РОЗДІЛ 2
МЕТОД СИНХРОННИХ ВИМІРЮВАНЬ
В цьому розділі розглядається метод синхронних вимірювань геомагнітних варіацій двома засобами вимірювань ? зразковим та досліджуваним. Оскільки функціонально магнітометр як окремий прилад і вимірювальний канал магнітометричної інформаційно-вимірювальної системи є подібними, в цьому розділі прийнято за доцільне вживати термін "магнітометр" як коротший і такий, що влучно передає виконувану функцію засобу вимірювань.
2.1. Математична модель синхронних вимірювань
Для зменшення похибок калібрування за методом синхронних вимірювань необхідно задовольнити такі основні вимоги до місця калібрування. По-перше, давачі магнітометрів слід розташувати в однорідному полі. По-друге, необхідно забезпечити стабільність їх орієнтації, тобто взаємне положення осей магнітометрів не повинно суттєво змінюватись під час експерименту. По-третє, треба забезпечити стабільність та малий градієнт температури в точках встановлення магнітометрів та захистити їх від впливу інших метеорологічних факторів. Необхідно також, щоби набір з N відліків обох магнітометрів був отриманий в однакові моменти часу. Позначимо компоненти символами X, Y, Z, належність параметра до зразкового магнітометра показуватиме індекс r, а належність до досліджуваного ? індекс t.
Виберемо координатну систему Sr, що пов'язана із зразковим магнітометром, як це зображено на рис. 2.1. Магнітні осі компонент Xr, Yr лежать у горизонтальній площині x,y. Хай вісь чутливості Xr співпадає з віссю x. Тоді в загальному випадку вісь Yr утворює з віссю y кут ?xyr, а?вісь Zr утворює з віссю z кут ?Zr? ?За такого розміщення значення магнітного поля в напрямках магнітних осей зразкового магнітометра визначимо через матрицю направляючих косинусів, які є функціями кутів неортогональності ?xyr,?xzr,?yzr [54]:
,
де ;
.
За таких умов матриця показів зразкового магнітометра R пов'язана з варіаціями магнітного поля в напрямках вибраної системи координат таким виразом [101]:
, (2.1)
де Kr - діагональна матриця коефіцієнтів перетворення розміром 3х3;
B - матриця, складена з показів магнітного поля розміром Nх3;
Dr - матриця адитивних похибок розміром Nх3.
З (2.1) знайдемо значення магнітного поля в напрямках осей вибраної системи координат Sr
(2.2)
Визначимо іншу систему координат St, що пов'язана з осями чутливості досліджуваного магнітометра в такий же спосіб, як і система координат Sr з осями чутливості зразкового магнітометра. Аналогічно виразу (2.2) значення магнітного поля в напрямках системи координат St можна виразити через параметри досліджуваного магнітометра за його показами:
, (2.3)
де Kt - діагональна матриця коефіцієнтів перетворення розміром 3х3;
Ct - трикутна матриця направляючих косинусів розміром 3х3;
Dt - матриця адитивних похибок розміром Nх3;
Т - матриця показів досліджуваного магнітометра розміром Nх3.
Взаємне положення координатних систем Sr, St повністю визначається кутами Ейлера, тобто варіації компонент магнітного поля в напрямках їхніх осей пов'язані виразом
, (2.4)
де Е - матриця розміром 3х3, яка визначається кутами Ейлера.
Враховуючи (2.2), (2.3), (2.4) запишемо взаємозв'язок між показами обох магнітометрів
(2.5)
Позначивши
,
отримаємо матричне рівняння [101]
(2.6)
Як правило, ФЗМ для геомагнітних вимірювань будують як варіометри [36], тобто вимірюваною величиною є різниця між постійною складовою геомагнітного поля та полем власного компенсатора. За рахунок неідеальності компенсатора коефіцієнти перетворення поля компенсації різних компонент можуть відрізнятись й, як наслідок, адитивна похибка вимірювання матиме досить велику систематичну складову. За цих обставин зручніше знаходити розв'язок для центрованих величин:
(2.7)
Таким чином, на базі синхронних показів зразкового та досліджуваного магнітометрів необхідно знайти матрицю переходів n та матриці похибок dt0, dr0. Однак, при порівнянні двох магнітометрів повністю розділити складові різницевої матриці похибок (dt0 - dr0) майже ніколи не вдається. Знаючи матриці Cr, Kr, елементи яких є параметри зразкового магнітометра, та враховуючи властивість ортогональності матриці Е, можна за матрицею n обчислити елементи матриць Ct, Kt, як це зроблено, наприклад, в [54]. Ці розрахункові формули з позначенням довірчих інтервалів для кожного елемента матриць Ct, Kt наведено в Додатку А. Оскільки при порівнянні трикомпонентних магнітометрів кількість елементів матриці n дорівнює 9, то при N>9 утворюється перевизначена система рівнянь, приблизний розв'язок якої знаходять статистичними методами [60], наприклад, методом найменших квадратів. Для вибору того чи іншого методу необхідно мати апріорну інформацію про характер вимірюваної величини та похибок вимірювання.
2.1.1. Особливості геомагнітних варіацій
Відомо, що геомагнітні варіації містять як випадкові складові, так і детерміновані періодичні, що обумовлені, наприклад, обертанням Землі навколо своєї осі. Приклади спектральної густини та амплітудного спектру геомагнітних варіацій, запозичені з роботи [55], наведено на рис. 2.2. Для нас цікавим є діапазон частот нижче 1 Гц, оскільки ферозондові магнітометри, в основному, не доцільно використовувати для вимірювання більш високочастотних геомагнітних варіацій, через те, що індукційні зонди в цій області мають нижчий поріг чутливості. Нижня частота діапазону визначається тривалістю синхронних вимірювань, які, з практичних міркувань, не можуть бути занадто довготривалими, і складає порядку 10-6 Гц, що відповідає приблизно 11 добам.
Рис. 2.2. Спектри геомагнітних варіацій [55].
Оскільки приведені в роботі [55] дані не охоплюють нижню частину вказаного діапазону, було проведено оцінку спектральної густини за даними геомагнітних обсерваторій у м. Бєльск (рис. 2.3) та м. Нурміярві (рис. 2.4), що отримані в ро