РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГО СПОСОБА УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
ДЛЯ ВИБРООБРАБОТКИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
В разделе производятся теоретические исследования виброобработки импульсами различной формы. Для каждой формы импульса определяется соотношение качества обработки и ее стоимости, а также устанавливается область применения. По результатам проведенного анализа формулируется и исследуется оптимальный способ виброобработки металлических деталей.
2.1. Оценка эффективности вибровоздействия в зависимости от формы сигнала при снятии остаточных напряжений в крупногабаритных металлических деталях
При моделировании процесса виброобработки в качестве сложной крупногабаритной детали был выбран прокатный валок. Расчет его колебаний составляет содержание практической задачи виброобработки. Валок является сложной упругой системой. Для полного определения деформаций, возникающих в такой системе при колебаниях, необходимо знать перемещения всех точек системы; иначе говоря, нужно найти в виде некоторых функций времени и положения точек бесконечное число величин (координат), определяющих эти перемещения в любой момент времени. Таким образом, прокатный валок (как и любая другая сложная крупногабаритная деталь) является системой с бесконечным числом степеней свободы.
В данном случае изучение колебаний валка в процессе виброобработки как системы с бесконечным числом степеней свободы, связано с большими трудностями. Математическая трактовка задачи становится возможной только при введении в расчеты значительных упрощений. Известно большое количество различных способов целесообразного построения упрощенных схем деталей, для которых необходимо проводить вибрационные расчеты [63-66].
В машиностроении широко используется способ, заключающийся в замене исходной сложной системы более простой, с иным распределением масс и жесткостей, но похожей на исходную тем, что ее расчет позволяет найти значения искомых величин с небольшим отклонением от реальных для данной детали. Такие упрощения приводят к получению эквивалентной приведенной системы.
Существуют правила приведения сплошных упругих систем. Один из возможных результатов работы данных правил - замена данной системы с бесконечным числом степеней свободы эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы и масс.
Расчеты, основанные на упрощениях, могут дать лишь приближенные значения искомых величин (например, резонансных частот), вернее диапазон, в котором лежат их возможные значения. Недостатком таких упрощений является возможность потери некоторых значений искомых величин для заданной системы. Применение упрощений даёт значительную экономию труда и времени. При всех своих недостатках по точности результатов, приведение систем с бесконечным числом степеней свободы к системам с конечным числом степеней свободы является одним из наиболее распространённых методов практических вибрационных расчётов.
Условно разделяем прокатный валок на три части: две шейки и бочка. Сосредоточим массу бочки в её середине (на рис. 2.1 длина бочки составляет , где - общая длина валка), а шеек - в их серединах соответственно (на рис. 2.1 длина каждой шейки составляет ).
Диаметр бочки валка составляет D, а шеек d. Для упрощения расчетов принимаем, что . Приблизительно масса цилиндрической бочки может быть определена по формуле , где - плотность стали, из которой изготовлен прокатный валок. Масса шейки прокатного валка может быть определена по формуле .
Рис. 2.1. Сосредоточение массы прокатного валка в трёх точках
Момент инерции поперечного сечения валка J относительно главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости изгибающего момента для валка, имеющего круглое сечение, определяется по формуле [67-71], где D - диаметр поперечного сечения валка.
Поскольку валок имеет различные диаметры в области бочки и шеек, то для вычисления момента инерции поперечного сечения валка J относительно главной центральной оси необходимо воспользоваться средним значением диаметра, которое можно определить по формуле
. (2.1)
Обозначим модуль упругости материала валка через E. Для стального валка он составит около ГПа.
Рассмотрим поперечные колебания шарнирно закрепленного по концам прокатного валка, представленного в виде трех сосредоточенных масс.
Пренебрегая распределенной массой валка и считая перемещения сосредоточенных масс прямолинейными, мы приходим к системе с тремя степенями свободы, положение которой при колебаниях будет определяться вертикальными отклонениями грузов от горизонтальной прямой, проходящей через опоры. Эти отклонения принимаем за обобщенные координаты системы. Выражение кинетической энергии при этом получится в виде суммы квадратов
. (2.2)
Составление выражения потенциальной энергии как квадратичной формы координат оказывается здесь довольно сложным. К такому выражению потенциальной энергии можно прийти, используя обобщенный закон Гука (2.3), предварительно вычислив с помощью известных формул сопротивления материалов коэффициенты влияния .
(2.3)
где - обобщенные силы.
Обобщенные силы инерции, как следует из выражения кинетической энергии (2.2), равны силам инерции масс , совершающих прямолинейные перемещения : .
Подставив их вместо в уравнения (2.3), сразу получаем уравнения поперечных колебаний валка
(2.4)
Коэффициенты влияния находятся по формулам [63,66]
(2.5)
где a - расстояние от левого шарнира до точки приложения силы (сосредоточения массы);
b - расстояние от правого шарнира до точки приложения второй силы (сосредоточения второй массы) и т.д.;
- длина рассматриваемого стержня;
E - модуль упругости материала валка (определен выше);
J - момент инерции поперечного сечения валка относительно главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости изгибающего момента для валка (пользуемся средним значением, которое было определено