Точные решения в многомерных моделях гравитации

Содержание
1 Введение 3
2 Сигма-модельное представление в теории с р-бранами 14
2.1 Действие и уравнения движения...................................... 14
2.2 Анзатц для составных р-бран ....................................... 15
2.3 Сигма-модель....................................................... 17
2.3.1 Ограничения на р-бранные конфигурации........................ 17
2.3.2 Действие сигма-модели в гармонической калибровке............. 18
2.3.3 Сигма-модель со связями...................................... 20
2.3.4 Общие конформные калибровки и случаи </0 = 2..................22
3 Решения с гармоническими функциями 24
3.1 Решения с блок-ортогональными наборами II* и риччи-плоскими фактор-
пространствами .................................................... 24
3.1.1 Решения с ортогональными V* ................................ 27
3.1.2 Решения, отвечающие алгебрам Ли..............................29
3.1.3 Скаляр Кречмана, горизонт и обобщенные решения
типа Маджумдара-Папалетру (МП)............................... 35
3.1.4 Обобщение на не-риччи-плоские внутренние пространства ... 39
3.2 Общие решения тодовского типа, полученные методом нулевых геодезических ................................................................42
3.2.1 Лагранжиан системы типа цепочки Тоды..........................42
3.2.2 Решения тодовского типа......................................44
3.2.3 Решения, отвечающие Лт-цепочке Тоды..........................46
4 Классические и квантовые решения космологического типа 50
4.1 Лагранжева динамика.................................................50
4.2 Классические решения с Л = О....................................... 52
4.2.1 Решения с риччи-плоскими пространствами......................52
4.2.2 Решения с одним не-риччи-плоским пространством...............53
4.2.3 Блок-ортогональные решения .................................. 55
2
4.3 Классические решения с Л ф 0 на произведениях пространств Эйнштейна 56
4.4 Квантовые решения................................................... 60
4.4.1 Уравнение У и лера* ДеВитта................................... 60
4.4.2 Квантовые решения с одним фактор-пространством ненулевой
кривизны и ортогональными 11"................................. 61
4.4.3 Уравнение УДВ с. фиксированными зарядами......................63
5 Р-бранные аналоги чернодырных решений 64
5.1 Решения с горизонтом................................................ 64
5.2 Полиномиальная структура Н, для алгебр Ли............................69
5.2.1 Предположение о полиномиальной структуре......................69
5.2.2 Проверка Гипотезы 1 для алгебр Ли Ат и Ст+1 70
5.3 Некоторые примеры .................................................. 72
5.3.1 Решение для Л2............................................... 72
5.3.2 Лг-дион в И = 11 супергравитации.............................. 72
5.3.3 Л2-дион в модели Калуцы-Клейна................................ 73
5.4 Пост-ньютоновское приближение ...................................... 74
5.5 Экстремальный случай................................................ 76
5.5.1 "Однополюсное” решение....................................... 76
5.5.2 Мультичсрнодырнос обобщение.................................. 78
6 Симметрии пространства мишеней 79
6.1 Структура однородного пространства.................................. 79
6.2 Алгебра векторных полей Киллинга ................................... 80
6.3 Блок-ортогональное разложение....................................... 82
7 Многомерные космологические модели с ’’идеальной” жидкостью 84
7.1 Классическая и квантовая космология с многокомпонентной ’’идеальной” жидкостью 84
7.1.1 Сведение к лагранжевой системе............................... 85
7.1.2 Классические решения ........................................ 88
7.1.3 Квантовые решения............................................ 93
7.2 Однокомпонентная идеальная жидкость со скалярным полем...............96
7.2.1 Классические решения......................................... 97
7.2.2 Квантовый случай: третично-квантованная модель...............105
8 Бильярдное представление для многомерной космологии вблизи сингулярности 108
8.1 Бильярды в моделях с многокомпонентной идеальной жидкостью .... 108
8.2 Бильярдное представление для космологии с р-бранамн вблизи сингулярности 126
8.2.1 Модель с р-бранами............................................126
3
8.2.2 Бильярдное представление....................................128
8.2.3 Примеры двумерных бильярдов.................................131
8.2.4 О = 11 супсргравитация .....................................133
9 Космологические решения со скалярным полем 140
9.1 Решения с к < 1 не-риччи-плоскими пространствами....................140
9.1.1 Решения казнеровского типа..................................140
9.1.2 Случай одной кривизны.......................................141
9.2 Сингулярные решения.................................................142
9.2.1 (та + 1)-мсрное казнеровское решение........................143
9.2.2 Решения типа казнеровских с риччи-плоскими пространствами . 146
9.2.3 Решения с асимптотическим казнеровским поведением...........148
10 Сферически-симметричные решения в скалярно-вакуумном случае 151
10.1 Сферически-симметричные решения с риччи-плоскими внутренними пространствами..........................................................151
10.1.1 Анализ сингулярностей.......................................153
10.2 Многовременное обобщепие решения Тангерлини........................155
10.2.1 Уравнения геодезических.....................................156
10.2.2 Многовременной аналог закона Ньютона........................159
11 Многомерные дилатонные чернодырные решения 162
11.1 Сферически-симметричные решения ...................................163
11.2 Неэкстремальные дилатонные заряженные черные дыры..................164
11.3 Экстремальные дилатонные черные дыры с космологическим членом . 167
12 Заключение 171
Приложение 1.......................................................174
1.1 Компоненты тензора Риччи ...................................174
1.2 Тензор Римана...............................................174
1.3 Квадрат тензора Римана (скаляр Кречмана) ...................175
1.4 ”Космологическийг случай....................................175
1.5 Параметр С = С(Ь)...........................................176
1.6 Конформное преобразование...................................177
1.7 Компоненты тензора Риччи для метрики в задаче
о днлатонных черных дырах при Л у£ 0.........................177
Приложение 2. Произведения форм...................................177
Приложение 3. Простые конечномерные алгебры Ли..................179
Приложение 4. Решения для системы тодовского типа.................182
4.1 Общие решения...............................................182
4.2 Решения с блок-ортогональным набором векторов...............183
Приложение 5. Решения с функциями Бесселя.........................185
4
Приложение 6. Уравнения Киллинга....................................189
Приложение 7. Суперсиммстричные решения в D = 11 супергравитации 190
7.1 Диагонализация метрики........................................190
7.2 Гамма-матрицы.................................................191
7.3 Спиновая связность............................................191
7.4 Уравнения СУСИ................................................192
7.5 Примеры суперсимметричных решений.............................194
Приложение 8. Полиномиальное решение для алгебры Аз.198
Библиография 200
5
Глава 1
Введение
Необходимость изучения многомерных моделей гравитации и космологии [1, 2, 3, 4, 5] мотивируется рядом причин. Во-первых, основной тенденцией в современной физике является объединение всех известных фундаментальных физических взаимодействий: электромагнитного, слабого, сильного и гравитационного. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий, несколько более скромные достижения в теориях великого объединения (GUT), суперсимметричных, струнных и суперструнных теориях.
