Асимптотическое поведение самонормированных сумм случайных величин

Содержание
1 ВВЕДЕНИЕ 1
1.1 Проблема и ее история.............................. 1
1.2 Замечания о терминологии........................... 3
1.3 Безгранично делимые распределения ................. 5
1.4 Суммы независимых случайных величин................ 7
1.5 Основные результаты диссертации.................... 8
2 СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 12
3 СХОДИМОСТЬ САМОНОРМИРОВАННЫХ СУММ 32
3.1 Формулировка основного результата................. 32
3.2 Доказательство теоремы 3.1........................ 33
4 СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ САМОНОРМИРОВАННЫХ СУММ 38
4.1 Формулировка основного результата................. 38
4.2 Вспомогательные утверждения....................... 38
4.3 Доказательство теоремы 4.1........................ 43
5 СХОДИМОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ 48
5.1 Формулировка основного результата................. 48
5.2 Вспомогательные утверждения....................... 49
5.3 Доказательство теоремы 5.1........................ 57
6 СХОДИМОСТЬ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА 64
6.1 Формулировка основного результата................. 64
6.2 Вспомогательные утверждения....................... 64
6.3 Доказательство теоремы 6.1........................ 69
7 СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ЛОМАНЫХ 79
7.1 Формулировка основного результата................. 79
7.2 Вспомогательные утверждения....................... 80
7.3 Доказательство теоремы 7.1........................ 88
8 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 95
1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Проблема и ее история
Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, ті Є N = {1,2,...}, определены на вероятностном пространстве (^, Т, Р). Обозначим 5« = Х\ 4-... + Хп, У* = Х\ + ... 4- Требуется определить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений отношений б'п/К,} когда п пробегает некоторую подпоследовательность натуральных чисел. Другая задача состоит в том, чтобы описать возможные предельные распределения упомянутых отношений.
Отношение 5П/К не определено, если Уп = 0. Мы будем придерживаться следующего правила, когда требуется определить значение некоторой функции /(Хі,..., Хп, 1^) при Уп = 0, полагая
Разумеется, указанное значение определено для тех функций, для которых предан справа существует. Все функции, которые встретятся в диссертации, имеют определенное значение при Уп = 0 в указанном смысле.
Потребность в решении поставленных задач диктуется логикой развития теории суммирования независимых случайных величин и потребностями в знании асимптотического поведения отношений Зп/Уп для решения многочисленных прикладных задач. В этой связи напомним классическую задачу, которая состоит в том, чтобы найти вещественные числа Лп и Вп > 0, п € ДО, такие, что последовательность функций распределения сумм
слабо сходится к некоторой функции распределения. Решение этой задачи описано в монографиях [1] и [5]. В этих работах, в частности, указываются случаи, когда вместо нормирующих постоянных Вп можно взять случайные величины Уп, п € Лг.
Из числа задач, имеющих необычайно широкое применение в математической статистике, мы укажем на задачу об отыскании распределения ста-
Хя, К,)к=0 = 1ІШ /(*!,... , ХП1 К + є). (1.1)
€—
(1.2)
1
тистики Стьюдента. Она определяется следующим образом
Т.
" V(n-Sl/V>)/(n-lУ
Мы привели модернизированное выражение дляТп по сравнению с классическим определением.
Статистика Стьюдента впервые была введена в употребление в 1908 году в статье [42]. С тех пор она и ее различные модификации широко используются в математической статистике и при решении прикладных задач. С внушительным списком приложений статистики Стьюдента в математической статистике можно ознакомиться но учебнику [9]. Там, в частности, указывается, что распределение статистики Тп можно вычислить, если случайные величины Х\,...,Хп имеют общее центрированное нормальное распределение.
Если отказаться от предположения о нормальности случайных величин ..., Хп, то распределение статистики Тп вычислить не удается. В этой связи естественно использовать приближенные распределения. В этом случае знание предельных распределений для Бп/Уп, п € ./V, может оказать существенную помощь.
Имеется целый ряд публикаций, посвященных исследованию свойств отношений Бп/Уп, п Е N. Предельные теоремы о слабой сходимости распределений указанных отношений при различных предположениях о случайных величинах изучались в статьях [2], [23], [25], [31], [32], [34], [36), [38]. В некоторых из перечисленных статей изучались также неасимптотические свойства отношений Бп/Уп, п Е N. Так, в работах [17], [23] и [41) указаны неравенства, которые являются аналогами известного неравенства Верри-Эссеена. В статье [32] доказаны утверждения об отношениях Бп/Упу п Е N. напоминающие закон повторного логарифма для сумм независимых случайных величин.
Во всех упомянутых статьях, за исключением [2], рассматриваются независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п Е N. В упомянутой статье [2] указаны условия слабой сходимости отношенийБп/Уп, п Е ДГ, к нормальному распределению в предположении, что случайные величины Хп, п Е ./V, независимы и симметричны. Наиболее законченные результаты об отношении Бп/Уп> п Е N. получены в предположении, что общая функция распределения случайных величин Хп, п Е N. принадле-
2
жит области притяжения нормального закона.
Итоги подведены в статье [25]. Там же указана дополнительная литература. Основное утверждение этой статьи состоит в том, что слабая сходимость распределений отношений 5П/К, п £ N. к некоторому распределению, за одним исключением, равносильна принадлежности общей функции распределения Т1 случайных величин Хп, п £ Лг, области притяжения некоторого устойчивого закона.
Ранее был известен один частный результат [31], состоящий в том, что слабая сходимость распределений отношений 5П/Уп, п £ N. к стандартному нормальному закону равносильна принадлежности F области притяжения нормального закона и одновременному выполнению условия ЕХх = 0. При этом выяснилась одна особенность. Если случайные величины ХП) п £ N> имеют ненулевые математические ожидания, то последовательность отношений 5П/УП, п £ Ny может не иметь слабых пределов. Соответствующий пример приведен в статье [31].
