Раздел 2
МЕТОД РАСЧЕТА НА ПОЛЗУЧЕСТЬ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ МАШИН
Во многих отраслях промышленности эксплуатация машин происходит в экстремальных условиях высоких нагрузок и температуры. При длительной эксплуатации машин возникают необратимые деформации ползучести, в результате чего происходит необратимое формоизменение деталей и конструктивных элементов машин при изменяющихся во времени напряжениях. Для оценки длительной прочности конструкций, эксплуатирующихся в условиях ползучести, необходимо учитывать развитие деформаций и накопление повреждаемости в материале. Такие расчеты занимают важное место в общих расчетах прочности конструкций на этапе их проектирования, так как позволяют получить оценки ресурса высокотемпературной техники. Также к расчетам на ползучесть обращаются с целью анализа данных об эксплуатации изделий и на этапе их доводки.
Многие конструктивные элементы, подверженные деформациям ползучести, как уже отмечалось ранее, представляют собой тела вращения. Исследование ползучести таких объектов в большинстве случаев ограничивалось использованием простейших реологических моделей, не учитывалась третья стадия ползучести и развитие повреждаемости материала.
Проблема исследования напряженно-деформированного состояния сплошных сред при ползучести может быть математически сформулирована в виде соответствующей начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Другая возможность - это вариационная постановка задачи, сводящая ее решение к определению стационарного значения некоторого функционала.
Ниже предложен эффективный вариационный метод решения повреждающихся при ползучести осесимметричных конструктивных элементов машин на базе смешанного вариационного принципа [59, 61-64, 94]. Для поиска на шаге времени точек стационарности смешанного функционала, который отвечает сформулированному вариационному принципу, предложено использовать численно-аналитический метод теории R-функций (RFM). Далее метод конкретизирован при рассмотрении ползучести цилиндров, а на тестовых примерах исследована сходимость решений, найденных на базе созданного программного обеспечения, реализующего предложенный в работе метод расчета на ползучесть конструктивных осесимметричных элементов машин.
2.1. Вариационная постановка задачи
Ползучесть элементов конструкций сопровождается необратимым деформированием, релаксацией и поврежденностью, приводящим к разрушению изделий. Расчеты на ползучесть высокотемпературной техники при современных требованиях к безопасности экологии производств, экономичности и надежности не возможно выполнить без привлечения научно обоснованных теорий ползучести, современных методов континуальной механики и информационных технологий. Внимание многих исследователей привлечено к поиску разных подходов к решению проблем длительной прочности высокотемпературной техники, чем объясняется актуальность темы, рассмотренной в данной работе.
В исследованиях по ползучести высокотемпературной техники важную роль отводят теориям ползучести и методам расчета [24, 51, 52]. Преимущественно в этих исследованиях используются инкрементальные теории ползучести со структурными параметрами и численные методы. Среди последних особое место занимают вариационные методы, хорошо зарекомендовавшие себя в расчетах упругого, упругопластического деформирования и при ползучести [91, 93]. Недостатки существующих методов указаны в [32, 95]. В данной работе, для расчетов на ползучесть предложен метод, основанный на сочетании метода пошагового продолжения решений по времени с методом поиска на шаге времени стационарных точек смешанных вариационных функционалов. Подход, принятый в работе, позволяет развить существующие методы расчета на ползучесть за счет нового метода, предложенного ниже. В рамках этого подхода получил распространение для расчетов на ползучесть, эффективный при численной реализации метод, предложенный в [4-6, 20, 22, 26, 29] для решения задач теории упругости.
В произвольных криволинейных координатах , i=1,2,3, рассмотрим пространственное тело объемом V, поверхностью S: , , - части поверхности тела, на которых заданы внешние распределенные силы и условия закрепления, как показано на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Пространственное тело и система координат
Используя обычно применяемые обозначения [29, 39, 50, 51, 71, 76], полную систему уравнений теории ползучести относительно неизвестных компонент тензоров напряжений, деформаций и перемещений для рассмотренных выше тел, при заданных объемных и поверхностных силах, запишем в виде:
,
, (2.1)
В точках поверхности граничные условия имеют вид:
, (2.2)
где - компоненты тензора напряжений,
- компоненты вектора внешней единичной нормали к поверхности тела,
- заданные компоненты вектора поверхностных распределенных нагрузок.
В точках поверхности граничные условия формулируются для компонент вектора перемещений:
(2.3)
где - заданные компоненты вектора перемещений.
В (2.1) принято, что в произвольный момент времени полные деформации в точке нагруженного тела складываются из упругих деформаций, определяемых обобщенным законом Гука и необратимыми деформациями ползучести. В начальный момент времени напряженно-деформированное состояние тела отвечают упругому состоянию, а деформации ползучести отсутствуют - . Уравнения состояния изотропной ползучести материалов конкретизируем так [1, 17, 60]:
, ,
, , (2.4)
где , - функции, зависящие от эквивалентных напряжений , и параметра повреждаемости , определяемые по кривым ползучести образцов вплоть до разрушения,
, - время разрушения и критическое значение параметра повреждаемости,
, - напряжения Мизеса и эквивалентные напряжения, отвечающие теории длительной прочности.
Например, зависимости типа Нортона [24, 51] следуют из (2.4) при
, ,
, (2.5)
Далее р