В настоящее время развиваются теории с мембранами, р-бранами - так называемые М- и F-теории, см., например, (22, 23, 24, 27, 28]. Хотя в настоящее время не построено никакой более или менее реалистичной теории объединения, представляется желательным изучение общих свойств этих теорий и их применений к решению основных проблем современной гравитации.
Во-вторых, многомерные гравитационные модели, также как и скалярно-тензорные теории гравитации, являются теоретической основой объяснения возможных временных и пространственных вариаций фундаментальных физических констант [6]. Эти идеи ведут свое начало от ранних работ П. Дирака (1937) по связи явлений микро-и макромиров и до настоящего времени являются объектом пристального внимания, как теоретиков, так и экспериментаторов [3].
Памятуя о том, что многомерные гравитационные модели суть обобщения общей теории относительности, которая надежно проверена для слабых и частично для сильных полей (двойные пульсары) с точностью до 0.001, совершенно естественно поставить вопрос о их возможных наблюдательных и экспериментальных ’’окнах'’ [34]-[36]. В настоящее время имеются следующие "окна”:
- возможные отклонения от законов Кулона и Ньютона;
- возможные изменения эффективной гравитационной постоянной с временными масштабами меньше планковского;
- возможное существование монопольных мод в гравитационных волнах;
- возможные проявления объектов сильного поля, таких как многомерные черные
6
дыры, ”кротовые норы” и р-браны;
пост-ньютоновские параметры, стандартные космологические тесты и т. п.
Поскольку на сегодняшний день нет приемлемой модели объединения, представляется целесообразным рассматривать простые, но в тоже время достаточно общие с точки зрения числа дополнительных измерений модели, основанные на многомерных уравнениях Гильберта-Эйнштейна в вакууме или с источниками различной природы, такими как:
- космологическая постоянная,
- "идеальная” и вязкая жидкости,
- скалярные и электромагнитные поля,
- поля антисимметричных форм (ассоциированные с р-бранами),
- их взаимодействия и т.д.
Основная цель диссертации состоит в получении точных решений (интегрируемых моделей) и анализ их в космологических, сфсричсски-симметричных и др. случаях. Это, как показывает опыт, наиболее естественный и надежный способ изучения нелинейных систем.
История многомерного подхода в гравитации берет начало с известных работ Т. Калуцы и О. Клейна [37, 38] по 5-мерной теории гравитации, которые положили начало исследованиям в многомерной гравитации (см. также [1, 39,110, 40]). Эти идеи в дальнейшем были развиты П. Иорданом [41], который рассмотрел общий случай <755 ф const, приводящий к теории с дополнительным скалярным полем. Работы (37, 38, 41] были в некотором смысле источником вдохновения для К. Бранса и Р. Дикке в их известной работе [42], посвященной скалярно-тензорной теории гравитации. Эта работа во многом стимулировала исследования моделей со скалярными полями (с конформной и неконформной связями) [б].
Возрождение интереса к ”многомерию” началось в 70-х годах и продолжается до сих лор. Это связано, главным образом, с развитием объединенных теорий. Интерес к многомерной гравитации стимулировался в значительной степени: i) развитием теории калибровочных полей (предложенной Янгом и Миллсом) (9, 10], приведшей к неабелеву обобщению подхода Калуцы-Клейна, и ii) построением супергравитацион-ных теорий [43, 44, 291]).
В 80-е годы на смену супергравитационным теориям пришли суперструнные модели [12] (см. также [11]). В настоящее время определенные ожидания связаны с так называемой М-теорией, а также с F-теорией и др. Во всех этих теориях 4-мерные гравитационные модели с дополнительными полями получаются из многомерных моделей путем размерной редукции, основанной на представлении исходного многообразия в виде М = М4 х Mint, где М4 - 4-мернос многообразие и Mint ~ некоторое "внутреннее” многообразие (обычно компактное).
В ранних работах по многомерной космологии обычно рассматривался случай
7
блок-диагональной космологической метрики
заданной на многообразии
M = RxM0x...x Мп,
где (Мг,дг) - пространства Эйнштейна, г = 0,... ,п [45]—[76].
