Многофотонные переходы в кулоновском континууме

Содержание
Введение 7
1. Обобщенные штурмовские разложения КФГ 22
1.1. Штурмовское разложение КФГ со свободными параметрами. Симметричный ряд.................*............................ 22
1.1.1. Выражение для ядра £кк,........................... 22
1.1.2. Разложение КФГ на резонансную и потенциальную части..................................................... 27
1.2. Штурмовское разложение КФГ со свободными параметрами. Несимметричный ряд............................................ 31
(ДГ\
1.3. Сходимость М\{ -рядов со свободными параметрами .... 34
2. Двухфотонные формулы Гордона 45
2.1. Формулы Гордона и проблема расчета двухфотонных переходов ........................................................ 45
2.2. Матричные элементы иеупругих двухфотонных переходов . 50
2.3. Двухфотонные формулы Гордона для связанно-свободных переходов.................................. 55
2.4. Поляризуемости возбужденных состояний.................... 60
2.4.1. Точные аналитические результаты для
компонент тензора поляризуемости .................. 60
2.4.2. Поляризуемости в предельных областях.............. 66
2.5. Численные данные для штарковского сдвига возбужденных уровней....................................................... 84
2.6. Динамические поляризуемости щелочных атомов при надпо-роговых частотах.............................................. 85
3
2.7. Заключительные замечания................................... 95
3. Эффекты высших порядков во взаимодействии атомов с внешними полями 98
3.1. Нелинейные восприимчивости атомов в области частот выше порога ионизации............................................... 98
3.1.1. Генерация третьей гармоники.........................102
3.1.2. Динамические гипериоляризуемости: общий анализ . 108
3.1.3. Динамические гипериоляризуемости: численные результаты ..................................................... 115
3.2. Магнитоэлектрические восприимчивости
атомов.....................................................132
3.2.1. Теория возмущений для квазиэнергии атома в пере-
менном электрическом и постоянном магнитном нолях 134
3.2.2. Восприимчивости 72А:,2п+1 и постоянная Верде .... 135
3.2.3. Восприимчивости 72*,2п и постоянная Коттона - Мутона 136
3.2.4. Поправки к сечению фотоионизации в магнитном иоле 141
3.2.5. О границах применимости теории возмущений и возможности экспериментального наблюдения магнито-
электрических эффектов .............................148
4. Поляризационные эффекты в ионизации атомов 152
4.1. Редукция биполярных гармоник..............................152
4.1.1. Общие замечания................................... 154
4.1.2. Формулы редукции для биполярных гармоник с произвольными рангами........................................157
4.2. Угловое распределение фотоэлектронов в двойной фотоионизации ....................................................... 160
4.2.1. Общие равенства................................... 160
4.2.2. Угловая зависимость параметров а...................162
4.3. Эллиптический дихроизм и угловое распределение электронов в двухфотониой ионизации атомов ..........................166
4.3.1. Феноменологический анализ .........................167
4
4.3.2. Явные выражения для параметров углового распределения .............................................................174
4.3.3. Аналитические результаты для 5-потенциала 181
4.3.4. Численные результаты для цезия и водорода ...... 183
4.3.5. Заключительные замечания......................... 191
4.4. Поляризационные эффекты в трехфотонной ионизации водорода ...................................................... 193
4.4.1. Общие формулы.....................................194
4.4.2. Расчет амплитуды многофотонных переходов в непрерывный спектр........................................................198
4.4.3. Численные результаты..............................200
4.5. Вклад высших мультиполей в вероятность многофотонной ионизации поляризованных атомов...............................205
4.5.1. Многофотонная ионизация атомов из поляризованных состояний............................................................206
4.5.2. Влияние поляризационных мультииолей высших порядков на вероятность многофотонной ионизации . . 209
4.5.3. Инвариантные параметры сечения двухфотонной ионизации ...............................................................211
5. Двухфотонные тормозные процессы при рассеянии на атомах 218
5.1. Поляризационно-угловая структура сечений двухфотонных тормозных процессов...........................................218
5.1.1. Общие формулы..................................222
5.1.2. Парциально-волновое разложение амплитуды.......224
5.1.3. Эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма
в свободно-свободных переходах..................227
5.1.4. Циркулярный дихроизм в классическом тормозном излучении .............................................................234
5.2. Двухфотонные переходы в кулоновском континууме 241
5.2.1. Двухфотонные |р^) —► |р^) переходы.............241
5.2.2. Двухфотонные \Е1) —* |Е'1') переходы .............244
5
5.3. Асимптотический анализ амплитуд неунругих двухфотонных переходов......................................................248
5.4. Поправки к резерфордовскому рассеянию в присутствии электромагнитной волны.............................................258
5.4.1. Устранение сингулярностей в амплитуде упругого рассеяния ....................................................258
5.4.2. Случай короткодействующего потенциала..............261
5.4.3. Поляризационная зависимость сечения................261
5.4.4. Анализ предельных случаев..........................264
5.5. Численные результаты для кулоновского потенциала и обсуждение ......................................................267
5.5.1. Частотная и энергетическая зависимость радиальных матричных элементов........................................267
5.5.2. Угловые распределения и дихроизм в вынужденных тормозных процессах........................................273
Заключение 284
Приложение 286
П1. К выводу обобщенного штурмовского разложения КФГ . . . 286
П2. Редуцированная КФГ со свободным параметром.................289
ПЗ. Асимптотики гииергеометрических
функций 2^1 иР2...........................................290
П4. Сходимость обобщенного штурмовского ряда для амплитуды
трехфотонной надпороговой ионизации.......................291
П5. Явные выражения для полиномов <р^ и ф8^'1..................295
П6. Рекуррентные соотношения для функций ^.....................296
П7. О вкладе промежуточных состояний дискретного спектра атомов в составные матричные элементы теории возмущений . 298 П8. Формулы приведения для биполярных гармоник с малыми
рангами...................................................301
П9. Параметры углового распределения электронов в двухфотонной ионизации .................................................303
б
П10. Поляризационно-угловая зависимость сечения вынужденного 2ВгЭ электрона на атоме.....................................304
П11. Расчет интегралов в амплитудах двухфотонных свободносвободных переходов............................................309
П12. Аналитическое продолжение амплитуд
двухфотонных свободно-свободных переходов на область дискретного спектра...........................................313
П13. Суммирование парциальных рядов для
двухфотонных свободно-свободных переходов в низкочастотной и борновской области...................................314
П14. Выделение расходимостей в амплитуде
упругого двухфотонного перехода в кулоновском континууме 316
Литература 318
Введение
Различные аспекты взаимодействия света с веществом являются предметом экспериментального и теоретического исследования на протяжении всей истории развития физики. Фундаментальную роль в этой проблеме играет взаимодействие излучения с изолированными атомными системами как с простейшими хмикросконическими объектами, которое в существенной степени определяет и взаимодействие на макроскопическом уровне. Неспособность классической физики последовательно описать излучение, поглощение и рассеяние света атомами стала одной из причин создания квантовой теории. Соответственно, среди первых квантовомеханических приложений было исследование однофотонных процессов взаимодействия атомов с электромагнитным полем: фотоэффекта, излучения и поглощения света атомом и тормозного излучения. Квантовой теорией было предсказано также существование многофотонных процессов, в которых в одном элементарном акте взаимодействия происходит поглощение или испускание нескольких фотонов. Общее результаты для простейших из них — рассеяния света на атоме [1], двухфотонного распада [2], двухфотонного тормозного излучения [3) — были получены уже в 20-30-е гг. прошлого века. Однако систематического исследования многофотонных процессов в силу их крайне малой вероятности при использовании обычных оптических источников длительное время не проводилось.
