Диффузия лучей и частиц в случайно-неоднородных средах в лагранжевом и эйлеровом представлениях

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ввеление
6
Глава I. ЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ: СТАТИСТИКА ЯКОБИАНА ПРЕОБРА-ЗОВЛ1 (ИЯ ЭЙЛЕРОВЫХ КООРДИ1 (АТ В ЛАГРА11ЖЕВЫ.
1.2. Лагранжевы и эйлеровы координаты луча. Стохастические уравнения
1.3. Численно-аналитическое исследование статистических свойств якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы и кривизны волнового фронта.
1.3.1. Численное исследование свойств плотности вероятностей якобиана 29
1.3.2. Установление общих свойств полей якобиана и кривизны
волнового фронта...........................................................34
1.3.3. Вывод и численное моделирование стохастических уравнений............37
1.3.4. Аналитическое исследование..........................................40
1.3.5. Статистические моменты модуля якобиана..............................44
1.4. Результаты первой главы...............................................50
Глава 2. СТАТИСТИКА НАБЛЮДАЕМЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛН ЗА СЛУЧАЙНЫМ ФАЗОВЫМ ЭКРАНОМ И В СЛУЧАЙНОНЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.
1.1. В ведение
23
для якобиана преобразования
24
2.1. Введение
51
2.2. Статистика каустик.
2.2.1. Средняя плотность каустик за случайным фазовым экраном и в
случайно-неоднородной среде
53
2.2.2. Вероятностное распределение расстояний до каустик
65
2.3. Статистика лучей.
2.3.1. Среднее число лучей...............................................70
2.3.2. Вероятность многолучевого распространения за случайным
фазовым экраном..........................................................74
2.3.3. Влияние неоднородностей среды на траекторию лучей.................79
2.3.3.1. Постановка задачи...............................................80
2.3.3.2. Вывод уравнения диффузии лучей..................................81
2.3.3.3. Плотность вероятностей угла распространения луча................88
2.4. Результаты второй главы.............................................93
Глава 3. СВОЙСТВА ИНТЕНСИВНОСТИ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-ИЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.
3.1. Введение............................................................96
3.2. Динамика реализаций интенсивности...................................98
3.3. Статистические моменты интенсивности................................99
3.4. Вероятностные свойства интенсивности...............................102
3.5. Корреляционные свойства флуктуаций интенсивности...................104
3.5.1. Связь между эволюцией плотности гидродинамического потока
частиц и дифракцией волн за случайным фазовым экраном...................104
3.5.2. Дифракционное сглаживание каустических особенностей п поле волны
за случайным фазовым экраном............................................112
3.6. Распространение волн в статистически анизотропной случайной
среде...................................................................120
3.6.1. Среднее поле волны...............................................123
3.6.2. Уравнение для функции когерентности..............................130
3.7. Результаты третьей главы...........................................145
Глава 4. ДИФФУЗИЯ БРОУНОВСКИХ ЧАСТИЦ.
4.1. Введение...........................................................147
4.2. Связь эйлеровой и лагранжевой статистик броуновской частицы.........148
4.3. Переход от граничной задачи к задаче Коши...........................150
4.3.1. Одномерный случай.................................................153
4.3.2. Трехмерный случай.
4.3.2.1. Плоский детектор................................................156
4.3.2.2. Детектор произвольной формы.....................................160
4.4. Анализ зависимости решения от параметров задачи.....................164
4.5. Некоторые примеры вычисления эйлеровых распределений.
4.5.1. Одномерный случай.................................................174
4.5.2. Двумерный случай.................................................181
4.5.3. Трехмерный случай.
4.5.3.1. Безграничный плоский детектор...................................184
4.5.3.2. Ограниченный детектор...........................................191
4.5.3.3. Замкнутый детектор..............................................196
4.6. Результаты четвертой главы..........................................204
Глава 5. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ В ТУРБУЛЕНТНЫХ СРЕДАХ.
5.1. Введение...........................................................208
5.2. Ошосительная молекулярная диффузия.................................209
5.2.1. Постановка задачи................................................209
5.2.2. Анализ и решение стохастических уравнений........................211
5.2.3. Численное моделирование..........................................214
5.2.4. Вероятностное описание...........................................219
5.2.5. Статистика плотности пассивной примеси...........................226
5.3. Диффузия инертных частиц в турбулентной вязкой среде................229
5.4. Особенности диффузии падающей частицы..............................241
5.4.1. Законы движения частиц..........................................241
4
5.4.2. Вывод уравнения диффузии............................................243
5.4.3. Приближение равномерного падения....................................248
, „ 5.4.3.1. Продольная диффузия...............................................249
5.4.3.2. Поперечная диффузия...............................................255
5.4.4. Условия применимости диффузионного уравнения........................260
5.5. Результаты пятой главы................................................261
Заключение.................................................................264
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Проверка адекватности численной модели
фазового экрана............................................................268
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Проверка адекватности модели “теплых лучей”..................272
Литература.................................................................275
5
Введение
Анализ распространения волн в случайно-неоднородных средах является одной из наиболее актуальных проблем радиофизики, оптики, гидроакустики. С одной стороны, знание закономерностей распространения волн в случайной среде позволяет использовать их для изучения свойств различных сред. Этот принцип реализован в большинстве радиофизических методов исследования океана, земной коры, атмосферы, ионосферы, околосолнечной и межзвездной плазмы. В частности, применительно к ионосфере основным источником информации о неоднородностях ее структуры является изучение свойств электромагнитного поля, принятого на Земле [1-4]. С другой стороны, быстрое развитие современных систем дальней радио- и лазерной связи, зондирования и локации турбулентной атмосферы и океана привело к тому, что искажения волн при их распространении стали одной из причин, ограничивающих технические характеристики подобных систем.