В работах [54, 55, 59, 04, 66, 71, 84, 86] изучались модели с многомерной (многокомпонентной) ”идеальной" жидкостью. В этих моделях давления (для каждой компоненты) пропорциональны плотности
где ^ - размерность Afr, ит = const, г = 0,... ,п. Такие модели могут быть сведены к псевдосвклидовым системам типа цепочек Тоды с лагранжианом
и нулевым уровнем энергии Е = О- В классическом случае точные решения с риччи-плоскими пространствами (Мг,дг) и 1-компонентной идеальной жидкостью рассматривались многими авторами (см., например, [52, 53, 64, 66, 84, 86, 119] и ссылки там).
В [129] были получены точные вакуумные решения в случае задачи с двумя кривизнами, когда п = 2 и (^ь^г) = (2,8), (3,6), (5,5). (Эти решения содержат подкласс особых” решений, а также его расширение [135]). Для 2-компонентной идеальной жидкости и двух риччи-плоских пространств аналогичные решения были получены также в [130]. Для любого п имеется семейство точных решений милновского типа в задаче о п кривизнах [130].
Необходимо отмстить, что псевдоевклидовы системы типа цепочек Тоды до сих пор еще мало изучены. Однако существуют некоторые специальные классы уравнений состояния идеальной жидкости, которые приводят к евклидовым цепочкам Тоды. Впервые решения такого типа были рассмотрены в работе [86] для алгебры Ли А^. В работе [128] был рассмотрен общий случай для алгебр Ли А„ = в1(п +1), где космологические решения были выписаны в терминах нового представления решений Ап цепочки Тоды, полученного А. Андерсен [250].
Среди решений космологического типа были получены также решения: 1) со спонтанной и динамической компактификациями; 11) с казнеровским поведением вблизи сингулярности; ш) изотропизацией на больших временах (см. например [85, 84]).
8
Также были получены решения, у которых вблизи сингулярности наблюдается осциллирующее поведение, схожее с поведением решений в хорошо известной модели БьянкиЛХ. Многомерное обобщение этой модели рассматривалось многими авторами, см., например, [45, 93, 94, 98].
В работах [99, 100, 101] получено бильярдное представление для многомерных космологических моделей вблизи снпгулярности и сформулирован критерии конечности объема бильярда и его компактности в терминах освещения единичной сферы точечными источниками света. Для модели с идеальной жидкостью бильярдное представление было детально рассмотрено в работе [101]. В работе [102] рассматривалось обобщение модели на неоднородный случай.
Многомерные космологические модели также могут быть обобщены на случай вязкой жидкости. В работах [131, 132, 133] были получены некоторые классы точных решений, в том числе несингулярные космологические регаепия.
Важным направлением в современных исследованиях мпогомерпых космологических моделей является многомерная квантовая космология, которая основывается, главным образом, на уравнении Уилсра-ДсВитта (УДВ)
ЯФ =0,
где Ф - так называемая "волновая функция Вселенной”. Многомерное конформно-ковариантное обобщение уравнения Уилера-ДеВитта в случае вакуумной космологической модели с п пространствами постоянной кривизны было впервые получено в работе [65] и проинтегрировано в частном случае двух фактор-пространств (одно из которых риччи-плоское). Конформно-ковариантное уравнение УДВ в общем контексте рассматривалось также в [77, 78] (см. также [80] и ссылки там.)
Уравнение УДВ для случаев космологической постоянной и идеальной жидкости было исследовало в работах 83, 85] и [84], соответственно. Точные решепия в случае 1-компонентной идеальной жидкости со скалярным полем детально изучались в [119]. В работе [74] были получены многомерные квантовые кротовые норы - решения с особым поведением волновой функции (см. [79]). Эти решения были обобщены на случай космологической постоянной и идеальной жидкости в работах [83, 85] и [84, 119], соответственно. В [101], было получено "квантовое бильярдное" решение уравнения УДВ (точнее, его аппроксимация вблизи сингулярности). В ряде работ также были рассмотрены "третично-квантованные” многомерные космологические модели [73, 127, 119].
Космологические решепия в гравитации тесно связаны со сферически-симметрич-ными решениями. Впервые многомерное обобщение решений такого типа было получено Д. Крамером [107] и затем переоткрыто А.И. Легким [108], Д. Гроссом и М. Пери [109] и другими. В работе [112] решение Шварцшильда было обобщено на случай п внутренних риччи-плоских пространств. Было показано, что конфигурация типа черной дыры имеет место только в случае постоянных масштабных факторов
9
внутренних пространств. В работе [113] было получено аналогичное обобщение решения Тангерлини |111]. Эти решения были обобщены на электровакуумный случай в [115, 118, 117]. В [310, 117] рассматривались также решения типа дилатошшх черных дыр. В [117] была доказана теорема о неустойчивости нечернодырных решений (относительно монопольных возмущений). В работе [121], посвященной экстремальным заряженным дилатонным черным дырам, были получены обобщенные решения тина Маджумдара-Папанетру с ненулевой космологической постоянной. Следует отметить. что в работе [190] были получены пионерские решения типа Маджумдара-Папапетру в размерности О = 4 с конформным скалярным и электромагнитным полями.
В настоящее время существует большой интерес к так называемой М-теории [22, 24, 27] (а также Я-теории [28]). Эта теория является супермембранным аналогом суперструнных моделей [12] в /Э = 11. Низкоэнергетический предел теорий суперструн и М-теории приводит к моделям с лагранжианом следующего вида
С = Я[р] - Ьа0дм"дмр°д„</ - £ •^ехррА.МКО1,
а
где у - метрика, = <1Аа - форма ранга п4, и - дилатонные скалярные поля.
