РОЗДІЛ 2
УТОЧНЕНА ТЕОРІЯ ГЕОМЕТРИЧНО НЕЛІНІЙНОГО ПРУЖНОГО ДИНАМІЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ
ШАРУВАТИХ ПЛАСТИН
Шаруваті пластини з композиційних матеріалів є одним з основних конструктивних
елементів різноманітних конструкцій та приладів, які можуть знаходитись під
дією інтенсивних динамічних навантажень і піддаватись значним деформаціям,
залишаючись при цьому лінійно пружними. Рівень сучасних технологій ставить
задачу поряд із визначенням деформативності таких елементів також урахування
особливостей напруженого стану на границях розділу шарів при широкому діапазоні
зміни фізико-механічних властивостей.
У цьому розділі наведені співвідношення варіанту уточненої теорії нелінійного
пружного динамічного деформування шаруватих пластин при дискретному розгляді
шарів. Враховано податливість матеріалу кожного шару трансверсальним
деформаціям зсуву та стиснення. Як наслідок, розглянуто випадок лінійного
деформування.
2.1. Вихідні тривимірні співвідношення геометрично нелінійної динамічної теорії
пружності плоского анізотропного шару з урахуванням демпфування
Розглянемо однорідний анізотропний плоский шар товщини (рис. 2.1),
віднесений до ортогональної декартової системи координат , яка
взаємнооднозначно зв’язана з деякою змішаною криволінійною системою
координат співвідношеннями
, (2.1)
де функції приймаються неперервно диференційованими.
Рис. 2.1. Однорідний анізотропний плоский шар
Базисні вектори системи через матриці прямого і оберненого перетворень
(2.2)
зв’язані з ортами декартової системи співвідношеннями
, . (2.3)
Компоненти метричного тензора
, (2.4)
утворюють симетричні матриці:
, . (2.5)
Надалі криволінійні координати , введені за (2.1), будемо вважати
ортогональними. Тоді в (2.4) компоненти і матриці метричного тензора мають
діагональний вигляд, причому . Для величин в даному випадку вводяться
позначення , які називаються коефіцієнтами Ляме.
Припустимо, що шар під дією деяких динамічних силових факторів піддається
геометрично нелінійній пружній деформації. У результаті цього кожна точка шару
дістає відповідне переміщення , яке розкладається за векторами бази та
. (2.6)
Деформований стан шару в тривимірному випадку описується симетричним тензором
скінченних деформацій [75]
. (2.7)
Компоненти тензора деформації представляються через компоненти вектора
переміщення у вигляді [31, стор. 14, (1.8)]
, (2.8)
де - означає коваріантне диференціювання по координаті , яке діє на коваріантні
та контраваріантні компоненти вектора пружного переміщення за правилами
, . (2.9)
Присутні в (2.9) символи Крістофеля визначаються через компоненти метричного
тензора за формулою [97 стор. 215, (7.8.3)]
. (2.10)
Відзначимо, що в нашому випадку коваріантна похідна по співпадає зі звичайною
похідною
Напружений стан в кожній точці шару характеризується симетричним тензором
напружень
. (2.11)
Припустимо, що матеріал шару підлягає узагальненому закону Гука для
анізотропного тіла, який в криволінійній ортогональній системі координат
представляється інваріантними відносно вибраної системи координат
залежностями виду
, (2.12)
де число незалежних компонент тензора напружень дорівнює 21.
Якщо тіло має одну площину пружної симетрії, то число незалежних компонент
скорочується до тринадцяти. Надалі розглядатимемо випадок, коли через кожну
точку тіла проходить три взаємно перпендикулярні площини пружної симетрії. Таке
тіло називається ортотропним і має три головні напрямки пружності. Число
незалежних пружних сталих скорочується до дев’яти .
Закон Гука для ортотропного матеріалу, коли головні напрямки співпадають з
геометричними напрямками , записується у вигляді
. (2.13)
У термінах коефіцієнтів пружності [55, стор.15, (1.12)] співвідношення (2.13)
запишуться
, , . (2.14)
де
; ;
; (2.15)
– модулі Юнга в напрямках ; – коефіцієнти Пуассона, які характеризують
скорочення в напрямку при розтязі в напрямку ; – модулі зсуву між головними
напрямками та . Для модулів Юнга та коефіцієнтів Пуассона в силу симетрії
рівнянь (2.13) існують залежності
, , . (2.16)
Співвідношення (2.14) справедливі для довільної ортогональної системи
координат, в якій головні напрямки пружності співпадають з геометричними
напрямками .
З виразів (2.14), як частковий випадок, випливають співвідношення закону Гука
для трансверсально-ізотропного та ізотропного матеріалів.
У випадку геометрично нелінійного деформування пружного тіла рівняння рівноваги
мають вигляд [13, стор. 240, формула (7.4)]
, (2.17)
де - компоненти несиметричного тензора напружень Кірхгофа
, (2.18)
які пов’язані з компонентами симетричного тензора напружень співвідношеннями
[31, стор. 15, (1.20)]
. (2.19)
Решта величин в (2.17) мають наступний зміст:
- компоненти вектора об’ємних сил ;
- густина матеріалу шару ;
- коефіцієнт демпфування у напрямку ;
- зміна за часовою координатою.
Рівняння (2.8), (2.12), (2.17), (2.19) складають замкнену систему для
визначення двадцяти чотирьох невідомих, що характеризують тривимірний
динамічний геометрично нелінійний напружено-деформований стан плоского
анізотропного шару: трьох компонент вектора пружного переміщення , шести
компонент симетричного тензора скінченних деформацій , шести компонент
симетричного тензора напружень та дев’яти компонент несиметричного
тензора напружень Кірхгофа .
Постійні в загальному інтегралі диференціальних рівнянь визначаються з умов на
граничних площ
- Київ+380960830922