Хотя первым, кто обратил внимание на то, что атмосфера, через которую проходит свет от звезд, находится в непрерывном случайном блуждании, был, видимо, Ныотои (см., например, [5], а также ссылки в обзоре [6]), современная теория распространения волн в случайных средах начала формироваться на рубеже 40-х - 50-х годов XX века [7,8]. Отмстим, что примерно тогда же была опубликована работа [9], в которой впервые были учтены дифракционные эффекты при распространении волн в рамках теории возмущений. В дальнейшем практическая важность и общефизическая значимость теории волн в случайно-неоднородных средах стимулировали быстрое развитие теоретических и экспериментальных исследований в этой области. Следует подчеркнуть сходство физических явлений, имеющих место при распространении воли различной природы (электромагнитных, плазменных, акустических, гравитационных). Поэтому, несмотря на специфику волновых процессов в различных областях физики, методы решения задач о распространении волн в случайно-неоднородной среде во многих случаях оказываются аналогичными. Результаты исследований свойств волн различной природы в случайно-неоднородных средах довольно полно представлены в монографиях [10 - 23] и обзорах [6,24 - 31].
6
Обратим внимание на то, что поведение волн в случайно-неоднородных средах часто сходно с поведением частиц в хаотически движущихся потоках. Например, при регистрации углов прихода и интенсивности можно увидеть та-' кис эффекты, как укручение профиля углов наклона вплоть до появления неоднозначностей, физически соответствующих многолучевым режимам распространения, и возникновение локальных областей повышенной интенсивности. Действительно, результаты численного моделирования флуктуаций интенсивности оптической волны, прошедшей слой случайно-неоднородной среды [32], также как и непосредственная экспериментальная регистрация флуктуаций интенсивности оптической волны в турбулентной атмосфере [19], показывают, что формирующиеся области повышенной интенсивности существенно анизотропны и образуют ячеисто-сетчатую струкгуру. Но такие же структуры возникают и при развитии фавитационной неустойчивости холодного газа [33]: области повышенной плотности здесь также резко анизотропны.
В широком круге задач, относящихся к распространению излучения в случайно-неоднородных средах, выделим достаточно важную для приложений область - исследование распространения волн в случайных средах с крупномасштабными по сравнению с длиной волны флуктуациями показателя преломления. Простейшую модель переноса излучения в среде с крупномасштабными неоднородностями можно представить на примере оптических волн - как прохождение светового потока через множество хаотически расположенных прозрачных линзоподобных образований разной оптической силы и размеров [12]. В итоге световой поток в плоскости приема имеет случайное распределение интенсивности. В этом случае, как известно, из-за многократного рассеяния вперед могут возникать сильные флуктуации интенсивности поля. Сильные флуктуации интенсивности наблюдаются, например, при распространении радиоволн через ионосферу, солнечную корону или межзвездную среду [4,34], при распространении света в турбулентной атмосфере [11,12,15-17,35], распространении звуковых волн в океане (6,23,36].
Заметим, что родственные образованию каустических езруктур явления обнаруживаются и при движении плавучей примеси в турбулентных потоках [37-39]. Аналогично сильным флуктуациям интенсивности в областях фокусиро-
7
вок, кластеризация примеси приводит к образованию компактных областей повышенной плотности. Сходный пример можно указать и в астрофизике [38,40-43] - эго возникновение крупномасиггабной структуры распределения вещества во Вселенной, когда формируются области повышенной плотности, образующие ячеисто-сетчатую структуру, причем с течением времени все вещество стекается в узлы ячеек.
Отмстим и различие. Оно заключается в многообразии механизмов кластеризации поля плотности плавучей пассивной примеси или самих частиц. В задачах распространения воли аналогичный эффект формирования каустических структур и образования областей сильных флуктуаций интенсивности обусловлен единственным механизмом: случайными фокусировками волн в среде с крупномасштабными по сравнению с длиной волны неоднородностями, т.е. линзовым действием крупных неоднородностей. В то же время установлено (см., например, [39,441), что главный механизм аналогичного явления кластеризации ноля плотности плавучей пассивной примеси или самих частиц связан с наличием дивергентной компоненты поля скорости среды, возникающей при инерционном движении частиц [45,46]. Физика процесса состоит в следующем: инертность заставляет частицы в турбулентном вихре дрейфовать к границам областей между вихрями (области с уменьшающейся скоростью турбулентного потока жидкости и максимумом давления жидкости). Поэтому в областях с максимальным давлением происходит накопление частиц, а из областей пониженного давления они уходят. Этот механизм действует в широкой области масштабов. На больших масштабах турбулентная диффузия приводит к релаксации флуктуаций концентрации частиц. Однако на масштабах, где турбулентная диффузия порядка молекулярной, релаксация очень слаба. Таким образом, флуктуации концентрации локализованы на малых масштабах.
Однако, в связи с большим числом параметров, обусловливающих движение частиц примеси, здесь возможны и другие механизмы локализации. Так, в [47] исследовалось явление турбулентной термодиффузии: в турбулентном потоке с ненулевым средним градиента температуры происходит увеличение концентрации частиц в областях минимума средней температуры. Аналогичное яв-
8
лспнс турбулентной бародиффузии [48] вызывает дополнительный поток частиц примеси в сторону максимума среднего давления в жидкости.
Исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах при условии малости флуктуаций амплитуды поля проводятся с использованием подходов, основанных на решении стохастического волнового уравнения тем или иным методом возмущений [19,20,35]. В случае сильных флуктуаций интенсивности расчеты но теории возмущений в той или иной се форме становятся непригодными. Здесь используются методы, основанные на решении уравнений для статистических моментов поля [12,19,35]. Кроме того, развиваются методы анализа каустической структуры волнового поля в случайно-неоднородной среде на основе идеологии статистической топографии [49]. Заметим, что эта идеология полностью переносится и на описание поведения плавучей примеси в случайном поле скоростей [37].
Решающий вклад в теорию волн в случайно-неоднородной среде внесли Леонтович и Фок [50], которые ввели метод параболического уравнения для описания воли, сосредоточенных в области малых углов вокруг первоначального направления распространения. Во многих последующих работах это уравнение служит в качестве отправной точки [13,16,19]. В частности, из параболического уравнения следуют уравнения для статистических моментов поля. Наибольший практический интерес представляет четвертый момент, т.к. он позволяет исследовать флуктуации интенсивности (их относительную дисперсию, коэффициент пространственной корреляции) и характеристики случайных смещений пучков и изображений источников. Несмотря на то, что уравнение для статистических моментов произвольного порядка различными методами было получено еще в 60-х годах XX века [51,52], решение уравнения даже для четвертого момента представляет собой сложную математическую задачу. Впервые асимптотическое решение для сильных флуктуаций интенсивности неограниченной плоской и сферической волн было получено в работах [53,54]. В дальнейшем различные методы решения этого уравнения для плоской волны в случайной среде и за случайным фазовым экраном рассматривались в [55-57]. Кроме того, в работах [58,59] построено асимптотическое решение в другом предельном случае - сла-
9
бых флуктуаций интенсивности, а в [60] найдены моменты интенсивности произвольного порядка в области насыщения флуктуаций.
Несмотря на то, что по теории распространения волн в случайно-неоднородных средах в настоящее время имеется огромное количество работ, до сих пор свойства воли в области сильных флуктуаций интенсивности остаются недостаточно полно изучены. В ряде работ [61-63] проводилось исследование интенсивности вблизи каустик. При этом, как правило, возникала необходимость в громоздких численных расчетах. В то же время известна аналогия [64,65] между задачами о распространении воли в случайной среде и о флуктуациях поля за случайным фазовым экраном. Экран со случайно изменяющейся фазой, который вносит в падающую волну только пространственно-случайные возмущения, является простейшей рассеивающей системой физической оптики. Последующее распространение волны за экраном приводит к развитию флуктуаций амплитуды, которые в оптических экспериментах проявляются в виде сложного распределения светлых и темных областей на экране, поставленном на пути рассеянного света [66]. Случайный фазовый экран может быть использован в качестве модели шероховатых поверхностей, топких рассеивающих слоев, а в некоторых случаях и более протяженных областей с изменяющимся показателем преломления. Хаотический фазовый экран является хорошей моделью ионосферы [25,67] или межпланетной плазмы [4,34,67] со случайными неоднородностями, а расчет флуктуаций интенсивности за фазовым экраном, хотя и сводится к вычислению восьмикратного интеграла [68], оказывается намного более простой задачей.
Возможность точного решения задачи для случайного экрана и развитие вычислительной техники подсказали один из возможных путей анализа свойств волн в случайной среде - на основе параболического уравнения для комплексной амплитуды поля примерно с середины 50-х годов XX века начали развиваться методы статистического моделирования распространения волн в случайно-неоднородных средах. Моделью среды при этом является набор статистически независимых плоских экранов со случайными двумерными полями коэффициентов пропускания и набега фазы, между которыми волна испытывает только дифракцию. Многократное повторение численных экспериментов по рассеянию волны па последовательности этих экранов дает выборку случайных реализаций
10
полей, по которой могут быть определены искомые статистические характеристики излучения.
Впервые метод фазовых экранов для расчета распространения электромагнитных волн был применен в работе [69], однако преимущества этого метода в полной мере проявляются лишь при использовании достаточно мощной вычислительной техники. Например, в [70] функции корреляции, записанные с учетом пересчета поля с экрана на экран, оценивались аналитически, что возможно только в предельном случае сильных флуктуаций фазы и гауссова экрана. В дальнейшем с помощью методов статистического моделирования решались намного более сложные задачи [71-73]. Так, в [73] описана построенная на основе метода фазовых экранов модель экваториального ионосферного возмущения, которая включает в себя как детерминированную часть, учитывающую плазменную неоднородность и изменение фонового уровня ионизации с высотой, так и случайную часть, которая характеризуется пространственной спектральной плотностью степенного вида. Как показано в [74,75], метод статистического моделирования позволяет получать результаты, хорошо согласующиеся с аналитическими расчетами, выполненными методами геометрической оптики
[19,20,76] и плавных возмущений в предельном случае слабых флуктуаций интенсивности. По-видимому, наиболее полно возможности метода фазовых экранов использованы в [32], где представлено полученное численными методами изображение поля интенсивности в плоскости наблюдения. В этой работе моделировался характерный для турбулентной атмосферы степенной закон спектра флуктуаций показателя преломления и исследовалось влияние внутреннего и внешнего масштабов па спектр интенсивности и на максимум интенсивности волнового поля, однако лишь применение суперкомпьютера СКАУ ХМ-Р сделало возможным такое моделирование.
