Розділ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ЗАСАДИ СТАТИСТИЧНОЇ ФАЗОМЕТРІЇ
Значна частина вимірювальних задач пов'язана з дослідженням випадкових періодичних процесів , де - елементарна подія з простору подій ; - дійсна змінна, а сам процес належить до класу процесів зі скінченною потужністю. З вимірювальної точки зору визначаються певні характеристики процесу , які носять інформативний характер. Пошук і аналіз таких характеристик приводить до необхідності застосування різних методів для аналітичного подання та обробки процесу . Так, наприклад, за допомогою методу аналізу Фур'є проводиться розклад таких процесів на гармонічні складові. Залежність амплітуд і початкових фазових зсувів гармонік від їх частот дає змогу визначити АЧХ та ФЧХ процесу.
Інший підхід ґрунтується на представленні у вигляді [52]
, (2.1)
де - амплітудна (амплітудно-часова) характеристика процесу , або обвідна; - фазова (фазо-часова) характеристика процесу. Модель (2.1) до певної міри виглядає штучною, тому її застосування потребує обгрунтування. Якщо задано випадкові процеси і , то модель (2.1) визначається однозначно. Коли навпаки задано випадковий процес , то в загальному випадку і однозначно не визначаються. Процеси і можна визначити, наприклад, за допомогою перетворення Гільберта (ПГ).
Процеси і лежать в основі методу обвідної і фази. Для їх однозначного визначення і з'ясування фізичного змісту розглянемо ідею цього методу.
2.1. Метод обвідної і фази як теоретична основа вирішення нагальних
питань фазометрії
Теорія детектування сигналів обумовила появу та інтенсивний розвиток методу обвідної та фази, який являє собою один з різновидів методу комплексних амплітуд [43,150]. Тому спочатку коротко розглянемо суть методу комплексних амплітуд.
Нехай , - деяка комплексна функція, детермінована або випадкова, з лінійного простору , тобто простору, в якому, якщо та , то і , де - комплексні числа. Тому, якщо та деякі дійсні функції, причому , то тоді і , де .
Візьмемо деякий лінійний оператор , який задано в просторі зі значеннями в просторі , для якого виконуються наступні властивості
, . (2.2)
Тоді за визначенням лінійного оператора для довільного елемента , маємо
, (2.3)
тобто
, . (2.4)
Формули (2.3), (2.4) означають, що при аналізі відгуку лінійної системи на дію, яку можна подати комплекснозначною функцією, результат, що отримується від перетворення лише дійсної компоненти цієї дії, не залежить від того, є на вході такої системи уявна компонента чи вона дорівнює нулю.
Для нелінійного оператора ця властивість взагалі кажучи не виконується. Цю властивість і покладено в основу методу комплексних амплітуд або символічного методу, суть якого така. На практиці завжди спостерігаються лише дійсні сигнали x(t), але часто їх лінійні перетворення простіше отримати в комплексній області, тобто для більш складного комплексного сигналу маємо перетворення менш складне. Тому будується новий сигнал , де - довільний процес. Побудований сигнал можна представити у показниковій формі , де - модуль, який у додатках називається "комплексною амплітудою", звідси й назва методу, а - аргумент, що має назву "фаза".
Доречно зазначити, що така термінологія містить таку суперечність. Амплітуда та початкова фаза математично строго визначаються лише для моногармонічного сигналу - синуса або косинуса. Складні сигнали характеризуються АЧХ та ФЧХ, значення яких на кожній фіксованій частоті визначаються як амплітуда та початкова фаза моногармонічного коливання. Застосування комплексного подання сигналів привело до появи ще однієї "амплітуди" та "фази", але які вже залежать від часу. Такі функції вище було названо відповідно амплітудною та фазовою характеристиками сигналу.
Перейдемо до розгляду методу обвідної та фази. Цей метод широко застосовується як для аналізу невипадкових функцій, так і для аналізу випадкових процесів. Його суть полягає у такому. За деяких загальних припущень про аналітичні властивості сигналу за заданим дійсним стаціонарним процесом з , тобто гільбертів процес, будується новий спряжений за Гільберту стаціонарний випадковий процес . Оператор ПГ для функції і обернений оператор ПГ для представляються невласними інтегралами [118]
; (2.5)
. (2.6)
Отже, ПГ на відміну від перетворення Фур'є відображає функцію в простір її існування (якщо - час, то гільберт-образ також функція часу).
Формули (2.5), (2.6) еквівалентні формулам:
; (2.7)
, (2.8)
де - ядро ПГ, - позначення головного значення інтеграла по Коші, .
Потім будується комплекснозначний випадковий процес, який дістав назву передобвідної або аналітичного сигналу [25,52]
, (2.9)
де обвідна і фаза визначаються відповідно як
, (2.10)
, (2.11)
причому, зазвичай
(2.12)
Таким чином, це метод комплексних амплітуд для випадку, коли уявна частина добудовується як гільберт-образ вихідного процесу.
Якщо процес не випадковий, то його обвідна збігається з обвідною відповідної сім'ї функцій, під якою розуміють криву, що обмежує частину простору, заповнену лініями цієї сім'ї, тобто множини однотипних кривих, що відрізняються деяким параметром. У загальному вигляді обвідна для сім'ї кривих , де - параметр, визначається розв'язанням системи рівнянь [29]
(2.13)
де - координати точок функцій. Обвідна в кожній точці є дотичною до однієї з ліній сім'ї:
(2.14)
Побудований відповідно до (2.9)
- Київ+380960830922