Простейшая И-мерная теория со скалярным полем, 2-формой и константой ди-латонной связи Л2 = {О — 1)1(0 — 2) может быть получена размерной редукцией (О + 1)-мерной теории Калуцы-Клейна (в этом случае скалярное поле (р определяет размер (Р 4- 1)-го измерения). Заметим, что космологическая постоянная Л может имитироваться /^-слагаемым с гапкР = О.
При определенных составах полей с выделенными значениями общей размерности рангов п<х\ констант дилатонных связей А„ и А = 0 такие лагранжианы возникают в ”усеченных" бозонных секторах (т.е. без слагаемых Черна-Саймонса) определенных теорий супергравитации или в низкоэнергетическом пределе суперструнных моделей 43, 44, 12]. Для Б = 11 супсргравитации [43], которая рассматривается сейчас хак низкоэнергетический предел гипотетической М-теории [22, 25, 24, 27, 26], бозонный сектор содержит метрику и 4-форму (скалярные поля отсутствуют). При О = 10 можно рассматривать в качестве примера супергравитацию типа I с метрикой, скалярным полем и 3-формой, супергравитацию типа ПА с бозонными полями супергравитации типа /, образующими N8 — Лг5-сектор (N5 - сокращение для ”КеУси-5с1маг2>1) и, кроме того, 2-формой и 4-формой в Я — Я-секторе (Я - сокращение для г17атоп(Г), а также супергравитацию типа ПВ с бозонными полями супергравитации типа I (N8 — N8 сектор) и, кроме того, 1-формой, 3-формой и (са-модуальной) 5-формой (Я — Я сектор). Как полагают сейчас, все пять суперструняых теорий (/, IIА, ПВ и две гетеротических с калибровочными группами (7 = Ен х Е& и 8рт(32)/£з) [12] вместе с 11-мернои супергравитацией [43] являются предельными случаями М-теории. Все эти теории связаны между собой преобразованиями дуальности [22, 26].
10
Список теорий супсргравитации не ограничивается только размерностями D — 10,11 и сигнатурой (—,+,...,+)• Можно изучать супергравитации в размерностях D < 11 (в т.ч. полученные размерной редукцией из 11-мерной супергравитации [138}) или 12-мерную супергравитацию с двумя временами [31], или евклидовы супергравитации [32]. Также было высказано предположение, что теория суперструны типа IIВ может быть получена из 12-мерной теории, называемой F-теорисй (23, 28]. В работе II. Кхвиенгиа и др. [33] был получен (деформированный) низкоэнергетический эффективный (бозонный) лагранжиан для F-теории. Полевой состав этой 12-мерной полевой модели таков: метрика, одно скалярное поле (с отрицательным кинетическим членом), 4-форма и 5-форма.
В работе [167] было показано, что в случае композитного электромагнитного р-бранного анзатца после размерной редукции на многообразии М() х Му х ... х Мп исходная модель сводится к гравитирующей самодействующей ег-модели со связями (в электрическом случае см. также [164, 165, 168]). В случае одномерных Mi сигма-модельное представление было распространено в работе Д.В. Гальцова и O.A. Рычкова [236] на не-блок-диагональный случай (для одной и двух р-бран). Следует отметить, что гравитационный сектор сигма-модсли [167] рассматривался ранее в работах В.А. Березина и др. [67], М. Райнера и А.И. Жука [134], а также в [135] (в этой работе рассмотрен случай общего конформного фактора для М0 и исправлена неточность в потенциале, допущенная в [67].) (Обзор по гравитирующим сигма-модслям см. в [16]).
Сигма-модельное представление является мощным инструментом в получении различных решений с пересекающимися композитными (составными) р-бранами (аналогами мембран). В рамках данного подхода было найдено большое количество различных типов решений. В работах [167, 168, 185, 248] были получены решения типа Маджумдара-Папапстру (в некомпозитном случае см. [164, 165]). Эти решения, соответствуют риччи-плоским внутренним пространствам (A/j, g*), t = 1,... ,п. В [167] было также получено обобщение решении на случай дополнительных эйнштейновских внутренних пространств (ненулевой кривизны).
Ранее некоторые специальные классы таких решений рассматривались в работах [149, 150, 170, 171, 172]. Полученные решения имеют место при определенных соотношениях на параметры модели (дилатонные константы связи, размерности р-бран и их пересечений, общую размерность исходного многообразия). Эти соотношения суть соотношения ортогопальпости некоторых векторов, ассоциированных с р-бранами. В ортогональном случае широкий класс решений космологического типа (в т.ч. сферически-симметричных) был получен в [200] (см. также частные случаи в [151, 179, 180, 178]). Решения с горизонтом (чернодырные и их мембранные обобщения) рассматривались также в работах [152, 173, 174, 175, 200, 261, 262, 263] и др. В [175, 235] был доказан ряд утверждений, относящихся: к связи между температурой Хокинга и сингулярностью кривизны и к многовременным решениям. В работе К.А. Бронникова и В.Н. Мельникова [264] подробно исследовалась проблема стабильности
11
сфсрнчески-симметричных решений с р-бранами (о проблеме устойчивости см. также [14]). В работах (118, 194], были получены многовременные обобщения решений Шварцшильда и Тангсрлини, где также было найдено обобщение закона Ньютона на многовременной случаи.
