РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
2.1. Аналитическая модель последовательной системы с учётом технического
обслуживания
Известна математическая модель функционирования двухкомпонентной
технологической системы с учётом проведения ТО [14]. Интерес представляет
обобщение этой модели на случай произвольного числа компонентов.
Построим математическую модель функционирования системы, состоящей из конечного
числа последовательно соединённых компонентов с учётом проведения ТО, найти
среднюю стационарную наработку на отказ, среднее стационарное время
восстановления и стационарный коэффициент технического использования системы.
Опишем функционирование рассматриваемой системы. Система состоит из n
последовательно соединённых компонентов. При отказе одного компонента вся
система отключается. Время безотказной работы компонентов – случайные величины
(СВ) , с функциями распределения (ФР) , время восстановления компонентов – СВ ,
с ФР . В случайные моменты времени (через промежутки времени с ФР ) проводится
ТО, время проведения ТО – СВ с ФР . При этом ТО проводится только в том случае,
если в момент проведения планового ТО все компоненты находились в
работоспособном состоянии. После проведения ТО все надёжностные свойства
компонентов полностью обновляются. СВ , , , предполагаются независимыми,
имеющими конечные математические ожидания и дисперсии: у ФР ,, существуют
плотности ,. Таким образом, функционирование i-го компонента, , представляет
собой последовательность следующих друг за другом периодов работы (с возможными
периодами отключения), восстановления и ТО.
Функционирование исходной системы опишем полумарковским процессом (ПМП) с
дискретно – непрерывным фазовым пространством [26]. Введем множество
полумарковских состояний системы:
где i () - номер компонента, изменившего свое состояние последним; если , то
это означает, что последним изменением состояния системы было наступление
планового момента проведения ТО.
Первые n координат dk вектора фиксируют состояние соответствующих компонентов:
=1 – i-й компонент находится в работоспособном состоянии, =0 – i-й компонент
восстанавливается; если =1, тогда система находится в ожидании ТО. Значением
координаты xk , вектора является время, оставшееся до ближайшего момента
изменения состояния k-го компонента, - время до ближайшего планового момента
проведения ТО. Состояние 0 состоит в том, что работа всех компонентов
прерывается и начинается ТО, состояние 1 означает, что ТО завершилось и работа
всех компонентов начинается сначала.
Для нахождения стационарных характеристик системы используем приближённый
метод, основанный на алгоритме фазового укрупнения [25],[26].
Выберем опорную систему S0. Предположим, что у системы времена безотказных
работ значительно больше соответствующих времен восстановления и времени
проведения ТО. Это приводит к тому, что опорной системой S0 будет система,
которая восстанавливается мгновенно и имеет мгновенное ТО.
Временная диаграмма функционирования опорной системы представлена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Временная диаграмма функционирования опорной системы
Таким образом, опорная система имеет пространство состояний:
где - (n+1)-мерный вектор, все координаты которого равны 1,
- (n+1)-мерный вектор, у которого i-тая координата равна 0, а все остальные
равны 1.
Состояния 0 и являются мгновенными.
Определим вероятности переходов вложенной цепи Маркова полумарковского
процесса, описывающего функционирование опорной системы.
1. Из состояния 0 система с вероятностью 1 переходит в состояние 1, .
2. Из состояния система с вероятностью 1 переходит в состояние , .
3. Из состояния 1 система переходит в состояние 0 с вероятностью .
4. Из состояния система может перейти в состояния:
a., (-(n+1)-мерный вектор, i-тая координата которого равна 0, а остальные t),
если , с плотностью вероятности перехода ,
б. в состояние , , , если , с плотностью вероятности перехода ,
в. в состояние 0, если , с вероятностью перехода: .
Обозначим через и значения стационарного распределения ВЦМ на состояниях 0 и 1
и предположим существование стационарной плотностей и для состояний и
соответственно.
По определению стационарные плотности удовлетворяют системе интегральных
уравнений:
(2.1)
где ,
,
,
.
Доказывается, что решения системы уравнений (2.1) задаются формулами
(Приложение В):
где - плотность функции восстановления, порожденной СВ , – плотность функции
распределения прямого остаточного времени процесса восстановления, порождённого
СВ ,
Для исходной системы с указанным критерием отказа множество работоспособных
состояний имеет вид:
Ко множеству отказовых состояний относятся все оставшиеся состояния системы.
Среднюю стационарную наработку на отказ , среднее стационарное время
восстановления и коэффициент технического использования найдем приближенно,
используя формулы [25]:
, , , (2.2)
где – стационарное распределение ВЦМ опорной системы; – средние времена
пребывания в состояниях исходной системы; – вероятности переходов ВЦМ исходной
системы.
Вычислим , для этого предварительно определим вероятности перехода реальной
системы в отказовые из эргодических состояний, входящих во множество
работоспособных состояний . Реальная система за один шаг из работоспособных
состояний перейдёт в подмножество отказовых состояний: из состояний 1 и ,
система с вероятностью 1 переходит в отказовые состояния. Поэтому
==+=.
Для вычисления предварительно найдём средние времена m(z) пребывания в
состояниях реальной системы.
где .
Следовательно,
=+=
=+=+
+=
- Київ+380960830922