РОЗДІЛ 2
МЕТОДИЧНА СИСТЕМА ФОРМУВАННЯ ЕВРИСТИЧНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
УЧНІВ ЧЕРЕЗ СИСТЕМУ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАДАЧ
2.1. Основи побудови системи задач для формування евристичної діяльності учнів основної школи
З позицій діяльнісного підходу до навчання навчальні математичні задачі розподіляються на алгоритмічні, розв'язання яких однозначно визначається деяким алгоритмом; напівалгоритмічні і напівевристичні, розв'язання котрих неоднозначно визначається тією чи іншою схемою, яка містить як алгоритмічні, так і евристичні вказівки; евристичні, розв'язання яких не гарантується кінцевою кількістю кроків, а передбачає їх вибір з багатьох варіантів. В останньому випадку необхідне не тільки логічне мислення, але й інтуїція, винахідливість.
Вважаємо за доцільне серед алгоритмічних задач виділяти суто алгоритмічні, тобто задачі, способи розв'язання яких адекватні відомим алгоритмам і потенційно евристичні задачі, розв'язання яких припускає використання евристичних прийомiв, котрі спрощують відомі способи їх розв'язання. Наприклад, якщо здогадатися в задачі "Знайти значення дробу " представити число 156 у вигляді добутку 78?2 й у чисельнику дробу винести спільний множник, то стандартний спосіб знаходження значення виразу шляхом виконання послідовних обчислень значно спрощується.
Наведемо ще приклад.
Обчислюючи вираз: , має сенс ввести позначення , , що призводить до виразу: (4+а)?(6+b)-(3- а)?(8-b)-(b?7)= =14?а, тобто отримуємо розв'язок .
Таким чином, якщо розв'язання суто алгоритмічної задачі спрямоване (після виходу на алгоритм) в основному на опрацювання стійких алгоритмічних умінь і навичок, то потенційно евристичні задачі можуть бути використані як засіб залучення школярів до евристичної діяльності.
Наведемо приклад, який демонструє особливості (а певним чином - і переваги) евристичного підходу до розв'язання математичних задач.
Розкладіть на множники вираз:
.
Традиційний підхід заснований на алгебраїчних перетвореннях цього виразу з тим, щоб одержати спільний множник у декількох його частинах - доданках. Цей підхід досить штучний, але нема жодних причин відмовити йому в праві на існування.
Евристичний підхід заснований на застосуванні iдей симетрії; розмірностi; методу невизначених коефіцієнтів.
Якщо вираз F розкладається на множники, то, з урахуванням його розмірності, яка дорівнює трьом, слід очікувати, що один з двох множників буде першого степеня, а інший - другого степеня відносно змінних x, y, z. З урахуванням симетрії можна вважати, що перший множник матиме вигляд , а другий - . Отже, слід шукати числа a, b такі, щоб для будь-яких значень змінних здійснювалася тотожність:
У цій рівності a, b-так звані невизначені коефіцієнти. Надаючи змінним значення (1,0,0), маємо 1=а, себто а=1, а надаючи значення (1, 1, 1) маємо
, звідки b = -1.
Отже, остаточна відповідь така:
.
Те, що учням відомий хоча б один із алгоритмів розв'язування наведених задач, надає їм необхідної впевненості в успіху роботи. Однак, усвідомлюючи трудомісткість виконання тих чи інших операцій, більшість з них пробують знайти більш раціональні шляхи досягнення поставленої в задачі мети. До того ж при розв'язуванні потенційно евристичних задач створюються сприятливі умови задля виявлення ініціативи й самостійності учнів, а також формування в них позитивної мотивації щодо засвоєння евристичних прийомів.
Параметром вищенаведеної класифікацiї виступає "відсоток евристичності" (або "ймовірність" розв'язати задачу за скінчену кількість алгоритмічних кроків). При цьому не береться до уваги той факт, що одна і та ж задача для різних учнів може виступати, як задача різного типу, хоч в дійсності задача може бути алгоритмічно розв'язуваною.
На наш погляд, говорячи про типологію задач, слід мати на увазі, що кожна задача розглядається в системі "Людина - задачна система" і тим самим віднесення задачі до того чи іншого типу більшою мірою залежить від індивідуальних якостей людини, яка розв'язує задачу (від її знань, здібностей, минулого досвіду і т.д.).
Цікавий матеріал для аналізу з цього приводу був отриманий нами з інформаційно-методичного вісника за матеріалами Міжнародного математичного конкурсу "Кенгуру" [129]. Це видання привернуло нашу увагу тим, що містило аналіз виконання окремих задач всіма учасниками за кожною категорією. Це надало змогу розглянути евристичну насиченість найбільш складних задач, які, мабуть, і були підставою для виявлення переможців.
Ми виділяємо з матеріалів конкурсу ті задачі, що їх розв'язала не більш як третина учасників. Для кожної з них наводимо певну характеристику евристики, застосування якої, на наш погляд, є вирішальним для розв'язання задачі. Результати цього аналізу вміщені в таблиці 2.1.
Таблиця 2.1
Евристичний зміст задач Міжнародного математичного конкурсу "Кенгуру"
№№Відсоток правильних розв'язаньЕвристичний змістКатегорія "Малюк"(ІІІ-V кл.)532Порівняння 820Рівняння (або геометрична модель)Продовження табл. 2.1
1033"Від кінця до початку"1928Геометрична модель для представлення комбінацій; аналогія з площею2229Алгебраїчна модель2530Алгоритмічна2627Розклад задачі на частини2728Скласти рівняння2817Скласти систему рівнянь2917Скласти рівняння3010"Від кінця до початку"2440ПеребірКатегорія "Школярик"(VI-VII кл.)2220Скласти модель задачі2515Індукція2620Пошук числових закономірностей (числовий ряд)2818Перебір3012ОцінюванняКатегорія "Кадет"(VII-IX кл.)2124Скласти рівняння2223Скласти модель задачі2318Скласти операційну модель2510Геометрична модель для представлення комбінацій; аналогія з площею2627Модель; вибір позначень2722Перебір2818"Принцип крайнього"; перебір2922Перетворення задачі3021Задача потребує спеціальних знань
Відзначимо, що з проаналізованих у цій таблиці 26 задач є лише одна алгоритмічна, а саме
"Малюк", №25.
Автори наводять таке розв'язання:
.