Недостатком методов численного моделирования является, с одной стороны, использование определенных приближений при построении модели среды, а с другой - достаточно высокие требования к возможностям вычислительной техники для получения надежных результатов. Кроме того, при использовании численных методов обычно бывает трудно проследить зависимость решения от параметров задачи. Поэтому более удобными являются аналитические или ком-
11
бинироваиные численно-аналитические методы. Один из таких методов - гсо-мстрооптическое описание распространения волн.
Заметим, что более пятидесяти лет назад была предпринята попытка [9] учета дифракционных эффектов при распространении волны в случайной среде в рамках теории возмущений. Методика, предложенная в этой работе А.М. Обухова, существенно дополняла и уточняла исследования, проводившиеся в рамках геометрической оптики. Тем не менее, разработанные в [77-79] усовершенствования метода геометрической оптики делают его мощным инструментом для исследования многих важных характеристик воли в случайных средах. В частности, известно, что к изучению статистических свойств амплитуды и фазы аппарат уравнений Фоккера-Планка, позволяющий от исходного стохастического уравнения для марковского процесса перейти к уравнению для его плотности вероятности, неприменим [78]. Это обусловлено тем, что флуктуации амплитуды п фазы не являются конечномерными марковскими. В то же время, из уравнений геометрической оптики, описывающих распространение волны в малоугловом диффузионном приближении, достаточно просто получаются уравнения для различных вероятностных характеристик параметров волны. 11алример, в работах [77,78] выведены замкнутые кинетические уравнения дня конечномерных функций плотности вероятностей световой волны, которые можно рассматривать как естественное обобщение уравнений Фоккера-Планка. Как и уравнения для статистических моментов поля, а также уравнения Фоккера-Планка, они справедливы тогда, когда продольные масштабы случайных неоднородностей среды много меньше продольных масштабов флуктуаций амплтуды и фазы. С помощью этих уравнений находятся, в частности, корреляция между квадратом фазы и интенсивностью и пространственный спектр интенсивности. Некоторые из полученных в работе [78] уравнений интерпретируются как уравнения для вероятностного распределения координат и углов прихода светового луча.
Обратим внимание на тесную связь описания движения пассивной примеси и уравнений для лучей в случайно-неоднородных средах. Начиная с пионерской работы Тейлора [80], общепринятым считается лаграпжев подход к описанию статистики частиц примеси [37,38,40,81-83]. Но аналогичные уравнения нетрудно получить и при гсометроонтическом описании, если следить за распро-
12
сгранснием фиксированного луча. Так, в [40,83] установлено, что в приближении геометрической оптики эволюция углов прихода волнового фронта (градиента фазы) в двумерной однородной среде сводится к уравнению Римана, которое описывает также и поле скорости гидродинамического потока невзаимодействующих частиц. Уравнение для интенсивности волны совпадает с уравнением непрерывности для плотности потока невзаимодействующих частиц. В геометрической оптике роль траекторий частиц играют лучи, а роль лаграижевых координат частиц - координаты точек выхода лучей из начальной плоскости. Заметим, что в задачах гидродинамики невзаимодействующих частиц лагранжево описание часто оказывается существенно проще с математической точки зрения, тогда как экспериментаторы чаще имеют дело с эйлеровыми (измеряемыми в фиксированных областях пространства) характеристиками волн или частиц примеси. Однако развитый в [40,83] математический аппарат связи лагранжева и эйлерова описания случайных нолей позволяет получить полное статистическое описание.
Но если между каустиками распространение волны хорошо описывается уравнениями геометрической оптики, которые аналогичны уравнениям турбулентной диффузии в лагранжевом представлении, то в областях каустик необходимо учитывать дифракционные эффеюы. Известно, что ограничение каустических выбросов в случайно-неоднородной среде происходит за счет дифракции, которая сглаживает каустические особенности еще до того, как флуктуации интенсивности достигнут максимального (в гсомстроонтичсском приближении -бесконечного) значения. Аналогичное явление, ограничивающее флуктуации поля плотности примеси в областях кластеризации - это молекулярная диффузия, т.е. тепловой разброс скоростей частиц. Поэтому на более поздних этапах развития диффузии, когда возникают компактные области повышенной концентрации примеси, необходим учет и молекулярной диффузии [84,85]. Исследование взаимного влияния турбулентной и молекулярной диффузии проводилось, например, в [86,87]. При этом в [87] отмечено, что влияние молекулярной диффузии сводится лишь к ослаблению турбулентной диффузии (в этом случае действие молекулярной диффузии как раз и аналогично дифракционному сглаживанию выбросов интенсивности волнового поля). Однако в более поздней работе
13
[86] было получено, что наличие областей с отрицательными значениями корреляции между молекулярной и турбулентной диффузией может приводить и к усилению последней. В этом, очевидно, состоит принципиальное отличие в по-* ведении волн и частиц, которому есть простое объяснение: дифракция имеет не столько статистический, сколько динамический характер, поскольку связана не с характером случайных неоднородностей среды, а с принципиальным эффектом дифракционною расплывания на характерных неоднородностях.
Ниже будет показано, что предлагаемый в работе гсомстрооптический подход к описанию распространения волн, основанный на анализе статистики якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лаграпжевы, а также аналогичное ему лагранжево описание движения частиц в турбулентных потоках является эффективным методом исследования распространения волн в случайнонеоднородных средах и движения гидродинамических потоков частиц в хаотически движущихся средах. Поэтому с его помощью целесообразно рассматривать такие недостаточно изученные вопросы, как свойства волн в области многолучевости, а также, с учетом дифракционных поправок, вероятностные и корреляционные свойства интенсивности волн в области сильных флуктуаций. С использованием отмеченных выше аналогий удается также исследовать движение частиц пассивной примеси в турбулентных средах и эффекты, вызванные молекулярной диффузией.