Следует отметить, что наиболее широкий класс р-бранных решений с одной гармонической функцией и пересечениями общего вида был получен в [248], путем сведения задачи к лагранжевой системе тодовского типа с помощью метода нулевых геодезических [216, 217]. Частные подклассы этих решений ("ортогональных'’ и ”6лок-ортогональных”) были получены ранее в [200, 5]. В работе [200] (см. также [187]) было также проинтегрировано конформно-ковариантное уравнение УДВ в случае ’’ортогонального” пересечения р-бран. (В некомпозитном случае см. также [180].) В менее общем случае несколько иной подход (с классическими полями форм) был предложен в работе американской группы [181]. В работах [188, 241] были получены точные решения в моделях с пересекающимися р-бранами в случае статических внутренних пространств. Был рассмотрен способ генерации эффективной космологической постоянной с помощью р-бран.
В работах [252, 253] рассматривалось бильярдное представление для многомерной космологии с р-бранами. Построен ряд примеров бильярдов с конечным объемом и на конкретном примере D = 11 супергравитации показано, что добавление слагаемого Чсрна-Саймонса может разрушить "удерживающий” бильярд. Полученные в [252] неравенства на казнеровские параметры сыграли ключевую роль в "доказательстве” хаотического поведения решений в моделях суперструн [254].
Отметим, что в настоящее время большое число публикаций посвящено мпого-мерным моделям ”(мем)бранного мира” (см., например, [17]-[21]). В этом подходе пред пол агаетея, что мы живем в (1 + 3)-мерном тонком (или ”толстом”) слое (”3-бране”) в многомерном пространстве, и существует удерживающий потенциал, т.е. калибровочные и другие поля материи локализованы на (мем)бране, в то время как гравитация ’’живет” в многомерном ’’объеме”. Этот подход, предложенный первоначально В.А. Рубаковым и М.Е. Шапошниковым [17], получил мощный импульс после работ JI. Рэндалл, Р. Сандрума и др. [18,19]. В работе [18] была предложена конкретная схема возникновения удерживающего потенциала (см. также [20]) за счет склейки двух симметричных копий части 5-мерного анти-де-ситтеровского пространства. В рамках данного подхода были получен аналоги уравнений Фридмана и закона Ньютона. В работе диссертанта ([21] была рассмотрена модель толстого ’’мембранного мира” с цепочкой риччи-плоских внутренних пространств и материального источника в виде (анизотропной) ’’идеальной” жидкости. Тем не менее, следует отметить, что данный подход находится все еще в стадии ’’формирования”, и каждая новая публикация в огромном потоке статей может существенно изменить ситуацию в данной области исследований.
Следует отметить, что имеется ряд хороших обзоров, посвященных различным аспектам р-бранных решений (см., например, [137,138]). Однако эти обзоры, главным
12
образом, имеют дело с более или менее частными классами решений р-бранных решений и их применениями в теориях суперструн, Л/-теории и.т.д. В настоящей диссертационной работе, также как и в обзорной статье [340], рассматриваются общие классы решений с композитными (нелокализованными) р-бранами и блок-диагональными метриками, заданными па произведении риччи-плоских и эйнштейновских пространств произвольных размерностей и сигнатур.
Диссертация состоит из 12 глав и Приложения. Данная глава носит вводный характер.
В главе 2 изучается с.игма-модельное представление со связями для гравитирующей системы композитных р-бран, возникающее в многомерной гравитационной модели со скалярными полями и внешними формами. В разделе 2.1 определяется действие модели и выписаны уравнения движения. В разделе 2.2 формулируется исходная модель, определенная на многообразии Ми х М\ х ... х Ми, где '’внутренние” пространства М,-, г > 1, суть пространства Эйнштейна, метрика берется в блок-диагональном виде, и все поля и масштабные факторы метрики являются функциями на А/о- В "чисто” электрическом и магнитном случаях число связей равно т(т—1)/2, где т - число одномерных внутренних пространств. В "электромагнитном" случае, когда размерность Мо равна 1 или 3, возникает тч дополнительных связей. Сформулированы ограничения на пересечения р-бран. при которых связи удовлетворяются тождественно.
В главе 3 рассматриваются решения с гармоническими функциями. В разделе 3.1 для риччи-плоских внутренних пространств и Мо получено семейство решений "типа Маджумдара-Папапетру", определяемых набором гармонических функций, для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В п. 3.1.2 выделены специальные классы новых решений с пересечениями р-бран, отвечающими алгебрами Ли: конечномерным и гиперболическими, в т.ч. решения в 10-мерной ПА и 11-мерной моделях супсргра-витации, и в так называемых Вр-моделяхв размерностях О > 12. В п. 3.1.3 в частном случае плоского пространства Мо размерности (1о > 2 к гармонических функций с конечными множествами особых точек сформулированы критерии существования горизонта л сингулярности квадрата тензора Римана для полученных решений. В п.