Положение изменилось с созданием квантовых генераторов излучения, поскольку высокая интенсивность световых пучков, достигаемая в них, сделала возможным не только наблюдение, таких процессов как многофотонная ионизация, генерация гармоник, вынужденное комбинационное рассеяние, но и практическое их использование. С другой стороны, прогресс в экспериментальной технике сделал возможным регистрацию и количе-
8
ственное исследование некоторых спонтанных, происходящих без внешнего источника излучения, многофотонных процессов (см., например, [4])), считавшихся экзотическими во времена создания квантовой механики. Всё это вызвало бурное развитие области атомной физики, изучающей многофотонное взаимодействие излучения и вещества.
Первоначально создаваемые лазерными источниками поля не достигали по амплитуде напряженности F внутриатомных значений Fat ~ 0.5 • 109В/см, но были достаточно велики для проявления нелинейных эффектов в фотон-атомном взаимодействии, F < Fat. В настоящее время такие поля называют умеренными (“moderate” в англоязычной терминологии). Хотя с середины 1980-х гг. в лазерных импульсах достигнуты сильные и сверхсильные поля, в которых напряженность электрического поля может превосходить внутриатомные значения F > Fat) однако и в настоящее время значительная часть экспериментальных и теоретических работ направлена на исследование взаимодействия атомов с излучением умеренной интенсивности, а также спонтанных процессов. Существенным при их теоретическом описании является возможность считать воздействие поля волны возмущением и анализировать многофотонные процессы, разлагая их амплитуды и атомный отклик в ряд но степеням F. Особое значение имеет исследование многофотонных процессов в одноэлектронных атомных системах: в кулоновских, связанных короткодействующим потенциалом, а также в сложных атомах с одним валентным электроном, рассматриваемых в одноэлектронном приближении, поскольку в этом случае удается получить аналитические результаты или провести глубокие аналитические преобразования в общих формулах для амплитуд и восприимчивостей. Ценность аналитических результатов обусловлена тем, что они позволяют в явном виде проиллюстрировать общие закономерности в атомных фотопроцессах и являются опорными при построении и проверке правильности приближенных моделей в задачах о фотон-атомном взаимодействии.
Важной современной проблемой физики взаимодействия излучения с атомами является исследование процессов, которые определяются многофотонными переходами в непрерывном спектре. Мы относим к ним, наряду с собственно тормозными процессами, те, в которых непрерывному спектру
9
принадлежат энергии промежуточных состояний (энергетические параметры функций Грина). Актуальность их изучения обусловлена прогрессом в лазерных экспериментах, позволившим наблюдать атомные фотопроцессы при надиороговых частотах и учитывать влияние поляризации на угловые распределения свободных частиц. Подчеркнем, что особенностью много-фотонных переходов является существенный вклад в их амплитуду промежуточных состояний непрерывного спектра: часто используемое приближение, основанное на учете только состояний дискретного спектра, в этом случае становится некорректным, так как приводит к расходимостям.
Целью диссертации является развитие новых методов теории многофотонных процессов в непрерывном спектре атомов (атома водорода и сложных атомов в одноэлектронном приближении) и получение на их основе новых конкретных результатов. Для этого разрабатываются эффективные методы аналитических и численных расчетов многофотонных процессов, применимых в частности, в области высоких частот электромагнитного поля и специальная техника исследования поляризационно-угловых зависимостей в процессах со свободными частицами. На их основе проводится исследование энергетических, угловых и поляризационных зависимостей в целом ряде конкретных многофотонных процессов в атомах, при этом ставится задача получить новые аналитические и количественные результаты.
Общая схема расчета многофотонных процессов хорошо известна. На первом этапе необходимо получить общие формулы теории возмущений для атомных параметров. Для этого был предложен ряд вариантов нестационарной теории возмущений, удобных для расчета поправок высших порядков [5]. Их отличие друг от друга заключается в технических приемах, применяемых для правильного учета нормировочных и секулярных членов, что представляет значительную трудность в стандартном варианте нестационарной теории возмущений, разработанной Дираком. В случае периодической зависимости внешнего поля от времени наиболее целесообразно использовать формализм квазиэнергетических состояний [б, 7] и квазистационарных (распадающихся) квазиэнергетических состояний [8, 9] и теорию возмущений для них. При таком подходе, в частности, не возникает упомянутых сложностей с секулярными и нормировочными членами.
10
В целом, в настоящее время задачу развития формальных методов нестационарной теории возмущений в случае монохроматического внешнего воздействия можно считать решенной.
Вторая проблема состоит в развитии математического аппарата, позволяющего вычислять составные матричные элементы теории возмущений, которые имеют следующий общий вид
ное и конечное состояния с энергиями (?£ — атомная функция
Грина, которая может быть представлена спектральным разложением
по состояниям дискретного и непрерывного спектра атома.
Первый шаг в вычислении (В.1) состоит в интегрировании по угловым переменным, что является одним из известных приложений теории неприводимых тензорных операторов. Данная задача является особенно простой, если начальное |г) и конечное |/) состояния (которые могут принадлежать как дискретному, так и непрерывному спектру) имеют определенный орбитальный момент (фі = ЯіУІіТПі, = а ДЛЯ 011еРат0Ра ВЗаимОДвЙ-
ствия частицы с волной можно ограничиться дииольным приближением
А
14 ~ (е*р). Раскладывая тогда функции Грина по сферическим функци-
легко “отделяем углы” и сводим задачу к вычислению радиальной части матричных элементов
М{Р = <Я/| Ут^{Еі + їшя-і)... У2§11(Еі + |Яі> . (В.4)
Наиболее детально методы расчета матричных элементов разработаны для кулоновской задачи. Использовался целый ряд альтернативных подходов (различные модификации метода интегрирования неоднородных диф-
(В.2)
ЯМ
ОеМ = У2ёь(£;г,г')уш (£) у*ш (~) , (в.з)
Ш
11
ференциальных уравнений для поправочной функции 1-го порядка нестационарной теории возмущений, алгебраические подходы на основе 0(4)-симметрии кулоновской задачи и др.), но наиболее эффективным средством вычисления спектральных сумм является использование явного выражения для функции Грина g^(£) уравнения Шредингера с кулоновским гамильтонианом. Наличие удобного, подходящего для данной задачи представления функции Грина часто является главным условием успешного проведения аналитических или численных расчетов, поэтому с середины 60-х годов, когда начались интенсивные исследования воздействия лазерного излучения на атомы, по настоящее время получены их различные варианты. Подробное обсуждение различных представлений кулоновской функции Грина (КФГ) и особенностей их использования можно найти, например, в [10, И, 12].
