РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ПРОСТОРОВИХ ТІЛ З ТРІЩИНАМИ НА ОСНОВІ НАПІВАНАЛІТИЧНОГО МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
Напіваналітичний метод скінченних елементів є ефективним засобом дискретизації призматичних тіл з тріщинами. Певна частина елементів конструкцій являє собою призматичні тіла із змінними розмірами поперечного перерізу. Зважаючи на це, доцільним є отримання розв'язувальних співвідношень для призматичного СЕ змінної площі поперечного перерізу. Для забезпечення ефективності розв'язання задач механіки руйнування важливо використовувати алгоритми розв'язання систем рівнянь МСЕ, що забезпечують мінімальні обчислювальні витрати та збереження потрібної точності отримуваних результатів. Особливого значення це набуває при розв'язанні задач про моделювання розвитку тріщин, що потребує застосування крокових алгоритмів моделювання процесу руйнування і, відповідно, багаторазового розв'язання задачі про НДС тіла з тріщиною.
2.1 Вихідні співвідношення для призматичних просторових тіл та співвідношення теорії пластичності.
Для дослідження процесів деформування та руйнування призматичних тіл доцільно використовувати наступні системи координат: базисну декартову , яка є незмінною і призначена для задання вихідної інформації про геометрію об'єкта, зовнішні впливи та граничні умови (вісі та базисної системи координат розташовані в площині поперечного перетину тіла, а вісь орієнтована вздовж напрямної); місцеву систему координат , природньо пов'язану з геометрією досліджуванного об'єкта, при цьому вісь збігається за напрямком з . Дискретне подання призматичних тіл з поперечною (а) та поздовжньою (б) тріщинами із використанням НМСЕ показано на рис.2.1.
а)
б)Рис. 2.1. Дискретизація призматичних тіл з тріщинами
Будемо вважати, що в кожній точці тіла відомі компоненти тензора перетворення , що обумовлює зв'язок між місцевою та базисною системами координат [11]:
.
Тут і в подальшому всі индекси, позначені грецькими буквами, будуть приймати значення 1,2, а позначені латинськими - 1,2,3.
Компоненти метричного тензору в місцевій системі координат подамо через компоненти метричного тензору базисної системи згідно з формулою:
.
При дослідженні призматичних тіл для базисної декартової системи координат відмінними від нуля будуть такі компоненти метричного тензору:
.
Деформації обчислюються через величини градієнтів переміщень в місцевій системі координат:
, ( 2.1 )
де
. ( 2.2 )
Подамо переміщення в місцевій системі координат через їх значення в базисній:
. ( 2.3 )
Підставивши (2.3) в вираз (2.1) і (2.2) після зведення подібних, одержимо загальні вирази для деформацій і градієнтів переміщень в місцевій системі координат через переміщення в базисній:
, ( 2.4 )
. ( 2.5 )
За межами пружності зв'язок між напруженнями і деформаціями визначається співвідношеннями теорії пластичної течії для ізотропного матеріалу, що зміцнюється [93].
Повні прирощення тензора деформацій дорівнюють сумі прирощень пружних і пластичних деформацій:
.
Передбачається, що пружні деформації малі та повязані з напруженнями узагальненим законом Гука:
. ( 2.6 )
Для ізотропного тіла компоненти тензора пружних сталих визначаються через коефіцієнти Ляме:
,
де величини ? та ? визначаються через коефіцієнт Пуассона і модуль пружності матеріалу (модуль Юнга) :
,
де Т - температура.
Матеріал є пластично нестискаємий та зміна його об'єму є лінійно-пружною:
, .
Область пружніх деформацій обмежена поверхнею текучості, рівняння якої в просторі напружень має вигляд:
,
де - параметр спрочнення Одквіста .
У відповідності з асоційованим законом пластичної течії пластичні деформації розвиваються вздовж нормалі до поверхні текучості:
.
Для матеріалу що ізотропно зміцнюється за умовою текучості Мізеса поверхня текучості описується рівнянням:
,
де межа текучості при чистому зсуві є функцією температури та параметра Одквіста.
Компоненти девіатора напружень визначаються за формулою:
,
де .
2.2 Неоднорідний призматичний скінченний елемент із змінною площею поперечного перерізу
Для урахування змінної геометрії призматичних тіл в умовах деформування, наближених до поздовжнього розтягу, розроблений неоднорідний призматичний СЕ змінної площі поперечного перерізу (рис.2.2,а). Поперечний переріз СЕ являє собою чотирикутник площа якого вздовж змінюється за лінійним законом.
Кожному скінченному елементу поставлена у відповідність місцева система координат , яка природньо пов'язана з геометрією об'єкта, так що осі і спрямовані вздовж сторін поперечного перетину СЕ, а спрямована вздовж напрямної та співпадає за напрямком із . При цьому в місцевій системі координат СЕ відображається на паралелепіпед з поперечним перерізом у вигляді квадрату з одиничними сторонами, і довжиною напрямної, що дорівнює двом (рис.2.2,б). Місцева система координат застосовується для визначення деформацій та напружень у межах СЕ. Торці елемента можуть бути довільно закріплені.
а)
б)Рис. 2.2. Призматичний СЕ із змінною площею поперечного перерізу
Будемо вважати, що компоненти тензору пружних сталих та визначник g матриці, що складена з компонент метричного тензору , дорівнюють значенням відповідних величин у центрі поперечного перетину СЕ:
Розподілення переміщень у межах поперечного перетину СЕ описується білінійним законом:
. ( 2.7 )
Визначимо похідні від переміщень в центрі поперечного перетину СЕ виходячи з прийнятого закону їх розподілення :
,
, , ( 2.8 )
, .
де - вузлові значення переміщень, що подані компонентами в базісній системі координат;
і - координ