РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА ВЫХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ ИНДУКЦИОННЫХ УСТАНОВОК С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЕМ
2.1. Задачи моделирования и выбор метода анализа параметров
Задача настоящих исследований заключается в анализе выходных параметров индукционных установок с учетом существующих связей между этими параметрами и параметрами параллельного контура нагрузки. Последние должны непосредственно отражать особенности технологических процессов индукционного нагрева. Следует подчеркнуть, что такие связи важны, так как позволяют исследовать реальную картину изменения выходных параметров установки при протекании технологического процесса.
Математическая модель должна учитывать особенности рассматриваемых режимов, в частности, несинусоидальность выходного напряжения. Это требование существенно, так как в отдельных исследованиях, например в [61,79], введены допущения о синусоидальности выходного напряжения. Это исключает возможность их использования для решения сформулированных задач. Модель должна быть ориентирована на расчет выходных параметров, характеризующих режимы работы индукционных установок. К таким параметрам следует отнести: выходной ток, выходное напряжение, активную мощность.
Важно создать модель, позволяющую исследовать параметры установок, созданных на базе распространенных схем последовательно-параллельных резонансных инверторов, исходя из общих позиций. Это позволит осуществить анализ режимов опираясь на единый математический аппарат, создаст благоприятные условия для сопоставительного анализа.
Математическому моделированию квазиустановившихся процессов в последовательно-параллельных резонансных инверторах посвящен ряд работ [45, 61, 64, 79]. При этом использовались различные методы анализа, а полученные результаты отражали наиболее характерные режимы работы преобразователей. Анализ показывает, что существующие модели не отвечают в полной мере указанным требованиям. Таким образом, возникает необходимость разработки новой модели, учитывающей особенности сформулированных задач моделирования.
Проанализируем существующие методы расчета устройств силовой преобразовательной техники с целью выбора наиболее рационального подхода к моделированию. Индукционные установки, созданные на базе преобразовательных устройств, содержат элементы, характеризующиеся нелинейными вольт-амперными характеристиками. К таким относятся полупроводниковые вентили (диоды, тиристоры и др.). Поэтому анализ рассматриваемых электротехнологических установок необходимо осуществлять на основе методов анализа нелинейных электрических цепей. Математическое описание процессов в таких цепях связано с определенными трудностями. С целью упрощения задачи, как правило, вводят допущения относительно вида нелинейности. Кроме того, пренебрегают некоторыми факторами, не оказывающими существенного влияния на результаты моделирования [67]. Однако следует помнить, что введенные допущения должны отвечать цели моделирования и обеспечивать адекватность реальных и моделируемых процессов. Рассмотрим наиболее распространенные методы анализа [4, 15, 40, 45, 47, 67, 69, 95].
Кусочно-припасовочный метод основан на аппроксимации реальной характеристики нелинейного элемента кусочно-линейной функцией. Это позволяет формировать математическую модель в виде отдельных блоков, соответствующих определенным временным интервалам. На этих интервалах вольт-амперная характеристика нелинейного элемента считается линейной, что позволяет составить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Вольт-амперные характеристики вентилей характеризуются двумя линейными участками: участок, соответствующий включенному состоянию вентиля и участок, соответствующий его выключенному состоянию. Для "идеального" вентиля его сопротивление во включенном состоянии считают равным нулю, а сопротивление в выключенном состоянии равно бесконечности. Начальные условия для отдельных временных интервалов получают с учетом непрерывности токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах в моменты перехода с одного линейного участка на другой. Решение систем дифференциальных уравнений может осуществляться с привлечением классического, операторного методов, численного интегрирования дифференциальных уравнений и др. Выбор метода решения систем уравнений, соответствующих отдельным временным интервалам, осуществляется с учетом количества этих интервалов (количество интервалов, как правило, связано с числом вентилей), а также с учетом количества уравнений, входящих в систему. Процессы в сложных устройствах с большим числом вентилей и разветвленной структурой электрических цепей исследуют с привлечением численных методов интегрирования. Широкое распространение получил одношаговый метод Рунге-Кутта. Этот метод в сочетании с высоким быстродействием современных средств вычислительной техники является мощным инструментом для анализа переходных и стационарных процессов в сложных нелинейных электрических цепях [15, 45, 67, 69, 91].
Метод основной гармоники заключается в том, что в анализе цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами учитывают только основную гармоническую составляющую. Это позволяет получить простые аналитические зависимости для расчета параметров режима, которые в определенных условиях обеспечивают требуемую точность результатов. Возможности для применения этого метода всегда связаны с задачами моделирования, степенью отличия формы исследуемого параметра от синусоидальной.
Метод гармонического анализа. В основу этого метода положено представление несинусоидальной периодической функции в виде суммы гармонических составляющих. Рассматривают воздействие этой функции на линейную электрическую цепь. Результат воздействия определяют в виде полных рядов Фурье [67]. Недостаток этого метода заключается в громоздкой процедуре разложения исходной функции в ряд Фурье, а также в получении расчетных параметров путем суммирования большого количества гармоник. Однако в определенных случа