ГЛАВА 2
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАСЧЕТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ
СРЕДЕ
В данной главе представляются на основе метода вторичных источников уточненные
математические модели расчета магнитного поля в кусочно-однородных линейных
средах. Повышение точности расчета магнитного поля достигается за счет
дополнения граничных интегральных уравнений соотношениями, полученными из
принципа непрерывности магнитного потока или закона полного тока в интегральной
форме. Для плотности распределения вторичных источников поля на границах
раздела сред применяется кусочно-постоянная аппроксимация.
В качестве вторичных источников используются наиболее часто применяемые для
решения задач магнитостатики типы: простой слой магнитных зарядов, простой слой
токов, двойной слой магнитных зарядов, двойной слой токов.
2.1. Повышение эффективности расчета магнитного поля постоянных токов в
магнитных средах с постоянной магнитной проницаемостью
Сформулируем задачу расчета магнитного поля в магнитной системе. Первичными
источниками магнитного поля в магнитной системе является стационарный ток. В
поле этого тока расположен магнитопровод, выполненный из ферромагнетика с
постоянной магнитной проницаемостью . Требуется определить поле как внутри, так
и вне магнитопровода.
При расчете магнитного поля постоянных во времени токов или постоянных
магнитов, возмущенного ферромагнитным телом с магнитной проницаемостью ,
используют интегральное уравнение или для поверхностной плотности магнитных
зарядов (1.10), (1.37), (1.38), или для поверхностной плотности простого слоя
тока (1.26), или для поверхностной плотности двойного слоя зарядов (1.15),
(1.39), (1.40) или для поверхностной плотности двойного слоя токов (1.41).
2.1.1. Математическая модель расчета магнитного поля на основе интегрального
уравнения для простого слоя магнитных зарядов
Рассмотрим расчет магнитного поля в магнитной системе, создающей
плоскопараллельное магнитное поле (рис. 2.1), с использованием ИУ для
поверхностной плотности магнитных зарядов. Уравнение имеет вид [13]:
, 233
где
и –поверхностная плотность простого слоя магнитных зарядов в точках Q и P
границы l;
– магнитная проницаемость магнитопровода, ограниченного замкнутой линией l;
– магнитная проницаемость вакуума;
– вектор, соединяющий точки P и Q и направленный из точки P в точку Q;
– единичная внешняя нормаль в точке Q;
– напряженность магнитного поля заданных стационарных токов намагничивающих
катушек.
После преобразования ИУ (2.1) с использованием соотношения получается следующее
ИУ [13]:
. 445
Интегральные уравнения (2.1) или (2.2) решают, как правило, сведением
Рис.2.1
его к системе аппроксимирующих алгебраических уравнений с последующим ее
решением или итерационными, или прямыми методами.
Рассмотрим сначала метод последовательных приближений. Каждое из уравнений
(2.1) или (2.2) коротко можно записать в виде
где
– оператор интегрального уравнения, например, для уравнения (2.2) он
определяется равенством
; 657
– свободный член, который равен
. 869
Метод простой итерации, как известно [104], строится следующим образом
10711
Количество итераций n определяется из условия
, 12813
где
– относительная среднеквадратическая погрешность решения интегрального
уравнения;
под нормой понимается следующая величина ;
– заданная погрешность в процентах.
При численной реализации итерационной схемы (2.5) границу ферромагнетика
разбиваем на элементарные отрезки, на каждом из которых поверхностную плотность
простого слоя магнитных зарядов полагаем постоянной, т.е. аппроксимацию
интегральных уравнений (2.1), (2.2) системой алгебраических уравнений
осуществляем по методу Крылова-Боголюбова [79]. Точки коллокации (, – число
элементов разбиения границы ферромагнетика) располагаем в центральных точках
элементарных участков. Тогда СЛАУ, соответствующая, например, уравнению (2.2)
примет вид
, , 14915
где
– поверхностная плотность магнитных зарядов на k-м элементарном отрезке
(аналогично );
– вектор, соединяющий произвольную точку P отрезка и центральную точку
элементарного отрезка , и направленный из первой точки во вторую;
– внешняя единичная нормаль к отрезку ;
–напряженность магнитного поля заданных токов намагничивания в центральной
точке элементарного отрезка .
С целью ускорения сходимости процесса последовательных приближений и
увеличения точности расчета магнитного поля на каждой итерации воспользуемся
принципом непрерывности магнитного потока в интегральной форме.
Заметим, что при введении в качестве искомой функции плотности магнитных
зарядов закон полного тока при использовании ИУ (2.1) или (2.2) выполняется
автоматически, т.е. он выполняется при произвольном распределении на линии l.
Обозначим следы замкнутых поверхностей через (рис. 2.1), – число замкнутых
поверхностей. Для m-й замкнутой поверхности можно записать
или .
Разобьем интеграл по замкнутому контуру на два интеграла и воспользуемся
материальным уравнением, тогда получим
. 161017
Напряженность магнитного поля при введении магнитных зарядов выражается
формулой
. 181119
Подставим (2.9) в (2.8). Тогда получим
, , 201221
где
Уравнения (2.10) являются искомыми дополнительными интегральными соотношениями
к уравнению (2.1) или (2.2).
Процесс последовательных приближений с использованием этих интегральных
соотношений будет выглядеть так
221323
где
, n – число итераций;
Количество итераций n при реализации итерационного процесса (2.11) определяется
из условия
или на шаге больше, чем на шаге,
где
– погрешность (2.6) решения интегрального уравне
- Київ+380960830922