В многофотонных расчетах наиболее часто используется разложение g^(E\r}rf) по функциям Штурма кулоновской задачи [13]:
а(д,г, г)-^т(к + 2ит+1 + 1_ч], )
где
5;.;(2г/^) = ~ (2г/и)1 ехр(—г/и) 1%+1{2г/и), (В.б)
Ь„ — обобщенный полином Лагерра [14], V = (-2Е - г0)“1;/2, т] = Zv. Штурмовское разложение полезно в некоторых аналитических преобразованиях, но особенно широкое применение оно нашло при проведении прямых численных расчетов радиальных составных матричных элементов высших порядков теории возмущений. В этом случае интегрирование по радиальным переменным в (В.4) выполняются аналитически и результаты представляются в виде кратных рядов гипергеометрических полиномов, которые быстро сходятся при иодпороговых (Е < 0) значениях энергии промежуточных состояний (т.е. энергий функций Грина#/(£;г, г')). Однако при надпороговых энергиях, как сам ряд (В.б), так и ряды для матричных элементов, вычисленные с использованием (В.б), становятся расходящимися. Аналогичные трудности в надпороговых задачах, связанные с осцилляциями функций непрерывного спектра, возникают и при использовании других методов вычислений радиальных матричных элементов.
12
Штурмовское разложение радиальной КФГ возникает также в расчетах с потенциалом Фьюса (кулоновский потенциал с добавочным центробежным членом ~ г"2 [11|), которым моделируется воздействие остова на валентный электрон. Данный подход, как известно, позволяет в одноэлектронном приближении рассчитывать многофотонные процессы в сложном атоме. Чтобы получить из (В.5) функцию Грина уравнения Шредингера с потенциалом Фьюса, следует заменить квантовое число I на нецелый параметр А/. Параметр А/ считается гладкой функцией энергии, определяемой интерполяцией по экспериментальному спектру атома. При надпороговых значениях частот, как и в кулоновском случае, штурмовское разложение функции Грина для модельного потенциала приводит к расходящемуся ряду для матричных элементов.
В первой главе настоящей диссертации предложены два новых представления КФГ, обобщающие штурмовское разложение (В.5). В разд. 1.1, основываясь на полноте штурмовских функций с масштабированным аргументом, КФГ представлена в виде ряда
Параметры а, а' в нем являются свободными (произвольными), их можно выбирать в соответствии со спецификой задачи. Существенной особенностью представления (В.7) является факторизованная зависимость членов ряда (В.7) от г, г' и энергетического параметра V. Вся зависимость от энергии Е содержится в ядре которое не зависит от радиальных
переменных и выражается через гипергеометрические функции. Эти обстоятельства придают обобщенному штурмовскому разложению значительную гибкость при использовании как в аналитических, так и в численных приложениях. В разд. 1.2 предложен другой вариант разложения КФГ в двойной ряд по штурмовским функциям со свободными параметрами, эффективный при численных, в том числе при надпороговых, расчетах. Свойства этого разложения (в частности, конечная внутренняя сумма) делают операции с ним не более сложными, чем со стандартным штурмовским рядом. Наличие свободных параметров в обобщенных штурмовских разложениях ставит задачу их оптимального выбора. В разд. 1.3 исследовано но-
13
ведение далеких членов М^-рядов (для чего потребовалось, в частности, найти неизвестные ранее асимптотики гииергеометрических функций 2^1 и *2). в результате для них получены элементарные выражения, которые позволяют выработать алгоритм выбора свободных параметров, обеспечивающих наиболее быструю сходимость.
Во второй главе новое представление КФГ (В.7) применяется для расчета амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \п1). Исключительная роль кулоновского потенциала в исследовании атомных фотоироцессов обусловлена возможностью получить аналитические выражения для амплитуд и сечений. Так, известные формулы Гордона для матричных элементов (МЭ) дипольных переходов между состояниями водородного атома с произвольными значениями главных квантовых чисел п и п! в классической спектроскопии служат теоретической основой для анализа сил осцилляторов и сечений однофотонных процессов. Изучение многофотонных процессов взаимодействия электромагнитного излучения с атомами (уже в случае двухфотонных процессов) принципиально усложняется необходимостью расчета сумм по промежуточным состояниям и существенной (резонансной и пороговой) зависимостью от новой переменной — частоты и внешнего монохроматического излучения. Несмотря на большое число работ, посвященных двухфотонным процессам (их обзор проведен в разд. 2.1), до недавнего времени не было получено замкнутых аналитических выражений для амплитуд двухфотонных переходов, для которых, по-видимому, только и возможны обобщения формул Гордона, выражающихся через известные специальные функции. По существу, простые аналитические результаты в виде комбинаций гииергеометрических функций ограничивались случаями переходов из основного состояния в возбужденные и в континуум, переходами между низковозбужденными состояниями (до п = 4) и расчетом упругих (с п' = п) процессов. В разд. 2.2 проведено обобщение формул Гордона на случай двухфотонных процессов, которое оказалось возможным с использованием обобщенного штурмовского разложения (В.7). Выбор параметров а = п, а' = п1 позволяет кардинально упростить процедуру расчета двухфотонных МЭ и представить двухфотон-
14
ные формулы Гордона в замкнутом аналитическом виде через 4 функции £кк, с различными к, к'. В разд. 2.3 с помощью аналитического продолжения но энергии конечного состояния найдены двухфотонные формулы Гордона для связанно-свободных переходов. Таким образом, МЭ двухфотонных переходов в континуум |п1) —► | Е1') также представляются в виде линейной комбинации не более четырех коэффициентов разложения (В.7) (с учетом замены п' —> iZ/p в них). В разд. 2.4 детально проанализирован случай пг = п: вычислены элементы штарковской матрицы уровня с произвольным п и получены простые формулы для скалярной, векторной и тензорной поляризуемостей, наиболее естественно обобщающие выражение для поляризуемости основного состояния [15] на случай произвольных гг, а также проведено детальное исследование асимптотик поляризуемостей в наиболее существенных предельных областях значений переменных. В разд. 2.5 аналитические выражения (диагональных и недиагональных) поляризуемостей использованы для количественных расчетов штарковского сдвига и уширения возбужденных (с п < 10) водородных уровней. В разделе 2.6 рассчитываются поляризуемости атомов щелочных металлов при надпороговых частотах в рамках ММП Фыоса.