В работе рассматриваются следующие конкретные задачи:
1) исследование динамических и статистических свойсгв полей якобиана преобразования эйлеровых координат гсомстрооптического луча в ла-гранжевы и кривизны волнового фронта;
2) исследование статистики каустик в случайно-неоднородной среде;
3) исследование статистики лучей в случайно-неоднородной среде;
4) исследование вероятности многолучевого распространения за случайным фазовым экраном;
5) исследование влияния анизотропных неоднородностей па траектории лучей в среде;
6) исследование асимптотического поведения реализаций интенсивности волны;
14
7) исследование статистических моментов и плотности вероятностей интенсивности в окрестностях каустик;
8) исследование дифракционного механизма сглаживания каустических особенностей в поле интенсивности волны;
9) вывод и исследование уравнений для среднего поля волны и функции когерентности в статистически анизотропной случайной срсдс;
10) установление и исследование связи эйлеровых и лаграижевых вероятностных характеристик скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства;
11) исследование эффектов относительной молекулярной диффузии;
12) исследование флуктуаций плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме;
13) исследование влияния инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде;
14) исследование закономерностей турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса.
В основе диссертации лежат работы [88-123].
Полученные в диссертации физические результаты представляют как чисто научный, так и практический интерес. Во-первых, они могут быть использованы при описании свойств оптических и акустических волн в случайных средах. что весьма актуально в связи с возникающими в приложениях задачами локации в турбулентной атмосфере, томографии случайно-неоднородного океана, задачами инженерной геодезии. Во-вторых, усиливающееся антропогенное воздействие па атмосферу и водную среду делает актуальным исследование физических закономерностей поведения частиц (например, оседание дымового аэрозоля) и пассивной примеси для решения экологических и метеорологических проблем.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения.
В первой главе отмечены причины, по которым исследование свойств экспериментально наблюдаемых характеристик волны (интенсивности, среднего числа каустик и т.д.) удобно проводить с помощью статистики якобиана преобразования J эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжевы. За-
15
тем выведены стохастические уравнения для якобиана и кривизны V волнового фронта, а также уравнение Фоккера-Плапка для совместной плотности вероятностей якобиана и кривизны волнового фронта.
Комбинированными численно-аналитическими методами (моделированием стохастических уравнений в сочетании с решением уравнения Фоккера-Плапка) исследованы динамические и статистические свойства полей 7(0 и £/(/) (где / - продольная координата). При этом установлено, что эти поля представляют собой квазипериодический процесс со случайными “полупериодами”, равными расстоянию между каустиками. Показано, что статистика поля якобиана 3 и связанных с ним физических параметров волны (интенсивности, среднего числа лучей и т.д.) в значительной мере определяется статистическими свойствами вспомогательной последовательности, равной произведению значений кривизны в точках каустик. Исследование свойств этой последовательности позволило найти асимптотический (на больших расстояниях вдоль луча) закон нарастания статистических моментов модуля якобиана и установить, что моменты модуля якобиана имеют квазипериодический характер, а “амплитуда колебаний” экспоненциально нарастает с расстоянием вдоль луча. Отмечено, что свойства последовательности, составленной из произведений значений кривизны волнового фронта в точках каустик, принципиально важны для анализа поведения реализаций интенсивности в окрестности каустик.
Во второй главе изучена статистика таких экспериментально наблюдаемых геометрических параметров волн, как среднее число лучей, средняя плотность каустик в поперечном сечении случайной среды, траектория лучей в среде. Рассмотрение первого вопроса ведется как с помощью установленной в первой главе асимптотики нарастания лагранжева среднего модуля якобиана, так и моделированием протяженной среды эквидистантной системой случайных фазовых экранов. Этот же метод моделирования использован и для нахождения среднего числа каустик в единице поперечного сечения. Дано качественное объяснение характера зависимости средней плотности каустик от расстояния за случайным экраном и в случайной среде. На основе сравнения результатов моделирования с известными точными результатами для одиночного экрана [40) в Приложении 1
16
устанавливаются адекватность численной модели экрана и точность метода фазовых экранов применительно к рассматриваемым задачам.
В этой же главе найдены вероятности трех- и пятилучевого распространения за случайным фазовым экраном. Полученный результат позволяет, во-первых, оценить область применимости однолучевого приближения, во-вторых, указать начало области многолучевости. Важность данного вопроса объясняется, с одной стороны, тем, что при многолучевом распространении существенно изменяются связи лагранжевых и эйлеровых статистических характеристик случайных нолей. С другой стороны, статистика многолучевости сама по себе является важной физической характеристикой волн в случайной среде.
Вероятностные свойства траекторий лучей в среде определяются па основе решения полученного в этой главе уравнения Фокксра-Планка. При этом неоднородности предполагаются вытянутыми вдоль оси распространения волны. Такая ситуация характерна, например, для воли, распространяющихся в подводных звуковых каналах, поскольку известно [6,23], что океан статистически анизотропен: спектр внутренних волн (одного из основных источников флуктуаций скорости звука в океанической среде) таков, что вертикальный и горизонтальный интервалы пространственной корреляции флуктуаций скорости звука существенно различны: фактически горизонтальный всегда много больше вертикального.