3.1.4 получено обобщение этих решений на случай не-риччи-плоского М0, когда семейство внутренних пространств дополнено рядом пространств Эйнштейна ненулевой кривизны. В разделе 3.2 в случае зависимости от одной гармонической функции получено общее семейство решений, отвечающее нулевым геодезическим метрики сигма-модели. В п. 3.2.3 выделен подкласс решений, отвечающих АТП цепочке Тоды, т= 1,2,_____
Глава 4 посвящена классическим и квантовым решениям космологического типа с р-бранами. В разделе 4.1 рассмотрено сведение космологических уравнений к лагран-жевой динамике. В разделе 4.2 получено общее решение полевых уравнений в модели, описывающей "космологическую эволюцию" и сферически-симмстричные конфигурации системы композитных р-бран в случае нескольких риччи-плоских внутренних
13
пространств. Решения определены с точностью до решений уравнений типа цепочки Тоды. В п. 4.2.3 выделен подкласс решений для "блок-ортогональных" пересечений р-бран. В разделе 4.3 получено семейство статических р-бранных решений, заданных на произведении нескольких пространств Эйнштейна. Решения являются композитным р-бранным обобщением решений Фройнда-Рубина. Здесь рассматривается ряд примеров решений, определенных на произведении сфер, пространств Лобачевского и анти-де-ситте}ювских пространств. Раздел 4.4. посвящен квантовой космологии с р-бранами. Здесь (в п. 4.4.1) получено (р-бранное) уравнение Уилера-ДеВитта, имеющее ковариалтный и конформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано для ’’ортогональных" пересечений р-бран (п. 4.4.2). Проведено сравнение с полукван-товым подходом, в котором поля форм классические (п. 4.4.3).
В главе 5 рассматриваются мембранные аналоги чернодырных решений. В разделе 5.1 получены обобщенные убранные чернодырные решения для широкого класса пересечений в случае риччи-плоских "внутренних” пространств. Они определены с точностью до набора функций, являющихся решениями системы нелинейных дифференциальных уравнений, эквивалентных уравнениям типа цепочки Тоды, с наложенными граничными условиями. Приведено выражение для температуры Хокинга. В разделе 5.1 рассмотрены частные случаи решений, отвечающие ортогональным и блок-ортогональным правилам пересечений, и высказана гипотеза о полиномиальной структуре управляющих функций в случае пересечений, отвечающих полу простым алгебрам Ли (п. 5.2.1). Эта гипотеза проверена для алгебр Ли Ат, Ст+1, то = 1,2,... (п. 5.2.2). Получены явные формулы для решений, отвечающих алгебре А2 (п. 5.3.1), в том числе дионного решения в 11-мерной супергравитации (п. 5.3.2). В разделе
5.4 вычислены пост-ньютоновские параметры /3 и 7, отвечающие 4-мерному сечению метрики. Показано, что параметр /3 не зависит от пересечений р-бран. В разделе 5.5 рассмотрены экстремальные р-бранные чернодырные конфигурации, и получены их обобщения ”типа Маджумдара-Папапетру”.
В главе б изучаются симметрии пространства мишеней сигма-модели из главы 2. В разделе 6.1 доказано, что пространство потенциалов (мишеней) сигма-модели, возникающей в модели с р-бранами, является однородным пространством, причем, оно симметрично тогда и только тогда, когда [/-векторы, задающие метрику сигма-модели, либо совпадают, либо взаимно ортогональны. В разделе 6.2 для ненулевых несовпадающих [/-векторов решены уравнения Киллинга. Показано, что при достаточно общих допущениях алгебра векторов Киллинга является прямой суммой нескольких копий алгебры А\ = &1(2, К), нескольких разрешимых алгебр Ли н алгебры Киллинга плоского пространства. В разделе 6.3 показано, что при допущениях из 6.2 пространство потенциалов разлагается в произведение плоского пространства, нескольких двумерных пространств постоянной кривизны, в частности, пространства Лобачевского, части анти-де-ситтеровского пространства и нескольких многообразий разрешимых групп Ли.
В главе 7 рассматриваются многомерные космологические модели с "идеальной
14
жидкостью”. В разделе 7.1. описывается многомерная модель с цепочкой из п пространств Эйнштейна и материей в виде т-компонентной "идеальной жидкости”. В п. 7.1.1 модель сведена к лагранжевой системе в случае, когда давления во всех пространствах пропорциональны плотности, и коэффициенты пропорциональности, зависящие от масштабных факторов, для каждой компоненты образуют потенциальное векторное поле. В п. 7.1.2 уравнения Эйнштейна проинтегрированы в ряде случаев, когда коэффициенты пропорциональности не зависят от масштабных факторов, и все внутренние пространства риччи-плоские. Здесь рассматривается 1-компонснтный случай т — 1, а также интегрируемые случаи с т-компонентной материей специального вида. В п. 7.1.3 записано уравнение Уилера-ДеВитта (УДВ), имеющее ко-вариантный и хонформно-ковариантный вид. Это уравнение проинтегрировано в в случае т = 1 и для т-компонентной материи из п. 7.1.2. Здесь также выделены решения типа квантовых ’'кротовых нор”. В разделе 7.2. изучается космологическая модель с цепочкой из п риччи-плоских пространств и материей в виде 1-компонентной идеальной жидкости” и бсзмассового скалярного поля с минимальной связью. В п.
7.2.1 рассматриваются классические решения. В пп. 7.2.1.1 рассматриваются решения с вещественным скалярным полем, как неособые, так и особые классы решений "инфляционного” типа. Особые решения отвечают постоянному значению скалярного поля и могут быть как экспоненциального, так и степенного типов. Они являются аттракторами для неособых решений при больших (либо малых) значениях синхронного времени (в зависимости от уравнения состояния материи). Показано также, что неособые решения имеют казнеровское поведение при малых (либо больших) значениях синхронного времени. Здесь рассмотрен ряд частных случаев уравнений состояния, отвечающих Л-члену, пыли, и др. В пп. 7.2.1.2 рассматриваются решения с чисто мнимым скалярным полем, среди которых содержатся решения типа "кротовых нор”.
