РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ ТА ЦИФРОВІ МОДЕЛІ АВТОТРАНСФОРМАТОРА
2.1. Вихідні положення
Модель автотрансформатора надвисокої напруги формуємо на підставі єдиного
магнетного потоку без його розділення на основний і потік розсіяння [86, 87].
В основу математичної моделі АТ покладено наступні припущення.
1. Весь простір АТ розбиваємо на елементарні об’єми. Поле у них з певним
наближенням можна вважати однорідним і тому ці об’єми подаємо у схемі
магнетного кола зосередженими магнетними опорами.
2. Втрати в сталі в шихтованих частинах магнетопровода еквівалентуємо
резистором, увімкненим паралельно до обвиток АТ.
3. Нехтуємо струмами зміщення та витісненням струму в обвитках.
4. Нехтуємо впливом температурного ефекту на електричну провідність і магнетну
проникність.
5. Не враховуємо явище гістерезу. Нелінійну залежність магнетної індукції від
магнетної напруженості подаємо основною кривою намагнечення.
Для створення квазіеталонної моделі АТ визначальним є спосіб розбиття
магнетопроводу та простору поза ним на елементарні об’єми. В загальному випадку
ми отримали б тривимірну просторову об’ємну сітку і відповідно такого ж вигляду
та розмірності магнетне коло. На жаль, незважаючи на стрімкий розвиток засобів
обчислювальної техніки та чисельних методів, розрахунок такого магнетного кола
АТ у цілому є на даний час практично нерозв’язною задачею через дуже високу
вимірність моделі та пов’язану з цим проблему чисельної стійкості розв’язування
системи рівнянь надвисокого порядку.
Проте, враховуючи певну симетрію магнетного поля автотрансформатора відносно
осей стрижнів магнетопровода, розрахункову схему магнетного кола АТ можна
подати двомірною планарною сіткою. Для цього розділення простору АТ
здійснюється концентричними циліндричними поверхнями сувісними зі стрижнями та
перпендикулярними до них горизонтальними площинами. Вертикальні площини
проходять перпендикулярно до горизонтальних через вісі стрижнів. На рис.2.1
зображено таке розділення простору для надпотужного автотрансформатора АОДЦТН
750/330.
Після такого розділення отримані елементарні об’єми в основному є
тонкостінними півциліндрами (рис. 2.2). Якщо ці об’єми охоплюють ділянку
магнетопроводу чи бак АТ, то через нелінійну залежність для феромагнетних
матеріалів, вони будуть подані у схемі магнетного кола нелінійними
зосередженими елементами. В іншому випадку (повітря, олія чи обвитки) –
лінійними елементами.
Через ці об’єми магнетні потоки проходять у вертикальному та горизонтальному
напрямках. Їх магнетні опори визначаємо відповідно за формулами [134]:
; (2.1)
, (2.2)
де - геометричні розміри елементарного об’єму (див. рис.2.2);
- відносна магнетна проникність матеріалу елементарного об’єму;
- магнетна стала.
За формулами (2.1) і (2.2) можна визначити магнетні опори однорідних
елементарних об’ємів. Магнетопровід АТ не є суцільним феромагнетним матеріалом,
а виконується з шихтованих листів електротехнічної сталі з діелектричним
покриттям. Тому такий елементарний об’єм еквівалентуємо паралельним злученням
лінійного та нелінійного магнетних опорів (для напряму магнетного потоку вздовж
листів) та послідовним злученням таких опорів (для напряму магнетного потоку
поперек листів). Крім цього, у зв’язку з неперервністю простору, в зону
елементарного об’єму може увійти не лише частина магнетопровода чи бака, а й
ділянка з неферомагнетним матеріалом (обвитки, олія чи повітря). В цьому
випадку необхідно також еквівалентувати даний об’єм одним нелінійним магнетним
опором. Найхарактерніші злучення магнетних опорів для їх еквівалентування
подано на рис. 2.3.
Необхідно зазначити, що для різних об’єктів моделювання підхід у розбиванні
простору на елементарні об’єми є індивідуальним. Оптимальним є отримання
якомога більше одинакових за розмірами та простих за структурою елементарних
об’ємів, що значно зменшує обсяг обчислень.
Таким чином, після описаного вище еквівалентування ми отримуємо планарну схему
магнетного кола з лінійними та нелінійними магнетними опорами (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Схема планарного магнетного кола АТ
Значення нелінійних магнетних опорів необхідно знаходити на кожному кроці
ітерації. Для цього належить визначати усереднену індукцію кожного нелінійного
елементарного об’єму за обчисленими контурними магнетними потокам. Потім за
магнетною проникністю та її похідною для даної індукції обчислюється статичний
і диференційний магнетний опір. Магнетна напруга визначається як добуток
статичного магнетного опору на магнетний потік. Такий підхід викликає
необхідність проведення значного обсягу обчислень на кожному кроці ітерації.
Замість цього нами запропоновано визначення ампер-веберних характеристик тих
елементарних об’ємів в горизонтальному та вертикальному напрямах, які подано в
магнетному колі нелінійними магнетними опорами. Враховуючи значну кількість
одинакових за геометричними розмірами елементів, кількість ампер-веберних
характеристик дуже зменшується. Значення магнетних напруг чи диференційних
магнетних опорів знаходимо за магнетними потоками у вітках магнетного кола,
використовуючи модуль апроксимації. Це істотно зменшує обсяг обчислень у
процесі інтегрування на кожному кроці ітерації.
Ампер-веберні характеристики елементарних об’ємів визначаються за їх
геометричними розмірами й основними кривими намагнечення В(Н) матеріалу
магнетопровода. Як приклад наведемо формування такої характеристики для
найскладнішого випадку (рис. 2.3, д).
Спочатку за формулами (