Оглавление
Введение 3
1 Вариационные методы в квантовой задаче трех тел. 7
1.1 Вариационный принцип для связанных состояний................ 7
1.2 Вариационные разложения для основного состояния атома гелия. 9
1.3 Вариационные разложения для произвольных систем трех частиц. Состояния с ненулевым угловым моментом................... 12
1.4 Экспоненциальное разложение................................ 1С
2 Метод комплексного вращения и резонансы. Вариационные
методы. 22
2.1 Аналитическая дилатация и теоремы Агилара, Балслева, Комба 22
2.2 Метод комплексного вращения и теория возмущений для резонансов......................................................... 25
2.3 Вычисление характеристик резонансов методом комплексного вращения координат. ........................................... 29
3 Вычисление релятивистских и КЭД поправок 34
3.1 Нсрелятивистская квантовая электродинамика................. 34
3.2 Гамильтониан Брейта........................................ 39
3.3 Собственная энергия электрона во внешнем поле.............. 43
3.4 Эффективные операторы порядка та*.......................... 48
3.5 Вычисление логарифма Бете.................................. 50
4 Физические приложения. 58
4.1 Энергия ионизации основного состояния атома гелия.......... 58
4.2 Релятивистские поправки к дипольиой поляризуемости основного состояния молекулярного иона ............................. С4
4.3 Вычисление логарифма Бете для ротационно-вибрационных состояний молекулярных ионов и НБ+............................. 68
4.4 Релятивистские и радиационные поправки к 2раи(у = 1) состоянию молекулярного иона Щ...................................... 74
1
4.5 Слабосвязанные состояния мюонных молекулярных попов еМц
и А/х....................................................... 79
5 Метастабильные состояния антипротоиного гелия. 87
5.1 Фешбаховскнй формализм. Построение проекционных операторов на подпространство закрытых каналов....................... 89
5.2 Скорости Оже распада......................................... 93
5.3 Прецизионный расчет резонансных состояний с преобладанием Оже распада.....................................................105
5.4 Тонкая и сверхтонкая структура уровней метастабильных состояний антипротоиного гелия....................................113
Заключение 122
А Вычисление сингулярных интегралов 125
А.1 Основное рекуррентное соотношение............................125
А.2 Сингулярные интегралы вида (—1,т,п)..........................126
А.З Сингулярные интегралы вида (—1,—1, п)........................128
А.4 Другие сингулярные интегралы.................................128
А.5 Тензорный член...............................................130
А.С ф-терм.......................................................131
A.7 Дилогарифм .................................................131
В Алгебра углового момента 133
B.1 Матричные элементы спиновых операторов.......................133
2
Введение.
Квантовая задача трех тел с кулоновским взаимодействием является одной из наиболее известных неиитегрирусмых задач квантовой механики. Вместе с тем задача па связанные состояния для системы трех частиц допускает "сколь угодно" точные численные решения на современных компьютерах. К примеру, нерелятивистская энергия основного состояния гелия с ядром бесконечной массы известна в настоящее время с точностью до 35 значащих цифр.
С другой стороны имеется широкий класс физических задач, которые имеют практический интерес.
Классическим примером субатомной физики является мюоипый катализ и физика экзотических мюонных атомов и молекул. Одной из ключевых за-дач мюонного катализа является прецизионное исследование слабосвязаиных состояний мюонных молекулярных ионов ц и (И(Х\\. Энергии этих слабосвязанных состояний определяют скорости резонансного образования мюои-ных молекул, и в конечном итоге определяют ключевые параметры полного цикла мюонного катализа [1, 2|.
Другим примером из физики экзотических атомов и молекул является атом аптпнротонного гелия Не+/7. Антипротон замещает один из электронов атома гелия и при определенных условиях формирует метастабильные состояния со временем жизни в несколько микросекунд! Кроме того, что это рекордное время жизни для античастицы, находящейся в обычной (реальной) среде. Это также астрономическое время по меркам обычной атомной физики, где время жизни 2Р состояния атома водорода имеет порядок одной наносекунды.