Глава 8 посвящена бильярдному представлению для многомерной космологии вблизи сингулярности. В разделе 8.1 изучается многомерная космологическая модель с многокомпонентной ’’идеальной жидкостью”, описывающая эволюцию п пространств Эйнштейна. В п. 8.1.1 определяется исходная модель. В п. 8.1.2 динамика модели вблизи особой точки при определенных ограничениях на параметры сводится к бильярду в пространстве Лобачевского. Сформулирован и доказан критерий конечности объема бильярда и его компактности в терминах задачи об освещении к аз перовской сферы точечными источниками света. Источники освещают сферу тогда и только тогда, когда бильярд имеет конечный объем. В этом случае космологическая модель обладает осциллирующим (и возможно стохастическим) поведением решений вблизи особой точки. В случае бесконечного объема бильярда космологическая модель имеет казнеровское поведение вблизи сингулярности. Показано, что введение безмас-сового скалярного поля ’’разрушает” (возможное) осциллирующее поведение вблизи сингулярности. В пункте 8.1.3 рассматривается пример модели Бьянки-1Х и ее обобщения на случай цепочки внутренних пространства Эйнштейна. Получена казнеров-
15
ская параметризация асимптотических решений. В 8.1.4 рассматриваются некоторые обобщения, в том числе обобщение на квантовый случай; получено асимптотическое решение (’’вблизи сингулярности”) уравнения УДВ в специальной временной калибровке. В разделе 8.2 рассматривается бильярдное представление в космологической модели с р-бранами. Здесь в явном виде описаны бильярды со стенками р-бранного происхождения (п. 8.2.2) и выделен ряд примеров бильярдов с конечным объемом. Среди них - квадратные и треугольные 2-мерныс бильярды (п. 8.2.3) и 4-мерный бильярд в "усеченной” 0 = 11 супергравитации без слагаемого Черна-Саймонса (п. 8.2.3). Показано, что включение в рассмотрение слагаемого Черна-Саймонса "снимает” некоторые стенки и разрушает удерживающий бильярд.
В главе 9 изучаются многомерные вакуумные и скалярно-вакуумные космологические решения, т.е. решения с безмассовым скалярным полем с минимальной связью. В разделе 9.1 рассматривается обобщение решения Казнера на случай п риччи-плоских пространств и его скалярно-вакуумный аналог (п. 9.1.1), а также получено точное решение, описывающее эволюцию пространства Эйнштейна ненулевой кривизны и л—1-го риччи-плоского пространства в скалярно-вакуумном случае (п. 9.1.2). В разделе 9.2 рассматривается семейство вакуумных решений с казнеровским асимптотическим поведением при —> 0, где Ь, - синхронное время, и изучается поведение квадрата тензора Римана при Ь, —► 0. В п. 9.2.1 рассматривается простейшее обобщение решения Казнера на случай 71 одномерных пространств, и доказано, что квадрат тензора Римана положителен и расходится при Ь = Ь, —У 0 для всех нетривиальных (”нс-милновско-подобных”) конфигураций. В п. 9.2.2 этот результат обобщается на случай п риччи-плоских пространств. В п. 9.2.3 доказана теорема о расходимости квадрата тензора Римана для широкого класса космологических метрик с неособым казнеровским поведением масштабных факторов при £, —> 0.
Глава 10 посвящена сферичсски-симметричным решениям в многомерной гравитации. Получено обобщение решения Тангерлини на случай цепочки из п — 1 риччи-плоского пространства в вакуумном и скалярно-вакуумном случаях. Доказано, что чернодырное решение имеет место только, если масштабные факторы внутренних пространств и скалярное поле постоянны, а остальные конфигурации отвечают голым сингулярностям. В вакуумном случае для п-временного обобщения решения Тангерлини проинтегрированы уравнения геодезических. Получен многовременной аналог закона Ньютона (всемирного тяготения).
В главе 11 рассматриваются заряженные дилатонные черные дыры с цепочкой из п "внутренних" риччи-плоских пространств. Получено ограничение на массу черной дыры. Получено выражение для температуры Хокинга, и обнаружена ее независимость от размерности внутреннего риччи-плоского пространства при струнном значении дилатонной константы связи. Экстремальное решение обобщено на случай нескольких черных дыр, а также на случай ненулевой космологической постоянной.
16
Глава 2
Сигма-модельное представление в теории с р-бранами
2.1 Действие и уравнения движения
Рассмотрим модель с действием следующего вида
5 = ^ /м dDzJü\{R\g\ - 2Л - haßgMNdu<p°dNVe (2.1)
-Е^ехррА.ЫК^ + Зоя,
оед Па-
где д = omn^zm ®dzN - метрика, заданная на многообразии М размерности <1іш М = D, <р = (у?а) € R1 вектор, составленный из (днлатонных) скалярных полей, (haf3) -невырожденная симметричная / х I матрица (/ € N), 0О ^ О,
F“ = dA‘ = ± f-, dz"- Л ... A dz"- (2.2)
На*
- ла-форма (па > 2) на D-мерном многообразии М, Л - космологическая постоянная и А0 - 1-форма на R1 из дилатонкых констант связи: Аа(у>) = ХааЧ>а, а € А, а = 1,... ,1. В действии (2.1) \д\ = |<1е1(оду)|,
(П] = Ъ.ль.Ъ.л.Г'* ■ ..gu"'N"\ (2.3)
а 6 А, где А - непустое конечное множество, и 5ан ~ стандартный граничный член [192]. Этот член важен при рассмотрении квантовых аспектов теории. В модели с одним временем и метрикой сигнатуры (—1,+1,..., + 1) все в а = 1.