В третьей главе исследованы нелинейные восприимчивости, которые определяются процессами высших порядков теории возмущений по взаимодействию атомов с внешним нолем: коэффициент генерации третьей гармоники (разд. 3.1.1), динамическая гииерполяризуемость (разд. 3.1.2), магнитоэлектрические восиримчивости (разд. 3.2). Имеющиеся в литературе сведения о них весьма ограничены даже для водородного атома и в большинстве случаев относятся к основному состоянию и подпороговым значениям частот. В значительной мере такая ситуация объясняется вычислительными трудностями. Между тем, исследование ридберговских атомов (энергия ионизации которых мала) и использование ультрафиолетовых гармоник лазеров в экспериментах делает актуарным расчеты наднорого-вых атомных восприимчивостей. В частности, вычисление динамической гипериоляризуемости в надпороговой области частот позволяет найти поправки к вероятности фотоионизации, что представляет интерес при анализе явления стабилизации распада атома в высокочастотном иоле с ро-
15
стом интенсивности поля, обнаруженного экспериментально в 1993 г. [16]. Методы вычислений матричных элементов (В.4), развитые на основе обобщенных штурмовских разложений, введенных в первой главе, позволили провести детальные расчеты нелинейных восприимчивостей основного и возбужденных состояний водорода и щелочных атомов в области частот, существенно превышающих порог ионизации.
Во второй части диссертации (главы 4,5) рассматриваются многофотонные процессы ионизации и тормозные процессы. В них конечное состояние (ионизация) или начальное и конечное состояния (тормозные процессы) принадлежат непрерывному спектру и являются состояниями рассеяния с определенными значениями импульса частицы на бесконечности. В процессах со свободными частицами возникает новая (в сравнении со связанно-связанными переходами) фундаментальная проблема исследования угловых распределений. В техническом отношении наличие в задаче дополнительных векторов р,*, pf значительно усложняет расчет амплитуд процессов уже на этапе интегрирования по угловым переменным. Применение стандартных методов теории углового момента — мультипольных разложений и теоремы Вигнера-Эккарта — приводит к появлению в выражениях для сечений и вероятностей процессов трудно анализируемых конструкций из тензорных произведений. Рассмотрим для примера двухфотонный переход в атомном континууме между состояниями И
М(ег,Ъ,£) = - (^_)| (е2 • У')СИг',г)(е1 • V) |^+’) . (В.8)
Используя мультииольное разложение наряду с функцией Грина (В.З) также для функций начального и конечного состояния (см. (5.10) ниже) и ВЫПОЛНЯЯ необходимые вычисления, получим ДЛЯ амплитуды М(е2,в1,£) выражение следующего вида
2
М(е2,еь£) = ЕЕЛ'ИЬве, ь-{«■(»') «ади, (в.9)
с=0 Ш
где Лст выражаются через приведенные МЭ и фазы рассеяния (см. (5.11) ниже). Обычно выражения типа (В.9) рассматриваются как конечный результат аналитических преобразований геометрической части амплитуд методами квантовой теории углового момента, а в дальнейшем проводится
16
численный расчет тензорных конструкций в (В.9) в выбранной некоторым подходящим образом системе координат. Очевидно, что при этом возникают громоздкие и неинвариантные но форме выражения, затрудняющие исследование поляризационных и угловых зависимостей в атомных фото-нроцессах.
Во второй части настоящей диссертации ставится цель развить новые методы в квантовой теории углового момента, позволяющие находить максимально простые выражения для геометрической части амплитуд процессов со свободными и поляризованными частицами и на их основе провести анализ поляризационно-угловой зависимости в ряде конкретных ионизационных и тормозных процессов.
В четвертой главе (разд. 4.1) предложена специальная техника, которая дает возможность преобразовывать тензорные конструкции вида (В.9) к линейной комбинации скалярных произведений векторов. Основной элемент этой техники, фактически являющейся дополнением соответствующего раздела теории неприводимых тензорных операторов, состоит в редукции биполярных гармоник {У/'(и7) ® Жп)}гм> т.е. в их разложении в конечную сумму “минимальных” гармоник с тем же самым внешним рангом Ь) но с минимально возможными рангами внутренних тензоров. Это позволяет в конечном счете найти компактные инвариантные выражения для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных переходов с разделенными “геометрическими” и “динамическими” частями. Такая форма записи имеет существенные преимущества при анализе поляризационных эффектов в процессах со свободными и поляризованными частицами.
Результаты, полученные в разд. 4.1, применяются в последующих разделах к исследованию поляризационных эффектов в ряде конкретных атомных фотопроцессов. Основное внимание уделено эффектам дихроизма, т.е. различию сечений при левой и правой (в общем случае эллиптической) поляризации светового пучка. Общий анализ таких эффектов, основанный на соображениях пространственной и временной симметрии, проведен в [17]. В этой работе показано, что в многофотонной одноэлектронной ионизации атома идентичными фотонами для дифференциального сечения существует эффект эллиптического дихроизма (ЕО), т.е. сечение зависит от знака
17
степени циркулярной поляризации £ эллиптической (0 < |£| < 1) волны. В однофотонном тормозном излучении и поглощении и двухэлектронной ионизации имеет место эффект циркулярного дихроизма (СВ), а дифференциальное сечение вынужденного многофотонного тормозного излучения и двухэлектронной ионизации содержит члены, описывающие как СБ, так и ЕБ.
В разделах 4.2-4.5 анализируются эффекты дихроизма в ионизации атомов. Первоначально СБ был детально изучен (экспериментально и теоретически) главным образом в процессах однофотонной одноэлектронной ионизации. В этом случае СБ отличен от нуля только при ненулевой поляризации атома [18] и/или при учете спиновой ориентации фотоэлектрона [19]. Можно показать, что СБ-члены в этом случае имеют следующую форму:
Дсо~£к-Д или £ (к • р)(р • Л), (В.10)
где Л есть спин фотоэлектрона или угловой момент атома.
