РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СУБГАУССОВИХ ПРОЦЕСІВ ОСОБЛИВОСТІ ТА МЕТОДИ ВИКОРИСТАННЯ В ТЕОРІЇ ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ СИСТЕМ
У розділі розкривається суть використання субгауссових випадкових процесів [19] та їх застосування при оцінці точності результатів вимірювання. За рахунок апріорної інформації про клас розподілів, в даному випадку клас , є можливість звузити границі довірчого інтервалу, тобто підвищити ймовірність того, що випадкова величина потрапить в оцінюваний довірчий інтервал [27]. Модель субгауссових розподілів в ряді випадків дозволяє покращити оцінки точності, які дає нерівність Чебишева при обробці результатів вимірювання та в методі перевірки стохастичних гіпотез. Нерівність Чебишева перетворюється у нерівність, яка виходить з теорії субгауссових процесів. Роль дисперсії у нерівності грає субгауссовий стандарт. Але не завжди інформація про субгауссовість дає можливість звузити інтервал. Тому в роботі вводиться коефіцієнт субгауссовості, який буде описаний в даному розділі.
Основні результати даного розділу опубліковано в роботах [36, 37, 40, 42, 43].
2.1. Субгауссові випадкові величини та процеси, їх основні характеристики
При розв'язуванні багатьох конкретних задач у різноманітних галузях техніки вимірювань часто зустрічаються випадки, коли аналітичний розв`язок задачі через значні математичні труднощі практично неможливий, а проведення експериментальних досліджень і натурних випробувань потребує дуже великих затрат часу і засобів. Одним з ефективних заходів по подоланню цих труднощів є застосування в роботі методів моделювання досліджуваних явищ за допомогою сучасних швидкодіючих ЕОМ. Задача моделювання різних ІВС та зокрема діагностичних систем формулюється як задача розробки алгоритмів. Ці алгоритми за відомими характеристиками систем, наприклад, операторами або динамічними характеристиками нелінійностей окремих ланок, дозволяють точно чи з допустимою похибкою перетворювати та обробляти на ЕОМ реалізації відповідних випадкових вхідних інформаційних сигналів в системах, що досліджуються. Такі алгоритми називаються цифровими моделями сигналів і систем. В роботі використовується одна з таких нових математичних моделей, яка отримала назву субгауссових процесів [8, 19].
Зупинимося на деяких математичних викладках стосовно визначення та властивостей субгауссових величин та процесів.
Трійка , де - простір елементарних подій, - деяка алгебра підмножин , - ймовірнісна міра. Ця трійка формально задає деяку ймовірнісну модель експерименту, яку будемо надалі називати ймовірнісним простором [27].
Позначимо через функцію розподілу випадкової величини
.
Відповідна їй характеристична функція випадкової величини , виражається таким чином [7]
.
Позначимо експоненційну генератрису (твірну функцію) кумулянт випадкової величини [27, 36, 37, 40]
.(2.1) За допомогою генератриси (2.1) знаходяться кумулянти випадкової величини згідно виразу
а моменти
(2.2)
Зупинимось коротко на суті математичної формалізації ймовірнісної моделі, яка базується на понятті субгауссовості випадкових величин та процесів.
Випадкову величину називають субгауссовою [8, 19], якщо знайдеться таке дійсне число , що для всіх виконується нерівність
,(2.3)
де визначається згідно (2.1).
Зліва в (2.3) стоїть генератриса степеневих моментів випадкової величини [55], генератриса степеневих моментів на відміну від характеристичної функції існує не для всіх функцій розподілу . Вона пов'язана з характеристичною функцією співвідношенням (2.1), для характеристичної функції [25].
Клас субгауссових величин позначається [19].
Введемо позначення
(2.4)
називається субгауссовим стандартом випадкової величини . Тобто - це найменше невід'ємне , яке задовольняє вираз (2.4) для всіх .
Позначимо через функцію, яка задає параметричне сімейство залежне від параметра . Ця функція стоїть справа у виразі (2.4). За параметром при кожному фіксованому значенні остання функція не є спадною. Значення вибирається згідно , що забезпечує виконання нерівності (2.4).
Таким чином, квадрат субгауссового стандарту це границя, яка обмежує логарифм генератриси помножений на , , де [25].
Лема 1. Має місце співвідношення [19]
(2.5)
При
(2.6)
Ця лема розглядається в [19]. Вираз (2.5) є основною формулою для визначення субгауссового стандарту. Він буде покладений в основу побудови методик в дослідженнях випадкових величин і процесів на субгауссовість та визначення субгауссових стандартів для конкретних видів розподілу.
Лема 2. Детермінована відмінна від нуля (вироджена) випадкова величина і детермінована функція не є субгауссовими.
Доведення. Зупинимося лише на доведенні даної леми для детермінованої випадкової величини, так як для детермінованої функції твердження леми є очевидним і може розглядатися як наслідок.
Ймовірнісний простір, на якому задана вироджена випадкова величина , описується таким чином: ; , що складається з достовірної події і порожньої множини (це так звана тривіальна алгебра); і .
Згідно (2.1) в даному випадку експоненційна генератриса має вигляд . Тоді згідно (2.5) маємо:
Вираз справа при стає комплекснозначним, а субгауссовий стандарт є дійсна величина, тому цей вираз втрачає сенс. В околі нуля ця функція необмежена, за вийнятком випадку коли . При в околі нуля функція необмежена по і при . Тобто субгауссовий стандарт не існує. Лема доведена.
Зауваження 2.1. Іноді випадкову величину, яка після центрування стає субгауссовою, теж будемо називати субгауссовою, за умови, що у неї існує математичне сподівання.
Зауваження 2.2. Інколи при дослідженні загального виду функції розподілу цілого класу однотипних випадкових величин параметричної множини, приналежність цієї випадкової величини до класу субгауссових ви