В третьей главе анализируются вероятностные и корреляционные свойства интенсивности в окрестностях каустик. Для этого прежде всего установлены мажорантные свойства последовательности, составленной из произведений значений кривизны волнового фронта в точках каустик, и выяснена связь этой последовательности с интенсивностью волны. Поведение реализаций интенсивности и асимптотическая зависимость плотности вероятностей от величины интенсивности и от расстояния вдоль луча исследованы с помощью свойств упомянутой последовательности. Моменты обратной интенсивности найдены с учетом формул связи интенсивности и якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы [79] из асимптотическою закона нарастания моментов модуля якобиана.
17
Корреляционные свойства флуктуаций интенсивности рассмотрены в частном случае дифракции волны за случайным фазовым экраном. Для этого использована аналогия между дифракцией монохроматической оптической волны за экраном и поведением нагретого газа невзаимодействующих частиц [40]. Это позволило разработать и применить к анализу распространения волн метод ‘‘теплых лучей]’, состоящий, с одной стороны, в учете дифракционного сглаживания каустических особенностей волнового поля, а с другой - в предположении о возможности статистического расщепления геомстроонтичсских и дифракционных средних. Справедливость предложенного подхода проверена в Приложении 2 на примере динамического синусоидального фазовою экрана.
В этой же главе исследовано распространение волн в статистически анизотропных средах, для которых неприменимы классические уравнения для мо-меитных функций воли, выведенные в малоугловом приближении квазиоптики и марковском приближении. В настоящей работе с помощью локального метода Чернова выведены замкнутые ннтегро-диффереициальные уравнения для среднего поля и для функции когерентности волны в среде с вытянутыми вдоль направления распространения волны веретенообразными неоднородностями. Анализ этих уравнений показывает, что они и случае изотропных или сплющенных вдоль оси распространения неоднородностей переходят в известные уравнения [19]. В то же время для вол п. распространяющихся в срсдс с вытянутыми неоднородностями, учтены дифракция на сильно вытянутых неоднородностях и изменение силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны. Это позволило предсказать принципиально новый результат, состоящий в появлении ракурсной чувствительности рассеянного поля.
В четвертой главе рассматривается задача о вероятностных характеристиках скорости и координат частицы примеси в потоке газа, достигающей заранее заданной области пространства (детектора) в течение определенного интервала времени. Поскольку частица участвует в броуновском движении, время достижения детектора случайно. Поставленная задача, с точки зрения гидродинамики, соответствует эйлерову подходу к описанию движения частиц примеси. Отмечено, что лагранжево статистическое описание, в рамках которого определяются вероятностные свойства фиксированной частицы в текущий момент времени,
18
оказывается проще, поскольку сводится к анализу статистических свойств хорошо изученных решений стохастических уравнений Лаижевена [124]. Поэтому цслыо четвертой главы является построение эйлеровых вероятностных распре-•; 4 ' делений с помощью известных лагранжевых. При решении задачи учтено, что взаимодействие частицы с потоком происходит как за счет межмолекулярных взаимодействий (за счет ударов частиц окружающей среды), которое учитывается случайной силой, так и за счет регулярных сил, природа которых зависит от постановки конкретных задач. В частности, для приложений актуален случай, когда регулярная составляющая силы является результирующей гравитационной силы при движении в поле тяжести и кулоиовской силы, действующей на заряженную частицу со стороны электрического поля Земли, а также сила вязкого зрения.
Поставленная задача сводится к краевой для уравнения Фокксра-Планка, пс допускающей в общем случае аналитического решения. Исследована связь решения этой задачи с вероятностными характеристиками традиционной начальной задачи о броуновском движении частицы. Для этого, прежде всего, проведено численное моделирование движения частицы, которое дает наглядное представление о характере движения при различных соотношениях между регулярным сносом и диффузией. Кроме того, проведен расчет вероятностей одно- и двукратного попадания частицы на детектор. При этом рассмотрены случаи, соответствующие различной размерности пространства, в котором движется частица, а также различные варианты формы самого детектора (например, плоский безграничный или ограниченный детектор произвольной формы, либо замкнутый детектор). В последнем случае (для замкнутого детектора) задача решена для источника частиц, находящегося как вне, так и внутри детектора. В результате анализа влияния различных факгоров (соотношение между сносом и диффузией. форма и размеры детектора) сформулированы условия, при которых справедливы найденные связи известных лагранжевых и искомых эйлеровых плотностей вероятностей. Для каждого из исследованных случаев дана наглядная интерпретация зависимости плотности вероятностей скорости частицы от соотношения между параметрами поставленной задачи.
19
В пятой главе изучено движение частиц пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. Вначале рассмотрены эффекты относительной молекулярной диффузии и тесно связанные с ними флуктуации плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме. Цслыо являлось установление связи между вероятностным описанием и реализациями вспомогательного случайного процесса, учитывающего расстояния между частицами. Для упрощения выкладок задача решена в одномерном случае. Наглядной моделью, соответствующей этой ситуации, является сгусток плавучих частиц на поверхности турбулентной жидкости в канале, настолько узком, что можно пренебречь движением и диффузией поперек него. Показано, что в системе координат, начало которой помещено в центр масс сгустка, статистические свойства плотности частиц определяются статистикой случайного расстояния от частицы до центра масс. Анализ соответствующего стохастического уравнения позволил обнаружить эффект стохастической локализации сгустка, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбега-ние частиц, а прижимает их друг к другу.
Далее комбинированными численно-аналитическими методами изучено влияние инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде. При этом отмечено, что возникновение многопотоковости движения частиц аналогично рассмотренному во второй главе явлению многолучевост и. С учетом этой аналогии анализ зависимости времени возникновения многопотоковости от коэффициента турбулентной диффузии и от инерционности частицы проведен па основе исследования свойств якобиана преобразования эйлеровых координат частиц в лагранжевы. Кроме того, знание статистики якобиана позволило исследовать эйлерову статистику обратной к ней величины - плотности сплошной среды или концентрации пассивной примеси.
