РАЗДЕЛ 2
ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
С ОБРАТИМЫМИ СВОЙСТВАМИ
2.1. Материальное уравнение модельной анизотропной шихтованной среды
В разделе 1 для нелинейной анизотропной среды без гистерезиса сформулирован
интегральный принцип взаимности, позволяющий по одному семейству скалярных
зависимостей восстановить полную векторную характеристику намагничивания (,
Н(В)). Основная цель данного раздела – рассмотрение практических особенностей
использования этого метода.
Для обоснования основных теоретических и практических аспектов рассматриваемой
задачи важно располагать достоверной полной информацией о векторных магнитных
свойствах нелинейной анизотропной среды. Эту информацию можно получить путём
выбора в качестве модельной шихтованной среды, для которой можно рассчитать
точные зависимости B1(Н1, Н2), B2(Н1, Н2) и провести сравнение с
соответствующими расчетными данными.
Коэффициент заполнения железом шихтованной среды примем равным p=0,995.
Характеристика намагничивания изотропной стали пластин аппроксимирована
выражением
. (2.1)
Пусть индексы 1 и 2 соответствуют параллельным и перпендикулярным плоскости
раздела компонентам поля. Для приведенных анизотропных свойств шихтованной
среды легко получить [32]
(2.2)
В этих соотношениях индекс “с“ относится к характеристикам поля в стали.
Введем равномерные сетки
Н 1: Hmin1 = H01 < H11 < H21 < … < Hj1 < …< HN1 = Hmax1, j=0, 1, 2, … , N;
Н 2: Hmin2 = H02 < H12< H22 <… < Hi2 < … < HM2 = Hmax2, i=0, 1, 2, … , M
c соответствующими шагами , , причем в общем случае h1?h2.
На этих сетках зададим два семейства кривых намагничивания в ортогональных
направлениях В1(,) и В2(,). В соответствии с (1.28), (1.29)
Sji1 = (,) -(,)] d , (2.3)
Sij2 = (,) -(,)] d (2.4)
и Sji1=Sij2. Напомним, что при выполнении равенства mB1·mH1=mB2·mH2 приведенные
интегралы приобретают смысл геометрических площадей, которые равны также и
визуально. Заметим также, что пределы интегрирования в (2.3), (2.4) могут быть
произвольными, в т.ч. бесконечными. В последнем случае ограниченность
несобственных интегралов вытекает из ограниченности соответствующих площадей
(рис. 1.6).
Из рис. 1.2 непосредственно видно, что по известному массиву площадей Sji1 и
одной из характеристик семейства В2(,), например В2(0,), можно восстановить все
характеристики этого семейства. Вычисление массивов Sji1 и Sij2 сводится к
интегрированию характеристик намагничивания при соответствующей их
аппроксимации. При этом точность вычисления этих площадей, а следовательно, и
точность “восстановления” характеристик В2(,), будет зависеть от степени
аппроксимирующего полинома и параметров дискретизации.
Рассмотрим вначале простейший случай кусочно–линейной аппроксимации и
соответствующий ему метод трапеций [32]. Пусть на сетках Н 1, Н 2 задан массив
точек В1(Нj1, Нi2), j=0, 1, …, N; i=0, 1, …, M. Тогда, применяя соответствующие
квадратурные формулы, можно найти массив площадей Sji1, а следовательно, и
Sij2. Из равенства Sji1=Sij2 легко получить рекуррентное соотношение (для
упрощения принято обозначение В1(Нj1, Нi2)=В1(j, i) и аналогично для В2)
B2 (j+1, i+1) = B2 (j, i) - B2 (j+1, i) + B2 (j, i+1) +
+h1/h2·[B1 (j, i+1) + B1 (j+1, i+1) – B1 (j, i) – B1 (j+1, i)]. (2.5)
Поскольку диапазон изменения переменной Н1 конечен, соотношения (2.5)
необходимо дополнить “начальными” значениями B2(j, 0)=0 и одной из
характеристик B2(j, i), например, характеристикой B2(j, 0) или B2(j, M).
Проанализируем точность аппроксимации характеристик B2(j, i) с использованием
соотношения (2.5). На рис. 2.1 – 2.4 символами “o” показаны узлы, а сплошными
линиями - точные характеристики B1(H) и B2(H), рассчитанные по формулам (2.1),
(2.2) для параметров дискретизации h1=3 кА/м, h2=3 кА/м, N=8, M=6. На рис. 2.2а
символами “¦” и пунктирными линиями обозначены кривые (H), рассчитанные по
(2.5) совместно с заданной “начальной” кривой B2(0, H2). Как видно из этого
рисунка, при такой аппроксимации точность совпадения результатов невысокая. Её
количественную оценку определим выражением
из которого для рассматриваемого случая получим e=0,0959 Тл. Если же за
“начальную” кривую принять B2(H1=24 кА/м, H2) при сохранении прежних параметров
дискретизации (рис. 2.2б), точность совпадения теоретических B2(H) и расчетных
(H) кривых выше (e=0,0332 Тл, что в 2,9 раза меньше, чем в ранее рассмотренном
случае). Это объясняется тем, что относительная погрешность Ds при расчете
площадей Sji1 по характеристикам B1(H) из-за их грубой линейной аппроксимации в
зоне слабого поля H1 больше, чем в зоне сильного поля H1 (эти отклонения
отмечены на рис. 2.1 и рис. 2.2 штриховкой).
На рис. 2.3 показаны аналогичные характеристики при замене циклической
переменной i на N - i, что эквивалентно изменению направления расчета.
Очевидно, при этом следует заменить “начальные” значения B2(j, 0)=0 на B2(j,
H2=18 кА/м). Приведенным на рис. 2.3а характеристикам соответствует значение
e=0,0981 Тл, а на рис. 2.3б - e=0,034 Тл.
Как видно из этих иллюстраций, наиболее высокая точность совпадения результатов
достигнута при выборе в качестве базового семейства B1(H) и “начальной” кривой
B2(H1=24 кА/м, H2) с равномерным шагом (рис. 2.2б, e=0,0332 Тл).
Результаты аппроксимации можно улучшить путем выбора неравномерного, в
частности кусочно-равномерного шага дискретизации. Например, при 0?H1?4 кА/м и
h1=1 кА/м, 4?H1?24 кА/м и h1= 5 кА/м и h2= 3 кА/м =const погрешность
аппроксимации составляет e=0,01812 Тл (см. рис. 2.4), т.е. в 5,29 раз меньше,
чем при равномерном шаге дискретизации h1 =3 кА/м
- Київ+380960830922