Атом аитипротонного гелия представляет нетривиальный пример квантовой системы, у которой состояния дискретного спектра являются корот-коживущими, тогда как в непрерывном спектре существует остров метаста-бильных состояний. Эти состояния по своим свойствам практически ничем не отличаются от состояний дискретного спектра в обычном атоме (или молекуле). Они допускают прецизионную спектроскопию энергий переходов и тонкой сверхтонкой структуры уровней, что позволяет получить ценную информацию о физических свойствах антипротона.
В настоящий момент в ЦЕРЇІс проводятся эксперименты по исследова-
3
пию атомов антипротонного гелия на установке ЛБ (эксперимент АЗАСиБА). Результаты недавних прецизионных измерений энергий переходов показывают, что они уже чувствительны к погрешности отношения масс протона к электрону. По всей видимости дальнейший анализ позволит впервые определить массу античастицы, антипротона (по отношению к массе электрона) с точностью лучшей, чем эго известно для реальной частицы, протона.
Большое значение трехчастнчные системы с кулоновским взаимодействием имеют для метрологии [3|. Так, в рекомендуемых СОБАТА-98 значениях физических констант, для магнитного момента ядра атома гелия-3 дается значение “экранированного1' магнитного момента. Иначе говоря это значение было получено в экспериментах с атомом и включает в себя также поправки на связанное состояние атома. Прецизионные измерения тонкого расщепления в 23Р состоянии атома гелия-4 [4, 5] вместе с точными теоретическими расчетами могут быть использованы для определения значения константы тонкой структуры, а. В настоящий момент результаты различных экспериментов, использующие такие эффекты как квантовый эффект Холла или эффект Джозевсона, находятся в противоречии с наиболее точным экспериментом, основанном на измерении ^-фактора электрона. И имеются основания полагать, что измерения тонкой структурой атома гелия помогут объяснить и, может быть, устранить эти противоречия.
Следует отметить такой важный аспект, как взаимное влияние атомной и ядерной физики [С] при определении статических характеристик ядер. Так, к примеру, среднеквадратичный радиус заряда ядра гелия, определяемый из экспериментов по рассеянию электронов на ядрах, имеет точность порядка 1-3%. В то же время экспериментальное определение радиуса заряда 411с из спектроскопии мюонных атомов позволяет уменьшить погрешность этой величины в 10 и более раз.
Основной целью дайной диссертации является разработка универсального метода для решения квантовой задачи трех тел с кулоновским взаимодействием. Это включает в себя как проблему вычисления нерелятивистских уровней энергии, так и развитие методов расчета релятивистских и радиационных поправок в системе трех частиц. Известно, что квантовая электродинамика связанных состояний хорошо разработана для системы двух частиц
[7,8). Более того, существование аналитического решения значительно облегчает решение проблемы сокращения расходимостей, возникающих в высших порядках. Однако большинство известных подходов, таких как уравнение Беге-Салиитера или эффективное уравнение Дирака, плохо распространяются на системы с большим числом частиц. В диссертации рассматривается подход, основанный на эффективной теории поля, нерелятивистской квантовой электродинамике, который, как нам представляется, наиболее естественным образом позволяет обобщить теорию на три и более частицы. Помимо этого в диссертации также рассматриваются методы для исследования резонансов в системе трех частиц; теория возмущения для резонансов, исобхо-
4
димая для построения квантовой электродинамики квазистационариых состояний. Таковыми являются, например, метастабилыгые состояния атома антипротонного гелия.
В первой главе формулируется вариационный принцип для связанных состояний, и предлагается вариационный метод, который определяет вид базисных функций разложения решения, а также стратегию выбора вариационных параметров при построении волновой функции. В дальнейшем этот метод для определенности будем называть экспоненциальным разлоэ/сепием с многослойным выбором нелинейных вариационных параметров или просто "экспоненциальным11 разложением. В этой главе проводится анализ основных подходов к постосшно вариационного разложения решений дня систем трех частиц, в том числе для основного состояния атома гелия и для состояний с ненулевым орбитальным угловым моментом. Здесь же представлены расчеты нерелятивистских уровней энергий различных физических систем, выполненные с использованием "экспоненциального" вариационного разложения. Сравнение с расчетами, полученными другими вариационными методами, показывает значительное превосходсгво предлагаемого в диссертации подхода.
