РАЗДЕЛ 2
использование метода КОНЕЧНЫХ объемов для расчета ТРЁХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ В НЕоднороднЫХ СРЕДАХ с ВКЛЮЧЕНИЯми сложной формы
Как уже отмечалось выше, при решении ряда практически важных задач возникает
необходимость численного расчета электрических полей в неоднородных
диэлектрических и слабопроводящих средах, содержащих включения сложной
пространственной конфигурации. Для этого требуются разработка подходов и
методов, позволяющих учесть объемную структуру таких включений, а также
неоднородные электрические свойства сред. Как показано в разд. 1, в данном
случае для расчета ЭП наиболее целесообразно применение метода конечных
объемов.
Задача расчета распределения проникшего низкочастотного электрического поля в
слабопроводящем включении, например теле человека, может быть разделена на две
части. Вначале определяется ЭП вне включения в предположении, что оно идеальный
проводник. Такое допущение возможно для случаев, когда комплексное
сопротивление внешней среды на много порядков превышает комплексное
сопротивление слабопроводящей среды включения (например, когда тело человека
расположено в воздухе) [62]. Полученное распределение используется для решения
внутренней задачи, выполняемое при допущении, что внешняя среда – идеальный
диэлектрик [63].
Использование метода конечных объемов позволило рассчитать распределения
электрического поля в различных конструкциях: расположенной в диэлектрике
системе "игла-плоскость" [62,64,65], противокоронных экранах [66], системах
молниезащиты [67,68], в защитных проводящих экранах-параллелепипедах [69,70],
теле человека [63] и др. Такой подход позволяет учесть неоднородность свойств
диэлектрика, а также переходный процесс перераспределения зарядов на
поверхностях раздела слабопроводящих сред.
Как отмечалось в разд.1, в силу особенностей габаритов и свойств сред, а также
параметров воздействующих электрических полей, все рассматриваемые задачи могут
быть решены в квазистационарном приближении. Это возможно, поскольку для
рассматриваемых диэлектрических сред, обладающей слабой проводимостью, временем
распространения электромагнитной волны можно пренебречь, т.к. L - характерные
размеры рассматриваемых объектов таковы, что выполняется условие L<
проводимости которых не превышают 1 См/м, а частота приложенного поля f<100
кГц, выполняется условие:
Ѕgrad jЅ>>Ѕ¶В/¶tЅ,
где - В – векторный потенциал магнитного поля,
что позволяет рассматривать при расчетах лишь векторы электрической
напряженности электромагнитного поля.
2.1. Расчет изменения потенциалов электрического поля в окрестности
проводящих включений методом конечных объемов
2.1.1. Ф о р м у л и р о в к а з а д а ч и и о с н о в н ы х д о п у щ е н и й.
Для того чтобы учесть сложную пространственную конфигурацию электродов и
неоднородные свойства диэлектрических и слабопроводящих сред, расчеты при
моделировании электрофизических процессов, возникающих под действием ЭП,
необходимо выполнять в трехмерной постановке.
Рассмотрим задачу расчета электрического поля частотой до 105 Гц в неоднородных
диэлектрических или слабопроводящих средах с удельной проводимостью, не
превышающей единиц См/м, которые могут содержать проводящие включения с
удельной проводимостью 105 - 108 См/м.
Запишем уравнения Максвелла, описывающие связь векторов напряженности и
индукции электрического и магнитного полей:
; ;
; ; ; ,
где - напряженность и индукция магнитного поля;
- напряженность и индукция электрического поля;
- плотность тока сторонних источников;
µ, е- относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости сред;
г - удельная проводимость; m0=4p·10-7 Гн/м.
Для определенности рассмотрим систему из двух плоских обкладок, между которыми
расположен неоднородный диэлектрик. Разобьем рассматриваемую область на
ячейки-параллелепипеды. Данное разбиение произведено так, что узлы расчетной
сетки (i,j,k) (рис. 2.1) лежат на границах раздела сред. Под (i,j,k)-ой ячейкой
подразумевается параллелепипед, вершинами которого являются следующие узлы:
(i,j,k), (i+1,j,k), (i,j+1,k), (i,j,k+1), (i,j+1,k+1), (i+1,j,k+1),
(i+1,j+1,k), (i+1,j+1,k+1). Выберем направление осей: ось ОY перпендикулярна, а
оси ОX и ОZ - параллельны обкладкам (см. рис. 2.11). На рис. 2.1 - 1,2 -
находящиеся под потенциалом обкладки (j1=0, j2=U0); 3 - неоднородный
диэлектрик).
При расчете использовались следующие граничные условия: по Y- заданные
потенциалы на обкладках 1 и 2 (j1=0, j2=U0); по X и Z - однородные условия
второго рода: , . Начальные условия полагались нулевыми.
Для каждого узла расчетной сетки запишем уравнение Максвелла:
,
Возьмем дивергенцию от обеих частей данного уравнения и проинтегрируем каждое
слагаемое по объему V, заключенному внутри поверхности S:
.
а)
б)
Рис. 2.1. Расчетная система при трехмерной прогонке
Под S понимается поверхность элементарных (конечных) объемов, на которые
разбита расчетная область, она охватывает узел и разделяет пополам расстояния
между соседними узлами (см. рис. 2.1). Применив теорему Остроградского-Гаусса и
проинтегрировав полученное выражение по времени, для момента времени tm
окончательно запишем:
, (2.1)
где En(t) - проекция напряженности электрического поля на нормаль к
поверхности S в момент времени t.
Первое слагаемое выражения (2.1) представляет собой заряд, накопленный на
границе раздела сред к моменту времени tm. Выразим напряженность электрическо