Уравнения движения, отвечающие действию (2.1) имеют следующий вид
R-MN - = Tmn - A-9MN, (2.4)
17
ДЫ¥>* (ПI = 0, (2.5)
в€Д Па•
Vл^, [Р](е2Лв<^а’м‘”л/"-) = 0, (2.6)
а £ А; а = 1,...,/. В (2.5) А* = Лв*А^, где (Ла^) - матрица обратная (Ла/з). В уравнениях (2.4)
Тмя = Тмя[<р,д] + 52 0*е2Ха^Тмя[Ра, д], (2.7)
а€Д
где
7млг[?*£] = Ла^ |дм<радя<рр - -дмядрф*®1*) , (2-8)
(2.9)
В соотношениях (2.5) и (2.6) операторы Д(^) и \?[д] суть операторы Лапласа-Бельтрами и ковариантной производной, соответственно, отвечающие д.
2.2 Анзатц для составных р-бран
Рассмотрим многообразие
М = М0 х Мх х ... х Мп, (2.10)
с метрикой
д = е^д° + '£е^д\ (2.11)
1=1
где д° = g°iu/{x)dxtl <S> dxv - произвольная метрика любой сигнатуры на многообразии Мо и дх = <7т,п,(У»)Ж/Г‘ ® dy"‘ “ метрика на М,, удовлетворяющая уравнению
д~№[/] = Ьз1т, (2.12)
глі,Пі = 1,...,<£; & = const, t = Здесь у* = р,-<?* - увлечение метрики g' на
многообразие М с помощью канонической проекции р; : М —> Af<, і = 0,... ,п. Таким образом, (М»,<?*) - пространства Эйнштейна, г = 1,...,п. Функции 7,^* : АГ0 -> R - гладкие. Обозначим d» = dimM„; v =■ 0,..., л; D — J2Z=o dv- Каждое многообразие M„, v — 0,... ,п, полагаем ориентированным и связным. Тогда <£-форма объема, заданная на многообразии Af»,
П = \/Иу<)| dy\ А ... A dyt', (2.13)
18
и сигнатурный параметр
£(г) = 51бп(с1еЬ(^.п.)) = ±1 (2.14)
корректно определены для всех г = 1, ... ,71.
Пусть П = П(п) - множество всех непустых подмножества из {1,...,п}. Число элементов в П равно |П| = 2П — 1. Для любого I = € П, < ... < **,
обозначим
т(/)=7цД...ЛГ;к) (2.15)
£(/) =£(71)...£(й), (2.16)
М! = Щ х ... х Мхк, (2.17)
ад = Е<4- (2.18)
»€/
Здесь и ниже Г( = р-т* - увлечение формы т< на многообразие М с помощью канонической проекции р; : М —>■ Положим также г(0) = с(0) = 1 и
(1(0) = 0.
В Приложении 1 для полноты изложения приведены соотношения для тензоров Римана и Риччи, отвечающих метрике (2.11).
Для полей форм рассмотрим следующий анзатц для составных электромагнитных
р-бран:
Ра - Ц ^а,в,Л + 12 ^г(а’т,'7), (2-19)
где
= (-.е./) д г(/)1 (2.20)
^а,т^ _ е-2А0Ы % ^ф(«,т7) д г((2-21)
- элементарные формы электрического и магнитного типов соответственно, а € А, I € ^а.е, •/ € па,т И По,„ С П, V = е,7П. В (2.21) * = *($] - оператор Ходжа на {М,д)
(*^)м,...м0_4 = £м1...Мо-кЪ...икъ>*Тх"‘и' 1 (2.22)
где гапкы = к. Для скалярных полей положим
<р° = *>"(*), Ф' = Ф'(х), (2.23)
я б 5- Таким образом, <ра и Ф* - функции на М0-Здесь и ниже
5 = 5, и 5ТО, Я* = иаед{а} X {ь} х Пв>„, (2.24)
19
V = е, то; У означает объединение непсрссскающихся множеств. Множество 5 состоит из элементов з = где а, € А, ьв = еутп и I, €
В силу (2.20) и (2.21)
<£(/) = па - 1, д( 7) = 7) - пв - 1, (2.25)
ДЛЯ / € Па,е и 7 € Па,т.
2.3 Сигма-модель
Пусть С^о ^ 2 и
7 = 7о(*) = 5-Ц- Е ^ (2.26)
^ - «о ,=1
т.е. используется обобщенная гармоническая калибровка.
2.3.1 Ограничения на р-бранные конфигурации
Здесь мы наложим два ограничения на множество р-бран, которые гарантируют блок-диагональный вид тензора энергии-импульса и существование сигма-модельного представления (без дополнительных связей).
Обозначим го1 = {»|» € {1,... ,п}, <7, = 1}, и Пх = |г^11 (т.е. щ - число 1-мсрных
пространств среди М*, £ = 1,... ,п).
Ограничение 1. Для любого а € А и V = с, пг нет /,./ € Па,* таких, что
/ = {г}и(/П7), */ = (/П7)и{;} (2.27)
для некоторых х,з ^
Здесь подмножество 7 определяется следующим образом
7 = /о \ /, /0 = {1,...,«}. (2.28)
Ограничение 2 (только для до = 1,3). Для любого а 6 А нет / € П0,е а 7 6 Па.т таких, что
3 = {£} и / для = 1, (2.29)
/ = {£} У 3 для до = 3, (2.30)
где * € ы\.
Ограничение 1 удовлетворяется для П\ < 1, а также в случае несоставных р-бран: |Па,е| 4- |Па,т| = 1 для всех о € Д. Для пх >2 оно запрещает следующие пары из двух электрических или двух магнитных р-бран, отвечающих одной и той же форме
**,в€ Д:
20