В более сложном случае однофотонной двухэлектронной ионизации многоэлектронного атома СБ отличен от нуля и для неноляризованных атома и фотоэлектронов с неравными импульсами р ^ р', поскольку дифференциальное сечение содержит СБ-член вида
Дсо = /(?,?/, сое 0)£ к • [р х р'],
где к - волновой вектор, СО8 0 - угол между р и р;. Этот эффект впервые обсуждался в [20] и измерен экспериментально [21, 22]. В разделе 4.2 проведен подробный анализ углового распределения фотоэлектронов и СБ в однофотонной двухэлектронной фотоионизации неиоляризованного атома (без учета спина фотоэлектронов): сначала на основе соображений симметрии записана общая структура дифференциального сечения, затем окончательные результаты получены с использованием формул приведения биполярных гармоник. Полученные выражения полностью описывают общую структуру углового распределения в двойной ионизации атома с угловым моментом </о и упрощают результаты работ [23, 24].
В разд. 4.3 исследовано угловое распределение электронов при двухфотонной ионизации свободно ориентирующегося атома с произвольным
18
угловым моментом световым пучком произвольной поляризации. Найдена общая, не зависящая от внутренней динамики (схемы связи и т.д.) форма углового распределения, которая содержит шесть атомных параметров, явно выраженных через редуцированные МЭ второго порядка. Показано, что в угловом распределении фотоэлектронов возникает эллиптический дихроизм, поскольку одно из слагаемых в дифференциальном сечении содержит множитель 1ш(е*р)2 ((- степень линейной поляризации). Общая тео-
рия проиллюстрирована численными расчетами для двухфотонной ионизации атомов водорода и цезия.
В разделе 4.4 рассмотрены поляризационные эффекты в трехфотонной ионизации атома водорода. Расчеты проведены с использованием обобщенных штурмовских разложений КФГ, которые и в случае многофотонной ионизации с N > 2 позволяют получать надежные результаты при частотах, во много раз превышающих порог ионизации. Показано, что ЕВ в трехфотонной ионизации имеет значительную величину как при надпоро-говом, так и при пороговом режиме процесса.
В разд. 4.5 исследуется многофотонная ионизация поляризованных атомов. Получены аналитические выражения для инвариантных атомных параметров, определяющих зависимость сечения от мультиполей поляризации исходного состояния. Выполнены численные расчеты сечения двухфотонной ионизации атомов водорода и щелочных металлов из поляризованных Р- и Р-состояний.
В пятой главе рассматриваются тормозные процессы, обусловленные двухфотонными переходами электрона в атомном континууме. Процессы рассеяния электронов на атомах и ионах, сопровождающиеся излучением и поглощением фотонов, составляют обширный раздел атомной физики. Начало квантовому описанию таких процессов положило исследование Зо-ммерфельдом (1931 г.) спонтанного тормозного излучения (Вгет^гаЫи!^, ВгБ) при рассеянии электрона на кулоновском центре [25]. В нерелятивистском дипольном приближении сечение ВгБ с испусканием фотона с частотой и и вектором поляризации е в направлении к
= (В.11)
(27г)4с3 р
19
определяется матричным элементом
М = (ф^\ е* • V |^р+)) (В.12)
перехода между состояниями непрерывного спектра ф^ и ф^, ^ электрона в статическом атомном потенциале и (г). При рассеянии на кулонов-ском центре треххмерный МЭ М вычисляется через гипергеомстрические функции 2^1 (а, Ь;с;х) [25. 26]. Более того, в этом случае оказывается возможным аналитически проинтегрировать сечение (В.11) но направлениям рассеянного электрона и выразить спектральное распределение ВгЭ сіст/(ки в замкнутой форме через производную квадрата модуля функции 2^1 по аргументу (формула Зоммерфельда [25, 27]). Для потенциала и(г) общего вида расчет сечения (В. 11) состоит в использовании мультипольного разложения функций ф^ (см. ниже (5.10)). В этом случае парциальное разложение амплитуды М, удобное для анализа поляризационно-угловой зависимости сечения, имеет вид (см. гл. 5)
м = <3{р,р', 9) (е* • р) + (2(р',р, 9) (е* • р'), (В.13)
(^ІР,Р',9) =
9 2 001
= і—'ї===. £ [еіА,-(Іі-и(Е\ Е) + еІЛ‘Чі+и(Е', Е)} Р[1)(созв). (В.14)
ТПу/рУ “
Здесь Ді± = 6і±і(рг) + <5/(р), 6і(р) - фазы рассеяния на потенциале (г), Р}1\х) = (й/<Іх)Рі(х) - производная полинома Лежандра Рі{х)) Ег = р,2/2т = Е - Ьо, а йщ{Е\Е) - радиальные МЭ оператора импульса (см. (5.66)). Спектральное распределение (1а/(ко также записывается в виде парциального ряда
£ = 1^7 Етие, Б)? + \Ф-и(Е',Е) |г1. (В.15)
В кулоновском случае этот ряд удается просуммировать непосредственно (см. [28], где аналитически вычислена сумма ряда (В.15), записанного с использованием оператора взаимодействия в ‘форме ускорения”) и воспроизвести формулу Зоммерфельда. Хотя для кулоновского ВгЭ такой подход имеет скорее методический интерес, для потенциала V(г) общего вида
20
парциально-волновой анализ является единственным способом упрощения общих формул (В.И), (В.12) без дополнительных приближений.
Наряду с обычным ВгЭ, при рассеянии электрона на силовом центре возможен и процесс одновременного излучения двух спонтанных фотонов (двойное тормозное излучение, 2Вг8), который в общем виде был впервые рассмотрен Гайтлером и Нордгеймом в 1934 г. (3| как радиационная поправка к обычному ВгБ. Ссылки на современные экспериментальные и теоретические работы по двухфотонным тормозным процессам приведены в начале пятой главы.
В разд. 5.1 проведен парциально-волновой анализ амплитуд спонтанных и вынужденных двухфотонных свободно-свободных переходов электрона при рассеянии на статическом потенциале II(г). Поляризационная и угловая зависимость двухфотонной амплитуды потенциального рассеяния представлена в виде комбинации скалярных произведений импульсов электрона и векторов поляризации фотонов и 5 атомных параметров, содержащих полиномы Лежандра от угла рассеяния и радиальные МЭ, зависящие от начальной и конечной энергии электрона Е и Е'. Это позволило провести общий анализ поляризационной зависимости в двухфотонных тормозных процессах, показать существование в них эллиптического и циркулярного дихроизма и установить общие свойства этих эффектов. Здесь же на примере однофотонного ВгБ демонстрируется классическая природа эффектов дихроизма в тормозных процессах. Интегрированием по классическим орбитам найдено дифференциальное сечение излучения фотона электроном, которое показывает существование СВ в угловом распределении рассеянного электрона в классическом Вй.
В разд. 5.2 аналитически рассчитана амплитуда двухфотонного перехода в кулоновском непрерывном спектре. Результат расчета представлен в виде, который (несмотря на неизбежную громоздкость) является макси-мачьно удобным для аналитических и численных приложений.
