РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛЬ ЖЕСТКОЙ ЦЕНТРАЛИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАТРАТАМИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
2.1. Формализация модели жесткой централизации управления затратами распределенных систем
Если исследование операции ведется с позиции принципа жесткой централизации управления [78, 89], проблема сводится к решению задачи математического программирования. Общеизвестно, что универсальных методов решения задач математического программирования не существует, поэтому алгоритмизация решения конкретного вида задач нелинейного программирования представляет научный интерес, как с теоретической, так и с практической стороны.
Необходимо определить оптимальное распределение производственных затрат (основных и оборотных, прямых и косвенных, постоянных и переменных, стратегических и тактических):
(2.1)
доставляющее максимум эффективности функционирования всей системы в целом.
(2.2)
при условиях:
; (2.3)
; (2.4)
; (2.5)
, (2.6)
; , (2.7)
где: p - цена привлечения приведенной единицы i-го вида ресурса; q - цена размещения приведенной единицы j-го вида ресурса; N - безубыточный объем приведенных ресурсов; W - располагаемая величина производственных затрат.
Описанную задачу можно рассматривать как следующую задачу математического программирования:
(2.8)
при условии:
; (2.9)
; (2.10)
; (2.11)
; (2.12)
; .
Целевая функция, не являясь вогнутой на соответствующем множестве определения при условии , принадлежат более широкому классу функций, для которых из условия [49]:
(2.13)
следует:
. (2.14)
Такие функции называются псевдовогнутыми и обладают следующим свойством: любая последовательность точек на множестве , обращающая градиент функции в нуль, приводит в положение её глобального максимума.
Таким образом, целевая непрерывная функция является строго псевдовогнутой на допустимом выпуклом множестве, которое предполагается непустым и компактным.
Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная функция , определенная на непустом компактном множестве достигает глобального максимума на внутренней или граничной точке допустимого множества.
Пусть глобальный максимум целевой функции достигается в точке не принадлежащей ни одному из ограничений (внутреннее решение):
,
,
.
В этом случае максимизирующую точку определяем из следующей задачи нелинейного программирования:
;
Ее решение может быть найдено с помощью метода множителей Лагранжа.
Метод позволяет из необходимых условий первого порядка
где ,
при выполнении достаточных условий второго порядка
получить точку , доставляющую строгий локальный максимум целевой функции , который в нашем случае в силу вышеизложенных свойств будет одновременно и глобальным.
Напомним, что для выполнения условий второго порядка необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:
,
где - последовательные главные миноры матрицы
размерности .
С другой стороны из условия положительной определенности вещественной, симметрической матрицы
размерности следует положительность всех её главных миноров.
Таким образом, применение метода множителей Лагранжа приводит к следующей системе уравнений [59,63]:
, (2.15)
где: (2.16)
, (2.17)
Пусть глобальный максимум целевой функции достигается в точке, принадлежащей границе допустимого множества, которая задана уравнением (граничное решение):
. (2.18)
Тогда максимизирующая точка определяется решением следующей задачи математического программирования:
(2.19)
; .
где:
(2.20)
(2.21)
(2.22)
Решение производится с помощью метода множителей Лагранжа [36]:
(2.23)
(2.24)
Откуда:
При условии будет следующее:
; ; (2.25)
тогда либо
, .
А при условии будет следующее:
; (2.26)
тогда либо , .
Если ,,
тогда:
;
;
;
;
(2.27)
Аналогично определяем:
(2.28)
Тогда после несложных алгебраических преобразований условия (2.9), (2.18) приводятся к системе нелинейных уравнений:
содержащих следующие неизвестные:
.
Так как:
Откуда:
Откуда:
Таким образом, получается следующее:
Если:
то
; ;
. (2.29)
Таким образом:
; (2.30)
Выразим через :
(2.31)
(2.32)
Пусть глобальный максимум целевой функции достигается в точке, принадлежащей границе допустимого множества, которая задана уравнениями:
;
.
Тогда максимизирующая точка определяется следующим образом:
;
;`
; .
где:
(2.33)
;
;
Решение производится с помощью метода множителей Лагранжа:
(2.34)
(2.35)
Откуда:
При условии будет следующее:
; ;
Тогда либо
, .
А при условии будет следующее:
;
Тогда либо , .
Если ,,
тогда:
Аналогично определяем:
Так как:
;
тогда:
(2.36)
(2.37)
Пусть глобальный максимум целевой функции достигается в точке, принадлежащей границам допустимого множества, которые задана уравнениями:
;
;
.
Тогда максимизирующая точка определяется решением следующей задачи математического программирования:
;
;
;
; .
Метод множителей Лагранжа приводит к следующей системе уравнений:
(2.38)
где:
(2.39)
(2.40)
Решение каждой из четырех полученных систем уравнений сводится к последовательному рассмотрен