Изучены закономерности турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса. Типичным примером служит аэрозоль или капли дождя в турбулентной атмосфере. Для решения поставленной задачи выведено уравнение диффузии и обсуждены вопросы о способах визуализации и геометрическом смысле его решений. Далее для случая, когда корреляционная функция вихревого поля скоростей адекватна свойст-
20
вам сильной турбулентности, анализируются следствия полученного уравнения применительно к статистике координат и скорости. В приближении равномерного падения исследовано влияние инерционности частиц на поперечную и продольную дисперсию их скорости, а также на коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Кроме того, подробно исследована зависимость дисперсии скорости частиц и коэффициентов продольной и поперечной диффузии от средней скорости падения частиц. При этом обнаружен физический эффект, состоящий в том, что, несмотря на уменьшение дисперсии скорости с ростом инерционности частиц, коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения: с увеличением скорости падения в вертикальной плоскости диффузия становится сильнее, чем в горизонтальной. Найдены условия применимости диффузионного уравнения.
В заключении сформулированы основные полученные результаты.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Для реализаций поля кривизны волнового фронта в точках каустик существует мажорантная кривая, под которой с любой заданной вероятностью р<\ лежат 100% р реализаций. Это приводит к истончению каустик и уменьшению интенсивности волны в фиксированной лучевой трубке.
2. В области многолучевости в случайно-неоднородной среде моменты модуля якобиана эйлеровых координат луча в лагранжевы с ростом расстояния вдоль луча растут экспоненциально. Это приводит к экспоненциальному нарастанию средней многолучевости, в результате чего нарастает среднее число каустик в единице поперечного сечения.
3. В статистически-анизотропной случайно-неоднородной среде с вытянутыми вдоль оси распространения неоднородностями:
а) плотность вероятностей углов распространения волны имеет локальный минимум в направлении большего масштаба корреляции неоднородностей;
б) выведенные уравнения для первых двух статистических моментов поля показывают, что угловая зависимость рассеянного поля существенно за-
21
висит от параметра анизотропии. В случае слабой анизотропии необходим учет дифракции па сильно вытянутых неоднородностях и изменения силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны.
4. Применение метода "теплых лучей” позволяет правильно учитывать дифракционное сглаживание каустических особенностей волнового поля за случайным фазовым экраном.
5. Плотность вероятностей скорости броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства, удается находить с помощью плотности вероятностей скорости в фиксированный момент времени.
6. Обнаруживается эффект стохастической локализации сгустка примеси в турбулентной среде, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбегание частиц, а прижимает их друг к другу.
7. В турбулентной среде многопотоковость движения частиц пассивной примеси возникает тем раньше и выражена тем заметнее, чем больше коэффициент турбулентной диффузии. К аналогичному результату приводит и увеличение инерционности частицы.
8. В области многопотоковости в турбулентной среде среднее значение обратного квадрата плотности примеси экспоненциально нарастает со временем.
9. При движении инерционных частиц, движущихся в турбулентной среде иод действием сил гравитации и Стокса, дисперсия их скорости уменьшается. Однако коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения. С увеличением скорости падения отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии плавно уменьшается до 1/2.
В работе принята следующая нумерация формул и рисунков: первая цифра - помер главы, в каждой главе нумерация сквозная.
22
Глава 1. ЛУЧЕВОЕ ОПИСАНИЕ СВОЙСТВ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ: СТАТИСТИКА ЯКОБИАНА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЙЛЕРОВЫХ КООРДИНАТ В
ЛАГРАИЖЕВЫ.
1.1. Введение.
Исследование распространения волн в случайно-неоднородных средах существенно упрощается, если пренебречь дифракцией и описывать распространение волны в геометрооптическом приближении [77]. Нелинейность уравнений геометрической оптики существенно затрудняет их анализ. Поэтому при изучении параметров волн обычно пользуются линеаризованными уравнениями
[19,76]. Однако разработанные усовершенствования метода геометрической оп-тики (77-79) позволяют исследовать статистические свойства волн без ограничения на величину флукту аций интенсивности [125-128].
При теоретическом и экспериментальном изучении хаотических движений сплошных сред и анализе распространения оптических волн в случайно-неоднородных средах широко применяются два взаимно дополняющих подхода [79]. В первом из них интересуются лагранжевой статистикой случайных воли и полей. В этом случае координаты движутся вместе с частицами или лучами. В геометрической оптике это статистика флуктуаций фазы, углов прихода и интенсивности в выделенной лучевой трубке. Применительно к сплошной среде это статистика пульсаций скорости и плотности жидкой частицы. Другой подход состоит в определении эйлеровой статистики полей и воли в заданной точке пространства. При этом координаты луча или частицы рассматриваются в неподвижной системе отсчета. Лагранжев подход к анализу эйлеровой статистики оказывается эффективным и позволяет исследовать статистические свойства указанных параметров оптических волн с учетом появления каустических особенностей в поле волны [125-128]. Используя приведенный в [40,79,129) математический аппарат, связывающий лагранжеву и эйлерову статистики, удается достаточно полно описать свойства воли в неоднородной среде.
Преимуществом такого подхода является и то, что стохастические дифференциальные уравнения для лагранжевых координат геометрооптического луча.
23
кривизны волнового фронта и якобиана преобразований эйлеровых координат луча в лагракжевы при определенных условиях [18,130] можно рассматривать как уравнения для марковских случайных процессов и применять к изучению свойсгв геометрических параметров волны аппарат уравнений Фоккера-Планка.