В разд. 5.3 подробно исследованы асимптотики амплитуды двойного тормозного излучения, в частности, найдены поправки к борновскому и низкочастотному пределам и квазиклассическая асимптотика.
В разд. 5.4 исследованы упругие переходы в кулоновском непрерыв-
21
ном спектре, которыми определяются поправки к резерфордовскому рассеянию. Аналитически выделены расходимости, которые возникают в амплитудах свободно-свободных переходов при сближении энергий начального и конечного состояний, и показано, что эти расходимости компенсируются в окончательном выражении для поправок к упругому рассеянию. Проанализирована поляризационная зависимость поправок к сечению упругого рассеяния и исследованы предельные случаи.
Раздел 5.5 содержит численные результаты для тормозных процессов в кулоновском потенциале, в частности, для угловых распределений и эффектов дихроизма в двухфотонном тормозном излучении.
В Приложение вынесена часть выкладок и результатов, имеющих математический характер.
Основные результаты гл. 1 опубликованы в статьях [29, 30, 31, 32], гл. 2 — в статьях [32, 33, 34], гл. 3 — в статьях [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41], гл. 4 — в статьях [30, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48], гл. 5 — в статьях [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58].
Везде в диссертации, где не оговорено иное, используются атомные единицы.
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ БГ биполярная гармоника ДП динамическая поляризуемость ДГП динамическая гипериоляризуемость КФГ кулоновская функция Грина МЭ матричный элемент АТ1 надиороговая ионизация СВ циркулярный дихроизм ЕВ эллиптический дихроизм 2РЫ двухфотонная ионизация ЗРЫ трехфотонная ионизация ВгЭ тормозное излучение 2Вг8 двойное тормозное излучение
Глава 1.
Обобщенные штурмовские разложения КФГ
1.1. Штурмовское разложение КФГ со свободными параметрами. Симметричный ряд
1.1.1. Выражение для ядра ^кк.
Нашей целью является вывод разложения (В.7) для g^(E] г, г7) но обобщенным штурмовским функциям с аргументами, содержащими, вместо энергетического параметра V, свободные параметры а, а', которые могут выбираться подходящим образом в каждой конкретной задаче. Заметим, что идея введения свободного параметра в КФГ успешно применялась ранее. В [29] специальная форма одноиараметрического штурмовского разложения g^(£,;r, г7) была использована для аналитического продолжения матричных элементов на область непрерывного спектра (Е > 0 в нерелятивистском случае и \Е\ > тс2 в релятивистском). В [59] было получено однопараметрическое разложение а) для нерелятивистского слу-
чая (см. ниже соотношение (1.10)) на основе альтернативной техники трехчленных рекуррентных соотношений для обратной матрицы кулоновско-го гамильтониана на квадратичио-интегрируемом (£2-) базисе 5&(2г/а). Высокая эффективность этого разложения для анализа двухфотонных МЭ между одинаковыми водородоиодобными состояниями была продемонстри-
23
рована в [60].
Чтобы найти ядро £кк> представления (В.7), используем формальное переразложение штурмовских функций в (В.5) в ряд но полной системе этих же функций с другим значением аргумента, содержащим свободный параметр а,
ос
5И(2г/г/) = ^с„*(а) 5^(2г/а). (1.1)
п=0
Согласно условию ортогональности и нормировки функций 5^(2г/а),
00
1 15Й) = [г5т((2г/а)5^(2г/о)йг = £*т-
Г(А + 21 + 2) А:!
запишем
00
сДа) = ^г~2) /г5ы(2гМЗт{2г/а)<1г . (1.2)
О
С помощью известного интеграла от произведения полиномов Лагерра ([61], формула 6.15.22) коэффициенты спк удается выразить через гипергеомет-рическую функцию с целыми отрицательными верхними параметрами (ги-пергеометрический полином):
Здесь и ниже мы используем обозначения
4аи , 4а'и лЧ
2 ~ _ (си - г/)2! 2 __(а'-г/)2’ ( ^
Подставляя в (В.5) 5^(2г/и) и 5^(2г1 /и) в виде разложения (1.1) со свободными параметрами а, аI и коэффициентами сп*(а), сп^(а/) , приходим к следующему равенству
ёпп7(^ ^)
= л V (2/+2)* ^ 2*+2‘» *) 2*+% (Л А\
где множитель / имеет вид:
24
Последнее выражение может быть записано более компактно, однако именно форма (1.5) оказывается правильной при аналитическом продолжении амплитуд связанно-связанных переходов на область положительных энергий начального или конечного состояния (см. разд. 2.3).
Представив гипергеометрический полином с параметром —п в (1.4) в дифференциальной форме [61]
о
можно просуммировать ряд (1.4) с помощью производящей функции [61] для 2^1 {-п\-к\ 214- 2; г'). В результате преобразований получаем:
Дифференцирование <рп{г) снова приводит к гипергеометрическому полиному
\АМ-гН-2/+2
[гп+2М(і _ 2)-*-2г-2] ) (щ
и используя элементарное тождество
1
(1.7)
где
(1-*о)/(1 -г)
О
25
Интеграл 1П'(г) при го = г дает функцию Аппеля Ег [61|
1п> = 1п‘ (-г) I го=2 = ---^1 (/ +1 -»?, -п', п;+2/+2, /+2 -1?; г/, г/). (1.9)
Из (1.8) очевидно, что при совпадающих свободных параметрах а' = а все производные 1п'(г) по г порядка не выше гь исчезают, если положить го = г. Учитывая также, что при о1 = а в (1.9) первый аргумент Ех обращается в единицу, у = 1, так что функция Аппеля в 1П' переходит в 2^1,
и вводя обозначения п< = тт{п, гс'}, п> = шах{гг,гг'}, можем записать 3^,(1/; а, а) в следующем виде
ё'тЛ*'; а. а) = фГ+2) (^) 2-р1(_п<’* + 1 _ Ч 21 + ^ г)х
/а2 - ^2\п> п>! 2^1 (п> + 1,п> + 2£ + 2; п> +1 + 2 - 7?; 2~:)
I 4а^ У (1 + 1-чЬ ( }
При о! ^ а производные от 1п>(г)
1 (У1 [(1-5У+Ч1-^-2/)п'1
<*г*1 - с/гР-1 \ (1 - 5 - у')п1+21+2 /
- 1 ^ “ У^' <1гр-1 ^1~ ^<+^1 “ ^ 1
1 - 20 (1 - 2/')7,Ч2'+2 I (1-дг;)"'+2г+2 /’
где
1 1 2 — ^0 и = -л , 5 = ,
1 - у 1 -у* I-г0
удается вычислить с использованием производящей функции для функций Аппеля *1 [62]
(1 — $У+77( 1 - ви)71 (1 -
= ^2 ^ +-~ 71 —к^ — Ех(-к, -п,п + 21 + 2,1 + 1 + 77- к'.и.у).
