РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ И ФОРМИРОВАНИЕ ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ НА
ОСНОВЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ
Как было показано, естественный физически обусловленный и при этом легко
генерируемый базис аппроксимирующих функций, однотипных по виду воспроизводимым
зависимостям для класса “экспоненциальных” ИС, может быть получен из решений
ЛНДУ, которыми описываются переходные процессы в ЛНЭЦ. На основе указанных
функций может быть осуществлен синтез сплайновой модели, используемой, в свою
очередь, для воспроизведения по ней идеального ИС для измерения и контроля
параметров линейных цепей.
2.1. Методология формирования испытательных сигналов на основе єкспоненциальных
сплайновых моделей. Обобщенная модель формирования сигналов
Основные определения ЭС, используемые при синтезе, даны автором в работах
[130, 148, 184]. В настоящем подразделе рассмотрим общую методологию реализации
синтеза ЭСМ с помощью технических средств [149]. Введем переменную -
относительное время, связанное с текущим , где h - равномерный шаг
дискретизации; ; .
Базисный G-сплайн (финитный) порядка m //; на интервале и вне интервала //
может быть представлен в общем виде [148, 184]
(2.1)
где - нормирующий множитель; - степень характеристичес-
кого полинома для решений ЛНДУ с учетом правой части; - привязка к интервалу; -
вектор параметров, определяемых корнями ЛНДУ, на основе кот происходит синтез
сплайнов и, которое описывает переходные процессы в некоторой ЛНЭЦ. Функции ,
определяются суммами , ; некоторых усеченных функций где - есть решение ЛНДУ
при нулевых начальных условиях. Значения коэффициентов при элементарных
функциях в выражениях для определяются из условия вне интервала . Функции , -
линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов .
Экспоненциальная сплайновая модель ИС //экспоненциальная сплайн-функция (ЭСФ)
// порядка m, может быть представлена суммой финитных сплайнов
(2.2)
где - коэффициенты ЭСМ, численно равные, например, мгновенным значениям
(дискретным отсчетам) некоторой непрерывной временной зависимости (модель
идеального ИС), воспроизводимой в виде ЭСФ.
Сплайновая модель ИС, представленная через кусочные функции , , на каждом
участке имеет вид [148, 184]
(2.3)
Гладкое сопряжение кусочных функций , в узлах (непрерывность функции и ее
производных) обеспечивается выбором вида НЛДУ, для которого
Рассмотрим условия реализуемости ЭСМ при генерации электрических сигналов, а
именно, синтез сигналов на основе финитных функций, воспроизводимых в реальных
электрических цепях. Как известно [54,95,105], в области операционных
изображений непрерывного преобразования Лапласа (НПЛ) решения ЛНДУ с
постоянными коэффициентами для широкого класса внешних воздействий представляют
собой ДРФ комплексной переменной . При нулевых начальных условиях на каждом
участке решению ЛНДУ соответствует ДРФ, которая может определяться как
приведенная ПФ некоторой ЛНЭЦ , где - полиномы степени соответственно и m.
Указанной ДРФ во временной области соответствует импульсная функция и на
интервале .
Рассмотрим линейные импульсные цепи (ЛИЦ), содержащие дискретную и непрерывную
части. При наличии процесса дискретизации выходной сигнал описывается
смещенными решетчатыми функциями (СРФ). При этом ДРФ непрерывной части (НЧ) ЛИЦ
соответствует некоторая ПФ для дискретизированного сигнала, которая может быть
получена на основе дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ) для СРФ [137]:
(2.4)
где , - система кусочных “экспоненциальных” функций, определенных на интервале
; - комплексная переменная в относительном масштабе, , - относительная частота.
Здесь и далее верхний индекс (*) - используется для обозначений применительно к
дискретизированным сигналам.
Система функций , определяется свойствами НЧ ЛИЦ. Указанная ДРФ может быть
разложена в степенной ряд относительно переменной , представленный бесконечной
суммой членов. То есть, как и для непрерывных линейных систем, функции во
временной области также соответствует некоторая
импульсная весовая функция, отличная от нуля на бесконечном интервале.
Если ПФ дискретной части (физически реализуемая) будет иметь вид , то есть
имеет место совпадение нулей дискретной части с полюсами НЧ, то общая ПФ такой
системы может быть представлена конечным числом членов степени . В этом случае
ПФ импульсной системы без учета постоянного множителя, который будет определен
позже, будет равна
(2.5)
При этом ПФ содержит исключительно нули. Выражению (2.5) во временной области
соответствует импульсная функция на интервале (минимальной длительности) и вне
этого интервала.
Таким образом, финитный сплайн может быть получен в некоторой ЛИЦ, как реакция
на входной единичный дискретный отсчет, и представлен выражением
, (2.6)
где - оператор обратного ДПЛ смещенных решетчатых функций [137], - вектор
параметров ПФ НЧ ЛИЦ. Для ДПЛ переменная выступает как вещественный параметр,
что обуславливает простой переход от изображений СРФ во временную область к
выражению (2.1). Формируемый сигнал при подаче на вход такой ЛИЦ
последовательности мгновенных импульсов , модулированных некоторыми числовыми
значениями , или последовательности дискретных отсчетов , будет определяться
выражением
(2.7)
Выражение (2.7) во временной области дает экспоненциальный сплайн
вида (2.3). Гладкое сопряжение кусочных функций , в узлах, то есть, обеспечение
непрерывности генерируемой в виде электрического сигнала зависимости и ее
производных в узлах, достигается выбором модели НЧ [149, 184].
Базовые структуры формирования сигналов на основе их сплай
- Київ+380960830922