РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ И ЭФФЕКТИВНОСТИ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕРНОВЫХ ЖАТОК
2.1. Структурный анализ надежности зерновой жатки
Зерновую жатку можно представить в виде некоторой системы состоящей из ряда отдельных подсистем. К таким подсистемам, выполняющим самостоятельные функции, относятся, прежде всего, мотовило, транспортёр, режущий аппарат и общий для всех механизмов привод [12,36,38].
Эффективность работы жатки зависит от работоспособности каждой из подсистем, а также определяется способом их соединения в общую систему. При этом отказ в работе любой из подсистем ведет к отказу всей жатки в целом и прекращению ее нормального функционирования. Каждый из механизмов (подсистем) может находиться в двух фиксированных положениях: рабочем или нерабочем, обусловленном отказом в ожидании или в состоянии ремонта. Нахождение подсистемы в том или ином состоянии количественно оценивается соответствующей вероятностью.
Таким образом, переходы жатки, как сложной системы, из одного состояния в другие может рассматриваться в виде процесса с фиксированными дискретными положениями и непрерывным временем переходов. При этом заранее невозможно предвидеть, в какой момент времени с механизмами могут происходить те или иные отказы, требующие диагностики и ремонтных работ. Такой случайный процесс переходов с точки зрения математического описания удобно рассматривать как марковский и иллюстрировать его соответствующим графом состояний. Для зерновой жатки размеченный граф состояний представлен на рис. 2.1.
Предполагается, что потоки событий, связанные с переходами в различные состояния, являются простыми пуассоновскими, обладающими интенсивностями и -ых подсистем [15,21,44]. Таким образом, жатка как система может находиться в конечном числе возможных дискретных состояний:
- исправная и работает;
- исправная, но не работает (простой);
- неисправная (диагностирование причины отказа);
- неисправная по причине отказа мотовила и устранения поломки;
- неисправная по причине отказа режущего аппарата и устранения поломки;
- неисправная по причине отказа транспортера и устранения поломки;
- неисправная по причине отказа привода и устранения поломки.
Описание случайного процесса перехода в различные состояния может быть осуществлено на основе определения вероятностей состояния, которые в общем случае являются функциями времени , .
Рис. 2.1. Размеченный граф состояния зерновой жатки.
Или можно записать: ,
где - вероятность того, что в момент времени система находятся в состоянии .
Следуя правилу составления уравнений Колмогорова [16,46], используемого в системах, блуждающих по множеству состояний, для рассматриваемой жатки можно записать:
Если учесть, что возможные состояния жатки статистически независимые события, то для полной группы таких событий существует нормировочное условие в виде следующей суммы:
. (2.2)
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (2.1) относительно неизвестных вероятностей состояний , зададимся начальным распределением вероятностей в момент начала работы при .
Правомерно допустить, что в начальный момент времени жатка находится в работоспособном состоянии и выполняет свои функции по уборке урожая. То есть, система находится в состоянии с вероятностью . Тогда, согласно, нормировочного условия, остальные вероятности состояний равны:
В установившемся режиме эксплуатации, когда процессы переходов приобретают некоторый стационарный характер, вероятности состояний стремятся к некоторым своим предельным (финальным) значениям:
Это характерно для стационарного режима эксплуатации. В таком режиме жатка переходит из одного состояния в другое, но вероятности нахождения в них остаются постоянными. Каждая финальная вероятность приобретает значение среднего относительного времени пребывания жатки в том или ином состоянии. Если возврат в то или иное состояние возможен, то такие состояние считается существенным. Для установления финальных вероятностей важно (необходимо и достаточно), чтобы из какого-либо существенного состояния система (жатка) за какое-то количество шагов могла попасть в другое любое существенное состояние.
Из графа состояний зерновой жатки (рис. 2.1) видно, что все её состояния существенны ибо после выполнения конечного количества шагов (переходов) всегда возможен возврат системы в любое другое существенное. Это говорит о возможности достижения устанавливающегося режима переходов для которого выполняется условие:
; .
В этом случае, исходя из стационарности режима для установившегося процесса будет справедливо равенство:
. (2.3)
Тогда решение системы дифференциальных уравнений может быть заменено решением системы линейных алгебраических уравнений [30,31]:
Таким образом, получена система из семи алгебраических уравнений с семью неизвестными . Эти уравнения системы могут быть дополнены нормировочным условием (2.2).
Решение системы выполним методом подстановок. Для этого заменим первое наиболее громоздкое уравнение (2.4) нормировочным условием (2.2). Из уравнения (2.5) системы имеем:
. (2.11)
Далее из следующих (2.7...2.10) уравнений системы получаем:
; (2.12)
; (2.13)
; (2.14)
. (2.15)
Решим систему подставляя в нормировочное условие значения всех вероятностей, выраженных через :
Откуда:
Или, вынеся за скобки, имеем:
Решив относительно , получим:
или
Соответственно, имея , по формулам (2.11...2.15) определяются вероятности , , , , . Вероятность находится из нормировочного условия как разность:
. (2.16)
Полученные вероятности состояний положены в основу определения комплексных показателей надёжности зерновой жатки. Так, ко