РОЗДІЛ 2
МОДЕЛІ, АНАЛІЗ ТА СИНТЕЗ ЗОБРАЖЕНЬ У КІЛЬКІСНІЙ
МЕТАЛОГРАФІЇ
2.1. Теоретико-множинний аналіз у задачах обробки та розпізнавання зображень у кількісній металографії
У зв'язку з бурхливим розвитком та постійним розширенням сфери застосування сучасних інформаційних технологій виникають і інтенсивно розвиваються нові теоретичні напрямки. Так, сформовані в окремий напрямок науки такі області знань, як програмування та алгоритмізація розв'язання задач [56], обробка і розпізнавання зображень [43, 57-60], створення експертних систем, баз знань та синтез методів прийняття рішень в умовах невизначеності [61], комп'ютерне моделювання ?62-63? та ін.
Інтенсивний розвиток математичного аналізу зумовив створення теорії множин - фундаментального розділу сучасної математики. Теоретико-множинний аналіз був поставлений в основу теорії імовірностей (Колмогоров), теорії алгоритмів, програмування та автоматичного синтезу цифрових систем обробки інформації ?32, 64?.
Розвиток теоретико-множинного аналізу в задачах обробки та розпізнавання зображень стосовно проблем кількісної металографії викликаний двома основними причинами. По-перше, існує необхідність теоретичного обґрунтування як нових методів та алгоритмів обробки і розпізнавання зображень структури конструкційних матеріалів, так і тих, які вже використовуються і були розроблені здебільшого на евристичній та інтуїтивній основі. Розроблений математичний апарат передбачає здійснювати формальний аналіз і синтез нових алгоритмів, також теоретично обґрунтовувати їх коректність.
Розглянемо деякі аспекти теоретико-множинного підходу до поняття опису зображення, його обробки та розпізнавання.
Нехай X - множина всіх додатних дійсних чисел (, ). Тоді декартовий добуток (у цьому випадку друга степінь множини X) X2 = X ? X представляє собою множину всіх пар (x, y) де . Кожній парі можна співставити точку верхньої правої координатної площини, абсциса якої рівна першій компоненті пари, а ордината - другій. Позначимо через множину всіх невід'ємних дійсних чисел (, ), кожному з яких відповідає точка правої дійсної напівосі. Елементи множин та називатимемо відповідно координатами та яскравістю.
Розглянемо множину утворену декартовим добутком множин X2 та Q
. (2.1)
Множину будемо називати базовою універсальною множиною (БУМ) зображень (у даному випадку - неперервних нескінчених двовимірних стаціонарних зображень).
Таке визначення БУМ можна узагальнити на багатовимірний випадок.
Нехай - n-на степінь множини .
Множину утворену декартовим добутком будемо називати базовою універсальною множиною багатовимірних стаціонарних зображень, а множину утворену декартовим добутком множин
. (2.2)
називатимемо базовою універсальною множиною багатовимірних динамічних зображень.
Кожній підмножині можна поставити у відповідність характеристичну функцію ?v таку, що ?v =1 для всякого і ?v = 0, якщо . Виберемо, наприклад, наступну характеристичну властивість: x, y та q - цілі числа. Характеристичною множиною такої властивості буде підмножина , яку будемо називати базовою універсальною множиною дискретних зображень.
Якщо в якості елементів множини використовувати інші множини, тоді матимемо сукупність (сімейство) множин , де , а I - множина індексів, яка може бути як скінченою, так і нескінченою. Символ '' читається: 'при умові'. Так, наприклад , можна розглядати множину , де - множина в якій значення не перевищує , - множина натуральних чисел .
Повернемося до визначеної в (2.1) множини . Під відношенням на множинах та розуміють певний закон (характеристичну властивість), який виділяє на декартовому добутку деяку підмножину .
Означення 1. Зображенням , визначеним на базовій універсальній множині , будемо називати підмножину , якщо виконується умова: для будь-яких елементів та має місце , тоді повинна виконуватися умова і якщо ж , тоді необхідна умова .
З означення випливає, що в множині немає двох елементів з однаковими координатами.
Тоді можна сказати на мові відношень, що зображення на - це бінарне відношення на множинах координат та яскравостей при виконанні умови відсутності елементів з однаковими координатами.
Означення 2. Повновизначеним зображенням над будемо називати зображення (означення 1), для якого виконується умова .
Розглянемо множину всіх зображень над БУМ . Визначимо основні операції на цій множині (- об'єднання, - перетин, - перетин за яскравістю та - перетин за координатами), приклади яких наведено на рис.2.2.
Нехай маємо два елементи множини (зображення та ) (див. рис.2.1). Одночасно та - підмножини множини . Це означає, що можна ввести теоретико-множинні операції як над зображеннями, так і над підмножинами.
Класичне означення об'єднання підмножин та визначає множину яка містить елементи, кожен з яких належить хоч би одній з множин або , причому елементи, що належать як множині , так і множині , входять в об'єднання тільки один раз. Уведемо додатково ще одну умову. Якщо координати елементів та співпадають, тоді яскравість відповідного елемента об'єднання приймається з . Таким чином, маємо наступне означення.
Означення 3. Об'єднанням двох зображень та будемо називати зображення (об'єднання у класичному розумінні), у якому виконується умова: якщо та тоді .
Розглянемо дві множини та - множини координат і яскравостей елементів :
, (2.3)
(2.4)
Вираз (2.3) читається наступним чином: 'множина включає елементи множини () для яких (символ '') існує (символ '') елемент в множині з координатами ()'.
Сформуємо множину та на її основі множину . Тепер означення об'єднання зображень можна сформулювати наступним чином:
Означення 4. Об'єднанням зображень та є зображення .
Вираз '' означає різницю множин та , тобто множину елементів , які не входять у . Зауважимо, що коли (пуста множина), тоді операція об'єднання комутативна, тобто .
Розглянемо операції перетину зобра