розділ 2.3).
Важливими під час доведення всіх тверджень є вправи на їх застосування. Кожна теорема повинна знайти застосування при розв'язуванні задач або при доведенні інших тверджень. Це можна здійснити шляхом усного розв'язування задач, яке спирається безпосередньо на висновок теореми. Корисно порівняти розв'язання вправи із застосуванням доведеної теореми і без неї. Розвитку продуктивного мислення та розумінню ролі доведеної теореми, її зв'язкам з іншими теоремами сприятимуть вправи на систематизацію теорем. Наприклад, розглянемо систематизацію теорем про об'єми геометричних тіл (схема Д.3, додаток Д).
Навчання учнів доведенню передбачає вироблення умінь спростовувати запропоновані доведення у разі їх хибності. Це забезпечується розглядом математичних софізмів. Наприклад. "Площа поверхні кулі радіуса R дорівнює ". Доведення. Розглянемо півкулю і поділимо коло великого круга на досить велику кількість рівних n частин. Сполучимо всі точки поділу з полюсом півкулі дугами великих кіл, довжина кожної з яких дорівнює дуги великого кола. В результаті поверхня півкулі покриється сферичними трикутниками. Якщо необмежено збільшувати n, то всі сферичні трикутники ставатимуть як завгодно вузькими і кожний з них можна розгорнути на площину із збереженням всіх розмірів. В результаті одержимо рівнобедрені трикутники, у кожного з яких основою є спрямлена дуга великого кола довжиною , а висота трикутника дорівнює . Площа кожного трикутника дорівнює , площа всіх n трикутників , а площа поверхні кулі . Софізм ґрунтується на хибному висновку, що нескінченно малий сферичний трикутник можна розгорнути на площині. Це видно з того, що сума внутрішніх кутів сферичного трикутника більша за 1800 (обидва кути при основі по 900). Плоским аналогом такого трикутника був би рівнобедрений трикутник з двома прямими кутами.
Можна побудувати інші софізми, розвиваючи ідею німецького математика А. Шварца (циліндр Шварца). Такі приклади досить складні і можуть бути використані для дослідницької роботи учнів з високим рівнем навчальних досягнень [117, с.158].
Розглянемо докладно етапи вивчення теореми про об'єм кулі.
І. Актуалізація і мотивація вивчення теореми.
Починається цей етап актуалізацією знань учнів про формули для обчислення площі круга, об'ємів циліндра і конуса, що можна здійснити у формі фронтального опитування класу і з наступним записом формул на дошці. Особлива увага звертається на розуміння аксіоми Кавальєрі, пропонується повторити її за малюнком у підручнику.
Для актуалізації формули, що буде доводитися в теоремі пропонуються вправи.
1) Назвіть правильну формулу для обчислення об'єму кулі радіуса r.
. Формули записані заздалегідь на відкидній дошці або проектуються через кодоскоп.
2) Усно знайдіть радіус кулі, якщо її об'єм дорівнює V.
Для мотивації пропонується прикладна задача "Діаметр одного кавуна вдвічі більший від діаметра другого. У скільки разів перший кавун важчий за другий?" Проводячи евристичну бесіду про спосіб розв'язування задачі, можемо очікувати на дві пропозиції учнів: зважити ці кавуни або обчислити їх об'єми за відомою формулою, яка ще не доведена. Застосовуючи знання з фізики, учні можуть запропонувати порівняти вагу кулі з вагою тіла, для якого вже доведена формула для обчислення об'єму. Вчитель повідомляє, що саме так робив Архімед, відкривши теорему про зв'язок об'єму циліндра з об'ємом вписаної кулі. Саме малюнок до цієї теореми був зображений на його надгробку.
Враховуючи підготовку учнів та наявність необхідних засобів, проводимо дослід Архімеда. Порівняємо вагу кулі радіуса R і циліндра з радіусом основи R та висотою 2R. Результат зважування таких моделей з однакового матеріалу показує, що вага кулі в 1,5 рази менша за вагу циліндра. За відомою формулою об'єм циліндра . Одержимо, що об'єм кулі .
ІІ. Засвоєння змісту теореми.
Формулюється теорема: "Об'єм кулі радіуса R дорівнює ", - і пропонується усно виділити умову і висновок. Оскільки малюнок до цієї теореми досить громіздкий (рис. 2.2), то потрібно заздалегідь підготувати його на плакаті або до проектування через кодоскоп. Учитель визначає метод доведення - використання аксіоми Кавальєрі і демонструє малюнок.
Рис. 2.2 ІІІ. Знайомство з ідеєю доведення теореми та її доведення.
За малюнком до теореми розв'язуються вправи, що моделюють спосіб доведення.
1. Січна площина, проведена на відстані х від центра кулі радіуса R, перетинає її по кругу радіуса r. Знайдіть радіус круга r.
2. Поясніть, як знайти об'єм тіла, яке одержується, якщо з циліндра радіуса R і висоти Н вирізати конус такого ж радіуса і висоти.
Такі задачі можна розв'язати на попередньому уроці.
Доведення теореми здійснюється за планом:
1. Півкуля радіуса R і тіло, утворене шляхом вирізання з циліндра радіуса R і висоти R конуса радіуса R і висоти R, розташовуються на горизонтальній площині ?. (Рис. 2.2)
2. Проводиться січна площина, паралельна до площини ? і віддалена від неї на відстань х.
3. Обчислюються площі перерізів побудованих тіл січною площиною і доводиться, що ці площі рівні.
4. Робиться висновок, на основі аксіоми Кавальєрі, про рівність об'ємів тіл, що розглядаються. Після цього обчислюється об'єм півкулі: .
5. Маємо, що об'єм кулі: .
Розглянемо короткий запис доведення теореми з обґрунтуванням тверджень. Учитель на дошці та учні в зошитах виконують спрощений малюнок (рис. 2.3), що є осьовим перерізом геометричних тіл, зображених на рис. 2.2.
Рис. 2.3Дано: півкуля радіуса R; тіло Т: циліндр, ОО1=R, OM=R; конус, ОО1=R, OM=ON=R.
Довести: .
Доведення.
Площа перерізу півкулі:
, бо .
Площа перерізу тіла Т:
, бо АС=ОМ=R, OM=OO1=R ==> ?MOO1 - рівнобедрений. АВ¦MO ==> ? АВО1 ? ? МОО1 ==> АВ=АО1=х.
==> (аксіома Кавальєрі)
Методи викладу нового матеріалу (абстрактно-дедуктивний, дослідницький, евристичний, пояснювально-ілюстративний), які використовуються при доведенні теорем, сприяють розвитку пізнавальних умінь учнів. Цей вплив підсилюєть
- Київ+380960830922