к=0
Окончательный результат имеет вид:
^пп/(^;а,а') = /(а,а') х
х Ч1ТИ11+2-Ат + 1 + и + 2,1 + 2 - ■); <,, у-) +
Ь 6 + 1 — 77
+ £, 0.11)
26
Здесь
луЫ _ (^ + 2 + уу — р)р_1(1 -у)п
Р И _ у/')п'+21+2
хРг(-р + 1, -п',п' + 21 + 2,1 + 2 + т1-р; 1/(1 - у), 1/(1 - у')), а - V а’ + и , а - V а' - и
у =------------------у =--------------?
а + иа' — I/’ а + иа' + и’
С% - биномиальный коэффициент. Функция Аппеля в Ф^ есть конечный полином но обоим аргументам. Следовательно, (1.11) содержит две существенно различающиеся группы членов: функция Аппеля в первом члене имеет целый отрицательный параметр —п' и эквивалентна линейной комбинации (тг74-1) не сводящихся к полиномам гипергеометрических функций 2^\; члены с Фр71' представляют собой произведение гипергеометрических ПОЛИНОМОВ ОДНОЙ переменной - 2^1, И двух переменных - Нетрудно проверить, что при а7 = а (1.11) переходит в (1.10). В изложенном выводе не использовалась целочисленность параметра /, поэтому, как отмечалось выше (см. также [31]), все результаты справедливы также для радиальной КФГ квадрированного уравнения Дирака с нецелым I = 7 и для функции Грина модельного потенциала Фьюса (см. подробнее разд. 2.6). При целых I выражение (1.10) совпадает с результатом работы [59].
Отметим, что явный вид £кк1(у\ а, а') можно искать, преобразуя в (1.4) вторую, а не первую функцию 2^1- В этом случае для £кк,{и\(х,ос) получается выражение, которое следует из (1.11) при замене (&,а) ^ (А/, с/). Этот результат соответствуег условию симметрии
а, а’) = ^к,к(и; а1, а), (1.12)
которое очевидно уже из исходного разложения (В.7). Обратим внимание, что условие симметрии (1.12) и явное выражение (1.11) для £кк,{и\(х, а') определяют нетривиальное тождество, связывающее билинейные формы, которые содержат функции 2^1 и ^ (см. (П1.1) в Приложении П1). Указанное тождество может оказаться полезным для преобразования МЭ, рассчитанных с функцией (В.7) (см. ниже разд. 2.4.1).
27
1.1.2. Разложение КФГ на резонансную и потенциальную части
Полученные выше двойные ряды ДЛЯ gl(E;r)r,) имеют более сложную структуру но сравнению со стандартным штурмовским разложением (В.о), поэтому представляется интересным проверить выполнение для них общих свойств функции Грина. С другой стороны, формулы (В.7), (1.10), (1.11) позволяют получить новые результаты, в частности, разложение g/(J£; г, г') на резонансную (содержащую полюсы при Е = Еп) и потенциальную (гладко зависящую от Е) части:
которые соответствуют резонансам на уровнях дискретного спектра с Е =
Резонансный член (1.14) является симметричным и факторизованным по к. к', поэтому двойная сумма в выражении типа (В.7) для $е$ вычисляется в замкнутом виде с использованием соотношения (П1.7) Приложе-
й(Я; г, г') = йПЯ; О + ёГ(£; Г, г'). (1.13)
В наиболее простом случае о! — а ядра штурмовского разложения (В.7) для $е9(Е; г, г') и $° [Е\ г, г’) имеют вид (см. Приложение П1):
^ 2-^1 (—Ат, / + 1 — т]] 21 + 2; г)2.Рі(—А/, I + 1 — т/] 21 + 2; £), (1.14)
х 2^1 (“Р + 1,2/ + 2 - р; / + 2 - т/ - р; г *).
(1.15)
Нетрудно проверить, что есть гладкая функция энергии Е (параметра ту), в то время как имеет полюсы при I + 1 — г) = — пг = 0,-1, —2,...,
28
ния П1:
„тез, 1\ 1 у (1/2 - а2\21+2 (V + «V4
Й (Я +!)!( + !{^) *
х 2Л(1,2( + 2;| + 2-ч;2"1)^:;М,,,+,/г(2г/у)М,,|+,/2(2//1'). (1.16)
Устремив здесь 7] —► I + 1 + пг, где пг = 0,1,..., можно проверить, что вычеты в полюсах при Е = Еп равны произведению соответствующих собственных функций Дл/(г) и Яп/(г').
Исходя из выражения (1.15), непосредственной проверкой можно показать, что при вещественном а потенциальное слагаемое щ{Е\г^) является вещественным при всех вещественных Е, однако это обстоятельство проще выяснить, основываясь на результатах работы [60]. Запишем выражение (1.10) для в обозначениях [59, 60]:
. 2ар[ (х,а)дъ1(Е,а)
4#(Е,а,а) = (1 + 2£й2)<(А: + 1)2(>+1(^ + 1)21+1’ (!-17)
где
Р^(д.а) = 2р'\{~к, 1 + 1 — г1;21 + 2;г), (1.18)
/с! \а + 1//
. 0Г(^ + 2Л-2) (а2-р2\Ш
Чк (Е, а) = —2-тг—:-----т — X
(/ + 1 - 7?)*+! V 4а1/ у
х 2-^1 (& + 1, к + 2/ + 2; к +1 + 2 — т]\ % *). (1.19)
Введённые выше функции р*., пропорциональные гипергеометрическим полиномам 2-^1 &-го порядка по степеням г, представляют собой также полиномы к-го порядка по степеням х = (2Еа2 - 1)/(2£'а2 + 1) (полиномы Полачека [14]). Эти полиномы удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению
(к + 1)р*+1 - 2 ({к +1 -1-1 - ос£)х + осЕ) р[ + (к + 21 + 1 )р[._г = 0 (1.20)
с начальными условиями
Ро = 1. Р1-1 = 0
29
и относятся к классу так называемых неклассических ортогональных полиномов [14]. Функции qp названы в [59] функциями Полачека и представляют собой второе, линейно независимое от р1к решение рекуррентного соотношения (1.20). Отметим, что как следует из (1.19), qt[ = -2(2/)!, а гипергеометрическая функция, входящая в (1.16), пропорциональна qp. Мы используем здесь полиномы и функции Полачека как удобные обозначения, через которые можно в компактном виде записать функцию Грина при ос = ос. При решении кулоновской задачи путём введения квадратично-интегрируемого базиса Ski{2r/a) рекуррентное соотношение (1.20) является аналогом уравнения Шредингера и в [59] (см. также [63]) функция Грина была построена через два линейно независимых решения (1.20). В обозначениях p[,qp соотношение (П1.6) из Приложения П1 может быть переписано в следующем виде [60]:
?№> <*) = <*) + plk(x> <*)«№, ос). (i.2i)
Введённые здесь функции qlk(xya) удовлетворяют соотношению (1.20) с начальными условиями ql0 = 0, q[__x — —2(2/)! (которые очевидны из начальных условий для qp и р1к) и, таким образом, являются полиномами по х. Хотя этот факт и был установлен в работе [60], явное выражение для полиномов рк(х,а) не было получено. Формула (П1.6) позволяет найти замкнутое (хотя и достаточно громоздкое) выражение для рк в виде билинейной суммы гипергеометрических полиномов.