Таким образом, лагранжев подход является эффективным методом исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах, а также движения частиц в турбулентных средах. Поэтому прежде всего исследуем динамические и статистические свойства полей якобиана J преобразования эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжевы и кривизны волнового фронта. Заметим, что якобиан преобразования координат имеет ясный физический смысл. В задачах распространения волн его естественно назвать расходимостью [76.85] лучевой трубки, поскольку он равен отношению сечения лучевой трубки в среде к начальному сечению. При описании движения частиц примеси в турбулентных потоках якобиан J выражает степень сжатия (разрежения) среды.
В основе данной главы лежат работы [93,99,103,1041.
1.2. Лагранжевы и эйлеровы координаты луча. Стохастические уравнения для якобиана преобразования.
В геометрооптическом приближении при анализе распространения воли в случайно-неоднородных средах существенную информацию об экспериментально наблюдаемых характеристиках воли (таких, например, как среднее число каустик, среднее число лучей и т.д.) дает якобиан преобразования J эйлеровых координат луча в лагранжевы. В силу аналогии между поведением оптической волны и гидродинамического потока невзаимодействующих частиц якобиан преобразования координат частиц У точно так же позволяет изучать характеристики сгустков частиц примеси в хаотически движущихся потоках, а также среднее число потоков. Тем не менее, для определенности будем пока придерживаться “волновой” терминологии.
Ниже статистика якобиана и связанных с ним величии исследованы в наиболее простом случае двумерной задачи (г - координата вдоль первоначального направления распространения волны, единственная поперечная координата - *). Двумерная модель позволит избежать громоздких выкладок, связанных с трех-
24
мерностью реальной среды. Известно [131], что каустике соответствует бесконечная кривизна волнового фронта. В то же время, эволюция якобиана в трехмерной случайной среде происходит с существенно разными скоростями по разным поперечным координатам [40,131,132], поэтому две главные кривизны в общем случае никогда не совпадают. Это означает, что фокусировка лучей имеет преимущественно одномерный характер, и двумерная модель позволяет выявить не только качественные, но и количественные особенности поведения якобиана и интенсивности воли в области, где формируются каустики и наблюдаются сильные флуктуации интенсивности.
В дальнейшем систему координат (г, х) будем считать фиксированной (эйлеровой), а также введем движущуюся вместе с лучом (лагранжеву) поперечную координату а, в качестве которой возьмем точку оси х, из которой вышел луч при 1 = 0 (рис. 1.1). Тогда Х(г, а) - уравнение траектории гсометрооптичс-ского луча, выходящего из точки с эйлеровой координатой (г = 0, х = а).
Якобиан преобразования эйлеровых координат в лагранжевы при этом равен
т/ ч дХ (г,а)
•/(г'а)=-^~ <и>
Заметим, что эта величина имеет наглядный физический смысл: она равна отношению сечения лучевой трубки з среде к начальному сечению. Отметим причины, по которым нас будут интересовать свойства якобиана.
Во-первых, положительность J в любой точке плоскости, перпендикулярной оси распространения волны, означает, что между лагранжевой и эйлеровой координатами имеется взаимно-однозначное соответствие, т.е. распространение волны является однолучевым. Знакопеременность J соответствует случаю многолучевого распространения.
В приближении геометрической оптики каустика характеризуется равенством нулю якобиана преобразования координат, поэтому среднее число каустик, которые образуются во всех лучевых трубках на единичном отрезке поперечной оси х, равно отношению числа корней уравнения
7(г =С0Я5/,х) = 0 па достаточно длинном отрезке хе[0,£] к длине этого отрезка.
25
Рис. 1.1. Эйлерова система координат {г, х). Луч Х(г, а) выходит из точки (г = 0, х = а).
26
Во-вторых, изменение интенсивности волны определяется изменением поля якобиана, поскольку из закона сохранения энергии следует, что интенсивность обратно пропорциональна модулю якобиана.
В-третьих, можно показать [40,79], что эйлерово среднее число приходящих в данную точку лучей первоначально плоской волны равно среднему ла-гранжеву модуля якобиана.
Из сказанного следует, что для анализа статистики многолучевого распространения волн необходимо прежде всего знать свойства якобиана преобразования координат. Динамические и статистические свойства этого важного параметра оптической волны в случайной среде и будут изучены в первой главе.
В первую очередь получим уравнения для якобиана. Для этого запишем в малоугловом приближении лучевые уравнения [76]:
ёХ „ ёУ ,
— = У, — = а(г,Х), (1.2)
аг аг
где К(г, а) - угол прихода луча (проекция на ось х единичного вектора касатель-
ной к траектории луча), а случайная функция а(г, х) связана с флуктуациями диэлектрической проницаемости ф, х) равенством
. ч 1 д£(г,х)
а(г,х) =---------—-.
1 7 2 дх
Продифференцировав уравнения (1.2) по я, с учетом обозначений
сIV ~ да V
-.V.
и определения 3 (1.1), получим
У- = й, ^- = р(г,ху. (1.3)
аг аг
Отмстим, что физический смысл вошедшей сюда величины 0 - кривизна волнового фронта.
При анализе статистических свойств якобиана для одного фиксированного луча зависимость функции /? от поперечной координаты можно не учитывать, поэтому здесь аргумент х опустим. Будем считать р(г) гауссовым дельта-коррелированным случайным полем с нулевым средним, таким, что
</?(*)/?(*+ <Г)> = 2£%),
27