Вторая глава посвящена изложению метода комплексного вращения координат, как метода для исследования резонансов. Здесь же формулируется теория возмущений для изолированных резонансов и приводится пример ее применения для вычисления релятивистских поправок к скорости распада резонансного состояния. В последнем параграфе этой главы рассматривается одна из сложнейших с вычислительной точки зрения задач, определение квадрата амплитуды волновой функции в точке парного соударения двух ядер. На примере резонанса Фешбаха в молекулярном иоис Ч1ес1р демонстрируются вычислительные возможности метода "экспоненциального" вариационного разложения.
В третьей главе рассматривается эффективная теория поля, "нерелятивистская квантовая электродинамика и методы построения на основе данной теории эффективного гамильтониана поправок высших порядков в разложении по константе связи кулоновского взаимодействия, а, для системы нескольких частиц. В конце главы излагаются два эффективных метода вычисления логарифма Бете для системы трех частиц, основанных па "экспоненциальном" разложении волновых функций промежуточных состояний. Средняя энергия возбуждения или логарифм Бете является наиболее сложной с вычислительной точки зрения величиной в ведущих поправках для энергии связанного состояния. Удовлетворительное решение этой задачи было получено сравнительно недавно. В том числе, большой вклад в ее решение сделан автором диссертации, что демонстрируется представленными в главе результатами и сравнением с расчетами других авторов.
Приложению методов, изложенных в предыдущих главах, посвящена глава 4. Здесь описываются: расчет энергии ионизации основного состояния
5
атома гелия е учетом поправок до ал • Ryd включительно; релятивистские поправки к диполыюй поляризуемости основного состояния молекулярного иона водорода IlJ; вычисление логарифма Бете для ротационно-вибрационных состояний молекулярных ионов Щ и HD+ и другие физические задачи.
В последней главе представлены результаты по прецизионной спектроскопии мстастабильных состояний атомов антипротониого гелия, полученные автором. Сначала формулируется подход, основанный на формализме Феш-баха, строятся проекционные операторы на подпространство закрытых каналов. Предложенный подход позволяет применять вариационные методы для вычисления уровней энергий состояний. Использование формализма Фешба-ха дало возможность увеличить точность расчетов сразу на много порядков и однозначно подтвердить гипотезу Кондо о природе мегастабилыюстн в аитипротонном гелии. Далее в главе рассматриваются методы определения скоростей Оже распада, эта характеристика важна для определения острова стабильности состояний Не+р, находящихся в непрерывном спектре атома. Использование метода комплексного вращения координат и вычисление релятивистских и радиационных поправок позволяет довести теоретические расчеты энергий переходов до уровня порядка 10 "9 относительной точности, что делает из чувствительными к погрешностям в отношениях масс частиц протона (антипротона) к электрону. В последнем параграфе описываются расчеты топкого и сверхтонкого расщепления уровней рассматриваемых состояний.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Содержание диссертации отражено в работах [28, 44, 45, 60, 62, 84, 91, 92, 100, 113, 120, 125, 161, 163, 164, 165, 171, 175, 183, 184|, опубликованных в ведущих научных физических журналах: ЖЭТФ, Physics Review, Physics Review Letters H многих других. Материалы докладывались на международных конференциях, в том числе как приглашенные доклады на ITAMP’96 в Гарварде, Кембридж, США; LEAP’96, Дипксльсбюль, Германия, LEAP’03, Иокогама, Япония; Asia Pasific Few-Body (APFB’99), Токио, Япония; Hydrogen-11: Precise Spectroscopy of Atomic Systems (PSAS’2000), Кастильоне делла Псскайя, Италия; Европейская Few-Body (EFBP’00), Евора, Португалия; ^CF and Exotic Atoms, 1998, Аскона, Швейцария, и AiCF, 2001, Шимода, Япония.
6
Глава 1
Вариационные методы в квантовой задаче трех тел.
1.1 Вариационный принцип для связанных состояний.