Имея в виду приложения функций Грина в форме (1.11) или (1.10), (1.17) к вычислению МЭ двухфотонных переходов, положим свободный параметр ос = n/Z и запишем энергетический параметр функции Грина в виде Е = Еп ± и. Тогда х = 1 2/а>, где
и = 2Z~2n2u (1.22)
— безразмерная частота, измеряемая в единицах потенциала ионизации рассматриваемого состояния \nl). Теперь из (1.20) легко видеть, что р1к и qlk представляют собой вещественные полиномы но степеням 1/&. Таким образом, мы убеждаемся в вещественности потенциального слагаемого (1.15) в функции Грина, которое пропорционально произведению plk(x) c^)qlk{x) а), и конкретизируем частотную зависимость указанных полиномов.
зо
Резонансные слагаемые (1.14), (1.16) комплексны при Е > 0, и в соответствии с общими свойствами функции Грина при положительной энергии должно выполняться соотношение
Im £ея{Е > О ; г, г') = Img,(£ > 0;г,г') = тг REl(r) Яя(г'), (1.23)
где Яяі(г) - нормированные на энергию волновые функции непрерывного спектра:
аМ п і
ДвИ = f1-24)
СЕІ=Ме*а/2\Г(1 + 1+іа)\,
V 7Г
а = Z/p, р = \/2^. В справедливости (1.23) можно убедиться, непосредственно выделяя мнимую часть g[e5 в (1.16). При этом следует учесть,
что при вещественных а произведение функций Уиттекера является ве-
щественным, а мнимая часть комплексных членов может быть найдена с помощью соотношения (П1.8) Приложения П1.
В заключение отметим, что трёхмерная КФГ (В.З) также может быть представлена в виде суммы резонансного и потенциального слагаемых,
G{E\ г, г') = Gres{E; г, г') + <?*(£; г, г'), (1.25)
где выражения для Grcs и G901 очевидны из (В.З), (В.7), (1.14), (1.15). Разделение функций Грина на резонансную и потенциальную части удобно в ряде приложений, в частности, в столкновительных задачах (см., например, (64,65J). Очевидно, что разложение мероморфной функции G# на сложным образом зависящие от энергии “полюсную” и “гладкую” части неоднозначно и (1.25) даёт лишь одно из таких представлений (см. подробнее в [65, 66]). Выражение для резонансной части КФГ g;(E;r,r') в записи через функции Уиттекера, входящие в (1.16), было получено в [64] (см. также [66]) с использованием стандартного представления &(Е;г,/) через функции Уиттекера с аргументами г>,г<, где r>(r<) = max{r,r'} (тиф*,/}).
31
1.2. Штурмовское разложение КФГ со свободными параметрами. Несимметричный ряд
Рассмотрим еще один вариант введения свободных парахметров в штурмовское разложение КФГ, позволяющий аналитически продолжать ряды для многофотонных МЭ на область надпороговых энергий. Проведем для этого следующие формальные преобразования. Представим 5^(2г/и) в (В.5) в виде ряда
00
5«(2г/|/) = . (1.26)
71=О
При записи (1.26) мы снова используем свойство полноты функций Штурма, но в отличие от разд. 1.1 разлагаем только одну из функций £*/ из (В.5) и выделяем экспоненциальный множитель перед рядом. Коэффициенты см, аналогично разд. 1.1, могут быть выражены через гипергеомет-ричсскую функцию 2^1- Подставляя (1.26) в (В.5) и меняя порядок суммирования но к и п, получаем разложение для gl в двойной ряд но полиномам Лагерра со свободными параметрами а и а'. Для аналитического продолжения М^-рядов (В.4) на область непрерывного спектра энергий оказывается достаточным сохранить лишь один свободный параметр, причем удобно положить о/ = 1 /а — 1/1/, так что
«-(-1
поскольку тогда Си* обращается в нуль при к > п и внутренняя сумма двойного ряда обрывается. Функция Грина g^ в этом случае принимает вид
й (£; г, г) = схр (г/у - г/а) х
00 / __ \ 71
х ) 5'п((2г/аК((2г//*'). (1-27)
п=0 ^ '
где
т Гг1 = У (~П)* ( У V П281
Г* г(* + 21 + 2) и - а / * +1 + 1 - V '
К—и
32
Расчет М^*Р с помощью (1.27) позволяет представить их в виде рядов ги-иергеометрических функций. Хотя эти ряды оказываются более громоздкими, чем при использовании стандартного штурмовского разложения (В.5), однако теперь, как показывает анализ, проведенный в разд. 1.3, при соответствующем выборе свободных параметров удается обеспечить их сходимость при надпороговых значениях энергий в функциях Грина. В принципиальном отношении сходимость достигается за счет иерестраивания структуры ряда (разложения по другому параметру). Технически убывание слагаемых во внешних суммах достигается за счет взаимных сокращений растущих членов во внутренних суммах (возникающих из аП1 в (1.27)), обусловленных множителем (-п)*. Эти сокращения катастрофически нарастают для далёких членов ряда, что сильно ограничивает возможность применения (1.27) в расчетах. Трудности, связанные с потерей точности при достижении сходимости за счет компенсации растущих членов исходного ряда, характерны и для численных методов аналитического продолжения, например, родственных Паде-аиироксимации (см. [67]); применительно к расчетам многофотонных процессов они описаны, в частности, в [68, 69, 70]. В нашем случае, когда сходимость М^-рядов обеспечивается аналитическими преобразованиями КФГ, компенсацию растущих членов, приводящую к потере точности, удается ликвидировать аналитически.
Для устранения сокращений преобразуем внутреннюю сумму в (1.27). Тождественно преобразуя множитель (—п)б в (1.28)
{-п)к = -(-“п)*+1——т Г +
п + (I \п — к к + с1/
к + ч п , . , , „
= _п)* + ГТ1 _п + 1*, <1 = 1 + 1-Г}
п 4- а п + а
и используя известное разложение Ь2км(\х) по полиномам Лагерра с аргументом х, которое в записи через 5П/ имеет вид
= ЩТЪТТ)(ггЬ) 0‘*' “р {г/а - 3 •