Електромагнітні поля і процеси в індукційних системах для термічного та силового впливу на метали

РАЗДЕЛ 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ПРОЦЕССЫ В ИНДУКЦИОННЫХ СИСТЕМАХ С БЕГУЩИМ МАГНИТНЫМ
ПОЛЕМ ДЛЯ НАГРЕВА ЛЕНТ
Одной из наиболее важных проблем при индукционном нагреве тонких лент и полос
является обеспечение заданной равномерности нагрева по ширине. В работах [13,
14] определен круг факторов, влияющих на од­нородность распределения
температуры по ширине лент, и показано, что равномерность нагрева металла
зависит от конструктивных соотно­шений индуктора, геометрических размеров и
электрофизических свойств нагреваемой полосы. Однако найденные зависимости и
соотношения получены при допущении о постоянстве электропроводности,
симметричном относительно продольной оси положении ленты, без учета продольного
краевого эффекта и влияния асимметрии фазных токов, присущей линейным
индукционным машинам бегущего магнитного поля. Влияние отдельных особенностей
на равномерность распределения температуры по ширине ленты может быть учтено в
представлении токовой нагрузки машины в виде бегущей волны токов.
2.1. Оценка влияния неоднородности электропроводности по ширине ленты на
распределение температуры
Воз­никающая в процессе нагрева неоднородность джоулевых тепловыделе­ний
приводит к неоднородности электропроводности, что сказывается и на
распределении температурных полей. Целесообразно оценить влия­ние
неоднородности электропроводности на характер распределения джоу­левых
тепловыделений в металле с учетом процессов теплопроводности и теплоотдачи с
поверхности ленты.
Предполагается, что в качестве нагревателя используется двухсторонняя
индукционная машина бегущего магнитного поля. Так как при больших скольжениях,
характерных для индукционного нагрева, про­дольный краевой эффект незначительно
влияет на энергетические па­раметры, будем считать индукционную машину
бесконечно длинной. Сердечники индуктора принимаются идеальными (), глад­кими и
бесконечно широкими. Обмотка индуктора представляется плоской, сосредоточенной
на поверхности сердечников в виде бесконечно тонкого слоя шириной , равной
расчетной ширине сердечников согласно (1.25). Лобовые части обмотки полагаются
локализованными на краях индук­торов. Токовая нагрузка задана в виде бегущей
синусоидальной волны и имеет две составляющие:
; (2.1)
, (2.2)
где - составляющая токовой нагрузки вдоль оси ; - токовая нагрузка ло­бовых
частей обмотки;
- (2.3)
амплитуда токовой нагрузки; - круговая частота; ; - полюсное деление; , - число
витков фазы обмотки индуктора, - амплитудное значение первичного тока; - число
фаз; - число пар полюсов; - обмоточный коэффициент; - единичная обоб­щенная
функция; - дельта-функция Дирака; .
Для составляющих токовой нагрузки безусловно выполняется равество:
.
В воздушном зазоре (величиной ) расположена электропроводная полоса шириной ()
и толщиной (рис. 2.1). Влияние зубчатости сердечников и потери в стали
учитываются в расчетах введением экви­валентной величины немагнитного зазора.

Рис. 2.1. Расчетная модель
Электромагнитные поля и процессы, протекающие в воздушном зазоре и
металлической полосе описываются уравнениями Максвелла (1.2) – (1.4) и
материальными уравнениями (1.6), (1.7). Магнитная проницаемость среды всюду
принимается равной магнитной постоянной (), а электро­проводность металла
изменяется только по координате по закону
,
где - температурный коэффициент сопротивления; - функция рас­пределения
температуры по ширине; - начальная величина электро­проводности. Вектор
скорости имеет одну составляющую по координате : . После преобразований
уравнений (1.2) – (1.4) с учетом (1.6), (1.7) и при­нятых допущений получим
следующее уравнение для вектора магнит­ной индукции в металлической полосе:
, (2.4)
где - орты. Величина индукции в операторе относится к электромагнитному полю
индуцированных токов, а не к суммарному полю. Вне металлической полосы
магнитное поле в зазоре машины удовлетворяет уравнению Лапласа: .
Для анализа интегральных электромагнитных процессов в ин­дукторе достаточно
ограничиться рассмотрением лишь - составляющей магнитной индукции.
Действи­тельно, для нее можно сформули­ровать достаточное количество гра­ничных
условий, позволяющих од­нозначно определить ее во всем объеме зазора. На
поверхности сер­дечников (), исходя из , для - составляющей будем иметь
следующее граничное условие:
. (2.5)
На границах раздела сред () удовлетворяются условия равен­ства нормальной
составляющей магнитной индукции и ее производной. Последнее следует из
равенства тангенциальных составляющих напря­женности магнитного поля.
Учитывая, что компоненты электромагнитного поля изменяются по закону бегущей
волны (), то для составляющей магнитной индукции уравнение принимает вид
, ;
, , (2.6)
где - скольжение. Усредним уравнение (2.6) по высоте немагнитного зазора,
приняв
. (2.7) Проинтегрировав почленно уравнения (2.6), получим для усредненных
значений результирующей магнитной индукции
(2.8)
При интегрировании учитывалось, что электропроводная полоса занимает только
часть зазора. Поэтому . Так как - составляющая магнитной индукции в зазоре
линейной индукционной ма­шины в случае немагнитных рабочих сред и в приближении
малого зазора ()незначительно изменяется по высоте зазора, можно принять, что
. (2.9)
Усреднение члена при дает
,
где - магнитная индукция от токов обмотки. Перви