Исторически первой попыткой решения квантовой задачи трех тел является t вариационный расчет атома гелия, выполненный вручную Хиллераасом [9] в 1928-30 годах для проверки квантовой теории Шрсдингера системы нескольких частиц, после того как "старая квантовая теория"оказалась полностью непригодной к решению этой проблемы. Эти достаточно грубые расчеты энергии ионизации атома гелия показали хорошее совпадение (с точностью до 0.01%) с экспериментальными данными.
Затем интерес к атому гелия был вновь возрожден в связи с экспериментальной проверкой предсказаний квантовой электродинамики. Появление быстродействующих ЭВМ и необходимость в точном вычислении энергии ионизации для проверки лембовского сдвига способствовали проведению гораздо более тонких и точных вычислений. Киношита (Kinoshita) [10] проделал вариационные вычисления, потребовавшие диагонализации матрицы размера 39 х 39, а позже Пекерис (Pekeris) [11] предложил базис сводящий решение к разреженным матрицам и провел вычисления с 1078 параметрами.
Отправным пунктом в решении выриационными методами стационарного уравнения Шрсдингера,
ЯФ = ЯФ, (1.1)
для некоторого гамильтониана Я, является вариационный принцип Хилле-рааса-Уидгсйма, болссс известный в математике как вариационный принцип Релея-Ритца.
Пусті» имеется самосопряженный оператор Я, определенный в гильбертовом пространстве, для которого выполнено условие ограниченности снизу
7
Н > СІ,
(1.2)
где с - некоторая константа, не обязательно положительная. Определим функционал
этот функционал ограничен снизу значением константы с.
Теорема 1. (См. [12]) Пусть II - самосопряженный оператор, удовлетво ряющий (1.2). Определим
где Xі - подпространство ортогонсияьное X, Т>(Н) - область определения оператора II. Тогда для каждого фиксированного п либо:
а) существует п собственных значений (считая вырожденные собственные значения столько раз, какова их кратность), лежащие ниоісе края существенного спектра, а рп{Н) есть с іріетпом кратности п-е собственное значение; либо
б) рп{Н) — нижний край существенного спектра.
Таким образом, процедура поиска собственных значений (значений энергии связанных состояний) стационарного уравнения Шредиигсра сводится к вычислению седловых точек функционала (1.3). Утверждение теоремы называют ’'принципом мшншакса".
Определим процесс Ритца для задачи на собственные значения. Пусть фь — последовательность векторов в гильбертовом пространстве, подчиненная двум требованиям:
1) вектора фк принадлежат области определения оператора Я;
2) при любом п, вектора фи^^чФп линейно независимы.
Положим ип = ^к=іхкФк) ГДе хк ~ скалярные коэффициенты. Подставляя ип при фиксированном п в функционал Ф(-), получим функцию, зависящую от конечного набора параметров {хк}*
(1.4)
где
0>і) (Фі,Нфі)9 Ьу {ФіуФ))’
8
При этом поиск минимаксных решений сводится к вычислению соответствующих собственных значений обобщенной задачи на собственные значения
Лх = ХВх,
(1.5)
и матрицы Л п В составлены из коэффициентов а,; и соответственно.
Векторы фк могут зависеть от нелинейных параметров ос В этом случае, для каждого фиксированного и и конкретного номера собственного значения к решается задача (1.5) и выбирается А*(о;), затем эта величина минимизируется по всем значениям нелинейных параметров:
Хк = inf Хк{и>).
Таким образом, оценки Ритца являются оценками сверху. Для базисных функций, зависящих от нелинейных параметров, неравенство (1.G) следует из
Стогос доказательство применимости Теоремы 1 к задачам исрелятивист-ской квантовой механики с гамильтонианом вида
получено в работах Като [13]. Напротив, прямое применение вариационного принципа Рслея-Ритца к уравнению Дирака, которое как известно не удовлетворяет условию (1-2), приводит к проблеме вариационного коллапса [14]. Возможные пути решения этой проблемы для уравнения Дирака обсуждаются в [15].
1.2 Вариационные разложения для основного состояния атома гелия.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, развитие вариационных методов в решении стационарного уравнения Шрсдингера для системы нескольких частиц было тесно связано с вычислениями энергии ионизации основного
Для оценок Ритца выполнено одно важное свойство:
Hk{H) < А^
(1.6)
цк(Н) < infAfc(tj) = А*.
