Розділ 2
ДІАКОПТИЧНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ
За визначенням основна ідея діакоптики полягає в розрахунку великої системи шляхом поділу (розщеплення) її на менші підсистеми. Спочатку розраховують окремі частини, потім отримані розв'язки об'єднують і змінюють, внаслідок чого отримують розв'язок вихідної цілої системи. Визначальною є теза про те, що результат розрахунку має бути таким самим, що й під час аналізу безпосередньо цілої системи [26, 79, 80, 135, 240, 233]. Отже, метод діакоптики в межах задач, які розв'язувалися в 1950-1970 роки, а саме розрахунку лінійних електричних схем на постійному струмі та аналогічних задач, призначений за своєю суттю для розв'язку системи алгебричних рівнянь блочно-діагональної структури з облямуванням, що тепер відповідає прямим методам у діакоптичному підході [113, 141, 16]. І вже в той час передбачалась можливість паралельної обробки частин на окремих обчислювальних машинах [81, 55].
З потребою моделювання нелінійних динамічних систем діакоптичний метод стали застосовувати для лінеаризованих і дискретизованих систем диференціальних рівнянь. У цьому випадку результат розрахунку співпадає лише з тим, який отримується після відповідних етапів утворення системи алгебричних рівнянь цілої схеми. Очевидно, що у такому разі метод діакоптики не порушує стійкість і збіжність обчислювального процесу, тому що повністю враховує зворотні зв'язки між підсистемами.
З розвитком методів третього покоління [81, 198, 207], які базуються на принципі декомпозиції і лінійних, нелінійних, і динамічних систем на математичні моделі з різноманітними блочними матричними формами, виникли так звані "часові", тобто релаксаційні або непрямі методи, які володіють зовсім іншими властивостями стійкості та збіжності. Особливою рисою цих методів є розрив зворотних зв'язків між підсистемами і наближене їх врахування, що значно спрощує моделювання, але й спричинює проблеми, пов'язані з збіжністю ітераційного процесу, а через нього з стійкістю різницевої чисельної схеми розрахунку системи в цілому, навіть за умови стійкого розрахунку кожної підсистеми зокрема. Як наслідок крок інтегрування визначається не лише точністю розрахунку динамічних режимів, а й обмежується умовами стійкості обчислювального процесу, що зменшує клас систем, які піддаються ефективному моделюванню релаксаційними методами. Однак можна стверджувати, що й тут зберігається основна ідея діакоптичного підходу, але вже на вищому рівні, рівні математичних моделей фізичних підсистем.
2.1. Суть діакоптичного підходу стосовно розрахунку динамічних режимів електричних кіл
Збільшення складності електричних схем і підвищення експлуатаційних вимог до програм аналізу динамічних режимів, а саме швидкодії та об'єму оперативної пам'яті, зумовило появу нових методів математичного моделювання нелінійних схем. Для вирішення цих проблем головним чином застосовують діакоптичний метод, в основі якого покладено принцип розбиття складної схеми на менш складні, аналіз яких не викликає особливих проблем, та визначення властивостей цілої схеми за властивостями окремих частин та зв'язків між ними. Г. Крон [26] визначив ідею діакоптичного підходу так: "Якщо початкова нерозділена система має N рівнянь та N невідомих, і система поділена на n підсистем, то для опису зв'язків між ними вводиться k додаткових невідомих. Це означає, що в дійсності необхідно знайти N+k невідомих у n+1 незалежних групах замість того, щоби розв'язувати систему з N невідомими. Визначення цих додаткових k невідомих - ціна, яку інженер повинен заплатити за переваги, які дає метод розділення під час визначення N невідомих". У результаті теоретичних дискусій, опублікованих у журналі "Электричество" в 1950-х роках [6, 28, 2] та інші [40], було встановлено, що всі результати Г. Крона можна отримати точними формальними методами, які не виходять за межі звичайних матричних операцій. Серед цих математичних підходів виділяються три основні методи, застосовані до загальної задачі розв'язку великої системи алгебричних рівнянь
,
де A - квадратна невироджена матриця порядку m. Розділення вектора невідомих x та вектора правої частини b, наприклад, на два на підвектори і, відповідно, матриці A на підматриці (метод розділення матриці) утворює систему
,
у якій діагональні блоки повинні бути квадратними та хоча б один з них невиродженим. Нехай такою є підматриця A11. У такому разі з першого рівняння системи визначимо підвектор x1 через x2
.
Підставимо отриманий вираз у друге рівняння системи , яке потім розв'яжемо відносно підвектора x2
.
Таким способом вдається зменшити порядок матриць і векторів за рахунок необхідності операції обертання матриці A11, що суттєво зменшує ефективність методу розділення матриці, особливо, якщо велику систему розв'язувати методом Гауса. Такий підхід доцільно застосовувати у разі щільного заповнення матриці A.
У методі перегрупування невідомих зміною чергування рівнянь і невідомих виділяють групи, які містять лише певну частину невідомих, що входять у вектор . У такому разі розв'язок повної системи
,
у матриці якої з'являються нульові блоки, проводять за формулами і за умови невиродженності квадратних матричних блоків A11 і A22. Так обертання матриці великого порядку замінюється послідовним обертанням ще менших матричних блоків.
У цьому методі необхідно дотримуватися достатньо жорсткої умови: матричні блоки A11 і A22 повинні бути квадратні і невироджені, що в реальних задачах не завжди виконується. Підматриця A33 може бути неквадратною, якщо число рівнянь, які містять усі невідомі, не співпадає з наявною кількістю компонент підвектора x3. У такому разі в цей підвектор вводять додаткові змінні, формуючи підвектор змінних зв'язку v і відповідне число додаткових рівнянь зв'язку. Таким чином система рівнянь методу вводу додаткових змінних набуває вигляду
,
де - вектор невідомих, A1, A2, E - невироджені квадратні матричні блоки, причому підматриця E звичайно одинична.
Під час формування систем і о
- Київ+380960830922