РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНКИ ИНТЕНСИВНОСТИ ВХОДЯЩЕГО
ПОТОКА ЗАЯВОК ДЛЯ МНОГОЛИНЕЙНОЙ СМО ТИПА И ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
СИСТЕМЫ ПРИ БЫСТРОМ ИЗМЕНЕНИИ ВО ВРЕМЕНИ ПЛОТНОСТИ
ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
2.1. Постановка задачи
Системы массового обслуживания являются стандартной математической моделью для
описания многих технических, биологических и других процессов.
Важнейшим элементом всех таких систем являются входящие потоки некоторых
событий. Однако, на практике часто возникают ситуации, когда прямое наблюдение
входящего потока невозможно. Типичным примером таких ситуаций являются
физические, технические или биологические системы с так называемым «мертвым
временем». Разработке алгоритмов обработки таких потоков в литературе уделено
много внимания (см. библиографию в [18]), однако вопрос нельзя считать
исчерпанным до конца, особенно в части разработки оптимальных алгоритмов
обработки.
Рассмотрим систему массового обслуживания типа с отказами, то есть систему
массового обслуживания с однотипными обслуживающими приборами и отсутствующей
очередью. На систему поступает пуассоновский поток заявок интенсивности ,
обслуживание на каждом приборе экспоненциальное с параметром .
Будем считать, что после каждого поступления заявки исходного потока на прибор
обслуживания возникает некоторое время восстановления , в течение которого
заявки исходного потока не наблюдаются. Сначала рассмотрим случай, когда –
величина постоянная для каждого прибора. Будем считать, что заявки, которые
поступают в систему в течение времени восстановления, не вызывают его
продления.
Поскольку все приборы имеют одинаковые характеристики, то требование может
обслуживаться любым из них. Поэтому, если пришедшая заявка застает хотя бы один
прибор свободным, она тут же начинает обслуживаться, и момент начала
обслуживания фиксируется как событие наблюдаемого потока требований. Если все
приборы в момент поступления заявки заняты, то она получает отказ в
обслуживании и теряется. Необходимо по моментам занятия приборов построить
оценку интенсивности входящего потока заявок и исследовать ее. Описанная
ситуация схематично изображена на рис. 2.1, где на нижней прямой обозначены
моменты наступления событий наблюдаемого потока .
Рис. 2.1. Схема образования времени восстановления
Из рисунка видно, что некоторые события входящего потока были «потеряны», так
как попали в зону времени восстановления прибора, поэтому наблюдаемый поток
содержит только те события, которые не попали в интервал времени восстановления
предыдущего прибора. Моменты их наступления являются исходными
экспериментальными данными, использование которых даст возможность получить
оценку интенсивности входящего потока в любой момент времени .
Описанная задача может служить математической моделью регистрирующих физических
систем при наличии у приборов времени восстановления и нескольких
регистрирующих приборов. Подобная схема течения процесса появляется в
биологических системах, где имеется несколько путей передачи импульсов
возбуждения. В этом случае занятие прибора означает прохождение сигнала по
какому-то пути с выбросом медиатора в межмембранное пространство и последующей
блокировкой этой мембраны. Наличие нескольких путей передачи импульсов
возбуждения эквивалентно наличию нескольких приборов, так как импульс
возбуждения может пойти по любому свободному аксону нервной клетки.
2.2. Переходные и предельные вероятности. Методы их вычисления
Пусть случайный процесс описывает количество занятых приборов в момент времени
. Рассмотрим моменты появления событий в наблюдаемом потоке требований , то
есть – моменты поступления заявок на имеющийся свободный прибор. Введем
величины ? интервалы времени между этими поступлениями. Будем рассматривать
состояние изучаемой системы сразу после поступления заявки на прибор, то есть
только в эти моменты времени и обозначим через число занятых приборов в момент
. Величины образуют цепь Маркова, и характеристики системы могут быть получены
методом вложенных цепей Маркова [41].
Идея данного метода сводится к тому, чтобы упростить описание состояний
системы, заменив двумерное описание , где ? число требований в системе, ?
время наработки элемента к моменту (время нахождения заявки на обслуживании к
моменту ), одномерным описанием . Для нашей задачи мы выбираем моменты времени
, описанные выше. В этом случае значения процесса образуют цепь Маркова. Далее
будем исследовать полученную цепь обычными методами.
Предположим, что в какой-то момент времени в системе занято приборов. За
интервал времени могут произойти следующие события:
- с вероятностью прийти заявка и свободный прибор примет заявку на
обслуживание. Это значит, что в момент времени в системе будет занятый прибор и
в наблюдаемом потоке появится очередное событие;
- с вероятностью закончится время восстановления одного из приборов, то есть он
закончит обслуживание. Тогда в момент времени в системе будет занятый прибор.
Событие, связанное с освобождением прибора не вызовет появления события в
наблюдаемом потоке требований ;
- с вероятностью в системе ничего не произойдет.
Получим, что вероятность перехода за интервал времени , при условии, что этот
переход произошел, выглядит так
(2.1)
(2.2)
где - пропускная способность системы.
Рассмотрим случаи, когда система находится в состояниях и . При возможен лишь
переход в состояние 1 с одновременным появлением события в наблюдаемом потоке .
Из состояния возможен лишь переход в состояние без появления события в потоке .
Условные вероятности этих переходов равны
Перейдем к и