CJ
(1.7)
9
состояния атома гелия. Поэтому в этом параграфе мы рассмотрим как изменялись и усовершенствовались вариационные пробные функции на примере основного состояния атома гелия.
Пусть т\ и г2 - расстояния от электронов до ядра, а г12 - расстояние между электронами. Нерсяятивистскос уравнение Шредингсра для атома с двумя электронами и бесконечно тяжелым ядром (в атомных единицах Ті = с = те = 1) задается уравнением:
В первых работах Хиллераас |9] использовал разложение вариационной функции решения по базису
где введены новые переменные: 5 = Т*! 4- Г2, Ь — Г2-Г\ и и = г12. Скалярный параметр к, также как и коэффициенты С(тп, определялись из минимизации вариационного функционала (1.3). Полученное значение энергии ионизации с волновой функцией, включающей 7 первых членов разложения (1.9), равнялось 2.90324.
Позднее Кинопшта [10] модифицировал базис Хиллерааса, включив в. пего отрицательные степени по переменным 5 и и,
Благодаря неравенству: t < и < $, волновая функция не имеет сингулярностей в области интегрирования. Использование отрицательных степеней позволило увеличить скорость сходимости вариационного разложения и достичь точности в 7 значащих цифр: Е = 2.9037225. Вычисления проводились на компьютере UNIVAC.
Следующим шагом стала работа Пскериса [11), который предложил ис-пол!>зовать периметрические координаты:
и = п + г12-г2,
< t> = r2 + Г12 -П, w = n +г2-г12,
и ортогональные многочлены (многочлены Лагсрра) в разложении волновой функции:
(1.8)
(1.9)
1,т,п> О
ф = ^-к(и+и+2ці)/2 £ С1тпЬ,(ки/2)Ьт(ку/2)Ьп(кги).
(1.10)
Преимущество периметрических координат состоит в том, что они не связаны неравенством треугольника, и фактически являются независимыми переменными, изменяющимися от 0 до бесконечности. Использование ортогональных многочленов приводит к разреженным матрицам Л и В с матричными элементами, которые выражаются рекуррентными соотношениями в целочисленной арифметике. Последнее свойство позволяет вычислять матричные элементы абсолютно точно, не связывая точность с представлением чисел с плавающей запятой в памяти компьютера. Платой за эти преимущества метода является достаточно медленная сходимость вариационного разложения в зависимости от числа базисных функций. Так, для того чтобы получить рекордную точность, Пскернсу потребовалось 1078 базисных функций, при этом значение энергии составило: Е = —2.903724375.
В то же время было подмечено [1C], что точное решение уравнения Шре-днигера для основного состояния атома гелия не выражается через чисто полиномиальные разложения вида (1.9). Позднее Бартлетт [17] и более строго Фок |18| показали, что точное решение содержит логарифмы в аналитическом разложении в точке тройною соударения частиц. Более точно, пусть р = y/f \ + г| - гипсррадиус системы двух электронов (или радиус гииерча-стпцы в пространстве Е6), тогда решение уравнения Шредингсра при малых р представляется в виде:
Ф = 'Фоо + РФ 10 + р2(Inр *021 + Ф20) + Р3(1пр Фз\ + ^зо) + • • *» 0*11)
где функции Фпк зависят только от угловых переменных и являются конечными и однозначными функциями на гиперсфере (р = const).
Основываясь на этих результатах сначала Г.М. Шварц [19] вводит полуголые степени в разложение Хиллерааса, демонстрируя ускорение сходимости, затем Фрапковский и Псксрис [20] включают в разложение дополнительно члены содержащие In $:
Окончательный результат, полученный Франковским и Пскерисом,
Е = 2.90372 43770 333,
надолго стал самым точным расчетом для нерелятивистской энергии ионизации основного состояния атома гелия.
Недавно Ч. Шварц в работе [21] подробно исследовал скорость сходимости разложений, описанных в этом параграфе. Он также ввел два новых базиса:
(1.12)
l,m,n,i,j> О
f,m,n>0
(1.13)
11
- Київ+380960830922