Может случиться, что ни при каком центрировании случайных величин Хп: п £ Ni последовательность распределений отношений 5п/14, п £ ТУ, не сходится слабо, но этим свойство!/ обладают некоторые подпоследовательности 5^/1^, п € N. В этой связи естественно обобщить постановку первоначальной задачи. Одно из возможных обобщений состоит в том, чтобы рассматривать последовательности серий Хп\,... ,Хптт, п £ Дг, независимых в каждой серии случайных величин. По данной серии можно построить сумму = ХпХ +------------\- Х^А^ сумму квадратов
= {Хп\_ — СХ.п\)^ + •••■+• (ХпгПп — (Хпгпп)^) гДе ^п1> • • ■ > &пт-п'. п ^ ^5 надлежащим образом подобранные вещественные числа. При такой постановке проблемы можно надеяться получить более общие утверждения об отношении 2ГП/И^П, п £ N.
1.2 Замечания о терминологии
Мы будем пользоваться общепринятой в теории вероятностей терминологией. Наше замечание касается некоторых разночтений в определении слабой сходимости мер и функций распределения.
Пусть П — топологическое пространство, В — а-алгебра. порожденная открытыми в П множествами, д, (лп, п £ Лг, — конечные меры, определенные на В. Современное определение слабой сходимости последовательности
3
{ßn} к ß состоит в требовании того, чтобы
lim ./ /(ж) с//лп(ж) — J f{x) dß(x') (1*3)
п п
для каждой непрерывной ограниченной вещественной (а, следовательно, также и комплексной) функции f{x), х G Т.
В случае вещественной прямой R = (—оо; оо) меры р и рп порождают функции распределения F(x) = р{(-оо;ж]} и -Р„(ж) = ^{(-оо; ж]}. Условие (1.3) равносильно двум утверждениям: последовательность {-^(ж)}п>1 сходится к F(ж), если ж является точкой непрерывпости функции F и последовательность (Fn(oo)}n>i сходится к F(oo), где F(oo) = lim F(ж).
х—*со
Аналогично определяется величина Fn(oo) для каждого п G N. Обратим внимание на то, чтоЕ(-оо) = lim F(ж) = 0 и FJ-оо) = lim FJx) ~ 0.
х—>—оо х—>—Оо
Отмеченная эквивалентность условия (1.3) и двух упомянутых утверждений составляет содержание известной теоремы Хелли-Брея (см. [15], стр. 195).
Введенные выше функции F и Fn, п G IV, не убывают, непрерывны слева и ограничены. Пусть G и Gn, п G Аг, — неотрицательные функции, которые определены на вещественной прямой R и обладают перечисленными свойствами.
Говорят, что последовательность {<3n}n>i слабо сходится к функции G, если lim Gn(x) = G(ж) для любой точки ж, которая является точкой иепре-
П—>00
рывноети функции G.
Скажем, что последовательность {£?*},*> i сходится вполне к G, если она слабо сходится к С и lim Gn(—оо) = G(—оо), lim Gn(оо) = б?(оо).
п—►оо п—юо
Если Ö'n(—оо) = G(-oo) и Gn(oo) = G(оо) для всех п G Лг, то слабая сходимость последовательности {Gn}n>i к G равносильна сходимости вполне. Из приведенных определений и сказанного выше следует, что условие (1.3) равносильно сходимости вполне последовательности {Fn}u>i к F.
Пусть последовательность распределений сумм (1.2) при некотором подборе вещественных чисел Ап и Вп > 0, п G N, слабо сходится к некоторому распределению G. В этом случае говорят, что общая функция распределения F случайных величин Хп, п G Лг, принадлежит области притяжения распределения (закона) G. Если последовательность распределений сумм (1.2) в случае, когда п пробегает некоторую бесконечную подпосле-
4
довательность натуральных чисел, слабо сходится к распределению О, то говорят, что Л принадлежит области чо.ст.ичпого притяжения распределения (закона) (2.
1.3 Безгранично делимые распределения
Наше исследование отношений вп/Уп и Zn/Wn, п Е М, основано на широком использовании методов и результатов об асимптотическом поведении сумм независимых случайных величин, изложенных в монографии [1]).
Неотрицательная функция .Р(я), хбЯ, называется функцией распределения, если она не убывает, непрерывна слева, Я(-оо) = 0, Я(-Ьоо) = 1.
Если Е и (7 — функции распределения, то их свертка определяется по формуле
00 00
^*<?(я) = J Р(х-и)сЮ(и) = ! 0{х — и) йР{и), я ей..
-оо -оо
Функция распределения Р(т) называется безгранично делимой, если для каждого п Е N найдется функция распределения такая, что * • • • *
FЛ = F.
Каждой функции распределения ^ соответствует ее преобразование Фурье-Стилтьеса
оо
/(<)= I е«*<1Р{хЪ «ей,
-00
называемое также характеристической функцией F.
. Если ^ — безгранично делимая функция распределения, то ее характеристическую функцию можно записать по формуле Леви
/(*) = ехр|гт*- у*2+ I - 1 - дН(х)^, (1.4)
й\{0}
где £ € Я, 7 Е II, а > 0, функция Н(х) определена на И \ {0} = (—оо; 0) и (0;оо), не убывает на каждой из полуосей (—оо;0) и (0;оо), #(—оо) = Я(оо) = 0, для любого е > 0 Н(—е) — Н(е) < оо и / х2дН(х) < ос.
0<|х|<£
Представление (1.4) единственно.