не способен использовать локальные критерии, формулируемые в терминах коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Его достоинство состоит в возможности решать трехмерные задачи с учетом необратимых деформаций в объемах среды.
Следует заметить, что в настоящее время бурно развивается своеобразное ответвление подобных исследований. Оно основано на так называемом методе отдельных частиц (Distict Element Method, DEM) [25, 75, 86, 100, ИЗ] или на анализе разрывных деформаций (Discontinuous Deformation Analysis, DDА) [61, 118, 119]. Подход базируется на датьнейшем упрощении модели: изучаются круглые или полигональные твердые частицы, взаимодействующие в точках контактов. Локальные условия взаимодействия формулируются для этих точек. Соответствующие программы, иногда называемые Particle Flow Codes (PFC), позволяют рассматривать десятки и даже сотни тысяч частиц. Они дают полезную качественную, а отчасти и количественную информацию о сложных процессах, включая большие деформации, отделение и движение частиц.
Во втором варианте, основанном на методе граничных элементов, коэффициенты интенсивности напряжений пока что тоже не используются. Основные результаты получены для двумерных задач. В них трещины задаются
10
как отрезки прямых с линейной аппроксимацией разрывов смещений. Эти упрощения позволяют рассматривать до сотен трещин с различными размерами и ориентацией [107, 108]. Недавно, аналогичный, но еще более упрощенный, подход использован и в трехмерном случае для дискообразных трещин [59, 96]. К сожалению, в работах, основанных на МГЭ, не определялись эффективные деформационные характеристики среды, хотя их нахождение представляется вполне возможным в рамках используемых подходов.
Мы видим, что до настоящего времени не осуществлялось точное определение макроскопических величин при одновременном точном вычислении КИН для растущих трещин. В связи с этим отметим, что по отдельности эти задачи рассматривались в работах следующих двух направлений.
Первое из них касается регулярных структур: перфорированных пластин, регулярных композитов и т.п. В таких задачах эффективные свойства среды корректно определяются через циклические постоянные поля смещений, тогда как средние напряжения считаются заданными. Это направление успешно развивалось, и обобщенные результаты представлены в монографиях [13, 14, 111]. К настоящему времени дополнительный прогресс в его развитии достигнут благодаря учету краевых эффектов для регулярных структур конечной протяженности [2, 44}. Отметим, что еще в 70-е годы для двумерных задач о регулярных системах трещин были получены сингулярные интегральные уравнения [47, 53], которые использовались для вычисления эффективных характеристик [13, 14, 53].
Второе направление (вычисление К ПН для растущих трещин) потребовало в дополнение к обычному условию критического КИН привлечь условие, определяющее траекторию трещины [10, 74, 76, 78, 102, 102, 117]. Как
отмечено в работе [74], «если трещина следует пути с непрерывным изменением касательной, то все предлагаемые критерии имеют следствием Кц = 0 при продвижении трещины» (Кц - касательный коэффициент интенсивности).
- Київ+380960830922