РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МЕТОДУ УЗАГАЛЬНЮЮЧИХ ФУНКЦІЙ ДЛЯ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ З КОМБІНОВАНОЮ НЕВИЗНАЧЕНІСТЮ
Проведений аналіз та порівняння методів моделювання систем керування в умовах невизначеності свідчить про те, що просте поєднання в одній моделі нечітких та стохастичних даних неможливе через відмінності як в аксіоматичних основах, так і у правилах виконання основних математичних операцій. Тому для розв'язання цієї задачі необхідно створити нову формальну систему узагальнюючих функцій (УФ), яка має зв'язок як з нечіткою, так і з стохастичною системами.
2.1. Розробка математичних основ узагальнених перетворень
Формальна система (додаток А) включає: алфавіт, правила утворення формул, правила переходу від формальних систем достовірних чисел R, випадкових величин P, нечітких чисел A до системи G і назад, систему аксіом та правила виводу.
Аксіоматична основа формальної системи УФ відіграє важливу роль у побудові всієї теорії та методики моделювання систем керування в умовах невизначеності.
Метод побудови аксіоматичної основи формальної системи узагальнюючих функцій G грунтується на усвідомленні того факту, що система УФ призначена для узагальнення двох систем: системи випадкових величин (стохастичних даних) Р і системи нечітких чисел (нечітких даних) А, а також вимогах до аксіоматичної основи [20,132]:
1) незалежність аксіом,
2) повнота аксіоматичної системи,
3) відсутність протиріч.
Позначимо множину аксіом теорії ймовірностей ВР, множину аксіом нечіткої логіки ВА, множину аксіом узагальнюючої системи ВG, а універсальну множину аксіом, на якій грунтується обробка числових даних ВО.
Очевидно, що кожна множина ВР, ВА, ВG повинна задовольняти вимогам 1)-3), а також ВР ? ВО, ВА ? ВО, ВG ? ВО.
Співвідношення між множинами показане діаграмою Ейлера на рис.2.1.
Базові аксіоматичні системи мають спільну частину ВРА = ВР ВА, і різницеві частини , .
Зрозуміло, що узагальнююча аксіоматична система ВG повинна містити множину ВРА, тобто ВРА ? ВG, але цього недостатньо для побудови формальної системи G.
Твердження 2.1. Система ВРА є неповною.
Дійсно. Припустимо, що це твердження невірне. Тоді при побудові системи Р аксіоми є надлишковими, а значить і залежними. Аналогічно аксіоми при побудові системи А. Але це протирічить припущенню про відповідність множин ВР і ВА вимогам. Таким чином, для побудови системи G множина ВРА повинна бути доповнена множиною , але не може повністю належати ні до ВР, ні до ВА.
Твердження 2.2. () ()
Дійсно. Очевидно . Припустимо . Оскільки , то , а це означає, що або , тобто протирічить постановці задачі.
Множина ВG не може містити обидві множини ВР і ВА, тобто , оскільки вони не задовольняють вимозі 3).
Твердження 2.3. Аксіоми і містять взаємні протиріччя.
Дійсно. Якщо система задовольняє вимозі повноти, то всі твердження, що не містять протиріч з ВР, випливають з ВР, тобто твердження або протирічать , або не є аксіомами.
Таким чином, співвідношення між множинами ВО,ВР, ВА, ВG можна представити діаграмою Ейлера рис. 2.2.
Оскільки множина аксіом ВG системи узагальнюючих функцій G не покриває ні множину ВР, ні множину ВА, то від метода узагальнення, що грунтується на такій аксіоматичній базі не слід очікувати точного співпадіння узагальненої моделі з оригіналами в системах Р та А. Ступінь наближення моделі до оригіналу повинна досліджуватися у кожному випадку окремо.
Зупинимося тепер на змістовному аспекті елементів множин В. Визначення складу відповідних множин аксіом значно ускладнюється по-перше неодназначністю представлення аксіоматичних систем як теорії ймовірностей, так і нечіткої математики, що відзначається в багатьох дослідженнях [1], а по-друге тим, що первинно аксіоми теорії ймовірностей сформульовані для множини "подій", нечіткої математики - для перелічних нечітких множин, і застосування їх до обробки числових даних відбулося вже пізніше, в той час, як метод узагальнення з самого початку призначений для обробки даних. Порівняння аксіом наведено у таблиці 2.1.
Таблиця 2.1
Порівняння аксіом теорії ймовірностей, нечіткої математики і системи узагальнюючих функцій
Аксіоми теорії ймовірностей (за Колмогоровим)Аксіоми нечіткої математикиАксіоми системи узагальнюючих функційМножина подій є алгеброю Аксіома доповнення
- - для достовірної події - для нормованої -
причому не визначене, якщо
причому не визначене, якщо Аксіома неперервності
Для послідовності причому має місце рівність -- Примітка:
Е - довільне дане; І - достовірне дане (достовірна подія).
Узагальнююча функція - це додатньо визначена функція на проміжку можливих значень аргументу, яка позначається ?(х) і характеризує можливість ? або ймовірність Р прийняття аргументом значення з певного інтервалу [x1, x2], x1?B, x2?B, за правилами
, ,
де xi-1, xi ? B, i = 1 ... n, n - кількість інтервалів розбиття В.
Узагальнююча функція ?(х):
1. Для чіткого х, значення якого визначається статистично з похибкою ?X, збігається за властивостями із щільністю (диференціальним законом) розподілу ймовірностей, рис. 2.3
? (х)=fX(x), (2.1)
2. Для достовірного х, значення якого визначається точно, рис. 2.4
?(х)=?(x-Х), (2.2)
де ?(x) - дельта-функція Дірака [58];
3. Для нечіткого х, значення якого задається функцією належності, рис. 2.5
?(х)=?н(x), (2.3)
де ?н(x) - нормована функція належності;
, (2.4)
з операцією диз'юнкції
, (2.5)
і операцією кон'юнкції
, (2.6)
де ?R - характеристика взаємозв'язку нечітких змінних x1 і x2.
З огляду на визначення, УФ можна охарактеризувати початковими і центральними моментами і пов'язаними з ними характеристиками.
Перший початковий момент:
. (2.7)
Другий початковий момент
. (2.8)
Другий центральний момен